【第四章 图形的认识 02讲 线段、射线、直线】暑假小升初衔接2025-2026学年七年级上册数学（新版湘教版专用）

第四章 图形的认识 02讲 线段、射线、直线 目录 【知识点1. 直线、射线、线段】………………………………………………… 1 【知识点2. 两直线相交】………………………………………………………… 3 【知识点3. 两点确定一条直线】………………………………………………… 4 【知识点4. 线段间的比较】……………………………………………………… 5 【知识点5. 两点间的距离】……………………………………………………… 6 【知识点6. 尺规作图】…………………………………………………………… 8 【知识点7. 线段的中点】………………………………………………………… 9 【题型1. 直线、射线、线段的联系与区别】…………………………………… 11 【题型2. 直线、射线、线段的数量问题】……………………………………… 12 【题型3. 直线相交的交点问题】………………………………………………… 12 【题型4. 两点之间的距离】……………………………………………………… 13 【题型5. 作图题】………………………………………………………………… 14 【题型6. 线段的运算】…………………………………………………………… 16 【题型7. 线段中点的有关计算】………………………………………………… 17 【题型8. 线段n等分点的有关计算】…………………………………………… 19 【题型9. 最短路径问题】………………………………………………………… 21 【题型10. 与线段有关的动点问题】……………………………………………… 23 【课后作业】………………………………………………………………………… 25 知识清单 1、直线、射线、线段 绷紧的钢拉索、笔直的路灯杆等实物都给我们以线段的形象，线段有两个端点； 线段向一端无线延长形成了射线，射线有一个端点； 线段向两端无限延长形成了直线，直线没有端点. 巩固基础 1．下列有关线段或者直线的表示方法，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，下列说法错误的是（   ） A．图中共有10条线段 B．射线与射线是同一条射线 C．点P在直线外 D． 3．如图，直线l被直尺覆盖一部分，下面选项中哪条射线是直线l的一部分（   ） A．a B．b C．c D．d 4．如图，下列说法正确的是（   ） A．点在线段上 B．点是直线的一个端点 C．图中共有3条线段 D．射线和射线是同一条射线 5．手电筒发射出来的光线，给我们以（   ）的形象． A．线段 B．射线 C．直线 D．折线 6．下列说法错误的是（   ） A．线段和线段表示同一条线段 B．过一点能作无数条直线 C．射线和射线表示不同射线 D．射线比直线短 知识清单 2、相交 1）如图，直线l1与l2相较于点O，当两条不同的直线只有一个 公共点时，称这两条直线相交；这个公共点叫作它们的交点。 2）直线两两相交的交点个数规律 直线两两相交 …… n条直线两两相交 交点个数 1 1+2=3 1+2+3=6 …… 巩固基础 1．如图，下列给出的直线，射线，线段中能相交的是（   ） A．a与b B．c与d C．b与d D．a与c 2．若两条相交直线与第三条直线（不与相交直线中的任何一条重合）在同一平面，则它们的交点个数是（    ） A．1 B．2 C．3或2 D．1或2或3 3．我们知道，2条直线相交只有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点，5条直线两两相交最多能有10个交点，……10条直线两两相交最多能有（   ） A．28 B．36 C．45 D．55 4．已知a、b、c、d是平面上的任意四条直线，它们的交点不可能有（    ） A．1个 B．2个 C．5个 D．6个 知识清单 3、两点确定一条直线 直线的基本事实：过两点有且只有一条直线. 简单说成：两点确定一条直线. 巩固基础 1．将一条木条固定在墙上，至少需要在木条上钉两个钉子．这样做的数学依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．两点之间，直线最短 D．连接两点之间的线段的长度是两点间的距离 2．要整齐地栽一行树，只要确定两端树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里面包含的数学事实是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．两点能够确定多条直线 D．点动成线 3．值日生每天打扫完卫生后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．直线没有端点 D．以上说法都不对 4．已知点在上（四点不重合），过五点中的任意两点可画一条直线，这样的直线至少可画（   ） A．5条 B．6条 C．7条 D．8条 知识清单 4、线段间的比较 1）方法一：度量法：分别测量线段AB、CD的长度，再进行比较。 2）方法二：叠合法：将点A与点C重合，再进行比较。 如图，点C落在线段AB的延长线（即以B为端点，方向为A到B的射线）上，则线段AC是线段AB与线段BC的和，记作AC=AB+BC，线段BC是线段AC与线段AB的差，记作BC=AC－AB. 巩固基础 1．如图，用圆规比较两条线段的长短，其中正确的是（　　） A． B． C． D．不能确定 2．如图，，比较线段与线段的大小（    ） A． B． C． D．无法比较 3．如图，用圆规比较两条线段的长短，则正确的结果是（    ） A． B． C． D．不能确定 4．用叠合法比较线段和线段的大小，将线段移到线段的位置，使端点与端点重合，线段和线段叠合，则若点 ，则． 5．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，且，线段，若在直线上存在一点M使得，求线段的长． 知识清单 5、两点间的距离 线段的基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短；简单说成：两点之间，线段最短. 连接两点的线段的长度，叫作这两点的距离. 巩固基础 1．下列说法正确的是（   ） A．射线和射线是同一条射线 B．延长线段和延长线段的含义是相同的 C．延长直线 D．连接两点的线段的长度就是这两点间的距离 2．三点在同一直线上，线段，，那么线段的长为（   ） A． B． C．或 D．以上答案都不对 3．点在线段上，若三条线段、、中，有其中一条线段是另一条线段的2倍，则称点是线段的“巧点”．若，点是线段的巧点，则的长是（    ） A．1．5或3或4.5 B．3或4.5 C．3或4.5或6 D．4.5或6 4．“樱”你奔跑，花漾江岸．2025年3月23日4万名武汉马拉松跑者在樱花的陪伴下从江岸出发．某同学用剪刀沿直线将一片平整的樱花叶减掉一部分（如图），发现剩下的樱花叶的周长比原樱花叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 5．一株长白山野山参如图①所示．如图②，小明用剪刀将图①中的一片参叶沿直线将其剪掉一部分，发现剩下参叶的周长比原参叶的周长小，则能正确解释这一现象的数学原理是（　　） A．垂线段最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 知识清单 6、尺规作图 1）定义：在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图。a 2）作一条线段等于已知线段 例：如图已知线段a，求作线段AB，使AB=a。B A C 作法：① 作射线AC； ② 以点A为圆心，线段a的长度为半径画弧交AC于点B； ③ 线段AB即为所求。 巩固基础 1．已知，，，四点（如图）： (1)画线段，射线，直线； (2)连，与直线交于点； (3)连接，并延长线段与射线交于点； (4)连接，并延长线段与线段的反向延长线交于点． 2．如图，在同一平面内有四个点A、B、C、D． ①画射线；②直线与直线相交于点O． 3．如图，已知平面上三点，，． (1)画射线，直线，线段； (2)若线段的长度为8，点在直线上，且，求的长． 4．如图，已知线段a，b，利用尺规作图法求作线段，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 知识清单 7、线段的中点 若点B在线段AC上，且把线段AC分成相等的两条线段AB与BC，这时B叫作线段AC的中点.如图，B是线段AC的中点，则AB=BC=AC.类似地，还有线段的三等分点、四等分点等. 巩固基础 1．如图，C是线段的中点，点D在线段上，且．若，则线段的长度是（   ） A． B． C． D． 2．如果、、在同⼀条直线上，线段，，则、两点间的距离是（　　） A． B． C．或 D．无法确定 3．如果点B在线段上，那么下列关系式中：①，②，③，④．能表示B是的中点的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列说法中，正确的是（    ） A．过两点有且只有一条线段 B．两点之间，线段最短 C．连接两点的线段叫做两点的距离 D．，则点是线段的中点 5．如图点在线段上，点，分别是中点，，，则（    ） A．7 B．5 C．4 D．3 6．如图，点C是的中点，D，E分别是线段，上的点，且，，若． (1)求线段的长． (2)求线段的长． 7．如图，已知线段，点C为线段上的一个动点，点D，E分别是和的中点． (1)求的长（用含a的式子来表示）； (2)若，求的长． 直击考点 题型1. 直线、射线、线段的联系与区别 例1．如图，下列表述不正确的是（   ） A．线段和射线都是直线的一部分 B．点在直线上 C．直线和直线相交于点 D．直线不经过点 例2．下列说法错误的是（   ）      A．直线l经过点A B．点A在直线m上          C．直线a、b相交于点A D．射线与线段有交点 变式1．小明根据下列语句，分别画出了图形，并将图形的标号填在了相应的“语句”后面的横线上．其中正确的是（   ） ①直线经过点三点，并且点在点与之间；（） ②点在线段的反向延长线上；（） ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点；（） ④直线相交于点．（ ） A．①②③④ B．①② C．①③④ D．②③ 变式2．下列各直线、线段、射线的表示中，正确的是（    ） A．直线： B．射线： C．线段： D．线段： 题型2. 直线、射线、线段的数量问题 例1．如图，以点O为端点的射线有（    ）条． A．2 B．3 C．4 D．5 变式1．如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线上有A，B，C，D四点，点P沿直线l从左向右移动，当点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 变式2．一张纸上的5个点可以连成（    ）条线段 A．8 B．9 C．10 D．11 变式3．如图，已知点为线段上一点，，，，分别为，的中点．图中共有______条线段；线段的长为______．以下下面正确的答案是（    ） A．9，4 B．9，5 C．10，4 D．10，5 题型3. 直线相交的交点问题 例1．在同一平面内有三条直线，它们的交点个数可能是（    ） A．0或1或2或3 B．0或2或3 C．0或2 D．0 例2．观察图形，下列说法正确的有（ ） （1）直线和直线是同一条直线； （2）线段和线段是两条不同的线段； （3）射线和射线是同一条射线； （4）三条直线两两相交时，一定有三个交点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例3．一平面内，3条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点；…；那么，10条直线两两相交，最多有 个交点． 变式1．同一平面内的2条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，10条直线相交最多有（   ）个交点． A．15 B．30 C．45 D．60 变式2．在同一平面内，以下结论正确的是（   ） ①7条直线最多有21个交点； ②7条两两不平行的直线，其中任2条直线的所有交角中，至少有一个角小于； ③存在7条直线（任意3条都不共点），其中每条直线都恰与另3条直线相交． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 变式3．如图，条直线相交，最多个交点；条直线相交最多有个交点；条直线相交最多有个交点，那么条直线相交最多有 个交点． 题型4. 两点之间的距离 例1．A，B，C在同一条直线上，线段，，则A，C两点间的距离是（   ） A． B． C．或 D．或 例2．如图，已知点C在线段的延长线上，点P、Q分别在线段上，且满足，．则线段的长（   ） A．与线段、线段的长度都有关 B．仅与线段的长度有关 C．仅与线段的长度有关 D．与线段、线段的长度无关 变式1．