【第四章 图形的认识 01讲 立体图形与平面图形】暑假小升初衔接2025-2026学年七年级上册数学（新版湘教版专用）

第四章 图形的认识 01讲 立体图形与平面图形 目录 【知识点1. 几何图形】…………………………………………………………… 1 【知识点2. 展开图】……………………………………………………………… 4 【知识点3. 从不同方向看几何体】……………………………………………… 6 【知识点4. 点、线、面、体】…………………………………………………… 8 【题型1. 几何图形的辨析】……………………………………………………… 10 【题型2. 正方体的展开图】……………………………………………………… 11 【题型3. 其他几何体的展开图】………………………………………………… 13 【题型4. 从不同方向看几何体】………………………………………………… 14 【题型5. 几何图形的面积、体积】……………………………………………… 16 【题型6. 点、线、面、体之间的关系】………………………………………… 20 【题型7. 平面图形的旋转】……………………………………………………… 20 【题型8. 求展开图上两点折叠后的距离】………………………………………… 22 【题型9. 补一个面使图形围成正方体】…………………………………………… 24 【课后作业】………………………………………………………………………… 25 知识清单 1、几何图形 1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形． 2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． 3）平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分都在同一个平面内，这就是平面图形． 巩固基础 1．下面几何体中，是圆柱体的是（   ） A． B． C． D． 2．下列实物图中，能抽象出棱柱的是（   ） A． B． C． D． 3．端午节吃粽子是我国传统节日里的一大亮点．2025年端午节前夜，小红包了一个粽子后发现它每个面均是等边三角形，如图所示，这个粽子可以近似看作（   ） A．长方体 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱锥 4．下列图形是平面图形的是（   ） A． B． C． D． 5．下列标注的图形名称与图形不相符的是（　　） A．三棱锥 B．圆柱 C．四棱柱 D．圆锥 6．下列图形属于圆柱的有（   ） A．2个 B．3个 C．1个 D．5个 7．分别观察下列几何体，其中只有曲面的是 （    ） A． B． C． D． 8．下列几何体中，属于棱柱的是（      ） A．①②③⑥ B．①② C．①③⑥ D．①⑥ 知识清单 2、展开图 1）展开图的定义：有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当展开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。 2）正方体的展开图：11种 ①1 4 1型（6种） ②1 3 2型（3种） ③2 2 2型（1种） ④3 3型（1种） 巩固基础 1．如图，这是一个几何体的平面展开图，这个几何体是（   ） A．三棱柱 B．四棱柱 C．圆柱 D．三棱锥 2．下列图形中，不是长方体展开图的是（   ） A． B． C． D． 3．如图是某几何体的展开图，该几何体是（    ）    A．长方体 B．三棱柱 C．圆锥 D．圆柱 4．下列图形是正方体展开图的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，纸板上有9个小正方形（其中5个有阴影，4个无阴影），从图中4个无阴影的小正方形中选出一个（剩余的剪形一起折成一个正方体的包装盒，不同的选法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 6．伟大的当代大数学家华罗庚曾说过一句话：数学很好玩．爱学习的小华将这几个字写到右侧的方格里（如图所示）．现将这五个方格沿四周实线剪下（注意方格相邻之间不要剪断），后沿实线折叠，则对面没有字的是（   ） A．数 B．学 C．很 D．好 7．如图，正方体的六个面上有三个面有图案，它的展开图可能是（      ） A． B． C． D． 8．已知图2是图1所示的正方体的平面展开图，则在图2中，与棱对应的线段是（    ） A． B． C． D． 知识清单 3、从不同方向看几何体 1）要全面了解一个几何体的形状，需要从三个不同的方向进行观察，分别是从上面看、从左面看、从正面看. 2）会从三个不同方向看一些基本几何体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)以及它们简单组合体得到的平面图形. 3）注意：从正面看可知几何体的长和高；从左面看可知几何体的宽和高；从上面看可知几何体的长和宽. 巩固基础 1．由五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从上面看这个几何体得到的平面图形是（    ）． A． B． C． D． 2．下列几何体中从正面、左面、上面看到的图都是圆的是（   ） A． B． C． D． 3．如图所示，桌上放着一个茶壶，4个同学从各自的方向观察，请指出下边的四幅图中，哪一个是小雯看到的（   ） A． B． C． D． 4．四个物体中，从正面看得到的平面图形是示例图的个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．用5个小立方体摆立体图形，要求从正面看到的形状是，从左面看到的形状是（    ）肯定是不正确的． A． B． C． 6．如图是从上面看到的由12个小立方块所搭成的几何体的形状图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，从左面看该几何体的形状图是（    ） A． B． C． D． 7．如图所示的家用热水瓶，从左面看这个家用热水瓶的形状图为（    ） A． B． C． D． 知识清单 4、点、线、面、体 1）体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体也简称体。 2）面：包围着体的是面。面由平的面和曲的面两种。 3）线：面和面相交的地方行程线。 4）点：线和线相交的地方是点。 点动成线，线动成面，面动成体。 巩固基础 1．翻书时书页在空中运动的痕迹，说明了（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点之间，线段最短 2．节日里向空中升起的烟火，这个过程体现了（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面与面相交形成线 3．老师在黑板上用粉笔写字，用数学知识可解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 4．下面现象中，能说明“线动成面”的是（   ） A．天空划过一道流星 B．时钟的钟摆摆动留下的痕迹 C．抛出一块小石子，石子在空中飞行的路线 D．一枚硬币在桌面上旋转的轨迹 5．几何图形都是由点、线、面、体组成，点动成线，线动成面，面动成体．下列生活现象中，可以反映“面动成体”的是（　　） A．粉笔写字 B．流星划过夜空 C．硬币在桌上旋转 D．汽车雨刷转动 6．朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了点，把雨看成线，说明（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上三个均有 7．数学知识在生活中应用广泛，同学们用过如图这种折扇吧，因为它折起来便于携带，所以深受人们的喜爱、折扇展开的过程运用的数学原理是（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面与面相交的地方是线 直击考点 题型1. 几何图形的辨析 例1．下列立体图形是圆柱的是（　　） A． B． C． D． 例2．下面几何体的名称是 （   ） A．圆柱 B．棱柱 C．球 D．正方体 例3．下列几何体中，是三棱柱的是（   ） A． B． C． D． 变式1．下面几何图形中，表示平面图形的是（   ） A． B． C． D． 变式2．下列几何体中，是圆柱的是（   ） A． B． C． D． 变式3．下列是棱柱的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型2. 正方体的展开图 例1．下列各图中，经过折叠可以得到正方体的是（   ） A． B． C． D． 例2．如图，在的正方形网格中，选择一个空白的小正方形，能与阴影部分组成正方体的展开图的方法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 例3．从如图所示的7个小正方形中剪去一个小正方形，使得剩余的6个小正方形折叠后能围成一个正方体，在下列选项中，不能剪去的小正方形上的字是（    ） A．风 B．光 C．美 D．画 变式1．下列图形中，是正方体表面展开图的是（　　）A．   B．   C．   D．   变式2．如图，小红制作了一个相对面图案均相同的正方体礼盒，则这个礼盒的展开图可能是（   ） A． B． C． D． 变式3．如图，从9个空白正方形中选出一个，与图中阴影部分的四个正方形一起能够折叠成一个无盖正方体盒子，符合条件的空白正方形共有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 题型3. 其他几何体的展开图 例1．如图是某几何体的表面展开图，则该几何体是（   ） A． B． C． D． 例2．把下图所示的纸片沿着虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体是（   ） A．四棱锥 B．四棱柱 C．三棱锥 D．三棱柱 例3．“粽团桃柳，盈门共饮”．又是一年端午时，某厂家推出一种新款粽子礼盒，它的外形是“三棱柱”，其展开图可能是（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，沿图中的虚线将该圆柱的侧面剪开并展平，得到的圆柱的侧面展开图是（   ） A．三角形 B．矩形 C．扇形 D．圆形 变式2．下列图形能围成圆锥的是（   ） A． B． C． D． 变式3．如图是某直棱柱的侧面展开图，则该直棱柱的棱共有（   ） A．6条 B．7条 C．16条 D．15条 题型4. 从不同方向看几何体 例1．在下列几何体中，从正面看到的图形是三角形的是（   ） A．圆锥 B．圆柱 C．球 D．长方体 例2．如图，一个圆柱体切去一部分，则从上面看到的图形是（   ） A． B． C． D． 例3．景德镇瓷器以白瓷闻名，素有“白如玉，明如镜，薄如纸，声如磐”之称，品种齐全，装饰多样．