专题14：三角恒等变换 （5大考点+13大题型）讲义-2026届高三数学一轮复习（上海专用）

2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题14 三角恒等变换 知识点一．两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； ③； 知识点二．二倍角公式 ①； ②； ③； 知识点三：降次（幂）公式 知识点四：半角公式 知识点五．辅助角公式 （其中）． 【方法技巧与总结】 1．两角和与差正切公式变形 ； ． 2．降幂公式与升幂公式 ； ． 3．其他常用变式 ． 3. 拆分角问题：①；；②；③； ④；⑤． 注意 特殊的角也看成已知角，如． 考点一 两角和、差及倍角公式 题型01：公式直接应用 【名师点拨】三角函数公式的应用策略 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．　 【例1】1.（2024上海·高三专题练习）化简：___________. 2.（2024上海·高三专题练习）（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025上师大附高三三模）已知，则________． 【例3】（2020·上海市进才中学高三期中）在中，，，则=______. 【例4】（2024·上海虹口·一模）若，则 ． 【跟踪训练】 1.（2023浦东一模6）已知为锐角，若，则 . 2．（2023·上海长宁·统考一模）设点是以原点为圆心的单位圆上的动点，它从初始位置出发，沿单位圆按逆时针方向转动角后到达点，然后继续沿单位圆按逆时针方向转动角到达.若点的横坐标为，则点的纵坐标（    ） A． B． C． D． 3．（2024上海·高三专题练习）已知，，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 题型02：公式逆用与变形用 【名师点拨】二倍角正、余弦公式的常见变换方式 ①配方变换：1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2； ②因式分解变换：cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos2 α－sin2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)； ③降幂扩角变换：cos2α＝，sin2α＝； ④升幂缩角变换：1＋cos α＝2cos2， 1－cos α＝2sin2； ⑤公式变换：cos α＝，sin α＝.　 【例5】（2025七宝中学高三模拟）已知sinα＋cosα＝，则cos4α＝________. 【例6】（2024上海·高三专题练习）化简sin2＋sin2－sin2α的结果是________． 【跟踪训练】 1.（2025·上海静安·二模）已知，则的值为　　． 2（2024上海·高三专题练习）＋2的化简结果为________． 3.（2024上海·高三专题练习）[2sin50°＋sin10°(1＋tan10°)]·＝________. 题型03：角的变换 【名师点拨】角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，＋＝，＝2×等． 【例7】（2025上海·高三专题练习）若，，则的值为（       ） A． B． C． D． 【例8】（2025上海·高三专题练习）已知，则（       ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.（2025上海·高三专题练习）已知，，且，，则（       ） A． B． C． D． 2．（2025延安中学高三开学考试）若，则（       ） A． B． C． D． 3．（2025闵行中学高三开学考试）已知，且，则的值为（       ） A． B． C． D． 4．（2025上海·高三专题练习）已知，则（       ） A． B． C． D． 题型04：变名变换 【名师点拨】名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦． 【例9】（2025上海·高三专题练习）求值：(1)＝________； (2)－sin10°＝________. 考点二 求三角函数的求值 题型05：给角求值 【名师点拨】三角函数给角求值问题的解题策略 一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题，另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值．　　　　 【例10】（2025上海·高三专题练习）化简：（    ） A． B． C． D． 【例11】（2025上海·高三专题练习）[2sin50°＋sin10°(1＋tan10°)]·＝________. 【跟踪训练】 1．（2025上海·高三专题练习）的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高三专题练习）___________. 题型06：给值求值 【名师点拨】给值求值是指已知某个角的三角函数值，求与该角相关的其他三角函数值的问题，解题的基本方法是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来 【例12】（2025华师大二附中三模）已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 【例13】（2025·上海嘉定·二模）已知，若，则 ． 【跟踪训练】 1.（2020·上海高三专题练习）设，则的值为（ ） A． B． C． D． 题型07：给值求角 【名师点拨】三角函数给值求角问题的解题策略 对于给值求角问题，通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵循以下原则： (1)已知正切函数值，选正切函数． (2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数． 