平面上有A，B，C三点，已知，则的长是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 变式2．下列说法正确的是（    ） ①两点之间的距离是线段； ②两点之间的距离是线段的长度； ③两点之间的距离是线段的长度 A．② B．③ C．②③ D．①②③ 题型5. 作图题 例1．（1）如图，已知平面内有，，，四点，根据下列语句，画出图形． ①作直线； ②作射线，，交于点； ③作线段，在线段上找一个点，使它到点、点的距离之和最短； （2）（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）已知线段，，，画一条线段，使． 变式1．已知线段、、，画一条线段，使（请写出作法） 变式2．如图，有A、B、C、D四个点．使用直尺、圆规按下列要求画出图形（不写作法，保留作图痕迹）． (1)画线段，射线，直线； (2)连接，与直线交于点E； (3)在线段上，截取． 变式3．如图，已知线段a，b，点B在射线上． (1)用直尺和圆规在射线上作出线段，使．（保留作图痕迹，不写作法） (2)若F是（1）中线段的中点，，，，则点F是线段的三等分点吗？请说明理由． 题型6. 线段的运算 例1．如图，点B、C在线段上，若，，且，求的长度． 变式1．如图，已知线段，延长至，使得． (1)求的长； (2)若是的中点，是的中点，求的长． 变式2．已知线段，点C是线段上任意一点（不与点A，B重合），点M、N在线段上，，，求的长． 变式3．如图，点是线段延长线上的一点，且、将线段分成三部分，其中； (1)若，求的长． (2)若，求的长． 题型7. 线段中点的有关计算 例1．如图，在同一平面内有射线和点B，C． (1)用尺规按下列要求作图（保留作图痕迹，不用写作法）： ①连接，在射线上截取； ②连接，作射线，在射线上截取． (2)在（1）的基础上，若点F是的中点，，求线段的长． 例2．追本溯源：题（1）来自课本中的尝试·思考，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）在直线上顺次取三点，使得，．如果是线段的中点，那么线段和的长度分别是多少？ 方法应用 （2）①已知是线段上一点，，，是的中点，则___ ___； ②如图，是线段上一点，是的中点，是的中点，，求的长． 例3．如图，已知线段，点在线段上，，是的中点． (1)求线段的长度； (2)若在线段上有一点，满足，求线段的长度． 变式1．如图，数轴上点A，B分别表示数a，b．其中，．    (1)当，时．线段的中点表示的数是________________； (2)若数轴上另有一点M表示数3． ①若点M在线段上，且，求式子的值； ②点P为线段上一动点，点Q为线段上一动点，当时，线段的最大长度为5．求a的值． 变式2．如图，已知线段，，点M是的中点． (1)求线段的长； (2)在线段上取一点N，使得，求线段的长． 变式3．如图，已知点C是线段的中点，点D是线段上一点，若，    (1)求线段的长； (2)若点E是直线上一点，且，点F是的中点，求线段的长． 变式4．已知线段，是线段上任意一点（不与点，重合）． (1)若，，求的长； (2)在（1）的条件下，若且点在直线上，，求的长度． 题型8. 线段n等分点的有关计算 例1．如图，线段，点是线段的中点，点是线段的中点．      (1)求线段的长； (2)若在线段上有一点E，，求的长． 例2．如图，点C为线段AB的中点，． (1)求BC的长； (2)在射线AB上有一点M，，求线段CM的长． 变式1．已知线段，，点，的位置如图所示． (1)作射线，请用圆规在射线上依次截取，；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作图形中，若，为的中点，在图形中标出点，的位置，再求出当，时，线段的长． 变式2．如图，已知点，是线段上两点，，是线段的中点，点是线段的三等分点． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 变式3．如图，已知线段，M、N为线段的三等分点． (1)写出图中所有线段； (2)求这些线段长度的和． 题型9. 最短路径问题 例1．如图是石家庄南绕城高速太行特长隧道．高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直以缩短路程．其数学原理是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段的长度，叫作两点之间的距离 D．平面内经过一点有无数条直线 例2．如图，这是嘉嘉绘制的从地到地的路线图，这两地之间的最短距离为，从上到下分别为路线，，，，其中某条路线所标的数据错误，则数据错误的是（   ） A．路线 B．路线 C．路线 D．路线 变式1．下列生活中的做法与其运用的数学原理对应正确的是（   ） （1）如图①，工人师傅在砌墙时，先在两端各固定一点，中间拉紧一条细线，然后沿着细线砌墙就能砌直（两点确定一条直线） （2）如图②，把弯曲的公路改直，就能缩短路程（两点之间线段最短） A．①对②错 B．①错②对 C．①②都对 D．①②都错 变式2．如图，只沿图中的网格线走，从至的最短路线有（   ）条． A．8 B．9 C．10 变式3．如图，小明从处出发沿街道行走，先到处与小红会合，再一起到位于处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（    ）条．      A．18 B．16 C．12 D．9 题型10. 与线段有关的动点问题 例1．如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 例2．如图1，已知线段，点M是线段上一点，点C在线段上，点D在线段上，C、D两点分别从M、B出发以的速度沿直线运动，运动方向如箭头所示，其中a、b满足条件：． (1)直接写出：____________，_____________； (2)若，当点C、D运动了，求的值； (3)如图2，若，点N是直线上一点，且，求与的数量关系． 变式1．如图，线段的长为，点为上一动点（不与，重合），为中点，为中点，随着点的运动，线段的长度（   ） A．随之变化 B．不改变，且为 C．不改变，且为 D．不改变，且为 变式2．如图，是线段上一点，，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设运动时间为． (1)当时，若，的长为______； (2)当时，若，试说明点为的中点； (3)若点，运动到任一时刻，总有，请求出的长． 课后作业 一、单选题 1．（23-24七年级上·山东临沂·期末）平面上有三个点A，B，C，如果，则（   ） A．点C在线段上 B．点C在线段的延长线上 C．点C在线段的延长线上 D．不能确定 2．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，C是线段的中点，D为线段上一点，下列等式（1）；（2）；（3），（4）．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2025·河北廊坊·一模）如图，为下列某条直线上的一点，利用直尺判断，该直线为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 4．（24-25六年级上·陕西咸阳·期末）如图，四辆车在同一车道内行驶，（   ）号车因前车遮挡，司机看不见标有“石家村”的牌子． A．① B．② C．③ D．④ 5．（24-25七年级上·山东济宁·期末）在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图．已知线段，某同学按照下面步骤进行了规范、正确的尺规作图： 第一步，在直线上作线段；第二步，在线段的延长线上作线段； 第三步，在线段的延长线上作线段；第四步，在线段上作线段． 根据以上尺规作图可知，线段的长是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，点、、、在同一条直线上，，，，现在点，点同时分别按图示方向运动，点以每秒速度向左移动，点以每秒速度向右移动．问（   ）秒时，点是线段的中点． A． B． C．1 D． 7．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，下列说法正确的是（   ） A．图中有直线1条，射线3条，线段2条 B．射线还可以表示为射线 C．点在直线外，直线经过点 D．图中线段，则点是线段的中点 8．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）如图，有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一枚钉子，（钉子大小忽略不计，，抽象成两个点），若将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条上钉子之间的距离是（   ） A． B． C． D．或 9．（24-25七年级上·山西晋中·阶段练习）媛媛一家准备周末从地前往地游玩，导航提供了三条可选路线（如图），其长度分别为，而两地的直线距离为，解释这一现象的数学知识最合理的是（   ） A．两点确定一条直线 B．点动成线 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 10．（24-25七年级下·陕西西安·开学考试）如图，、为线段上的两点（点在点左侧），，，是的中点，则的长为（   ） A．8 B．7 C．6 D．9 二、填空题 11．（24-25七年级上·河南平顶山·期末）墨斗是中国传统木工行业画直线的常用工具．如图，木工师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线，木工师傅这样做的道理是： ． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）写出“距离”的定义： ． 13．（24-25六年级下·山东东营·期中）高铁京沪二线途径东营市，预计2026年能通车，届时将大大方便人们的出行．列车往返于北京，上海两个城市，中途经过13个站点（共15个站点），不同的车站来往需要不同的车票，则这条路线共有 种不同的车票． 14．（24-25七年级上·广东韶关·期末）如图所示，两条直线两两相交有1个交点，三条直线两两相交最多有3个交点，八条直线两两相交最多有 个交点． 15．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，有公共端点P的两条线段组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．若已知点D是折线的“折中点”，E为线段的中点，，，则线段的长为 ． 16．（24-25七年级上·河北廊坊·期末）如图，点，，，，，在一条直线上，若，的中点与的中点的距离是，则 ． 17．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）数轴上有，两点（在的左侧）到原点的距离相等，点在线段上，点在直线上．已知，，若，则点表示的数是 ． 18．（24-25七年级上·四川眉山·期末）如图，两点将线段分成了的三个部分，点是线段的中点，，则线段的长为 ． 三、解答题 19．（24-25七年级下·广东梅州·开学考试）按下列要求完成回图和计算： (1)已知线段a和b，求作线段，使（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)已知线段，点C为上的一个动点，点D、E分别是和的中点． 若：①点C恰好是中点，则___________， ②，求的长． 20．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，已知线段，． (1)尺规作图：作线段，，使得，，且A，B，C三点在同一条直线上（请画出所有符合要求的图形，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，D为的中点，求线段的长． 21．（24-25七年级上·广东潮州·期末）如图，已知线段，点C与点D在线段上，若点D为线段的中点，，，求线段的长度． 22．（24-25六年级下·山东烟台·期中）观察图形，并回答下列问题： 【观察思考】（1）图中共有______条线段； 【模型构建】（2）若线段上标记了n个点（包括端点），则该线段中共有______条线段； 【拓展应用】（3）请你用上述模型构建来解决以下问题： ①某班50个同学聚会，若每个同学都与其他同学握一次手，总共握手多少次？ ②某班50个同学聚会，若每个同学都送给其他同学一张名片，总共送出名片多少张？ 23．（24-25六年级下·山东淄博·期中）如图，在直线上任取1个点，2个点，3个点，4个点， (1)填写下表： 点的个数 所得线段的条数 所得射线的条数 1 2 3 4 (2)在直线上取个点，可以得到几条线段，几条射线？ 24．