在下列各瓷器图片中，若不考虑瓷器花纹等因素，从正面和左面看到的图形形状都相同的是（　　） A． B． C． D． 变式1．2024年12月11日至15日世界羽联世界巡回赛总决赛在我国浙江省杭州市杭州奥体中心体育馆举行，图①是颁奖现场．图②是领奖台的示意图，则此领奖台从上面看，得到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 变式2．鲁班锁起源于我国古代建筑中的榫卯结构． 图（2）是六根鲁班锁图（1）中的一个构件，从前面看这个构件，可以得到的图形是（    ） A． B． C． D． 变式3．王林周末跟随学校“溯古社”社团到河南博物院参观，他发现一件镇院之宝从正面看和从左面看是一样的．王林看到的镇院之宝是（   ） A． 莲鹤方壶，器物规格：通高117厘米，口长30.5厘米，口宽24.9厘米 B． 汝官窑天蓝釉刻花鹅颈瓶，器物规格：高19.5厘米，口径5.6厘米，底径8.2厘米 C．杜岭方鼎，器物规格：通高87厘米，口长宽61厘米，耳高17厘米 D． 武则天金简，器物规格：长36.2厘米，宽8厘米，厚约0.1厘米 题型5. 几何图形的面积、体积 例1．已知一个直棱柱有9个面，且每条侧棱长为，底面边长均为． (1)这个直棱柱是_________棱柱，有_________个顶点，有_________条棱； (2)求这个直棱柱的所有侧面的面积之和． 例2．如图所示为一个棱柱形状的食品包装盒的展开图． (1)这个食品包装盒的几何体名称是________； (2)根据图中所给数据，求这个食品包装盒的侧面积． 例3．某几何体的展开图如图所示． (1)该几何体是 ；(填名称) (2)求这个几何体的体积． 变式1．如图是一个无盖长方体的展开图． (1)若①②④⑤四个面上分别标有x、、y、5，且相对面上的两个数互为相反数，分别求出x、y的值； (2)若将这个展开图折叠成一个无盖长方体，请根据图中所给数据求出该无盖长方体的表面积．（用含c的式子表示） 变式2．小明在数学活动课中制作了一个长方体包装纸盒（图1），图2是该包装盒平面展开图（粘贴部分忽略不计），相关数据如图2所示，经过测量得出该包装纸盒的长比宽多． (1)设长方体的宽为，则长为______，高为______（都用含的代数式表示）； (2)求长方体包装盒的体积． 变式3．综合与实践 某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为18cm的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）请你动手操作验证并完成任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计） 动手操作一： 根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为ncm的小正方形，再沿虚线折合起来． (1)问题解决： 若，则该长方体纸盒的底面边长为________cm；该长方体纸盒的体积为________； 动手操作二： 根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为ncm的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． (2)拓展延伸：若，该长方体纸盒的表面积为多少？ 题型6. 点、线、面、体之间的关系 例1．电视剧《西游记》中，孙悟空的“金箍棒”（金箍棒看成一条线）飞速旋转，形成一圆面，这说明了（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 例2．像牛毛，像花针，像细丝，形象地说明了（    ） A．两点确定一条直线 B．面动成体 C．线动成面 D．点动成线 例3．跨学科试题·语文朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了________，把雨看成________，说明________，横线上应该填（   ） A．点；面；点动成线 B．点；线；点动成线 C．线；面；线动成面 D．线；面；面动成体 变式1．下列说法不正确的是（   ） A．用一个平面去截一个正方体，截面的形状可能是三角形 B．五棱柱有10个顶点 C．三棱柱有3个面 D．雨滴滴下来形成雨丝，属于“点动成线”的现象 变式2．下列现象能说明“面动成体”的是（   ） A．旋转一扇门，门运动的痕迹 B．扔一块小石子，小石子在空中飞行的路线 C．雨刮器刮去玻璃上的雨水的痕迹 D．时钟的秒针旋转时扫过的痕迹 变式3．神舟十七号载人飞船回舱时拖着“长长的火焰”，我们用数学知识可解释为（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不对 题型7. 平面图形的旋转 例1．如图，将直角三角形绕直角边所在直线旋转一周，得到的几何体是（   ） A．圆柱 B．球 C．四棱柱 D．圆锥 例2．已知是直角三角形．将绕其一条直角边所在的直线旋转一周，得到的立体图形是（　　） A．球 B．圆柱 C．圆台 D．圆锥 例3．陶瓷器具是我国古代劳动人民的重要发明之一，是中国人民勤劳与智慧的结晶．如图所示，将给定的图形绕虚线旋转一周得到的几何体与下列陶瓷花瓶最为类似的是（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，在矩形中，，将该矩形绕直线旋转一周可得到的立体图形是（    ） A． B． C． D． 变式2．如图所示的立体图形，是由下列选项中的图形旋转形成，这个图形是（    ） A． B． C． D． 变式3．如图，下列选项为一组传统竹编工艺品，其中能近似看作由左图旋转一周得到的是（    ） A． B． C． D． 题型8. 求展开图上两点折叠后的距离 例1．如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 例2．如图所示的是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（   ） A．A B．B C．C D．D 变式1．图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从点沿该正方体的棱爬行到点的最短距离为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式2．如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为 ． 变式3．如图①是边长为2的六个小正方形组成的图形，它可以围成如图②所示的正方体，则图①中小正方形的顶点在围成的正方体上的距离是 ． 题型9. 补一个面使图形围成正方体 例1．如图，在的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 例2．下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式1．【正方体的表面积】将一个正方体等分成8个小正方体，任取其中都在顶点处的一个小正方体后，其表面积和原来相比，（   ） A．减少了 B．增大了 C．没有变化 变式2．图1和图2中所有的正方形都相同，将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式3．如图所示，纸板上有10个小正方形（其中5个有阴影，5个无阴影），从图中5个无阴影的小正方形中选出一个，与5个有阴影的小正方形一起折一个正方体的包装盒，不同的选法有（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 课后作业 一、单选题 1．（2025·广东汕头·一模）围成下列几何体的面有平面或曲面，其中面数最多的几何体是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川德阳·中考真题）下列图形中可以作为正方体的展开图的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河南驻马店·三模）年月日，我国成功发射天链二号星．小亮准备制作一个正方体，使其每个表面上分别写有“天”“链”“二”“号”“”“星”．如图是他做的无盖的正方体的展开图，需再补充一个写着“星”的正方形，则该正方形不能补充在（   ） A．①处 B．②处 C．③处 D．④处 4．（2025·北京海淀·三模）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（   ） A．三棱柱 B．四棱柱 C．三棱锥 D．四棱锥 5．（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）如图，一个正方体的六个面上标着连续的整数，若相对面上所标数字之和相等，则这个六个数之和是（   ） A． B． C． D．以上均可能 6．（2025·河南周口·模拟预测）如图是由三个相同的小立方块组成的几何体，该几何体从左面看到的形状图是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，将直角三角形绕直角边所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级下·海南儋州·开学考试）从不同方向看某个立体图形得到的平面图形如图所示，则这个立体图形可能是下面选项中的（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·河南安阳·期末）如图为“国礼青花瓷”，将下列平面图形绕虚线旋转一周，能大致形成这个花瓶形状的是（　） A． B． C． D． 10．（24-25七年级上·重庆·期末）在正方体的六个面上，分别标上“我、的、愉、快、初、一”六个字，如图是正方体的三种不同摆法，则从左到右三种摆法的左侧面上三个字分别是（   ） A．的、初、愉 B．中、的、愉 C．愉、初、一 D．的、初、一 11．（24-25七年级上·山西临汾·阶段练习）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）如图，是由大小相同的小立方体搭成的几何体，从左面看到的形状图是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25六年级上·山东淄博·期中）如图，将若干个相同的小正方体堆成如图所示的立体图形．若每个小正方体的棱长为，则这个立体图形的表面积为（    ） A． B． C． D． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）下面图中实物的近似形状对应的立体图形的名称按从左到右的顺序依次是（   ） A．圆柱、圆锥、正方体、长方体 B．圆柱、球、正方体、长方体 C．棱柱、球、正方体、圆柱 D．棱柱、圆锥、圆柱、长方体 15．（2024七年级上·全国·专题练习）[传统文化]作为中国汉族特有的手工制造陶土工艺品的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅．如图是一个做工精湛的石瓢壶，则从上面看到的该物体的形状图可能是（   ） A． B． C． D． 16．（23-24七年级上·河南平顶山·开学考试）用5个小正方体搭成一个立体图形，从上面看到的形状是，从左面看到的形状是，这个图形不可能是（ ） A． B． C． 17．（23-24七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，把一个圆柱切拼成一个长方体后，长方体的表面积和体积与圆柱的相比，（    ） A．都不变 B．体积不变，表面积变小 C．都变大 D．体积不变，表面积变大 18．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）图1是由白色纸板拼成的立体图形，将此立体图形中的两面涂上颜色，如图2所示．下列四个图形中哪一个是图2的展开图（    ） A． B． C． D． 19．（23-24七年级上·山西运城·阶段练习）图1表示一个正方体，只有三个面上分别标有不同的点数，图2是这个正方体的表面展开图，则在图2中面“”是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 20．（14-15七年级上·全国·课后作业）将一张正方形纸片按图①、图②所示的方式依次对折后，再沿图③中的虚线剪裁，最后将图④中的纸片打开铺平，所得到的图案是（　　） A． B． C． D． 二、解答题 21．（24-25七年级上·吉林长春·期中）如图是由6个棱长为1的小正方体组成的简单几何体，请在方格纸中分别画出该几何体的主视图、左视图和俯视图． 22．（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体从上面看到的形状如图所示，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数． (1)这个几何体是由 个大小相同的小正方体搭成的； (2)请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图； (3)若每个小正方体的棱长为1cm，求这个几何体的表面积． 23．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”活动，他们利用边长为的正方形纸板制作出了两种不同的长方体纸盒（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．请你动手操作并完成任务（纸板厚度及接缝处忽略不计）．    动手操作1：根据图1所示的方式制作一个无盖的长方体纸盒． 方法1：先在纸板的四角剪去四个边长都为的正方形，再沿虚线折起来． 动手操作2：根据图2所示的方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法2：先在纸板四角剪去两个边长都是的正方形和两个宽为的同样大小的小长方形，再沿虚线折起来． (1)无盖长方体纸盒底面的边长是 ，有盖长方体纸盒的底面积是 （用含，的代数式表示） (2)已知，． ①求该无盖长方体纸盒的底面积； ②求该有盖长方体的体积． 24．（24-25六年级上·山东泰安·期末）用若干个棱长为的小正方体搭成如图所示的几何体． (1)该几何体共有______个棱长为的小正方体． (2)请利用网格纸画出从正面看和从上面看该几何体的形状图． 25．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）如图，在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为1cm的小正方体堆成一个几何体．    (1)请分别画出从正面、左面和上面观察该几何体看到的形状图． (2)如果在这个几何体上再添一些小立方块，保持从正面看和从上面看到的形状图不变，最多可以再添______个小立方块． 26．（24-25七年级下·福建福州·期中）在数学实践课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示． (1)若，直接用含的代数式表示出的长； (2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是______． A．B． C．D． (3)今有两种不同型号的矩形卡纸，其规格、单价如表所示： 卡纸型号 型号I 型号II 规格（单位：） 单价（单位：元） 5 现要制作10个这种底面是边长为的正方形，高为的礼品盒．请你合理选择上述两种型号的卡纸： ①在两种卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸最多可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况） ②若要卡纸不浪费（恰好做10个礼盒），可以只用一种卡纸或两种卡纸都用，有几种方案？并计算出最省钱方案的费用． 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 图形的认识 01讲 立体图形与平面图形 目录 【知识点1. 几何图形】…………………………………………………………… 1 【知识点2. 展开图】……………………………………………………………… 6 【知识点3. 从不同方向看几何体】……………………………………………… 11 【知识点4. 点、线、面、体】…………………………………………………… 15 【题型1. 几何图形的辨析】……………………………………………………… 19 【题型2. 正方体的展开图】……………………………………………………… 21 【题型3. 其他几何体的展开图】………………………………………………… 25 【题型4. 从不同方向看几何体】………………………………………………… 27 【题型5. 几何图形的面积、体积】……………………………………………… 31 【题型6. 点、线、面、体之间的关系】………………………………………… 36 【题型7. 平面图形的旋转】……………………………………………………… 39 【题型8. 求展开图上两点折叠后的距离】………………………………………… 42 【题型9. 补一个面使图形围成正方体】…………………………………………… 45 【课后作业】………………………………………………………………………… 48 知识清单 1、几何图形 1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形． 2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． 3）平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分都在同一个平面内，这就是平面图形． 巩固基础 1．下面几何体中，是圆柱体的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了几何体的分类，正确记忆相关知识点是解题关键．根据几何体的分类，逐一进行判断即可． 【详解】解：根据几何体的分类，逐一进行判断如下： A、是圆柱体，符合题意； B、是圆锥，不符合题意； C、是圆台，不符合题意； D、是长方体，不符合题意． 故选：A． 2．下列实物图中，能抽象出棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了立体图形的识别，注意几何体的分类，一般分为柱体、锥体和球，柱体又分为圆柱和棱柱，锥体又分为圆锥和棱锥．根据棱柱有2个底面，一个侧面解答即可． 【详解】解：A．该图能抽象出棱柱，故符合题意； B．该图能抽象出球体，故不符合题意； C．该图能抽象出圆柱，故不符合题意； D．该图能抽象出圆锥，故不符合题意； 故选：A． 3．端午节吃粽子是我国传统节日里的一大亮点．2025年端午节前夜，小红包了一个粽子后发现它每个面均是等边三角形，如图所示，这个粽子可以近似看作（   ） A．长方体 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱锥 【分析】本题考查了几何体，熟练掌握各基本几何体的特征是解题的关键． 根据三棱锥的形态特征进行判断即可． 【详解】解：小红包了一个粽子后发现它每个面均是等边三角形，这个粽子可以近似看作三棱锥， 故选：D． 4．下列图形是平面图形的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了平面图形和立体图形，如果一个图形是由几个不同的面围成的，那么这个图形是立体图形；如果一个图形可以放在一个平面内，那么这个图形是平面图形． 【详解】解：A选项：正方体是立体图形，故A选项不符合题意； B选项：球队是立体图形，故B选项不符合题意； C选项：六棱柱是立体图形，故C选项不符合题意； D选项：三角形是平面图形，故D选项符合题意． 故选：D． 5．下列标注的图形名称与图形不相符的是（　　） A．三棱锥 B．圆柱 C．四棱柱 D．圆锥 【分析】本题考查了认识立体图形，熟练掌握每一种几何体的特征是解题的关键． 根据几何体的特征逐一识别即可． 【详解】 解：A． 是四棱锥，题中名称与图形不相符，故符合题意； B． 是圆柱，题中名称与图形相符，故不符合题意； C． 是四棱柱，题中名称与图形相符，故不符合题意； D． 是圆锥，题中名称与图形相符，故不符合题意； 故选：A． 6．下列图形属于圆柱的有（   ） A．2个 B．3个 C．1个 D．5个 【分析】本题考查认识立体图形，由圆柱的定义判断即可． 【详解】解：属于圆柱的是第三个图形，有1个． 故选：C． 7．分别观察下列几何体，其中只有曲面的是 （    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了认识立体图形，熟练掌握每一个几何体围成的面是平面还是曲面是解题的关键． 根据图形观察，围成立体图形的各个面是平面还是曲面逐一判断即可． 【详解】 解：A. 只有曲面，故该选项符合题意； B. 有曲面也有平面，故该选项不符合题意； C. 有曲面也有平面，故该选项不符合题意； D. 只有平面，故该选项不符合题意； 故选：A． 8．下列几何体中，属于棱柱的是（      ） A．①②③⑥ B．①② C．①③⑥ D．①⑥ 【分析】本题主要考查立体图形，掌握棱柱的定义是解题的关键． 根据棱柱的定义即可求解 【详解】解：①棱柱；②圆柱；③棱柱；④棱锥；⑤圆锥；⑥棱柱． 属于棱柱的有：①③⑥； 故选：C 知识清单 2、展开图 1）展开图的定义：有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当展开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。 2）正方体的展开图：11种 ①1 4 1型（6种） ②1 3 2型（3种） ③2 2 2型（1种） ④3 3型（1种） 巩固基础 1．如图，这是一个几何体的平面展开图，这个几何体是（   ） A．三棱柱 B．四棱柱 C．