若角的范围是，选正弦或余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围为，选正弦函数较好． 【例14】（2024·上海奉贤·二模）已知，且，则 ． 【例15】（2023·全国·高三专题练习）已知都是锐角，，则___________. 【跟踪训练】 1．（2023·全国·高三专题练习）已知，，若，则________． 2．（2025上海·高三专题练习）已知，为锐角，且，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025复兴高级中学高三练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 考点三 三角函数式的化简 题型08：三角函数式的化简 【例16】（2025上海·高三专题练习）已知，则（    ） A．0 B． C． D． 【例17】（2025上海·高三专题练习）已知，则__________. 【跟踪训练】 1．（2025上海·高三专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025上海·高三专题练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 考点四 辅助角公式的应用 题型09：辅助角公式 【例18】（2025上海·高三专题练习）已知，则_______. 【跟踪训练】 1、已知，则（ ） A. B. C. D. 2．（2025上海·高三专题练习）若，则__________. 题型10：辅助角公式的应用 【例19】（2024·上海静安·二模）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【例20】（2023·全国·高三专题练习）函数的最大值为________，最小值为________. 【例21】若将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则（ ） A． B． C． D． 考点五 简单的三角恒等变换 题型11：半角公式的应用 【例22】（2025上海·高三专题练习）已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【例23】（2023·全国·高一专题练习）已知，则__________. 【跟踪训练】 1．（2025上海·高三专题练习）已知，___________. 2．（2025上海·高三专题练习）已知，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 3．（2025上海·高三专题练习）若，，则（    ）． A． B． C． D． 题型12：简单的三角恒等变换 【例24】（2025上海·高三专题练习）化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos 2αcos 2β＝________． 【跟踪训练】 1．（2022·上海市育才中学高三期中）若，，则______． 2.若cosxcosy+sinxsiny，sin2x+sin2y，则sin（x+y）＝　　． 题型13：三角恒等变换的综合问题 【例25】 已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R)． (1)求f的值； (2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间． 2.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－3，)． (1)求sin 2α－tan α的值； (2)若函数f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α，求函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的值域． 3.已知函数f(x)＝4tan x·sin·cos－. (1)求f(x)的定义域与最小正周期； (2)讨论f(x)在区间上的单调性． 1．【2024年上海市高考数学第14题】下列函数的最小正周期是的是（    ） A． B． C． D． 2. （2024新高考数学I卷）已知，则（ ） A. B. C. D. 3．【2023年上海市高考数学第4题】已知tanα＝3，则tan2α＝　　　　． 4．（2023•新高考Ⅰ）已知sin（α﹣β），cosαsinβ，则cos（2α+2β）＝（　　） A． B． C． D． 5．（2022·上海数学春考））已知 ，则 　 　 6．【2022年上海市高考数学第3题】函数f（x）＝cos2x﹣sin2x+1的周期为 　　　　． 7．（2022•新高考Ⅱ）若sin（α+β）+cos（α+β）＝2cos（α）sinβ，则（　　） A．tan（α﹣β）＝1 B．tan（α+β）＝1 C．tan（α﹣β）＝﹣1 D．tan（α+β）＝﹣1 8．【2019年上海市高考数学第16题】已知tanα•tanβ＝tan（α+β）．有下列两个结论： ①存在α在第一象限，β在第三象限； ②存在α在第二象限，β在第四象限； 则（　　　　） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对 9．【2015年上海市高考数学（理科）第16题】已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（　　　　） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题14 三角恒等变换 知识点一．两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； ③； 知识点二．二倍角公式 ①； ②； ③； 知识点三：降次（幂）公式 知识点四：半角公式 知识点五．辅助角公式 （其中）． 【方法技巧与总结】 1．两角和与差正切公式变形 ； ． 2．降幂公式与升幂公式 ； ． 3．其他常用变式 ． 3. 拆分角问题：①；；②；③； ④；⑤． 注意 特殊的角也看成已知角，如． 