（23-24七年级上·全国·课后作业）观察下列图形，阅读下面相关文字并填空： （1）在同一平面内，两条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有______个交点，4条直线相交最多有______个交点，……，像这样，8条直线相交最多有______个交点，n条直线相交最多有______个交点； （2）在同一平面内，1条直线把平面分成2部分，两条直线最多把平面分成4部分，3条直线最多把平面分成______部分，4条直线最多把平面分成______部分，……，像这样，8条直线最多把平面分成______部分，n条直线最多把平面分成______部分． 25．（24-25六年级下·山东泰安·期中）【问题提出】 （1）如图1，数轴上点表示的数为，点表示的数为，已知与是同类项，点是线段的中点． ①_______，_______，点表示的数是_______； ②若点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时，点从点出发，以每秒7个单位长度的速度也沿数轴向左运动，几秒后，点追上点？ 【拓展运用】 （2）一天早上，小明看到家里闹钟钟面显示3点整（如图2，时针指向3，分针指向12），经过多少分钟后，该闹钟的分针与时针所成的角首次变成． 26．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，在数轴上的点M表示的数为﹣2，在点M的右侧依次描有点A，B，C，D，N五个点，其中，且m、n满足，点A，C分别是线段的中点． (1)求数轴上点B、D、N所表示的数； (2)求线段的长． 27．（24-25七年级上·云南曲靖·期末）如图，的边上有一动点，从距离点的点处出发，沿线段，射线运动，点在线段上速度为．在射线上速度为；动点从点出发，沿射线运动，速度为，点、同时出发，设运动时间是． (1)当点在上运动时，为何值，能使？ (2)若点运动到距离点的点处停止，在点停止运动前，点能否追上点？如果能，求出的值；如果不能，请说出理由； (3)若、两点不停止运动，为何值时，它们相距？（若点在线段上，点在射线上，则、两点的距离为：点到点的距离与点到点的距离之和） 28．（24-25七年级下·湖南岳阳·开学考试）如图，点为线段上一点，点为的中点，且，． (1)求的长； (2)若点在直线上，且，求的长． 29．（24-25七年级上·福建福州·期末）已知点C在线段上，，点D、E在直线上，点D在点E的左侧，若，线段在线段上移动， (1)如图1，当E为中点时，求的长； (2)当点C是线段的三等分点时，求的长． 30．（24-25七年级上·全国·期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______； (2)小明在求解的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点不与点，重合，小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． 如图，，分别是，的中点，则______； 如图，，分别是，的三等分点，即，，求的长； 若，分别是，的等分点，即，，则______． 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 图形的认识 02讲 线段、射线、直线 目录 【知识点1. 直线、射线、线段】………………………………………………… 1 【知识点2. 两直线相交】………………………………………………………… 5 【知识点3. 两点确定一条直线】………………………………………………… 7 【知识点4. 线段间的比较】……………………………………………………… 9 【知识点5. 两点间的距离】……………………………………………………… 12 【知识点6. 尺规作图】…………………………………………………………… 15 【知识点7. 线段的中点】………………………………………………………… 19 【题型1. 直线、射线、线段的联系与区别】…………………………………… 24 【题型2. 直线、射线、线段的数量问题】……………………………………… 26 【题型3. 直线相交的交点问题】………………………………………………… 28 【题型4. 两点之间的距离】……………………………………………………… 32 【题型5. 作图题】………………………………………………………………… 34 【题型6. 线段的运算】…………………………………………………………… 38 【题型7. 线段中点的有关计算】………………………………………………… 41 【题型8. 线段n等分点的有关计算】…………………………………………… 47 【题型9. 最短路径问题】………………………………………………………… 52 【题型10. 与线段有关的动点问题】……………………………………………… 55 【课后作业】………………………………………………………………………… 59 知识清单 1、直线、射线、线段 绷紧的钢拉索、笔直的路灯杆等实物都给我们以线段的形象，线段有两个端点； 线段向一端无线延长形成了射线，射线有一个端点； 线段向两端无限延长形成了直线，直线没有端点. 巩固基础 1．下列有关线段或者直线的表示方法，正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查直线、线段的表示，直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线；线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段（或线段）．据此判断即可． 【详解】解：有关线段或者直线的表示方法，正确的是： 故选：C． 2．如图，下列说法错误的是（   ） A．图中共有10条线段 B．射线与射线是同一条射线 C．点P在直线外 D． 【分析】本题考查了直线、射线、线段，根据直线、射线、线段的相关知识点逐项分析即可得解． 【详解】解：A、图中的线段有、、、、、、、、、，共10条线段，不符合题意； B、射线与射线不是同一条射线，符合题意； C、点P在直线外, 不符合题意； D、由两点之间线段最短可得，，不符合题意； 故选：B． 3．如图，直线l被直尺覆盖一部分，下面选项中哪条射线是直线l的一部分（   ） A．a B．b C．c D．D 【分析】本题主要考查了射线与直线的关系，掌握射线是直线的一部分成为解题的关键． 根据射线和直线的关系即可解答． 【详解】解：由图可知：射线c在直线l有重合部分，则射线c是直线l的一部． 故选C． 4．如图，下列说法正确的是（   ） A．点在线段上 B．点是直线的一个端点 C．图中共有3条线段 D．射线和射线是同一条射线 【分析】本题主要考查了直线、射线和线段的知识，理解并掌握直线、射线和线段的定义是解题关键．根据直线、射线和线段的定义和性质，逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 点在直线上，故该选项说法错误，不符合题意； B. 直线没有端点，故该选项说法错误，不符合题意； C. 图中共有3条线段，故该选项说法正确，符合题意； D. 射线和射线的端点不同，故不是同一条射线，故该选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 5．手电筒发射出来的光线，给我们以（   ）的形象． A．线段 B．射线 C．直线 D．折线 【分析】此题考查直线、线段、射线问题，熟练掌握射线：直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线，可向一方无限延伸是解题的关键．用射线的概念解答． 【详解】解：手电筒发射出来的光线，手电筒是射线的端点，光的传播方向是射线的方向，故手电筒发射出来的光线，给我们以射线的形象． 故选：B． 6．下列说法错误的是（   ） A．线段和线段表示同一条线段 B．过一点能作无数条直线 C．射线和射线表示不同射线 D．射线比直线短 【分析】由射线、直线、线段的概念即可判断， 本题考查直线、射线、线段，关键是掌握直线和射线、线段的概念． 【详解】解：A、B、C中的说法正确，故A、B、C不符合题意； D、射线向一方无限伸展，直线向两方无限伸展，都无限长，不能比较长短，原说法错误，故D符合题意． 故选：D 知识清单 2、相交 1）如图，直线l1与l2相较于点O，当两条不同的直线只有一个 公共点时，称这两条直线相交；这个公共点叫作它们的交点。 2）直线两两相交的交点个数规律 直线两两相交 …… n条直线两两相交 交点个数 1 1+2=3 1+2+3=6 …… 巩固基础 1．如图，下列给出的直线，射线，线段中能相交的是（   ） A．a与b B．c与d C．b与d D．a与c 【分析】本题考查了直线、射线和线段，根据射线可以向一方无限延伸，直线可以向两方无限延伸，线段不能延伸即可判断求解，掌握直线、射线和线段的特征是解题的关键． 【详解】解：∵射线可以向一方无限延伸，直线可以向两方无限延伸，线段不能延伸， ∴能相交的是与， 故选：D． 2．若两条相交直线与第三条直线（不与相交直线中的任何一条重合）在同一平面，则它们的交点个数是（    ） A．1 B．2 C．3或2 D．1或2或3 【分析】本题涉及直线的相关知识，难度一般，考生需要全面考虑问题 本题中直线的位置关系不明确，应分情况讨论，包括两条相交直线是否是另一条直线平行、相交或交于同一点． 【详解】解：当另一条直线与两条相交直线交于同一点时，交点个数为1； 当另一条直线与两条相交直线中的一条平行时，交点个数为2； 当另一条直线分别与两条相交直线相交时，交点个数为3； 故选D． 3．我们知道，2条直线相交只有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点，5条直线两两相交最多能有10个交点，……10条直线两两相交最多能有（   ） A．28 B．36 C．45 D．55 【分析】此题考查了直线的交点问题，找到规律是解题关键． 根据题干总结规律即可解题． 【详解】解：由题意可得： 3条直线两两相交最多有3个交点，即， 4条直线两两相交最多有6个交点，即， 5条直线两两相交最多有10个交点，即， 6条直线两两相交最多有15个交点，即， … ∴10条直线两两相交最多能有． 故选：C． 4．已知a、b、c、d是平面上的任意四条直线，它们的交点不可能有（    ） A．1个 B．2个 C．5个 D．6个 【分析】本题考查了直线的交点个数问题，根据题意画图讨论其交点情况，即可解题． 【详解】解：根据题意画图：    有1个交点，故A项有可能，不符合题意；    有5个交点，故C项有可能，不符合题意；    有6个交点，故D项有可能，不符合题意； 它们的交点不可能有2个， 故选：B． 知识清单 3、两点确定一条直线 直线的基本事实：过两点有且只有一条直线. 简单说成：两点确定一条直线. 巩固基础 1．将一条木条固定在墙上，至少需要在木条上钉两个钉子．这样做的数学依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．两点之间，直线最短 D．连接两点之间的线段的长度是两点间的距离 【分析】本题考查几何公理的实际应用，根据几何基本公理，经过两点有且只有一条直线，因此钉两个钉子可固定木条的位置，使其无法绕这两个点转动或移动，选项B、C涉及最短距离，与固定木条无关；选项D是距离的定义，亦不适用，由此可解． 【详解】解：将木条固定在墙上需要至少两个钉子，是因为两点确定一条直线． 故选A． 2．要整齐地栽一行树，只要确定两端树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里面包含的数学事实是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．两点能够确定多条直线 D．点动成线 【分析】本题主要考查了直线的公理，熟知两点确定一条直线是解题的关键． 【详解】解：要整齐地栽一行树，只要确定两端树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里面包含的数学事实是两点确定一条直线， 故选：A． 3．值日生每天打扫完卫生后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．直线没有端点 D．以上说法都不对 【分析】本题主要考查了直线的性质．根据直线的性质“两点可以确定一条直线”进行解答． 【详解】解：值日生每天打扫完卫生后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是：两点确定一条直线． 故选：A． 4．已知点在上（四点不重合），过五点中的任意两点可画一条直线，这样的直线至少可画（   ） A．5条 B．6条 C．7条 D．8条 【分析】本题考查了直线的定义，理解直线的定义是解题的关键． 根据两点确定一条直线，作图分析即可求解． 【详解】解：根据题意，点在上（四点不重合），当过，过的直线经过点时，直线数量最少，作图如下， ∴至少可画6条， 故选：B． 知识清单 4、线段间的比较 1）方法一：度量法：分别测量线段AB、CD的长度，再进行比较。 2）方法二：叠合法：将点A与点C重合，再进行比较。 如图，点C落在线段AB的延长线（即以B为端点，方向为A到B的射线）上，则线段AC是线段AB与线段BC的和，记作AC=AB+BC，线段BC是线段AC与线段AB的差，记作BC=AC－AB. 巩固基础 1．