圆柱 D．三棱锥 【分析】本题考查了棱柱的平面展开图，熟练掌握常见几何体的结构特征是解题关键． 由中间的个矩形可以断定是柱形，再由上下的两个三角形可以判断是三棱柱，据此即可求解． 【详解】解：由中间的个矩形和上下的个三角形可以判断是三棱柱， 故选：A． 2．下列图形中，不是长方体展开图的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了长方体展开图，判断是否为长方体的展开图，关键在于能否找出“四连排”作为侧面，再将其余两个面分别作顶、底并能正确折叠，据此可得答案． 【详解】解：由长方体展开图的特点可知，A、C、D中展开图都是长方体的展开图，B中展开图不是长方体展开图， 故选：B． 3．如图是某几何体的展开图，该几何体是（    ）    A．长方体 B．三棱柱 C．圆锥 D．圆柱 【分析】本题主要考查几何体的展开图，掌握常见的几何体的展开图是解题的关键．根据几何体的展开图为两个圆和一个矩形，即可得出几何体是圆柱． 【详解】解：∵圆柱的展开图是两个圆和一个矩形， ∴该几何体是圆柱； 故选：D． 4．下列图形是正方体展开图的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了正方体张开图的识别，熟练掌握正方体展开图的特征是解题的关键．根据正方体展开图有以下四种类型：型，型，型，型，正方体的展开图中不会有“田”字形、“凹”字形的形状，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、有“田”字形，不是正方体展开图，不符合题意； B、不属于正方体展开图，不符合题意； C、属于正方体展开图的型，符合题意； D、有“凹”字形，不是正方体展开图，不符合题意； 故选：C． 5．如图，纸板上有9个小正方形（其中5个有阴影，4个无阴影），从图中4个无阴影的小正方形中选出一个（剩余的剪形一起折成一个正方体的包装盒，不同的选法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【分析】本题考查了正方体的展开图，熟练掌握正方体展开图的各种情形是解题的关键．利用正方体展开图的特征解答即可． 【详解】解：如图，选法有1中， 故选：A． 6．伟大的当代大数学家华罗庚曾说过一句话：数学很好玩．爱学习的小华将这几个字写到右侧的方格里（如图所示）．现将这五个方格沿四周实线剪下（注意方格相邻之间不要剪断），后沿实线折叠，则对面没有字的是（   ） A．数 B．学 C．很 D．好 【分析】本题主要考查了正方体的展开图以及对面，解题的关键是掌握找对面的法则． 利用正方体找对面法则找出对面即可． 【详解】解：根据正方体展开图，“”字的开头和结尾的对面，隔一个是对面法则，“学”字的对面没有字， 故选：B． 7．如图，正方体的六个面上有三个面有图案，它的展开图可能是（      ） A． B． C． D． 【分析】本题考查几何体的展开图，掌握正方体表面展开图的特征是正确解答的关键． 根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：由正方体可得，三个图案均是相邻的， A、还原正方体后，符合题意； B、<与＝是相对的两面，不符合题意； C、还原正方体后，不等号的尖尖向右，不符合题意； D、还原正方体后，<在下面，且不等号的尖尖朝前，不符合题意， 故选：A． 8．已知图2是图1所示的正方体的平面展开图，则在图2中，与棱对应的线段是（    ） A． B． C． D． 【分析】观察由平面图形转化为正方体的变化求解．本题考查了几何体的展开与折叠问题．培养观察能力和空间想象能力． 【详解】解：将图中的平面图折成正方体， 观察图形可知图中的棱在图中的对应线段是． 故选：． 知识清单 3、从不同方向看几何体 1）要全面了解一个几何体的形状，需要从三个不同的方向进行观察，分别是从上面看、从左面看、从正面看. 2）会从三个不同方向看一些基本几何体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)以及它们简单组合体得到的平面图形. 3）注意：从正面看可知几何体的长和高；从左面看可知几何体的宽和高；从上面看可知几何体的长和宽. 巩固基础 1．由五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从上面看这个几何体得到的平面图形是（    ）． A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体，解题关键是掌握从上面看得到的图形的特征．从上面看有2行，上面一行有3个正方形，下面一行最左侧有1个正方形，据此判断即可． 【详解】 解：从上面看这个几何体得到的平面图形是， 故选：B． 2．下列几何体中从正面、左面、上面看到的图都是圆的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，熟练掌握从不同方向看到的图形的形状是解题的关键． 根据从不同方向看到的图形的形状进行判断即可，注意所有的看到的棱都应表现在形状图中． 【详解】解：从正面、左面、上面看到的图都是圆的是球体，选项D符合题意． 故选D． 3．如图所示，桌上放着一个茶壶，4个同学从各自的方向观察，请指出下边的四幅图中，哪一个是小雯看到的（   ） A． B． C． D． 【分析】确定从左至右的图分别是主视图，后视图，右视图和左视图；再由四位同学的位置进行判断. 此题考查几何体的多种视图，分别从物体正面、 侧面和后面看所得到的图形，熟练掌握不同方向看的图形是解题的关键. 【详解】解：小阳是主视图，小明是后视图，小雯是右视图，彬彬是左视图， 所以丙是小雯看到的， 故选：A. 4．四个物体中，从正面看得到的平面图形是示例图的个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】此题主要考查了从不同方向看简单几何体，关键是掌握从不同方向看简单几何体的作图方法． 分别找出从正面看所得到的图形即可． 【详解】解：从正面看，①③④所得图形是示例图，②所得图形不是示例图， 故选：C 5．用5个小立方体摆立体图形，要求从正面看到的形状是，从左面看到的形状是（    ）肯定是不正确的． A． B． C． 【分析】本题考查从不同方向看几何体，根据从正面看到的形状和左面看到的形状进行逐项分析，即可作答． 【详解】A．从左面看到的形状图形有层，上层1个，下层有个，而上层正方形靠左边，与已知符合，故本选项不符合题意； B．从左面看到的形状图形有层，上层1个，下层有个，而上层正方形靠左边，与已知符合，故本选项不符合题意 C．从左面看到的形状图形有层，上层1个，下层有个，而上层正方形靠右边，与已知不符合，故本选项符合题意； 故选：C． 6．如图是从上面看到的由12个小立方块所搭成的几何体的形状图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，从左面看该几何体的形状图是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查由三视图还原简单组合体，再得到左视图，根据题意先还原出简单组合体，再从左面看组合体得到的平面图形是左视图即可得到答案，掌握左视图定义，发挥空间想象能力还原简单组合体是解决问题的关键． 【详解】解：从上面看到的由12个小立方块所搭成的几何体的形状图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数， 简单组合体有三层三列，其中第一列高为3，第二列高为1，第三列高为3， 从左面看，是三列三层，其中第一列高为3，第二列高为1，第三列高为3，则左视图为： ， 故选：C． 7．如图所示的家用热水瓶，从左面看这个家用热水瓶的形状图为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，从左面看，看到的图形可以分为三部分，从下到上依次为长方形，梯形，正方形，再结合还有一个手把即可得到答案． 【详解】解：从左面看，看到的图形下面一部分是一个长方形，紧挨着长方形的上面是一个梯形，梯形上面是一个正方形，且长方形中有一条从上而下的竖线，即看到的图形如下： ， 故选：B． 知识清单 4、点、线、面、体 1）体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体也简称体。 2）面：包围着体的是面。面由平的面和曲的面两种。 3）线：面和面相交的地方行程线。 4）点：线和线相交的地方是点。 点动成线，线动成面，面动成体。 巩固基础 1．翻书时书页在空中运动的痕迹，说明了（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点之间，线段最短 【分析】本题考查了点、线、面、体四者之间的关系，是基础题，需熟记，根据、线、面、体四者之间的关系解答即可． 【详解】解：翻书时书页在空中运动的痕迹，说明了面动成体， 故选：C． 2．节日里向空中升起的烟火，这个过程体现了（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面与面相交形成线 【分析】根据点动成线，线动成面，面动成题进行判断即可. 此题考查点、线、面、体的关系，正确理解原物体的运动是解题的关键. 【详解】节日里向空中升起的烟火，这个过程体现了点动成线. 故选：A 3．老师在黑板上用粉笔写字，用数学知识可解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 【分析】本题考查点、线、面、体，根据点动成线可得结论 ． 【详解】解：根据点动成线，老师在黑板上用粉笔写字，用数学知识可解释为点动成线， 故选：A． 4．下面现象中，能说明“线动成面”的是（   ） A．天空划过一道流星 B．时钟的钟摆摆动留下的痕迹 C．抛出一块小石子，石子在空中飞行的路线 D．一枚硬币在桌面上旋转的轨迹 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握点、线、面、体四者之间的关系是解题的关键．根据点、线、面、体四者之间的关系，对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：A、天空划过一道流星，能说明“点动成线”，不符合题意； B、时钟的钟摆摆动留下的痕迹，能说明“线动成面”，符合题意； C、抛出一块小石子，石子在空中飞行的路线，能说明“点动成线”，不符合题意； D、一枚硬币在桌面上旋转的轨迹，能说明“面动成体”，不符合题意； 故选：B． 5．几何图形都是由点、线、面、体组成，点动成线，线动成面，面动成体．下列生活现象中，可以反映“面动成体”的是（　　） A．粉笔写字 B．流星划过夜空 C．硬币在桌上旋转 D．汽车雨刷转动 【分析】本题考查了点、线、面、体的知识．根据点，线，面，体的相关知道分析即可． 【详解】解：A、粉笔写字是“点动成线”，故本选项不合题意； B、流星划过夜空是“点动成线”，故本选项符合题意； C、硬币在桌上旋转是“面动成体”，故本选项符合题意； D、汽车雨刷转动是“线动成面”，故本选项不合题意． 