考点一 两角和、差及倍角公式 题型01：公式直接应用 【名师点拨】三角函数公式的应用策略 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．　 【例1】1.（2024上海·高三专题练习）化简：___________. 【答案】 【分析】逆用两角差的余弦公式化简即可求解. 【详解】， 故答案为：. 2.（2024上海·高三专题练习）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式及三角恒等变换化简求值即可. 【详解】已知可化为：. 故选：A 【例2】（2025上师大附高三三模）已知，则________． 【答案】 【分析】平方，结合同角三角函数平方关系即正弦二倍角公式求解. 【详解】两边平方得： ， 解得：. 故答案为： 【例3】（2020·上海市进才中学高三期中）在中，，，则=______. 【答案】3 【分析】由已知和正切和角公式求得，再利用三角形的内角和公式和诱导公式可得答案． 【详解】中，有，所以， ，所以， 故答案为：3. 【例4】（2024·上海虹口·一模）若，则 ． 【答案】 【分析】直接利用二倍角公式计算可得. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 【跟踪训练】 1.（2023浦东一模6）已知为锐角，若，则 . 【答案】 【解析】 2．（2023·上海长宁·统考一模）设点是以原点为圆心的单位圆上的动点，它从初始位置出发，沿单位圆按逆时针方向转动角后到达点，然后继续沿单位圆按逆时针方向转动角到达.若点的横坐标为，则点的纵坐标（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由在单位圆上，得到的坐标，再根据三角函数的定义得出的值，从而求出的值，再运用两角差的正弦公式求解. 【详解】由题可知，且， 因为，可知 则， 所以 . 故选：D. 3．（2024上海·高三专题练习）已知，，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知条件化简后两边平方，由此求得的值，进而求得的值. 【详解】由于，所以，所以 由化简得， 两边平方得， 即，解得（负根舍去）， 由于，所以. 故选：A. 题型02：公式逆用与变形用 【名师点拨】二倍角正、余弦公式的常见变换方式 ①配方变换：1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2； ②因式分解变换：cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos2 α－sin2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)； ③降幂扩角变换：cos2α＝，sin2α＝； ④升幂缩角变换：1＋cos α＝2cos2， 1－cos α＝2sin2； ⑤公式变换：cos α＝，sin α＝.　 【例5】（2025七宝中学高三模拟）已知sinα＋cosα＝，则cos4α＝________. 【答案】 【解析】由sinα＋cosα＝，得sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝1＋sin2α＝，所以sin2α 【例6】（2024上海·高三专题练习）化简sin2＋sin2－sin2α的结果是________． 【答案】 【解析】原式＝＋－sin2α ＝1－－sin2α＝1－cos 2α·cos －sin2α＝1－－＝. 【跟踪训练】 1.（2025·上海静安·二模）已知，则的值为　　． 【解析】． 2（2024上海·高三专题练习）＋2的化简结果为________． 【答案】　－2sin4 【解析】　原式＝＋2 ＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|，因为<4<， 所以cos4<0，且sin4<cos4， 所以原式＝－2cos4－2(sin4－cos4)＝－2sin4. 3.（2024上海·高三专题练习）[2sin50°＋sin10°(1＋tan10°)]·＝________. 【答案】 【解析】因为＝sin80°＝cos10°， 所以原式＝[2sin(60°－10°)cos10°＋sin10°(cos10°＋sin10°)] ＝ ＝(cos210°＋sin210°)＝×＝. 题型03：角的变换 【名师点拨】角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，＋＝，＝2×等． 【例7】（2025上海·高三专题练习）若，，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，又因为，所以， 所以.故选：D. 【例8】（2025上海·高三专题练习）已知，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因，所以.故选：B 【跟踪训练】 1.（2025上海·高三专题练习）已知，，且，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】且，，. 又，，. 当时， ， ，，不合题意，舍去； 当，同理可求得，符合题意. 综上所述：. 故选：. 2．（2025延安中学高三开学考试）若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设，，则， 又.故选：A 3．（2025闵行中学高三开学考试）已知，且，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，而，∴， ∴.故选：C. 4．（2025上海·高三专题练习）已知，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 故选：A. 题型04：变名变换 【名师点拨】名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦． 【例9】（2025上海·高三专题练习）求值：(1)＝________； (2)－sin10°＝________. 【答案】　(1)　(2) 【解析】　(1)＝＝＝＝. (2)原式＝－sin10°·＝－sin10°· ＝－sin10°·＝－2cos10°＝ ＝＝＝＝. 