如图，用圆规比较两条线段的长短，其中正确的是（　　） A． B． C． D．不能确定 【分析】本题考查利用圆规比较两条线段的大小，熟练掌握利用圆规比较两条线段的大小是解题的关键，根据圆规张口的大小即可判断，从而得到答案． 【详解】解：如图可知，用圆规的两个脚分别对准线段，的两个端点， ∵对准线段的圆规张口大于对准线段的圆规张口， ∴， 故选：C． 2．如图，，比较线段与线段的大小（    ） A． B． C． D．无法比较 【分析】本题考查了线段的运算，根据以及，即可判断线段与线段的大小进行作答． 【详解】解：∵， ∴ 即 故选：A． 3．如图，用圆规比较两条线段的长短，则正确的结果是（    ） A． B． C． D．不能确定 【分析】本题考查了线段的大小比较，熟练掌握线段大小的比较方法是解决问题的关键． 根据比较线段的长短的方法即可解答． 【详解】解：由图可知，． 故选C． 4．用叠合法比较线段和线段的大小，将线段移到线段的位置，使端点与端点重合，线段和线段叠合，则若点 ，则． 【分析】本题考查了线段大小的比较的方法，熟练掌握叠合法比较线段的大小的前提条件和三种情况是解答的关键． 画出图形，根据叠合法比较线段的方法即可求解． 【详解】解：用叠合法比较线段和线段的大小，将线段移到线段的位置，使端点与端点重合，线段和线段叠合，则若点在线段延长线上，则， 如图： 故答案为：在线段延长线上． 5．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，且，线段，若在直线上存在一点M使得，求线段的长． 【分析】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差倍分，正确的理解题意是解题的关键，注意分类讨论． 本题分两种情况：点M在点A左侧，点M在点A右侧，根据线段的和差即可得到结论． 【详解】解：∵，且； ∴，， ∵， 若点在点左侧，则；解得：， 若点在点右侧，则 ；解得：， 综上所述，线段的长为22或18． 知识清单 5、两点间的距离 线段的基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短；简单说成：两点之间，线段最短. 连接两点的线段的长度，叫作这两点的距离. 巩固基础 1．下列说法正确的是（   ） A．射线和射线是同一条射线 B．延长线段和延长线段的含义是相同的 C．延长直线 D．连接两点的线段的长度就是这两点间的距离 【分析】本题考查了直线、射线、线段的性质，两点间的距离定义，根据相关知识逐项分析判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：、射线和射线不是同一条射线，原选项说法错误，不符合题意； 、延长线段和延长线段的含义是不相同的，原选项说法错误，不符合题意； 、直线向两端无限延伸，因此直线不可延长，原选项说法错误，不符合题意； 、连接两点的线段的长度就是这两点间的距离，原选项说法正确，符合题意； 故选：． 2．三点在同一直线上，线段，，那么线段的长为（   ） A． B． C．或 D．以上答案都不对 【分析】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差计算是解题的关键. 根据线段的和差分两种情况计算即可 【详解】解：如图，点在点左侧， ； 如图，点在点右侧， ； 综上， 线段的长为或， 故选：C. 3．点在线段上，若三条线段、、中，有其中一条线段是另一条线段的2倍，则称点是线段的“巧点”．若，点是线段的巧点，则的长是（    ） A．1．5或3或4.5 B．3或4.5 C．3或4.5或6 D．4.5或6 【分析】本题考查了线段上两点间的距离，分类讨论并根据题意正确列式是解题的关键．当点C是线段的“巧点”时，可能有三种情况，分类讨论计算即可． 【详解】解：当点C是线段的“巧点”时，可能有三种情况： ①时，； ②时，； ③时，． 故选：C． 4．“樱”你奔跑，花漾江岸．2025年3月23日4万名武汉马拉松跑者在樱花的陪伴下从江岸出发．某同学用剪刀沿直线将一片平整的樱花叶减掉一部分（如图），发现剩下的樱花叶的周长比原樱花叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 【分析】本题考查两点之间，线段最短，据此即可解答． 【详解】解：能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短． 故选：C 5．一株长白山野山参如图①所示．如图②，小明用剪刀将图①中的一片参叶沿直线将其剪掉一部分，发现剩下参叶的周长比原参叶的周长小，则能正确解释这一现象的数学原理是（　　） A．垂线段最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 【分析】本题考查了两点之间，线段最短，根据两点之间，线段最短即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据两点之间，线段最短可知，剩下参叶的周长比原参叶的周长小， 故选：D． 知识清单 6、尺规作图 1）定义：在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图。a 2）作一条线段等于已知线段 例：如图已知线段a，求作线段AB，使AB=a。B A C 作法：① 作射线AC； ② 以点A为圆心，线段a的长度为半径画弧交AC于点B； ③ 线段AB即为所求。 巩固基础 1．已知，，，四点（如图）： (1)画线段，射线，直线； (2)连，与直线交于点； (3)连接，并延长线段与射线交于点； (4)连接，并延长线段与线段的反向延长线交于点． 【分析】本题主要考查了直线、射线、线段的特征，准确掌握直线、线段、射线的特征是解题的关键． （1）根据直线，射线，线段的特征可作图求解； （2）根据题意连，与直线交于点； （3）根据题意连接，并延长线段与射线交于点； （4）根据题意连接，并延长线段与线段的反向延长线交于点． 【详解】（1）解：如图，线段，射线，直线即为所求； （2）解：如图， （3）解：如图， （4）解：如图， 2．如图，在同一平面内有四个点A、B、C、D． ①画射线；②直线与直线相交于点O． 【分析】本题考查了作图-基本作图，射线，直线的定义，①直接利用射线的定义即可画出射线， ②直接利用直线的定义画出直线，两条直线交于点，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：①直接利用射线的定义即可画出射线，则射线即为所求； ②直接利用直线的定义画出直线，两条直线交于点，则点即为所求，如图： 3．如图，已知平面上三点，，． (1)画射线，直线，线段； (2)若线段的长度为8，点在直线上，且，求的长． 【分析】本题考查了直线、射线、线段作图，以及线段长度的求解，熟练掌握以上知识点并分情况讨论，数形结合是解题的关键． （1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）分当点在线段上时和点在的左侧时两种情况，结合图形分别得出的长即可． 【详解】（1）解：如图，射线，直线，线段为所作： （2）解：分以下两种情况： 如图，当点在线段上时， ，， ； 如图，当点在的左侧时， ，， ； 综上所述，的长为5或11． 4．如图，已知线段a，b，利用尺规作图法求作线段，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【分析】本题主要考查了线段的尺规作图，先作射线，再以点A为圆心，线段b的长为半径画弧交射线于C，接着以点C为圆心，线段b的长为半径画弧交射线于D．最后以D为圆心，线段a的长为半径画弧交线段于B，则线段即为所求． 【详解】解：如图所示，线段即为所求； 知识清单 7、线段的中点 若点B在线段AC上，且把线段AC分成相等的两条线段AB与BC，这时B叫作线段AC的中点.如图，B是线段AC的中点，则AB=BC=AC.类似地，还有线段的三等分点、四等分点等. 巩固基础 1．如图，C是线段的中点，点D在线段上，且．若，则线段的长度是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是两点之间的距离，线段中点的性质，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． 首先求出，然后求出，然后根据线段中点的性质求解即可． 【详解】∵， ∴ ∴ ∵C是线段的中点， ∴． 故选：B． 2．如果、、在同⼀条直线上，线段，，则、两点间的距离是（　　） A． B． C．或 D．无法确定 【分析】本题考查了两点间的距离，解题的关键是根据题意画出线段图，找准线段间的关系． 由已知条件知A，B，C三点在同一直线上，解本题时应考虑到A、B、C三点之间的位置，分情况可以求出A，C两点的距离． 【详解】解：第一种情况：C点在之间时， ∵，， ∴； 第二种情况：当C点在的延长线上时， ∵，， ∴． 故选C． 3．如果点B在线段上，那么下列关系式中：①，②，③，④．能表示B是的中点的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查线段的中点，根据线段中点的定义，得到，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：，，都能表示B是的中点，不能表示出B是的中点； 故选C． 4．下列说法中，正确的是（    ） A．过两点有且只有一条线段 B．两点之间，线段最短 C．连接两点的线段叫做两点的距离 D．，则点是线段的中点 【分析】本题考查了线段的性质，两点间距离的概念，线段中点的概念，熟记这些知识是解决此题的关键． 根据线段的性质、两点间距离的概念、线段中点的概念进行判断即可． 【详解】A、过两点有无数条线段，故此选项错误； B、两点之间，线段最短，故此选项正确； C、连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，故此选项错误； D、当点不在线段上时，点不是线段的中点，故此选项错误； 故选：B． 5．如图点在线段上，点，分别是中点，，，则（    ） A．7 B．5 C．4 D．3 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点的相关计算，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据线段中点的定义得到，，然后利用进行计算． 【详解】∵点，分别是中点， ∴ ， ， ∴ ， 故选：A． 6．如图，点C是的中点，D，E分别是线段，上的点，且，，若． (1)求线段的长． (2)求线段的长． 【分析】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差倍分； （1）由线段中点的含义可得，，进一步可得答案； （2）求解，结合，进一步可得答案. 【详解】（1）解：∵点C是的中点，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴； ∵， ∴. 7．如图，已知线段，点C为线段上的一个动点，点D，E分别是和的中点． (1)求的长（用含a的式子来表示）； (2)若，求的长． 【分析】本题考查了线段中点的意义，线段的和差计算，熟练运用相关的性质认真计算是解题的关键． （1）根据线段中点的意义得到，，再由线段和差得到，即，即可求解； （2）由（1）可知，而，则，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵点D是的中点 ∴， ∵点E是的中点， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解： 由（1）可知， 而， ∴， ∴． 直击考点 题型1. 直线、射线、线段的联系与区别 例1．如图，下列表述不正确的是（   ） A．线段和射线都是直线的一部分 B．点在直线上 C．直线和直线相交于点 D．直线不经过点 【分析】本题考查了线段、直线、射线，熟练掌握线段、直线、射线之间的关系是解题关键．根据线段、直线、射线之间的关系逐项判断即可得． 【详解】解：A、线段和射线都是直线的一部分，则此项正确，不符合题意； B、点不在直线上，则此项不正确，符合题意； C、直线和直线相交于点，则此项正确，不符合题意； D、直线不经过点，则此项正确，不符合题意； 故选：B． 例2．下列说法错误的是（   ）      A．直线l经过点A B．点A在直线m上          C．直线a、b相交于点A D．射线与线段有交点 【分析】本题考查直线，射线和线段，根据直线，射线，线段的定义逐一进行判断即可． 【详解】解：A、直线l经过点A，原说法正确，不符合题意； B、点A不在直线m上，原说法错误，符合题意； C、直线a、b相交于点A，原说法正确，不符合题意； D、射线与线段有交点，原说法正确，不符合题意； 故选B． 变式1．小明根据下列语句，分别画出了图形，并将图形的标号填在了相应的“语句”后面的横线上．其中正确的是（   ） ①直线经过点三点，并且点在点与之间；（） ②点在线段的反向延长线上；（） ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点；（） ④直线相交于点．（ ） A．①②③④ B．①② C．①③④ D．