故选：C． 6．朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了点，把雨看成线，说明（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上三个均有 【分析】此题考查了点、线、面、体，解题关键在于掌握从运动的观点来看：点动成线，线动成面，面动成体．根据点动成线直接判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了点，把雨看成线，说明点动成线， 故选：A 7．数学知识在生活中应用广泛，同学们用过如图这种折扇吧，因为它折起来便于携带，所以深受人们的喜爱、折扇展开的过程运用的数学原理是（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面与面相交的地方是线 【分析】本题考查了点、线、面、体，从运动的观点来看：点动成线，线动成面，面动成体，点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界．根据线动成面即可得出答案． 【详解】解：折扇展开的过程运用的数学原理是线动成面． 故选：B． 直击考点 题型1. 几何图形的辨析 例1．下列立体图形是圆柱的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了立体图形的识别，熟悉掌握图形的识别是解题的关键． 根据立体图形的特点逐一识别即可． 【详解】解：A：此图为球，故不正确； B：此图为圆锥，故不正确； C：此图为圆台，故不正确； D：此图为圆柱，故正确； 故选：D． 例2．下面几何体的名称是 （   ） A．圆柱 B．棱柱 C．球 D．正方体 【分析】本题主要考查了对立体图形的认识，熟记常见立体图形的特征是解题关键． 根据图示的立体图形的特征判断即可． 【详解】解：根据图示可知：此几何体有四条棱，顶面和底面都是相同的四边形，故其名称是四棱柱． 故选：B． 例3．下列几何体中，是三棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查常见几何体的识别，底面为三角形的柱体叫作三棱柱，由此直接判断即可得出答案． 【详解】解：A．选项中的图形为长方体，不合题意； B．选项中的图形为圆柱，不合题意； C．选项中的图形为三棱锥，不合题意； D．选项中的图形为三棱柱，符合题意； 故选D． 变式1．下面几何图形中，表示平面图形的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查认识立体图形，掌握立体图形、平面图形的定义是正确解答的关键． 根据平面图形、立体图形的定义进行判断即可． 【详解】解：选项A、选项B、选项C分别是圆锥体、长方体、球体是立体图形，因此不符合题意，选项D是梯形形，是平面图形，因此选项D符合题意． 故选∶ D 变式2．下列几何体中，是圆柱的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查圆柱几何体特征．根据题意利用圆柱定义即可得到本题答案． 【详解】解：∵圆柱是上下两个底面为大小相同的圆面，侧面展开是一个长方形或正方形， ∴C选项符合题意， 故选：C． 变式3．下列是棱柱的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】本题考查几何图形的知识，解题的关键是掌握棱柱的定义：上下底面平行且全等，侧棱平行且相等的封闭几何体，进行解答，即可． 【详解】解：∵棱柱的定义：上下底面平行且全等，侧棱平行且相等的封闭几何体 ∴上述图形中属于棱柱的几何体为： 共3个． 故选：B． 题型2. 正方体的展开图 例1．下列各图中，经过折叠可以得到正方体的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了正方体的展开图，熟记正方体的11种展开图，是解题的关键． 【详解】解：A、B折叠后会重叠一个面，不可以折叠成正方体， C有“田”字格，不能折成正方体； D符合“33”型，能折叠成正方体， 故选：D． 例2．如图，在的正方形网格中，选择一个空白的小正方形，能与阴影部分组成正方体的展开图的方法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【分析】此题主要考查了几何体的展开图，关键是掌握正方体展开图的特点．依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论． 【详解】解：如图所示： 共有2种方法， 故选：B． 例3．从如图所示的7个小正方形中剪去一个小正方形，使得剩余的6个小正方形折叠后能围成一个正方体，在下列选项中，不能剪去的小正方形上的字是（    ） A．风 B．光 C．美 D．画 【分析】本题主要考查正方体的侧面展开图，熟练掌握正方体的侧面展开图是解题的关键．根据正方体的侧面展开图可进行求解． 【详解】解：由题意可知不能剪去的小正方形上的字是“美”， 故选：C． 变式1．下列图形中，是正方体表面展开图的是（　　）A．   B．   C．   D．   【分析】本题考查了正方体展开图的问题，掌握正方体表面的十一种展开图的性质是解题的关键． 利用正方体及其表面展开图的特点解题． 【详解】A、折叠后不能折成正方体，故本项不符合题意； B、折叠后不能折成正方体，故本项不符合题意； C、折叠后能折成正方体，故本项符合题意； D、折叠后不能折成正方体，故本项不符合题意； 故选：C． 变式2．如图，小红制作了一个相对面图案均相同的正方体礼盒，则这个礼盒的展开图可能是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了正方体的展开与折叠．同时考查了空间想象力，结合正方体的展开图的对立面是每隔一个正方形，据此即可作答． 【详解】 解：根据题意得：这个正方体礼品盒的平面展开图可能是， 故选A． 变式3．如图，从9个空白正方形中选出一个，与图中阴影部分的四个正方形一起能够折叠成一个无盖正方体盒子，符合条件的空白正方形共有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【分析】本题主要考查了正方体的展开图．解题时勿忘记无盖正方体展开图的各种情形．利用正方体的展开图即可解决问题，共7个． 【详解】解：如图所示：与图中阴影部分的四个正方形一起能够折叠成一个无盖正方体盒子，符合条件的空白正方形共有7个． 故选D． 题型3. 其他几何体的展开图 例1．如图是某几何体的表面展开图，则该几何体是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了简单几何体的表面展开图，由表面展开图可知该几何体底面是正方形，侧面是四个三角形，从而得出该几何体是四棱锥． 【详解】解：由几何体的表面展开图可知该几何体的底面是正方形，侧面是四个三角形， ∴该几何体是四棱锥， 故选：A． 例2．把下图所示的纸片沿着虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体是（   ） A．四棱锥 B．四棱柱 C．三棱锥 D．三棱柱 【分析】本题考查了立体图形的展开；由图知，几何体由三个长方形和两个三角形围成，从而知是三棱柱，由此得解． 【详解】解：由图知，这个几何体是一个三棱柱； 故选：D． 例3．“粽团桃柳，盈门共饮”．又是一年端午时，某厂家推出一种新款粽子礼盒，它的外形是“三棱柱”，其展开图可能是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了几何体的展开图，根据三棱柱的特征即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：“三棱柱”的平面展开图可能是 故选：D． 变式1．如图，沿图中的虚线将该圆柱的侧面剪开并展平，得到的圆柱的侧面展开图是（   ） A．三角形 B．矩形 C．扇形 D．圆形 【分析】本题主要考查圆柱的侧面展开图，熟练掌握圆柱的侧面展开图是解题的关键； 直接根据圆柱的特征进行求解，即可解答． 【详解】解：沿图中的虚线将该圆柱的侧面剪开并展平，得到的圆柱的侧面展开图是矩形． 故选B． 变式2．下列图形能围成圆锥的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，根据几何体的展开图的特征即可求解． 【详解】解：A.是圆柱的展开图，故该选项错误； B.是三棱锥的展开图，故该选项错误； C.是圆锥的展开图，故该选项正确； D.是正方体的展开图，故该选项错误， 故选：C． 变式3．如图是某直棱柱的侧面展开图，则该直棱柱的棱共有（   ） A．6条 B．7条 C．16条 D．15条 【分析】本题考查了几何体展开图的认识，几何体中的点、棱、面，根据这个侧面展开图得出这几何体是五棱柱，则该直棱柱的棱共有条，即可作答． 【详解】解：依题意，根据这个侧面展开图得出这几何体是五棱柱， ∴该直棱柱的棱共有条， 故选：D 题型4. 从不同方向看几何体 例1．在下列几何体中，从正面看到的图形是三角形的是（   ） A．圆锥 B．圆柱 C．球 D．长方体 【分析】本题考查简单几何体从不同方向看得到的平面图形，分别判断各选项的几何体从正面看得到的平面图形，即可解答． 【详解】解：圆锥从正面看是三角形，圆柱从正面看是矩形，球从正面看是是圆，长方体从正面看是矩形． 故选：A 例2．如图，一个圆柱体切去一部分，则从上面看到的图形是（   ） A． B． C． D． 【分析】ｇｃ 本题主要考查了从三个方向看几何体．熟练掌握从三个方向看到的形状图是解题的关键．根据从上面看到的形状图判断即得． 【详解】 解：A. ，是从正面看到的图形； B. ，是从上面看到的图形； C. ，不是这个切去一部分的圆柱体从各个方面看到的图形； D. ，是从左面看到的图形． 故选：B． 例3．景德镇瓷器以白瓷闻名，素有“白如玉，明如镜，薄如纸，声如磐”之称，品种齐全，装饰多样．在下列各瓷器图片中，若不考虑瓷器花纹等因素，从正面和左面看到的图形形状都相同的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了从三个方向看几何体，正确把握观察的角度是解题关键．本题中B、C、D选项中的花瓶瓶颈处有装饰物，从左面看到的图形装饰物是正对着观察者，从正面看装饰物在花瓶的两侧，而A选项中瓶颈处没有装饰物，所以从正面看和从左面看形状相同． 【详解】解：从正面看到的和从左面看到的图形形状相同，故选项A符合题意； 从正面看花瓶瓶颈处两侧有装饰物，而从左面看时，瓶颈两侧没有装饰物，故选项B不符合题意； 从正面看花瓶瓶颈处两侧有装饰物，而从左面看时，瓶颈两侧没有装饰物，故选项C不符合题意； 从正面看花瓶瓶颈处两侧有装饰物，而从左面看时，瓶颈两侧没有装饰物，故选项D不符合题意； 故选：A． 变式1．2024年12月11日至15日世界羽联世界巡回赛总决赛在我国浙江省杭州市杭州奥体中心体育馆举行，图①是颁奖现场．图②是领奖台的示意图，则此领奖台从上面看，得到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查从不同方向看几何体，根据从上面看到的形状图即可求解． 