考点二 求三角函数的求值 题型05：给角求值 【名师点拨】三角函数给角求值问题的解题策略 一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题，另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值．　　　　 【例10】（2025上海·高三专题练习）化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 故选：A 【例11】（2025上海·高三专题练习）[2sin50°＋sin10°(1＋tan10°)]·＝________. 【答案】 【解析】因为＝sin80°＝cos10°， 所以原式＝[2sin(60°－10°)cos10°＋sin10°(cos10°＋sin10°)] ＝ ＝(cos210°＋sin210°)＝×＝. 【跟踪训练】 1．（2025上海·高三专题练习）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】原式. 故选：A 2．（2023·全国·高三专题练习）___________. 【答案】 【详解】 . 故答案为：. 题型06：给值求值 【名师点拨】给值求值是指已知某个角的三角函数值，求与该角相关的其他三角函数值的问题，解题的基本方法是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来 【例12】（2025华师大二附中三模）已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据，，求出，，再利用两角差的余弦公式求 【详解】解析：，，， ，， ， 故选：A. 【例13】（2025·上海嘉定·二模）已知，若，则 ． 【答案】/0.4 【分析】根据已知，应用商数关系及平方关系可得，再应用二倍角正弦公式求函数值. 【详解】由， 所以，则. 故答案为： 【跟踪训练】 1.（2020·上海高三专题练习）设，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，再求出，所以，再利用平方关系求解. 【详解】由题得. 当时，， 因为所以 所以. ,所以， ，所以， 所以， 所以. 故选：B. 【点睛】本题主要考查同角三角函数关系求值，考查二倍角公式和辅助角公式的应用，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 题型07：给值求角 【名师点拨】三角函数给值求角问题的解题策略 对于给值求角问题，通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵循以下原则： (1)已知正切函数值，选正切函数． (2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数． 若角的范围是，选正弦或余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围为，选正弦函数较好． 【例14】（2024·上海奉贤·二模）已知，且，则 ． 【答案】 【分析】由倍角公式化简方程，解出，得的值. 【详解】已知，由倍角公式得， 由，，解得，则. 故答案为：. 【例15】（2023·全国·高三专题练习）已知都是锐角，，则___________. 【答案】/ 【分析】要求，先求，结合已知可有，利用两角差的余弦公式展开可求. 【详解】、为锐角， ， ， 由于为锐角， 故答案为： 【跟踪训练】 1．（2023·全国·高三专题练习）已知，，若，则________． 【答案】 【详解】因为,所以,又因为,所以 ,所以= ==,又因为,所以β=. 2．（2025上海·高三专题练习）已知，为锐角，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件，结合同角关系求，再由特殊角三角函数值求，再利用两角差的余弦公式求. 【详解】因为，所以 ， 又，为锐角， 所以，，且． 因为，为锐角，，所以， 又， 所以， 故． 故选：D. 3．（2025复兴高级中学高三练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据切化弦以及两角和差公式解出，代入两角差的余弦公式即可. 【详解】由题意可得， 即，， 故. 故选：A. 考点三 三角函数式的化简 题型08：三角函数式的化简 【例16】（2025上海·高三专题练习）已知，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两角和差的正弦公式将题给条件化简，得到关于的方程，解之即可求得的值. 【详解】 ， ， 又， 则，则 故选：A 【例17】（2025上海·高三专题练习）已知，则__________. 【答案】2 【分析】利用两角和的正弦公式，化简求，再化简求值. 【详解】已知，所以，， . 故答案为：2 【跟踪训练】 1．（2025上海·高三专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两角和的正弦公式将式子展开，然后平方得到， 然后利用已知条件得到，并求出和的值，代入所求式子即可求解. 【详解】由可得， 则有，平方可得，则， 因为，所以， 则， 所以，所以， 故选：C. 2．（2025上海·高三专题练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式及二倍角公式公式得到，再将弦化切，求出，最后利用两角差的正切公式及二倍角公式计算可得. 【详解】因为，所以， 即，所以， 所以，解得或， 因为，所以， 所以 . 故选：D 考点四 辅助角公式的应用 题型09：辅助角公式 【例18】（2025上海·高三专题练习）已知，则_______. 【答案】 【分析】利用辅助角公式求得，根据倍角公式和诱导公式化简目标式，即可求得结果. 【详解】因为，故可得， 则 故答案为：. 【跟踪训练】 1、已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】. 2．（2025上海·高三专题练习）若，则__________. 