②③ 【分析】本题考查了直线，射线和线段的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据直线是向两方无限延伸、射线是向一方无限延伸和线段不能向任何一方延伸的定义分析即可． 【详解】解：①直线经过点三点，并且点在点与之间，，正确； ②点在线段的反向延长线上，，正确； ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点，，正确； ④直线相交于点，，正确； 故选：A． 变式2．下列各直线、线段、射线的表示中，正确的是（    ） A．直线： B．射线： C．线段： D．线段： 【分析】本题考查了直线、射线、线段的定义与表示，是基础题，熟记概念与它们的区别与联系是解题的关键． 根据直线、射线、线段的定义以及表示方法对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：A．图中直线不能用两个小写字母表示，故该选项说法错误，不符合题意； B．射线用它的端点和射线方向上的另外任意一点的两个字母表示，表示方法中起点字母总是放在第二个字母的前面，图中应该表示射线，故该选项说法错误，不符合题意； C．线段，故该选项说法正确，符合题意； D．线段用两个端点的大写字母或用一个小写字母表示，故该选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 题型2. 直线、射线、线段的数量问题 例1．如图，以点O为端点的射线有（    ）条． A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】本题考查了射线的识别，解题关键是理解射线的定义：直线上一点和它一旁的部分，准确进行判断． 【详解】解：图中以点O为端点的射线有，共4条， 故选：C． 变式1．如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线上有A，B，C，D四点，点P沿直线l从左向右移动，当点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】本题考查的是直线与线段的相关内容，正确理解题意、利用转化的思想去思考线段的总条数是解决问题的关键，可以减少不必要的分类．点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点．而图中共有线段6条，所以出现报警次数最多6次． 【详解】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报， ∵图中有线段、、、、、，共6条线段， ∴发出警报的点P最多有6个． 故选：D． 变式2．一张纸上的5个点可以连成（    ）条线段 A．8 B．9 C．10 D．11 【分析】本题考查了线段数量问题，个点连成线段的条数：（条），据此解答即可． 【详解】解：如图 （条）， 个点可以连成条线段． 故选：C． 变式3．如图，已知点为线段上一点，，，，分别为，的中点．图中共有______条线段；线段的长为______．以下下面正确的答案是（    ） A．9，4 B．9，5 C．10，4 D．10，5 【分析】本题考查了线段的识别与计算，解题关键是根据题意准确表示出线段，再根据，求出线段长． 【详解】解：图中的线段有，，，，，，，，，共10条； ∵，， ∴， ∵，分别为，的中点， ∴，， ∴； 故选：C． 题型3. 直线相交的交点问题 例1．在同一平面内有三条直线，它们的交点个数可能是（    ） A．0或1或2或3 B．0或2或3 C．0或2 D．0 【分析】本题主要考查了直线相交的问题，熟练掌握相交是解题的关键．根据领直线平行和相交的定义作出图形即可得到答案． 【详解】解：若三条直线均平行，故交点个数为； 若三条直线交于一点，此时交点个数为； 若两条直线平行，第三条直线与这两条直线相交，此时交点个数为； 若三条直线两两相交，此时交点个数为． 故选A． 例2．观察图形，下列说法正确的有（ ） （1）直线和直线是同一条直线； （2）线段和线段是两条不同的线段； （3）射线和射线是同一条射线； （4）三条直线两两相交时，一定有三个交点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】此题考查了直线，射线和线段的性质，直线的交点问题，根据直线，射线和线段的性质逐项求解判断即可． 【详解】（1）直线和直线是同一条直线，说法正确，符合题意； （2）线段和线段是同一条线段，原说法错误，不符合题意； （3）射线和射线是同一条射线，说法正确，符合题意； （4）三条直线两两相交时，不一定有三个交点，也可能有1个交点，原说法错误，不符合题意； 综上所述，说法正确的有2个． 故选：B． 例3．一平面内，3条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点；…；那么，10条直线两两相交，最多有 个交点． 【分析】此题考查的知识点是相交线，关键是此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊到一般猜想的方法．由已知一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点，…，总结出：在同一平面内，n条直线两两相交，则最多有个交点，代入即可求解． 【详解】解：∵3条直线两两相交，最多有3个交点；而； 4条直线两两相交，最多有6个交点；而， 5条直线两两相交，最多有10个交点；而， …； ∴在同一平面内，n条直线两两相交，则最多有 个交点， ∴10条直线两两相交，交点的个数最多为 ． 故答案为：． 变式1．同一平面内的2条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，10条直线相交最多有（   ）个交点． A．15 B．30 C．45 D．60 【分析】本题主要考查了直线的交点，数字变化规律问题，先根据交点个数随着直线条数的变化得出规律，进而得出答案． 【详解】根据题意可知在同一平面内， 2条直线相交最多有1个交点， 3条直线相交最多有个交点， 4条直线相交最多有个交点， 10条直线相交最多有个交点． 故选：C． 变式2．在同一平面内，以下结论正确的是（   ） ①7条直线最多有21个交点； ②7条两两不平行的直线，其中任2条直线的所有交角中，至少有一个角小于； ③存在7条直线（任意3条都不共点），其中每条直线都恰与另3条直线相交． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】本题主要考查了图形变化类，在相交线的基础上，通过观察、实验和猜想、归纳得出结论．． 【详解】解：①∵7条直线两两相交：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点，而，，， ∴七条直线相交最多有交点的个数是：．故结论①正确； ②假设所有的角都大于等于26°， 假设7条线相交于同一点P，则以点P为中心形成14个角．如果所有的角都， 则其和，与圆心角矛盾． 假设7条线不相交于同一点．则可通过平移，使7条线相交于同一点，角的度数不变，可知与定理矛盾． 综上可知假设不成立，因此至少有一个角小于．故结论②正确； ③在平面上不能画出没有三线共点的七条直线，使得其中每条直线都恰与另外三条直线相交． 理由如下：假设平面上可以画出没有三线共点的七条直线， 其中每一条直线都恰与另外三条相交，两直线相交只有一个交点， ∵每条直线上恰有另三条直线交得的三个不同的交点， ∴七条直线共个交点， ∵每个交点分属于两条直线，重复计数一次， ∴这七条直线交点实际数为个，这与交点个数为整数矛盾．所以满足题设条件的七条直线是不存在的．故结论③不正确； 故选：A． 变式3．如图，条直线相交，最多个交点；条直线相交最多有个交点；条直线相交最多有个交点，那么条直线相交最多有 个交点． 【分析】此题考查了图形规律，直线与直线交点问题，根据图形找出规律即可，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：条直线相交，最多有个交点， 条直线相交，最多有个交点，即， 条直线相交，最多有个交点，即， 条直线相交，最多有个交点，即， ， 条直线相交，最多有（个）交点， 故答案为：． 题型4. 两点之间的距离 例1．A，B，C在同一条直线上，线段，，则A，C两点间的距离是（   ） A． B． C．或 D．或 【分析】本题考查两点间的距离，分析两种情况求解：点C可能在线段上，也可能在线段的延长线上，进而即可求解． 【详解】解：根据题意点C可能在线段上也可能在线段的延长线上． 若点C在线段上， 则 若点C在线段的延长线上， 则， 综上分析可知：A，C两点间的距离是或． 故选：C． 例2．如图，已知点C在线段的延长线上，点P、Q分别在线段上，且满足，．则线段的长（   ） A．与线段、线段的长度都有关 B．仅与线段的长度有关 C．仅与线段的长度有关 D．与线段、线段的长度无关 【分析】本题考查两点间的距离，解题的关键是掌握相关知识的灵活推理．通过已知的线段比例关系，将用、、等线段表示出来，再进行化简，看其最终与哪些线段长度有关． 【详解】解： 将和用表示， 因为，且， 把代入中， 可得， 那么 ，． 将和用表示由于，且， 把代入中， 可得， 所以 ，． 计算的长度表达式根据线段关系，将 ，代入可得：， 又因为（线段由线段和线段组成）， 所以． 故选：B． 变式1．平面上有A，B，C三点，已知，则的长是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【分析】此题考查两点之间的距离，两点之间线段最短．根据三点在一条直线上时得到最大值和最小值，再由两点之间线段最短可进一步得出答案选择即可． 【详解】解：三点在一条直线上时， 或； 三点不在一条直线上时，根据两点之间线段最短可知，在2和10之间， 综合以上可知只有答案D符合要求． 故选：D． 变式2．下列说法正确的是（    ） ①两点之间的距离是线段； ②两点之间的距离是线段的长度； ③两点之间的距离是线段的长度 A．② B．③ C．②③ D．①②③ 【分析】本题主要考查两点间的距离，解题的关键是熟记概念连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．根据题意利用连接两点间的线段的长度叫两点间的距离进行分析判定即可． 【详解】解：①两点之间的距离是线段的长度，故原说法错误， ②两点之间的距离是线段的长度，故原说法错误， ③两点之间的距离是线段的长度，说法正确， 故正确的是③， 故选：B． 题型5. 作图题 例1．（1）如图，已知平面内有，，，四点，根据下列语句，画出图形． ①作直线； ②作射线，，交于点； ③作线段，在线段上找一个点，使它到点、点的距离之和最短； （2）（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）已知线段，，，画一条线段，使． 【分析】本题主要考查了画直线、射线、线段，两点之间线段最短以及有关线段的基本作图，掌握直线、射线、线段的定义是解题关键． （1）①根据直线的特点画图即可； ②根据射线的特点画图即可； ③根据两点之间，线段最短，连接，交于点即可． （2）以点为端点先画一条射线，截取线段等于，在这条线段上截去，再在剩余线段的延长线段上加上，线段即为所求． 【详解】（1）解：如图所示： ①直线为所求； ②射线、，点为所求； ③点为所求． （2）解：如图所示： 线段为所求． 变式1．已知线段、、，画一条线段，使（请写出作法） 【分析】本题主要考查画与已知线段相等的线段，关键是根据题意得到所画线段跟已知线段的关系． 先作射线，再在射线上依次截取，，再截取，则线段即为所作． 【详解】解：如图：先作射线，再在射线上依次截取，，再截取，则线段即为所作． 变式2．如图，有A、B、C、D四个点．使用直尺、圆规按下列要求画出图形（不写作法，保留作图痕迹）． (1)画线段，射线，直线； (2)连接，与直线交于点E； (3)在线段上，截取． 【分析】本题主要考查了画直线、射线、线段，截取线段等于已知线段． （1）依据直线、射线、线段的定义，画出图形即可． （2）依据题意，连接画图即可． （3）依据题意，在线段上截取即可． 【详解】（1）解：如图所示，线段，射线，直线即为所作； （2）如图所示，连接，与直线交于点E即为所作； （3）如图所示，线段即为所作． 变式3．如图，已知线段a，b，点B在射线上． (1)用直尺和圆规在射线上作出线段，使．（保留作图痕迹，不写作法） (2)若F是（1）中线段的中点，，，，则点F是线段的三等分点吗？请说明理由． 【分析】（1）在射线上截取线段，使得即可； （2）证明可得结论． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）解：点是的三等分点．理由如下： ∵， ∵点是的中点， ， ∴点是线段的三等分点． 题型6. 线段的运算 例1．如图，点B、C在线段上，若，，且，求的长度． 【分析】本题考查了线段的和差，一元一次方程，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键；设长为，表示出，，利用建立等式求解即可． 【详解】解：设长为． ， ； 又， ； ∵，， ， 解得：； 长为． 