【详解】解：此领奖台从上面看，得到的平面图形是 ， 故选：C． 变式2．鲁班锁起源于我国古代建筑中的榫卯结构． 图（2）是六根鲁班锁图（1）中的一个构件，从前面看这个构件，可以得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了从不同方向看几何体．找到从前面看到的图形即可． 【详解】 解：从前面看这个构件，可以得到的图形是， 故选：C． 变式3．王林周末跟随学校“溯古社”社团到河南博物院参观，他发现一件镇院之宝从正面看和从左面看是一样的．王林看到的镇院之宝是（   ） A． 莲鹤方壶，器物规格：通高117厘米，口长30.5厘米，口宽24.9厘米 B． 汝官窑天蓝釉刻花鹅颈瓶，器物规格：高19.5厘米，口径5.6厘米，底径8.2厘米 C．杜岭方鼎，器物规格：通高87厘米，口长宽61厘米，耳高17厘米 D． 武则天金简，器物规格：长36.2厘米，宽8厘米，厚约0.1厘米 【分析】本题考查从不同方向看几何体．根据从不同方向看到的图形解答即可． 【详解】 解：由题意可知，从正面和左面看到的形状图相同的是． 故选：B． 题型5. 几何图形的面积、体积 例1．已知一个直棱柱有9个面，且每条侧棱长为，底面边长均为． (1)这个直棱柱是_________棱柱，有_________个顶点，有_________条棱； (2)求这个直棱柱的所有侧面的面积之和． 【分析】本题考查直n棱柱有条棱，有个顶点，有个面，其侧面积的计算．熟练掌握基本几何体的特点是解题关键． （1）根据直n棱柱有条棱，有个顶点，有个面解答即可； （2）计算侧面的有一个面，再乘7即可． 【详解】（1）解：， 这个直棱柱是七棱柱； ， 这个直棱柱有14个顶点； ， 这个直棱柱有21个顶点． 故答案为：七，14，21； （2）解：， 所以这个直棱柱的所有侧面的面积之和为． 例2．如图所示为一个棱柱形状的食品包装盒的展开图． (1)这个食品包装盒的几何体名称是________； (2)根据图中所给数据，求这个食品包装盒的侧面积． 【分析】本题考查了几何体的展开图，解决本题的关键是熟悉由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图． （1）由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图，即可解答； （2）侧面积为5个长方形的面积之和，即可解答． 【详解】（1）解：这个包装盒为五棱柱； （2）解：． 例3．某几何体的展开图如图所示． (1)该几何体是 ；(填名称) (2)求这个几何体的体积． 【分析】（1）根据长方体有6个面，相对两个面的形状大小完全相同可知该几何体为长方体． （2）由该长方体的平面展开图可知宽为，高为，长为，根据才给他体积公式即可可求得该长方体的体积． 本题主要考查了长方体的平面展开图，熟练掌握长方体的特征是解题的关键． 【详解】（1）解：该几何体是长方体. 故答案为：长方体 （2）解：该长方体的宽是，高是，长是， 所以这个几何体的体积是. 变式1．如图是一个无盖长方体的展开图． (1)若①②④⑤四个面上分别标有x、、y、5，且相对面上的两个数互为相反数，分别求出x、y的值； (2)若将这个展开图折叠成一个无盖长方体，请根据图中所给数据求出该无盖长方体的表面积．（用含c的式子表示） 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键． （1）根据正方体的表面展开图找相对面的方法，同层隔一面，字两端是对面判断即可； （2）利用长方体的表面积公式进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由图可知： 与5相对，与相对， ； （2）无盖长方体的表面积为：， 无盖长方体的表面积为46． 变式2．小明在数学活动课中制作了一个长方体包装纸盒（图1），图2是该包装盒平面展开图（粘贴部分忽略不计），相关数据如图2所示，经过测量得出该包装纸盒的长比宽多． (1)设长方体的宽为，则长为______，高为______（都用含的代数式表示）； (2)求长方体包装盒的体积． 【分析】（1）设长方体的宽为，由长比宽多，得到长为，用总长为时，则高为，用总长为时，则高为，解答即可． （2）根据题意，得，解得，后根据体积公式解答即可． 本题考查了长方体的展开图，体积计算，熟练掌握展开图是解题的关键． 【详解】（1）解：设长方体的宽为，由长比宽多，则长为， 用总长为时，则高为， 用总长为时，则高为， 故答案为：，或． （2）解：根据题意，得， 解得 长：，高：． 答：长方体包装盒得体积是． 变式3．综合与实践 某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为18cm的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）请你动手操作验证并完成任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计） 动手操作一： 根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为ncm的小正方形，再沿虚线折合起来． (1)问题解决： 若，则该长方体纸盒的底面边长为________cm；该长方体纸盒的体积为________； 动手操作二： 根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为ncm的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． (2)拓展延伸：若，该长方体纸盒的表面积为多少？ 【分析】本题考查几何图形，求立体图形的体积和表面积，根据题意正确得出立体图形的长宽高是关键． （1）根据图形可得长方体纸盒的底面边长为大正方形的边长－两个小正方形的边长；根据图形求出长方体纸盒的长宽高即可求出体积； （2）根据图2的裁剪，表示出长、宽、高进而求出体积． 【详解】（1）解：该长方体纸盒的底面边长为：， 该长方体纸盒的体积为：； 故答案为：； （2）解：， 裁剪后折叠成长方体的长为：， 裁剪后折叠成长方体的宽为：， 裁剪后折叠成长方体的高为：3． 长方体纸盒的表面积为． 题型6. 点、线、面、体之间的关系 例1．电视剧《西游记》中，孙悟空的“金箍棒”（金箍棒看成一条线）飞速旋转，形成一圆面，这说明了（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 【分析】本题考查点、线、面、体之间的关系，理解“点动成线、线动成面，面动成体”是解决问题的关键．根据“线动成面”的意义得出答案． 【详解】解：孙悟空的“金箍棒”（金箍棒看成一条线）飞速旋转，形成一圆面，这说明了线动成面， 故选：B． 例2．像牛毛，像花针，像细丝，形象地说明了（    ） A．两点确定一条直线 B．面动成体 C．线动成面 D．点动成线 【分析】本题考查了直线的性质，点、线、面、体，根据直线的性质，点、线、面、体之间的关系，即可解答． 【详解】解：“像牛毛，像花针, 像细丝”，密密地斜织着，形象地说明了点动成线， 故选：D． 例3．跨学科试题·语文朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了________，把雨看成________，说明________，横线上应该填（   ） A．点；面；点动成线 B．点；线；点动成线 C．线；面；线动成面 D．线；面；面动成体 【分析】本题考查了点动成线，解题关键在于掌握从运动的观点来看：点动成线，线动成面，面动成体. 【详解】解：由题意可得，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了点，把雨看成线，说明点动成线. 故选：B． 变式1．下列说法不正确的是（   ） A．用一个平面去截一个正方体，截面的形状可能是三角形 B．五棱柱有10个顶点 C．三棱柱有3个面 D．雨滴滴下来形成雨丝，属于“点动成线”的现象 【分析】本题考查几何体，掌握常见几何体的概念和性质是解题关键． A．根据平面截一个正方体可能得到三角形、四边形、五边形、六边形，进而判断即可；B．根据棱柱有个顶点，将代入计算判断即可；C．根据棱柱有个面，将代入计算判断即可；D．根据“点动成线”，进而判断即可． 【详解】解：A．用一个平面去截一个正方体，截面的形状可能是三角形，正确； B．五棱柱有10个顶点，正确； C．三棱柱有5个面，不正确，符合题意； D．雨滴滴下来形成雨丝，属于“点动成线”的现象，正确； 故选：C． 变式2．下列现象能说明“面动成体”的是（   ） A．旋转一扇门，门运动的痕迹 B．扔一块小石子，小石子在空中飞行的路线 C．雨刮器刮去玻璃上的雨水的痕迹 D．时钟的秒针旋转时扫过的痕迹 【分析】本题主要考查了点、线、面、体之间的关系，熟练掌握“点动成线”，“线动成面”，“面动成体”是解题的关键． 【详解】解：A、旋转一扇门，门运动的痕迹说明“面动成体”，故本选项正确； B、扔一块小石子，小石子在空中飞行的路线说明“点动成线”，故本选项错误； C、雨刮器刮去玻璃上的雨水的痕迹说明“线动成面”，故本选项错误； D、时钟秒针旋转时扫过的痕迹说明“线动成面”，故本选项错误． 故选：A． 变式3．神舟十七号载人飞船回舱时拖着“长长的火焰”，我们用数学知识可解释为（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不对 【分析】本题主要考查点、线、面、体的关系，熟练掌握点、线、面、体的关系是解题的关键；因此此题可根据点动成线，线动成面，面动成体可进行求解． 【详解】解：神舟十七号载人飞船回舱时拖着“长长的火焰”，我们用数学知识可解释为点动成线； 故选A． 题型7. 平面图形的旋转 例1．如图，将直角三角形绕直角边所在直线旋转一周，得到的几何体是（   ） A．圆柱 B．球 C．四棱柱 D．圆锥 【分析】本题考查了点、线、面、体，根据直角三角形绕直角边旋转是圆锥，可得答案． 【详解】解：将一个直角三角形绕它的一条直角边旋转一周得到的几何体是圆锥． 故选：D． 例2．已知是直角三角形．将绕其一条直角边所在的直线旋转一周，得到的立体图形是（　　） A．球 B．圆柱 C．圆台 D．圆锥 【分析】本题考查了点、线、面、体，根据直角三角形绕直角边旋转是圆锥，可得答案，熟记各种平面图形旋转得到的立体图形是解题的关键． 【详解】解：将一个直角三角形绕其一条直角边所在的直线旋转一周，得到的立体图形是圆锥． 故选：D． 例3．陶瓷器具是我国古代劳动人民的重要发明之一，是中国人民勤劳与智慧的结晶．如图所示，将给定的图形绕虚线旋转一周得到的几何体与下列陶瓷花瓶最为类似的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了面动成体，解题关键在于能够通过几何直观得出选项．通过丰富的空间想象力类比选项中各花瓶的外表即可得出答案． 【详解】解：将所给图形绕直线旋转一周后的几何体与D选项的花瓶外表最为相似， 故选：D． 变式1．