【答案】/ 【分析】根据两角和的正弦公式可得，从而求，再根据诱导公式及两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，即. 所以，解得. 所以. 故答案为:. 题型10：辅助角公式的应用 【例19】（2024·上海静安·二模）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用辅助角公式将函数化成的形式，代入周期公式可得结论. 【详解】易知，其中， 由周期公式可得其最小正周期为. 故选：A 【例20】（2023·全国·高三专题练习）函数的最大值为________，最小值为________. 【答案】 【分析】利用两角差的余弦公式以及辅助角公式化简合并得到，即可得到最大最小值. 【详解】 ， ，，. 故答案为：；. 【例21】若将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据辅助角公式得，其中； ，其中.根据题意得,所以，即， 所以. 考点五 简单的三角恒等变换 题型11：半角公式的应用 【例22】（2025上海·高三专题练习）已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方法一：∵，， ∴. 方法二：∵，， ∴的终边落在第一象限，的终边落在第一或第三象限，即， ∴ 故选：C 【例23】（2023·全国·高一专题练习）已知，则__________. 【答案】 【详解】因为，且， 所以， 故答案为：. 【跟踪训练】 1．（2025上海·高三专题练习）已知，___________. 【答案】 【详解】因为，所以. 所以. 故答案为： 2．（2025上海·高三专题练习）已知，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 而， 从而或， 当时，只有B符合；当时，四个选项均不符合. 故答案为：B． 3．（2025上海·高三专题练习）若，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 又因为，， 所以，即， 所以， 又因为，所以，． 故选：B． 题型12：简单的三角恒等变换 【例24】（2025上海·高三专题练习）化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos 2αcos 2β＝________． 【答案】 【解析】法一：原式＝·＋·－cos 2αcos 2β＝ ＋ －cos 2αcos 2β＝＋cos 2αcos 2β－cos 2αcos 2β＝. 法二：原式＝(1－cos2α)(1－cos2β)＋cos2αcos2β－(2cos2α－1)(2cos2β－1) ＝1－cos2β－cos2α＋cos2αcos2β＋cos2αcos2β－(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1) ＝1－cos2β－cos2α＋2cos2αcos2β－2cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－＝. 法三：原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(cos2α－sin2α)·(cos2β－sin2β) ＝(2sin2αsin2β＋2cos2αcos2β－cos2αcos2β＋cos2αsin2β＋sin2αcos2β－sin2αsin2β) ＝[sin2α(sin2β＋cos2β)＋cos2α(sin2β＋cos2β)] ＝(sin2α＋cos2α)＝. 【跟踪训练】 1．（2022·上海市育才中学高三期中）若，，则______． 【答案】 【分析】利用两角差的余弦公式可得，再利用和差化积公式得到，即可得解. 【解析】， ， ，即， ， 故答案为： 2.若cosxcosy+sinxsiny，sin2x+sin2y，则sin（x+y）＝　　． 【答案】解：∵cosxcosy+sinxsiny，∴cos（x﹣y）． ∵sin2x+sin2y， ∴sin[（x+y）+（x﹣y）]+sin[（x+y）﹣（x﹣y）]， ∴2sin（x+y）cos（x﹣y）， ∴， ∴sin（x+y）． 故答案为． 题型13：三角恒等变换的综合问题 【例25】 已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R)． (1)求f的值； (2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间． 解　(1)由sin ＝，cos ＝－，得 f＝2－2－2××＝2. (2)由cos 2x＝cos2x－sin2x与sin 2x＝2sin xcos x， 得f(x)＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin. 所以f(x)的最小正周期是π. 由正弦函数的性质，得 ＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)． 思维升华 三角恒等变换的应用策略 (1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用． (2)把形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性． 2.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－3，)． (1)求sin 2α－tan α的值； (2)若函数f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α，求函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的值域． 