变式1．如图，已知线段，延长至，使得． (1)求的长； (2)若是的中点，是的中点，求的长． 【分析】本题考查的是线段的和差运算，线段的中点的含义； （1）先求解，再结合线段的和差可得答案； （2）由中点的含义可得，，再进一步求解即可； 【详解】（1）解：∵线段，， ∴， ∴； （2）解：∵是的中点， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴． 变式2．已知线段，点C是线段上任意一点（不与点A，B重合），点M、N在线段上，，，求的长． 【分析】本题考查线段的和与差，根据线段之间的数量关系以及和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵，， ∴； ∴． 变式3．如图，点是线段延长线上的一点，且、将线段分成三部分，其中； (1)若，求的长． (2)若，求的长． 【分析】本题考查了线段和差，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设为，则为，为，由，求出，则，然后由即可求解； （）设为，则为，为，先求出，则，同（）理求出，则，最后由线段和差即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，设为，则为，为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：根据题意，设为，则为，为， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即长为． 题型7. 线段中点的有关计算 例1．如图，在同一平面内有射线和点B，C． (1)用尺规按下列要求作图（保留作图痕迹，不用写作法）： ①连接，在射线上截取； ②连接，作射线，在射线上截取． (2)在（1）的基础上，若点F是的中点，，求线段的长． 【分析】本题考查了作图－作一条线段等于已知线段，画射线，以及线段中点的计算，解决本题的关键是根据语句准确画图． （1）①根据题意作图即可； ②根据题意作图即可； （2）先求出，再根据中点定义求出，然后根据计算即可． 【详解】（1）①如图所示， ②如图所示， （2）∵， ∴． ∵F是的中点， ∴． ∴． 例2．追本溯源：题（1）来自课本中的尝试·思考，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）在直线上顺次取三点，使得，．如果是线段的中点，那么线段和的长度分别是多少？ 方法应用 （2）①已知是线段上一点，，，是的中点，则___ ___； ②如图，是线段上一点，是的中点，是的中点，，求的长． 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差． （1）根据线段的和差得出，再求出，即可得解； （2）①先求出线段的长，再根据线段中点计算即可得解； ②由线段的中点可得，再由线段的和差计算即可得解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴； （2）①∵，， ∴， ∵是的中点， ∴； 故答案为：2； ②∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 例3．如图，已知线段，点在线段上，，是的中点． (1)求线段的长度； (2)若在线段上有一点，满足，求线段的长度． 【分析】本题考查了两点间的距离，正确计算是解题的关键． （1）根据线段中点的定义求出的长，即可求出的长； （2）根据计算即可． 【详解】（1）解：∵M是的中点，， ∴， ∴； （2）解：如图： ∵，， ∴． 变式1．如图，数轴上点A，B分别表示数a，b．其中，．    (1)当，时．线段的中点表示的数是________________； (2)若数轴上另有一点M表示数3． ①若点M在线段上，且，求式子的值； ②点P为线段上一动点，点Q为线段上一动点，当时，线段的最大长度为5．求a的值． 【分析】（1）利用数轴知识和线段中点的定义计算即可； （2）①点表示数3，点在线段上，且，得出，再计算代数式的值即可； ②根据，得出，说明点B在点M的左侧或在点M处时，的最小值为6，不符合题意，说明点B必须在点M的右侧，然后分两种情况求出a的值即可． 【详解】（1）解：∵，， 线段的长度为 ∴线段的中点C表示的数； 故答案为：2． （2）①∵点表示数3，点在线段上，且， ∴， 整理得：， ∴； ②∵， ∴， 当点B在点M的左侧或在点M处时，，当点P在点A处，点Q在点M处时，最大， ∵， ∴此时的最大值大于5， ∵的最大值为5， ∴点B不可能在点M的左侧或M处； 当点B在点M的右侧，点P在点A处，点Q在点M处时，最大，则此时， 解得：； 当点B在点M的右侧，点P在点B处，点Q在点O处时，最大，则此时， 解得：， ∴， ∴， 综上分析可知：或． 变式2．如图，已知线段，，点M是的中点． (1)求线段的长； (2)在线段上取一点N，使得，求线段的长． 【分析】本题主要考查线段的和差，熟练掌握中点的定义是解题的关键． （1）根据题意得到，即可得到答案； （2）由题意求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ， 点M是的中点， ； （2）解：如图： ， ， ． 变式3．如图，已知点C是线段的中点，点D是线段上一点，若，    (1)求线段的长； (2)若点E是直线上一点，且，点F是的中点，求线段的长． 【分析】本题考查了线段的和差，两点间的距离，掌握线段的和差计算，两点间的距离是解题的关键． （1）根据题意，由点C是线段的中点，，可得，再结合，由计算即可； （2）分两种情况画图：①当点E在点B的右侧时；②当点E在点B的左侧时，由线段的和差计算即可． 【详解】（1）解：点C是线段的中点，， ， ， ； （2）①如图，当点E在点B的右侧时，    ，， 点F是线段的中点， ， ②如图，当点E在点B的左侧时，    ，， 点F是线段的中点， ， 综上所述，线段CF的长为6或 变式4．已知线段，是线段上任意一点（不与点，重合）． (1)若，，求的长； (2)在（1）的条件下，若且点在直线上，，求的长度． 【分析】本题考查了线段的n等分点有关的计算，线段的和差，理解线段n等分点的定义是解答本题的关键． （1）由，可得，，然后根据求解即可； （2）先求出线段的长，然后分点G在线段上和点G在线段的延长线上两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， 当点在线段上时，， 当点在线段的延长线上时，． 综上可知，的长度为或． 题型8. 线段n等分点的有关计算 例1．如图，线段，点是线段的中点，点是线段的中点．      (1)求线段的长； (2)若在线段上有一点E，，求的长． 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，线段的和差关系． （1）由线段中点的有关计算得出，，再根据线段的和差关系即可得出． （2）根据已知条件可得出，再根据线段的和差关系即可得出． 【详解】（1）解：∵线段，点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴． 例2．如图，点C为线段AB的中点，． (1)求BC的长； (2)在射线AB上有一点M，，求线段CM的长． 【分析】本题考查线段和差、线段中点的知识，掌握线段中点的有关计算是解题关键； （1）根据线段中点的性质计算即可； （2）分点M在点B的左侧和右侧两种情况，再根据线段和差性质计算，即可得到答案． 【详解】（1）∵C是AB的中点，， ∴； （2）∵， ∴ 当点M在点B的左侧时， ∵， ∴； 当点M在点B的右侧时， ∵， ∴． 综上所述，CM长为3或7． 变式1．已知线段，，点，的位置如图所示． (1)作射线，请用圆规在射线上依次截取，；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作图形中，若，为的中点，在图形中标出点，的位置，再求出当，时，线段的长． 【分析】（1）按照要求作出射线，线段、即可； （2）由已知条件可得，，由线段等分点的定义可得，由为的中点可得，由线段的和差关系可得，然后根据即可求出线段的长． 【详解】（1）解：如图，射线，线段、即为所求作； （2）解：在图形中标出点，的位置如图所示， ，， ，， ， 为的中点， ， ， ． 变式2．如图，已知点，是线段上两点，，是线段的中点，点是线段的三等分点． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【分析】本题考查选段的和差运算，线段中点的定义，熟练掌握数形结合思想是解题的关键； (1)根据线段的比，可设，则，，由求出的值即可； (2)根据线段的比，可设，则，，再根据线段中点的定义得出，由列方程求出的值，再根据进行计算即可. 本题考查两点间的距离， 【详解】（1）解：由于，可设，则，， ∴， ∴， ，，， 是线段的中点， ， ； （2）由于，可设，则，， 是线段的中点， ， ， ，即， 解得， ． 变式3．如图，已知线段，M、N为线段的三等分点． (1)写出图中所有线段； (2)求这些线段长度的和． 【分析】本题主要考查了线段的定义、线段的三等分点等知识点，根据三等分点确定各线段的长度成为解题的关键． （1）根据线段的定义确定各线段即可； （2）根据线段的三等分点可得，， ，然后求出各线段的和即可． 【详解】（1）解：图中的线段有：线段，线段，线段，线段，线段，线段． （2）解：∵线段，M、N为线段的三等分点， ∴， ， ， ∴这些线段长度的和是． 题型9. 最短路径问题 例1．如图是石家庄南绕城高速太行特长隧道．高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直以缩短路程．其数学原理是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段的长度，叫作两点之间的距离 D．平面内经过一点有无数条直线 【分析】本题考查了两点之间，线段最短，根据题意把道路取直以缩短路程，是根据两点之间，线段最短，即可求解． 【详解】解：依题意，把道路取直以缩短路程．其数学原理是两点之间，线段最短， 故选：A． 例2．如图，这是嘉嘉绘制的从地到地的路线图，这两地之间的最短距离为，从上到下分别为路线，，，，其中某条路线所标的数据错误，则数据错误的是（   ） A．路线 B．路线 C．路线 D．路线 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，这两地之间的最短距离为，其他线路都应大于，但是线路的长度为，所以线路所标的数据错误． 【详解】解：这两地之间的最短距离为， 其他线路都应大于， 线路的长度为， 故线路所标的数据错误．故选：B ． 变式1．下列生活中的做法与其运用的数学原理对应正确的是（   ） （1）如图①，工人师傅在砌墙时，先在两端各固定一点，中间拉紧一条细线，然后沿着细线砌墙就能砌直（两点确定一条直线） （2）如图②，把弯曲的公路改直，就能缩短路程（两点之间线段最短） A．①对②错 B．①错②对 C．①②都对 D．①②都错 【分析】本题主要考查了直线的性质，线段公理等知识；将实际问题数学化是解决问题的关键可根据公理“两点确定一条直线”；线段的性质即可判断，即可求解． 【详解】解：工人师傅在砌墙时，先在两端各固定一点，中间拉紧一条细线，然后沿着细线砌墙就能砌直（两点确定一条直线），符合题意； 把弯曲的公路改直，就能缩短路程（垂线段最短），做法与其运用的数学原理是两点之间线段最短，符合题意； 故选：C． 变式2．如图，只沿图中的网格线走，从至的最短路线有（   ）条． A．8 B．9 C．10 【分析】本题考查了最短线路的知识，根据题意找出问题的切入点是解题关键．由题意可知，只沿图中的网格线走，从至的最短路线只能向右走和向下走，不能回头或绕路，据此分析即可． 【详解】解：只沿图中的网格线走，从至的最短路线只能向右走和向下走，不能回头或绕路， 从点向右走3格，最短路线有1条； 从点向右走2格，最短路线有2条； 从点向右走1格，最短路线有3条； 从点向下走1格，最短路线有3条； 从点向下走2格，最短路线有1条； ， 即从至的最短路线有10条， 故选：C． 变式3．如图，小明从处出发沿街道行走，先到处与小红会合，再一起到位于处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（    ）条．      A．18 B．16 C．12 D．9 【分析】根据图形，找到从到的最短路径（两长两短），再找到从到的最短路径（两长一短），综合起来即可得到答案． 【详解】解：如图所示：    从到的最短路径有（两长两短）：，共计6条； 从到的最短路径有（两长一短）：，共计3条； 小明到老年公寓可以选择的最短路径条数， 故选：A． 题型10. 与线段有关的动点问题 例1．如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】本题考查的是直线与线段的相关内容，正确理解题意、利用转化的思想去思考线段的总条数是解决问题的关键，可以减少不必要的分类．点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点．而图中共有线段6条，所以出现报警次数最多6次． 