如图，在矩形中，，将该矩形绕直线旋转一周可得到的立体图形是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握面动成体得到的几何体的形状是解题的关键．根据矩形绕一边旋转一周得到圆柱体解答． 【详解】解：四边形是矩形，， ，是长边． 则该矩形绕直线旋转一周可得到的立体图形是较高的圆柱体． 故选：B． 变式2．如图所示的立体图形，是由下列选项中的图形旋转形成，这个图形是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查点、线、面、体，根据“面动成体”的特征进行判断即可． 【详解】解：A、旋转形成一个圆台，故A不符合； B、旋转形成一个球体，故B符合； C、旋转形成一个圆柱体，故C不符合； D、旋转形成一个圆锥体，故D不符合． 故选：B． 变式3．如图，下列选项为一组传统竹编工艺品，其中能近似看作由左图旋转一周得到的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查点、线、面、体，是基础考点，难度较易，考查学生的空间学习能力，掌握相关知识是解题关键． 根据平面图形旋转轴的定义及题目中的立体图形解题． 【详解】据所给的几何体，其中能近似看作由左图旋转一周得到的是： 故选：B． 题型8. 求展开图上两点折叠后的距离 例1．如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【分析】本题考查了平面图形和立体图形，把图形围成立体图形求解． 【详解】解：把图形围成立方体如图所示： 所以与顶点距离最远的顶点是， 故选：A． 例2．如图所示的是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（   ） A．A B．B C．C D．D 【解析】折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是D点 故选：D 变式1．图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从点沿该正方体的棱爬行到点的最短距离为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】将图①折成正方体，然后判断出、的在正方体中的位置，从而可得到之间的距离． 【详解】解：如图所示，将图①折成正方体后点、的在正方体中的位置， 蜗牛是从点沿该正方体的棱爬行到点 ， 故选：C． 变式2．如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为 ． 【分析】本题考查了正方体的展开图，根据A、B两点在展开图上的位置，确定其在正方体上的位置是解题关键．将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线，据此即可得到答案． 【详解】解：将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线， 因为展开图中，即两倍对角线为8， 那么对角线的长度就是4， 即正方体A、B两点间的距离为4， 故答案为：4． 变式3．如图①是边长为2的六个小正方形组成的图形，它可以围成如图②所示的正方体，则图①中小正方形的顶点在围成的正方体上的距离是 ． 【分析】将图1折成正方体，然后判断出在正方体中的位置关系，从而可得到之间的距离． 【详解】解：将图1折成正方体后点A和点B为同一条棱的两个端点，得出， 故答案为：2． 题型9. 补一个面使图形围成正方体 例1．如图，在的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论． 【详解】解：如图所示： 根据“141型”，②能与阴影部分组成正方体展开图， 故选：B． 例2．下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要是正方体的展开图形，将一个正方体展开，可能得到的形状有以下几种：①“一四一”型；②“二三一”型或“一三二”型；③“二二二”型；④“三三”型；结合题中所给的图形，运用正方体常见展开的几种形式分析求解即可． 【详解】解：根据正方体的表面展开图，选A、B、C、D四个位置即可． 故选：D． 变式1．【正方体的表面积】将一个正方体等分成8个小正方体，任取其中都在顶点处的一个小正方体后，其表面积和原来相比，（   ） A．减少了 B．增大了 C．没有变化 【分析】本题考查了正方体的表面积，抓住拿掉的小正方体只有3个表面在外面，而剩余的部分也多了3个面，即可求解； 【详解】解：∵拿掉的小正方体只有3个表面在外面，而剩余的部分也多了3个面， ∴表面积和原来相比没有变化 故选：C ． 变式2．图1和图2中所有的正方形都相同，将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查了正方体的展开图，熟知正方体的11种展开图是解题关键，据此即可求解． 【详解】解：将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有②③⑤三种情况，图1的正方形放在图2中①④的位置，会出现重叠的面，无法围成正方体． 故选：C 变式3．如图所示，纸板上有10个小正方形（其中5个有阴影，5个无阴影），从图中5个无阴影的小正方形中选出一个，与5个有阴影的小正方形一起折一个正方体的包装盒，不同的选法有（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【分析】利用正方体的展开图的特征解答即可． 【详解】解：如图所示，不同的选法有2处， 故选：C． 课后作业 一、单选题 1．（2025·广东汕头·一模）围成下列几何体的面有平面或曲面，其中面数最多的几何体是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查立体图形中几何体的面；分别数出各几何体的面数即可求出． 【详解】解：A．有3个面； B．有4个面； C．有5个面； D．有6个面； ∴面数最多的几何体是D； 故选：D． 2．（2025·四川德阳·中考真题）下列图形中可以作为正方体的展开图的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了正方体的展开图，熟记展开图的11种形式是解题的关键， 利用不是正方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”（即不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况）判断也可． 【详解】解：A．可以作为一个正方体的展开图，故本选项符合题意； B．有 “田” 字格结构，不可以作为一个正方体的展开图，故本选项不符合题意； C．不可以作为一个正方体的展开图，故本选项不符合题意； D．不可以作为一个正方体的展开图，故本选项不符合题意． 故选：A． 3．（2025·河南驻马店·三模）年月日，我国成功发射天链二号星．小亮准备制作一个正方体，使其每个表面上分别写有“天”“链”“二”“号”“”“星”．如图是他做的无盖的正方体的展开图，需再补充一个写着“星”的正方形，则该正方形不能补充在（   ） A．①处 B．②处 C．③处 D．④处 【分析】本题考查了正方体的表面展开图，根据正方体的表面展开图不可能出现“田”字形即可判断求解，掌握正方体的表面展开图的特征是解题的关键． 【详解】解：∵正方体的表面展开图不可能出现“田”字形， ∴该正方形不能补充在②处， 故选：． 4．（2025·北京海淀·三模）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（   ） A．三棱柱 B．四棱柱 C．三棱锥 D．四棱锥 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，根据三棱柱的展开图解答． 【详解】解：由图可知，该几何体的两个底面是正三角形，且有3个侧面，侧面都是矩形，故这个几何体是三棱柱． 故选：A． 5．（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）如图，一个正方体的六个面上标着连续的整数，若相对面上所标数字之和相等，则这个六个数之和是（   ） A． B． C． D．以上均可能 【分析】本题主要考查了正方体对面上的数字问题，根据题意可得这 6 个整数可以为或或，再由相对面上所标数字之和相等得到最大的数和最小的数是对面，第二大的数和第二小的数为对面，剩下的两个数为对面，据此分三种情况讨论，结合三个数不能互相为对面进行求解即可． 【详解】解；由题意得，这 6 个整数可以为或或， ∵相对面上所标数字之和相等， ∴那么最大的数和最小的数是对面，第二大的数和第二小的数为对面，剩下的两个数为对面， 当这6个整数为，则和为对面，和为对面，和为对面，符合题意， ∴此时这 6 个数的和为； 当这 6 个整数为，则和为对面，不符合题意； 当这 6 个整数为，则和为对面，不符合题意， 综上所述，这 6 个整数的和为， 故选：C． 6．（2025·河南周口·模拟预测）如图是由三个相同的小立方块组成的几何体，该几何体从左面看到的形状图是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是从不同方向看几何体，值得注意的是能看到的立体图形中的线条都要画成实线，看不到的画成虚线. 根据从左边看立体图形，看到的平面图形可得答案. 【详解】解：该几何体从左面看到的形状图有1列，看到2个正方形， 所以形状图是： ， 故选：C 7．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，将直角三角形绕直角边所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查图形的旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键，根据旋转的性质可得直角三角形绕其一条直角边旋转一周后形成的立体图形为圆锥，即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可得：直角三角形绕其一条直角边旋转一周后形成的立体图形为圆锥， 故选：C． 8．（24-25九年级下·海南儋州·开学考试）从不同方向看某个立体图形得到的平面图形如图所示，则这个立体图形可能是下面选项中的（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查三视图还原几何体，根据几何体与从不同角度看到的几何图形的关系解答即可． 【详解】解：根据从不同方向看某个立体图形得到的平面图形可知符合的立体图形为D选项， 故选：D． 9．（24-25七年级上·河南安阳·期末）如图为“国礼青花瓷”，将下列平面图形绕虚线旋转一周，能大致形成这个花瓶形状的是（　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了点，线，面，体之间的关系，理解“面动成体”是解题的关键．