解　(1)∵角α的终边经过点P(－3，)， ∴sin α＝，cos α＝－，tan α＝－. ∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－＋＝－. (2)∵f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α＝cos x，x∈R， ∴g(x)＝cos－2cos2x ＝sin 2x－1－cos 2x＝2sin－1， ∵0≤x≤，∴－≤2x－≤. ∴－≤sin≤1， ∴－2≤2sin－1≤1， 故函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的值域是[－2,1]． 3.已知函数f(x)＝4tan x·sin·cos－. (1)求f(x)的定义域与最小正周期； (2)讨论f(x)在区间上的单调性． 解　(1)f(x)的定义域为. f(x)＝4tan xcos xcos－ ＝4sin xcos－ ＝4sin x－ ＝2sin xcos x＋2sin2x－ ＝sin 2x＋(1－cos 2x)－ ＝sin 2x－cos 2x＝2sin. 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)因为x∈， 所以2x－∈， 由y＝sin x的图象可知，当2x－∈， 即x∈时，f(x)单调递减； 当2x－∈，即x∈时，f(x)单调递增． 所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减． 1．【2024年上海市高考数学第14题】下列函数的最小正周期是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对A，，周期，故A正确； 对B，，周期，故B错误； 对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误； 对于选项D，，周期，故D错误， 故选：A． 2. （2024新高考数学I卷）已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值. 【详解】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故， 故选：A. 3．【2023年上海市高考数学第4题】已知tanα＝3，则tan2α＝　　　　． 【答案】4 【解答】解：∵tanα＝3， ∴tan2α． 故答案为：． 4．（2023•新高考Ⅰ）已知sin（α﹣β），cosαsinβ，则cos（2α+2β）＝（　　） A． B． C． D． 【解析】因为sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣sinβcosα，cosαsinβ， 所以sinαcosβ， 所以sin（α+β）＝sinαcosβ+sinβcosα， 则cos（2α+2β）＝1﹣2sin2（α+β）＝1﹣2． 故选：B． 5．（2022·上海数学春考））已知 ，则 　 　 【答案】-2 【知识点】两角和与差的正切公式 【解析】【解答】解：由题意得 故答案为：-2 【分析】根据和角的正切公式求解即可. 6．【2022年上海市高考数学第3题】函数f（x）＝cos2x﹣sin2x+1的周期为 　　　　． 【答案】π 【解答】解：f（x）＝cos2x﹣sin2x+1 ＝cos2x﹣sin2x+cos2x+sin2x ＝2cos2x ＝cos2x+1， Tπ． 故答案为：π． 7．（2022•新高考Ⅱ）若sin（α+β）+cos（α+β）＝2cos（α）sinβ，则（　　） A．tan（α﹣β）＝1 B．tan（α+β）＝1 C．tan（α﹣β）＝﹣1 D．tan（α+β）＝﹣1 【解析】解法一：因为sin（α+β）+cos（α+β）＝2cos（α）sinβ， 所以sin（）＝2cos（α）sinβ， 即sin（）＝2cos（α）sinβ， 所以sin（）cosβ+sinβcos（）＝2cos（α）sinβ， 所以sin（）cosβ﹣sinβcos（）＝0， 所以sin（）＝0， 所以kπ，k∈Z， 所以α﹣β＝k， 所以tan（α﹣β）＝﹣1． 解法二：由题意可得，sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ﹣sinαsinβ＝2（cosα﹣sinα）sinβ， 即sinαcosβ﹣cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ＝0， 所以sin（α﹣β）+cos（α﹣β）＝0， 故tan（α﹣β）＝﹣1． 故选：C． 8．【2019年上海市高考数学第16题】已知tanα•tanβ＝tan（α+β）．有下列两个结论： ①存在α在第一象限，β在第三象限； ②存在α在第二象限，β在第四象限； 则（　　　　） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对 【答案】D 【解答】解：由tanα•tanβ＝tan（α+β）， 即为tanα•tanβ， 设m＝tanα，n＝tanβ，可得n2m2+n（1﹣m）+m＝0， 若m＞0，由韦达定理可得x1x20， 可得上式关于n的方程有两个同号的根，若为两个正根，可得n＞0， 即有m＞1，考虑Δ＝f（m）＝（1﹣m）2﹣4m3，f′（m）＝2m﹣2﹣12m2＝﹣12（m）2， 当m＞1时，f（m）递减，可得f（m）＜f（1）＝﹣4＜0，则方程无解， β在第三象限不可能，故①错； 可令tanα， 由tanα•tanβ＝tan（α+β）， 即为tanα•tanβ， 可得tanβ， 解得tanβ＝﹣6±，存在β在第四象限，故②对． 故选：D． 9．【2015年上海市高考数学（理科）第16题】已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（　　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵点 A的坐标为（4，1）， ∴设∠xOA＝θ，则sinθ，cosθ， 将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB， 则OB的倾斜角为θ，则|OB|＝|OA|， 则点B的纵坐标为y＝|OB|sin（θ）＝7（sinθcoscosθsin）＝7（）6， 故选：D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$