【详解】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报， ∵图中共有线段、、、、、， ∴发出警报的点P最多有6个． 故选：D． 例2．如图1，已知线段，点M是线段上一点，点C在线段上，点D在线段上，C、D两点分别从M、B出发以的速度沿直线运动，运动方向如箭头所示，其中a、b满足条件：． (1)直接写出：____________，_____________； (2)若，当点C、D运动了，求的值； (3)如图2，若，点N是直线上一点，且，求与的数量关系． 【分析】（1）根据绝对值的非负性得出a-1=0，b-3=0，求解即可； （2）当C、D运动时，，，结合图形求解即可； （3）分两种情况：当点N在线段上时；当点N在线段的延长线上时；利用线段间的数量关系求解即可． 【详解】（1）解：∵|a−1|+|b−3|=0 ∴a-1=0，b-3=0， ∴a=1，b=3， 故答案为：1；3； （2）当C、D运动时，，， ∴． （3）当点N在线段上时， ∵， 又∵， ∴， ∴． 当点N在线段的延长线上时， ∵， 又∵， ∴． 综上所述，或． 变式1．如图，线段的长为，点为上一动点（不与，重合），为中点，为中点，随着点的运动，线段的长度（   ） A．随之变化 B．不改变，且为 C．不改变，且为 D．不改变，且为 【分析】把DE的长度转化为DC与CE的长度之和，转化为AB的长度即可求解． 【详解】∵为中点，为中点， ∴DC= AC，CE= BC ∴DE=DC+CE =AC+BC =AB =m 故选：D． 变式2．如图，是线段上一点，，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设运动时间为． (1)当时，若，的长为______； (2)当时，若，试说明点为的中点； (3)若点，运动到任一时刻，总有，请求出的长． 【分析】本题考查了线段上的动点问题，一元一次方程的应用． （1）根据题意得出，，推得，根据，，即可求出的长，即可求解； （2）由（1）可得，根据，，求出，，即可得出点为的中点； （3）由（1）可得，即，根据题意可得，推得，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设且运动时间为， ∴，， 故， 即， 当时，， 即， 若， 则， 可得出， 则． 故答案为：． （2）解：由（1）可得， 当时，， 即， 若， 则， 可得出， 则， 即， 故点为的中点． （3）解：由（1）可得， 即， 若点，运动到任一时刻，总有， 即， 整理得， ∴， 故的长为． 课后作业 一、单选题 1．（23-24七年级上·山东临沂·期末）平面上有三个点A，B，C，如果，则（   ） A．点C在线段上 B．点C在线段的延长线上 C．点C在线段的延长线上 D．不能确定 【分析】本题考查了直线、射线、线段，根据A，B，C之间的距离画出图形，即可确定位置关系． 【详解】解：，，， ， 如图，点在线段的延长线上， 故选：C． 2．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，C是线段的中点，D为线段上一点，下列等式（1）；（2）；（3），（4）．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查了线段的和差，熟练掌握线段的和差关系是解题的关键． 根据线段的和差关系逐句判断即可． 【详解】解：∵是线段的中点， ， （1），故（1）正确； （2）不能证明，故（2）错误； （3），故（3）正确； （4），故（4）正确， ∴正确的有 3 个．故选：C． 3．（2025·河北廊坊·一模）如图，为下列某条直线上的一点，利用直尺判断，该直线为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【分析】该题考查了直线的定义，根据图象解答即可． 【详解】解：根据图象可得，该直线为直线， 故选：C． 4．（24-25六年级上·陕西咸阳·期末）如图，四辆车在同一车道内行驶，（   ）号车因前车遮挡，司机看不见标有“石家村”的牌子． A．① B．② C．③ D．④ 【分析】本题主要考查观察的范围，影响观察范围的主要因素有：观察点的高低，观察点的远近，障碍物的移动． 根据题意，连接石家村牌子的最高处与各个车辆的驾驶室，因为前车遮挡，③号车的司机看不到牌子，据此解答． 【详解】解：由分析可知： 四辆车在同一车道内行驶，③号车因前车遮挡，司机看不见标有“石家村”的牌子． 故选：C ． 5．（24-25七年级上·山东济宁·期末）在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图．已知线段，某同学按照下面步骤进行了规范、正确的尺规作图： 第一步，在直线上作线段；第二步，在线段的延长线上作线段； 第三步，在线段的延长线上作线段；第四步，在线段上作线段． 根据以上尺规作图可知，线段的长是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查尺规作图的定义，熟练掌握线段之间的和差是解题的关键．利用线段和差定义判断即可． 【详解】解：由图可知：， ， ， 故选C． 6．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，点、、、在同一条直线上，，，，现在点，点同时分别按图示方向运动，点以每秒速度向左移动，点以每秒速度向右移动．问（   ）秒时，点是线段的中点． A． B． C．1 D． 【分析】此题考查了线段的中点和一元一次方程应用，设秒时，点是线段的中点，此时，,根据中点的定义列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设秒时，点是线段的中点，此时，,根据题意可得， 解得， 即秒时，点是线段的中点，故选：D 7．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，下列说法正确的是（   ） A．图中有直线1条，射线3条，线段2条 B．射线还可以表示为射线 C．点在直线外，直线经过点 D．图中线段，则点是线段的中点 【分析】本题主要考查了直线、射线，线段的定义，根据直线、射线，线段的定义进行逐一判断即可，熟知相关定义是解题的关键． 【详解】解：A、图中有直线共1条，射线共4条，线段共3条，故A错误，不符题意； B、射线还不可以表示为射线，故B错误，不符题意； C、点在直线外，直线经过点，故C正确，符合题意； D、图中线段，则点不一定是线段的中点，故D错误，不符合题意， 故选：C． 8．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）如图，有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一枚钉子，（钉子大小忽略不计，，抽象成两个点），若将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条上钉子之间的距离是（   ） A． B． C． D．或 【分析】题目主要考查线段两点间的距离，中点的性质，分类讨论，掌握数形结合的思想是解题关键． 根据题意，分两种情况讨论：当，（或，）重合，且剩余两端点在重合点同侧时；当，或，重合，且剩余两端点在重合点两侧时；作出相应图形，结合图形求解即可． 【详解】解：①当，（或，）重合，且剩余两端点在重合点同侧时， 由图可知，； ②当，或，重合，且剩余两端点在重合点两侧时， ； 两根木条的小圆孔之间的距离是或． 故选：D 9．（24-25七年级上·山西晋中·阶段练习）媛媛一家准备周末从地前往地游玩，导航提供了三条可选路线（如图），其长度分别为，而两地的直线距离为，解释这一现象的数学知识最合理的是（   ） A．两点确定一条直线 B．点动成线 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，两点之间线段最短，根据即可得出两点之间线段最短． 【详解】解：∵ ∴解释这一现象的数学知识最合理的是两点之间线段最短， 故选：C． 10．（24-25七年级下·陕西西安·开学考试）如图，、为线段上的两点（点在点左侧），，，是的中点，则的长为（   ） A．8 B．7 C．6 D．9 【分析】本题考查线段的和差、线段的中点等知识，由是的中点，解得，再由线段的和差将整理成，将整理成，最后由整体思想解题即可． 【详解】解：是的中点， ，， ，， ， 故选：A． 二、填空题 11．（24-25七年级上·河南平顶山·期末）墨斗是中国传统木工行业画直线的常用工具．如图，木工师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线，木工师傅这样做的道理是： ． 【分析】本题考查了直线的性质，熟练掌握直线的性质是解题的关键．根据直线的性质，即可解答． 【详解】解：墨斗是中国传统木工行业画直线的常用工具．如图，木工师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线．木工师傅这样做的道理是：两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）写出“距离”的定义： ． 【分析】本题考查对数学名词的概念，解题的关键是熟记其定义．结合所学的数学知识，写出“距离”概念即可． 【详解】解：两点之间线段的长度叫作两点之间的距离， 故答案为：两点之间线段的长度叫作两点之间的距离． 13．（24-25六年级下·山东东营·期中）高铁京沪二线途径东营市，预计2026年能通车，届时将大大方便人们的出行．列车往返于北京，上海两个城市，中途经过13个站点（共15个站点），不同的车站来往需要不同的车票，则这条路线共有 种不同的车票． 【分析】本题考查了线段的数法应用，在线段的计数时，应注重分类讨论的方法计数，做到不遗漏，不重复，注意：每条线段有两种车票．n个车站每两站之间车票有两种，则n个车站的票的种类数种，据此即可解答． 【详解】解：n个车站每两站之间车票有两种，则n个车站的票的种类数种， 当时，（种）． 故答案为：． 14．（24-25七年级上·广东韶关·期末）如图所示，两条直线两两相交有1个交点，三条直线两两相交最多有3个交点，八条直线两两相交最多有 个交点． 【分析】本题主要考查了相交线，掌握此题着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法． 根据题意，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有个交点，而，故可猜想，n条直线相交，最多有个交点．据此即可求解答案． 【详解】解：∵3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点， 而， ∴可猜想，n条直线相交，最多有个交点， ∴八条直线两两相交最多有（个）交点， 故答案为：． 15．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，有公共端点P的两条线段组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．若已知点D是折线的“折中点”，E为线段的中点，，，则线段的长为 ． 【分析】本题考查两点间的距离，根据“折中点”的定义，分两种情况分别画出图形，由图形中线段的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如图1，∵点E为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点D是折线的“折中点”， ∴， ∴； 如图2，∵点E为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点D是折线的“折中点”， ∴， ∴； 综上所述，或． 故答案为：6或14． 16．（24-25七年级上·河北廊坊·期末）如图，点，，，，，在一条直线上，若，的中点与的中点的距离是，则 ． 【分析】本题主要考查两点间的距离，线段中点的定义，熟练掌握线段的和差关系是解题的关键．设，根据中点的定义得到，求出的值即可得到答案． 【详解】解：设， 是的中点， ， 是的中点， ， ， ， ， ． 故答案为：． 17．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）数轴上有，两点（在的左侧）到原点的距离相等，点在线段上，点在直线上．已知，，若，则点表示的数是 ． 【分析】本题主要考查数轴上两点直接的距离和线段之间的倍数关系，设A和B表示的数分别为和a，结合已知得，，及，则点C表示的数为，进一步得，分两种情况：若点D在直线的延长线时，有，解得，结合点B即可求得点D；若点D在线段上时，有同理可求得点表示的数． 【详解】解：设A和B表示的数分别为和a， ∵， ∴，， ∴， 则点C表示的数为， ∵， ∴， 若点D在直线的延长线时， ∵， ∴，解得， 则， ∵点B为， ∴点D表示的数为， 若点D在线段上时， ∵， ∴，解得， 则， ∵点B为6， ∴点D表示的数为， 则点表示的数是或4． 故答案为：或4． 18．（24-25七年级上·四川眉山·期末）如图，两点将线段分成了的三个部分，点是线段的中点，，则线段的长为 ． 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的和差，线段中点，根据题意求出与的数量关系是解题的关键． 根据题意得出，，计算即可得到答案． 【详解】解：两点将线段分成了的三个部分， ， 点是线段的中点， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 三、解答题 19．（24-25七年级下·广东梅州·开学考试）按下列要求完成回图和计算： (1)已知线段a和b，求作线段，使（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)已知线段，点C为上的一个动点，点D、E分别是和的中点． 若：①点C恰好是中点，则___________， ②，求的长． 【分析】本题主要考查了线段的尺规作图，线段的和差计算，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据线段的尺规作图方法作图即可； （2）①由线段中点的定义得到的长，进而得到的长即可得到答案；②先求出的长，再由线段中点的定义得到的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解；①∵，点C恰好是中点， ∴， ∵点D、E分别是和的中点， ∴， ∴； ②∵，， ∴， 点D、E分别是和的中点， ∴， ∴． 20．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，已知线段，． (1)尺规作图：作线段，，使得，，且A，B，C三点在同一条直线上（请画出所有符合要求的图形，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，D为的中点，求线段的长． 【分析】本题考查作图-复杂作图，两点间距离等知识． （1）根据题意分两种情形作出图形即可； （2）分两种情形分别求出，再利用线段和差定义求解． 【详解】（1）解：图形如图1，2所示； （2）解：如图1中，∵是的中点， ∴， ∵， ∴； 如图2中，∵是的中点， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的长为5或1． 21．（24-25七年级上·广东潮州·期末）如图，已知线段，点C与点D在线段上，若点D为线段的中点，，，求线段的长度． 【分析】本题考查了线段的和差，两点间的距离，掌握线段的和差计算，两点间的距离是解题的关键．根据已知，即可求出，进而得出的长，再根据点D为线段的中点，由中点定义可得出的长，最后由即可得出答案． 【详解】解：，， ， ， 点D为线段AB的中点， ， ． 22．（24-25六年级下·山东烟台·期中）观察图形，并回答下列问题： 【观察思考】（1）图中共有______条线段； 【模型构建】（2）若线段上标记了n个点（包括端点），则该线段中共有______条线段； 【拓展应用】（3）请你用上述模型构建来解决以下问题： ①某班50个同学聚会，若每个同学都与其他同学握一次手，总共握手多少次？ ②某班50个同学聚会，若每个同学都送给其他同学一张名片，总共送出名片多少张？ 【分析】本题考查了线段数量问题及其应用，有条理思考问题是解题的关键． （1）根据线段的定义求解即可； （2）画图根据线段的定义求解出线段条数的规律即可； （3）①根据上面总结的规律求解即可； ②根据上面总结的规律求解即可． 【详解】解：（1）以A为端点的线段有四条； 以B为端点的且与前面不重复的线段有三条； 以C为端点的且与前面不重复的线段有两条； 以D为端点的且与前面不重复的线段有一条． 图中共有（条）线段． 故答案为：10． （2）如图， 线段上有3个点（包括A，B两点）则线段数为：； 线段上有4个点（包括A，B两点）则线段数为：； 线段上有5个点（包括A，B两点）则线段数为：； 线上有6个点（包括A，B两点）则线段数为：； 线段上有7个点（包括A，B两点）则线段数为：； …… 线段上有n个点（包括A，B两点）则线段数为： ， 故答案为：； （3）①类比数线段的方法可知：（次） 答：共握了1275次手； ②∵送名片是相互的，类比数线段的方法可知：（张）． 答：共送了2550张． 23．（24-25六年级下·山东淄博·期中）如图，在直线上任取1个点，2个点，3个点，4个点， (1)填写下表： 点的个数 所得线段的条数 所得射线的条数 1 2 3 4 (2)在直线上取个点，可以得到几条线段，几条射线？ 【分析】本题考查了线段、射线的定义，线段、射线的条数问题，根据图形找到规律是解题的关键； （1）根据线段、射线的定义结合图形分析，即可求解； （2）根据规律得出个点时，线段和射线的条数，即可求解． 【详解】（1）解：填表 点的个数 所得线段的条数 所得射线的条数 （2）解：一个点时没有线段，2条射线， 两个点时是1条线段，4条射线， 三个点时，有3条线段，有射线6条， 当四个点时，有6条线段，8条射线． …… 当个点时，有条线段，条射线． 24．（23-24七年级上·全国·课后作业）观察下列图形，阅读下面相关文字并填空： （1）在同一平面内，两条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有______个交点，4条直线相交最多有______个交点，……，像这样，8条直线相交最多有______个交点，n条直线相交最多有______个交点； （2）在同一平面内，1条直线把平面分成2部分，两条直线最多把平面分成4部分，3条直线最多把平面分成______部分，4条直线最多把平面分成______部分，……，像这样，8条直线最多把平面分成______部分，n条直线最多把平面分成______部分． 【分析】（1）根据图形求出两条直线相交、三条直线相交、四条直线相交时最多交点个数，总结出规律即可得出n条直线相交最多有交点的个数； （2）根据图形求出两条直线相交、三条直线相交、四条直线相交时最多把平面分成几部分，总结出规律即可n条直线最多把平面分成几部分． 【详解】解：（1）2条直线相交有1个交点； 3条直线相交最多有1+2=3个交点； 4条直线相交最多有1+2+3=6个交点； 5条直线相交最多有1+2+3+4=10个交点； 6条直线相交最多有1+2+3+4+5=15个交点； 7条直线相交，最多有1+2+3+4+5+6=21个交点， 8条直线相交，最多有1+2+3+4+5+6+7=28个交点， … n条直线相交最多有个交点； （2）1条直线最多把平面分成1+1=2部分； 2条直线最多把平面分成1+1+2=4部分； 3条直线最多把平面分成1+1+2+3=7部分； 4条直线最多把平面分成1+1+2+3+4=11部分； 5条直线最多把平面分成1+1+2+3+4+5=16部分； 6条直线最多把平面分成1+1+2+3+4+5+6=22部分； 7条直线最多把平面分成1+1+2+3+4+5+6+7=29部分； 8条直线最多把平面分成1+1+2+3+4+5+6+7+8=37部分； … n条直线最多把平面分成 25．（24-25六年级下·山东泰安·期中）【问题提出】 （1）如图1，数轴上点表示的数为，点表示的数为，已知与是同类项，点是线段的中点． ①_______，_______，点表示的数是_______； ②若点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时，点从点出发，以每秒7个单位长度的速度也沿数轴向左运动，几秒后，点追上点？ 【拓展运用】 （2）一天早上，小明看到家里闹钟钟面显示3点整（如图2，时针指向3，分针指向12），经过多少分钟后，该闹钟的分针与时针所成的角首次变成． 【分析】本题考查了数轴的意义，同类项，解一元一次方程，线段中点定义等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （1）①由与是同类项，可得，知，点为线段的中点，即可得； ②设，运动秒，则表示的数为，表示的数为，点Q追上点P时，，解方程即可； （2）设经过分钟后，该闹钟的分针与时针所成的角首次变成，1分钟时针旋转，分针旋转，3点整时，时针分针夹角为，得，解方程即可得出结果． 【详解】（1）①∵与是同类项， ∴ 解得， ∵点为线段的中点，所表示的数为， 故答案为：，12，2； ②设，运动秒，则表示的数为，表示的数为， 点Q追上点P时，， 解得：， ∴经过10秒后，点Q追上点P； （2）设经过分钟后，该闹钟的分针与时针所成的角首次变成， 1分钟时针旋转，分针旋转，3点整时，时针分针夹角为， 解得 经过分钟后，该闹钟的分针与时针所成的角首次变成． 26．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，在数轴上的点M表示的数为﹣2，在点M的右侧依次描有点A，B，C，D，N五个点，其中，且m、n满足，点A，C分别是线段的中点． (1)求数轴上点B、D、N所表示的数； (2)求线段的长． 【分析】本题考查了数轴，非负数，解题的关键是掌握数轴知识和非负数的性质． （1）利用数轴知识和非负数的性质解答 （2）利用数轴和有理数的运算法则解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∴， ∵点M表示的数为， ∴， ∴点N表示的数为8，点D表示的数是6， ∴，点B表示的数是0， 答：数轴上点B、D、N所表示的数分别是0，6，8； （2）由（1）得， ∵点A，C分别是线段的中点，点M表示的数为，点B表示的数是0， ∴， ∴点C表示的数为2，点A表示的数是， ∴， 答：线段的长是3． 27．（24-25七年级上·云南曲靖·期末）如图，的边上有一动点，从距离点的点处出发，沿线段，射线运动，点在线段上速度为．在射线上速度为；动点从点出发，沿射线运动，速度为，点、同时出发，设运动时间是． (1)当点在上运动时，为何值，能使？ (2)若点运动到距离点的点处停止，在点停止运动前，点能否追上点？如果能，求出的值；如果不能，请说出理由； (3)若、两点不停止运动，为何值时，它们相距？（若点在线段上，点在射线上，则、两点的距离为：点到点的距离与点到点的距离之和） 【分析】本题考查的是线段的和差运算，一元一次方程的应用； （1）根据题意可得，然后由可得关于t的方程，解方程即得答案； （2）先计算点Q停止运动时用的时间，然后求出点P运动的时间，再比较即得结论； （3）当在线段上，在射线上时，它们相距，根据题意得：当时，，当、均在射线上时，它们相距，根据题意得：当时，，由此构建关于t的方程求解即可． 【详解】（1）解：运动时间是， 当，，， 若，则， 解得：； （2）解：点停止运动时，用的时间为秒， 点在线段上运动的时间为，秒， 点在线段上运动的时间为，秒， 秒 ∵ 点不能追上点； （3）解：当在线段上，在射线上时，它们相距， 根据题意得：当时， ，解得：． 当、均在射线上时，它们相距， 根据题意得：当时 ，解得：或（舍）． 综上所述：或 28．（24-25七年级下·湖南岳阳·开学考试）如图，点为线段上一点，点为的中点，且，． (1)求的长； (2)若点在直线上，且，求的长． 【分析】本题主要考查了线段的中点、线段和差计算等知识，正确理解题意，弄清线段之间的关系是解题关键． （1）先根据中点得出，继而由可得答案； （2）分点E在上和点E在延长线上两种情况∶先求得，再分类讨论即可解答． 【详解】（1）点为的中点，， ， ， ； （2）如图1，当点在线段上时， ，， ； 如图2，当点在延长线上时， ，， ；综上，的长为或． 29．（24-25七年级上·福建福州·期末）已知点C在线段上，，点D、E在直线上，点D在点E的左侧，若，线段在线段上移动， (1)如图1，当E为中点时，求的长； (2)当点C是线段的三等分点时，求的长． 【分析】本题主要考查两点间的距离，解题的关键是需要进行分类讨论求解． （1）根据已知条件得到，，由线段中点的定义得到，求得，由线段的和差得到； （2）当点线段的三等分点时，分两种情况：当点靠近点时，当点靠近点时，由线段的和差即可得到结论． 【详解】（1）解：，， ，， 为中点， ， ， ， ； （2）解：点是线段的三等分点，， 当点靠近点时，， ， ； 当点靠近点时，， ． 30．（24-25七年级上·全国·期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______； (2)小明在求解的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点不与点，重合，小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． 如图，，分别是，的中点，则______； 如图，，分别是，的三等分点，即，，求的长； 若，分别是，的等分点，即，，则______． 【分析】本题考查线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算． 首先根据、分别是、的中点，可得、，从而可得； 由，分别是，的中点，可得，根据可得； 根据、，可知、，所以可得，故从而可得:； 由，，知，，即得，从而可得： 【详解】（1）解：因为，， ， 点、分别是、的中点， ，， ； 故答案为：； （2）因为、分别是、的中点， ，， ， ， ； 故答案为：； ，， ，， ， ， ； ，， ，， ， ， ， 故答案为：． 18 学科网（北京）股份有限公司 $$