将平面图形绕虚线旋转一周，再与花瓶相比较即可得出答案． 【详解】解：A、绕虚线旋转一周后，能大致形成这个花瓶形状，则此项符合题意； B、绕虚线旋转一周后，不能大致形成这个花瓶形状，则此项不符合题意； C、绕虚线旋转一周后，不能大致形成这个花瓶形状，则此项不符合题意； D、绕虚线旋转一周后，不能大致形成这个花瓶形状，则此项不符合题意； 故选：A． 10．（24-25七年级上·重庆·期末）在正方体的六个面上，分别标上“我、的、愉、快、初、一”六个字，如图是正方体的三种不同摆法，则从左到右三种摆法的左侧面上三个字分别是（   ） A．的、初、愉 B．中、的、愉 C．愉、初、一 D．的、初、一 【分析】本题考查的是正方体相对面上的字，“理解图形的摆放位置的特征”是解本题的关键． 从3个图形可得和我相邻的有快、的、一、初，那么和我相对的就是愉，而从第2中图可知一相邻的字为的，故第1个图形左侧为的，依次分析即可． 【详解】解：根据三个图形的汉字，可推断出来，和我相对的就是愉，和快相对的就是的，和一相对的就是初， ∴三种摆法的左侧面上三个字分别是的、初、一． 故选：D． 11．（24-25七年级上·山西临汾·阶段练习）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查几何体的三视图，熟练掌握三视图定义是解题的关键； 根据三视图对选项进行判断即可； 【详解】解：根据三视图可知，该几何体为圆锥， 故选：A 12．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）如图，是由大小相同的小立方体搭成的几何体，从左面看到的形状图是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查几何体的三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键．根据左视图即可得到答案． 【详解】 解：从左面看到的形状图是 故选C． 13．（24-25六年级上·山东淄博·期中）如图，将若干个相同的小正方体堆成如图所示的立体图形．若每个小正方体的棱长为，则这个立体图形的表面积为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了求几何体的表面积，分别找到该几何体六个方向露在外面的面，再根据每个面的面积为即可得到答案． 【详解】解：从上面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从下面看露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从左面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从右面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从正面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从后面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， ∴该几何体露在外面的面一共有60个， ∵小立方体的棱长为， ∴这个几何体的表面积为， 故选：D． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）下面图中实物的近似形状对应的立体图形的名称按从左到右的顺序依次是（   ） A．圆柱、圆锥、正方体、长方体 B．圆柱、球、正方体、长方体 C．棱柱、球、正方体、圆柱 D．棱柱、圆锥、圆柱、长方体 【分析】本题考查了立体图形，解题的关键是熟练的掌握立体图形的相关知识． 根据常见实物与几何体的关系解答即可． 【详解】解：与图中实物图相类似的立体图形按从左至右的顺序依次是：圆柱、球、正方体、长方体． 故选：B 15．（2024七年级上·全国·专题练习）[传统文化]作为中国汉族特有的手工制造陶土工艺品的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅．如图是一个做工精湛的石瓢壶，则从上面看到的该物体的形状图可能是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，从不同的方向观察几何体是解题的关键， 根据从上面看到的该紫砂壶从选项中选取即可求解； 【详解】解：根据题意从上面往下面看紫砂壶，可以得到如图所示； 故选： 16．（23-24七年级上·河南平顶山·开学考试）用5个小正方体搭成一个立体图形，从上面看到的形状是，从左面看到的形状是，这个图形不可能是（ ） A． B． C． 【分析】本题考查由三视图判定几何体，解题的关键是理解三视图的定义， 利用俯视图，写出小正方体的个数，可得结论． 【详解】 A．从左面看到的形状图形有层，下层有个，而上层正方形靠左边，与已知不符合，故本选项符合题意； B． 从左面看到的形状图形有层，下层有个，而上层正方形靠右边，符合已知的，从上面两排，其中1个的靠最左侧，符合，故本选项不符合题意； C． 从左面看到的形状图形有层，下层有个，而上层正方形靠右边，符合已知的，从上面两排，其中1个的靠最左侧，符合，故本选项不符合题意； 故选：． 17．（23-24七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，把一个圆柱切拼成一个长方体后，长方体的表面积和体积与圆柱的相比，（    ） A．都不变 B．体积不变，表面积变小 C．都变大 D．体积不变，表面积变大 【分析】本题主要考查圆柱与正方体的表面积及体积计算公式，解题的关键是正确表示出长方体的长宽及高．设圆柱的底面半径是r，圆柱的高为h，根据拼成长方体的高等于圆柱的高是h，再根据长方体的表面积和体积公式与圆柱的表面积和体积公式列式表示出长方体的表面积和体积与原来圆柱的表面积和体积，由此即可进行比较选择． 【详解】解：设圆柱的底面半径为r，圆柱的高为h， 则长方体的高等于圆柱的高是h，长方体的长为，宽为r， 圆柱的表面积为：； 圆柱的体积为：； 长方体的表面积为：； 长方体的体积为：； 所以，这个长方体和原来的圆柱体比较表面积变大了，体积没变，故答案为：D 18．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）图1是由白色纸板拼成的立体图形，将此立体图形中的两面涂上颜色，如图2所示．下列四个图形中哪一个是图2的展开图（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点，利用排除法解题． 【详解】解：图2中阴影四边形与三角形相邻，四边形在三角形的左侧， B选项和D选项中，阴影四边形与三角形相对，不合题意， C选项中，阴影四边形与三角形相邻，但四边形在三角形的右侧，不合题意， 选项A中阴影四边形与三角形的位置符合题意． 故选A． 19．（23-24七年级上·山西运城·阶段练习）图1表示一个正方体，只有三个面上分别标有不同的点数，图2是这个正方体的表面展开图，则在图2中面“”是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【分析】本题主要考查了正方体的展开图，先观察正方体标有点数3的面与标有点数1和2的面相邻，则可排除面①和面③；再根据标有点数2的面中黑点的排列规律确定出标有点数3中黑点的排列规律即可得到答案． 【详解】解：观察可知，标有点数3的面与标有点数1和2的面相邻，故面①和面③不符合题意； 当标有点数2的面中的两个黑点横着排列时，标有点数3的面中的黑点呈左下到右上的方向排列，故面④符合题意，面②不符合题意， 故选D． 20．（14-15七年级上·全国·课后作业）将一张正方形纸片按图①、图②所示的方式依次对折后，再沿图③中的虚线剪裁，最后将图④中的纸片打开铺平，所得到的图案是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题中所给剪纸方法，进行动手操作，答案就会很直观地呈现． 【详解】解：严格按照图中的顺序进行操作，展开得到的图形如选项B中所示， 故选：B． 二、解答题 21．（24-25七年级上·吉林长春·期中）如图是由6个棱长为1的小正方体组成的简单几何体，请在方格纸中分别画出该几何体的主视图、左视图和俯视图． 【分析】本题主要考查了画小立方体组成的几何体的三视图，熟知三视图的定义是解题的关键．根据主视图，左视图，俯视图分别是从正面，左面和上面看到的图形进行画图即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 22．（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体从上面看到的形状如图所示，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数． (1)这个几何体是由 个大小相同的小正方体搭成的； (2)请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图； (3)若每个小正方体的棱长为1cm，求这个几何体的表面积． 【分析】本题考查从不同方向看几何体．以及几何体的表面积，由几何体的从上面看到的形状及小正方形内的数字，可知左面的列数与上面的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左面的列数与上面的行数相同，且每列小正方形数目为上面看到的图中相应行中正方形数字中的最大数字． （1）根据所给图形即可得到答案； （2）由已知条件可知，从正面看有4列，每列小正方形的数目分别为；从左面看有2列，每列小正方形的数目分别为；据此画出图形； （3）根据几何体三个方向看到的图形可求出几何体的表面积． 【详解】（1）解：根据题意可知，这个几何体是由8个大小相同的小正方体搭成的； 故答案为：8 （2） （3）， 答：该几何体的表面积为． 23．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”活动，他们利用边长为的正方形纸板制作出了两种不同的长方体纸盒（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．请你动手操作并完成任务（纸板厚度及接缝处忽略不计）．    动手操作1：根据图1所示的方式制作一个无盖的长方体纸盒． 方法1：先在纸板的四角剪去四个边长都为的正方形，再沿虚线折起来． 动手操作2：根据图2所示的方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法2：先在纸板四角剪去两个边长都是的正方形和两个宽为的同样大小的小长方形，再沿虚线折起来． (1)无盖长方体纸盒底面的边长是 ，有盖长方体纸盒的底面积是 （用含，的代数式表示） (2)已知，． ①求该无盖长方体纸盒的底面积； ②求该有盖长方体的体积． 【分析】本题主要考查了认识立体图形，列代数式及已知字母的值求代数式的值，掌握立体图形的特征是正确计算的前提，用代数式是解题关键． （1）根据图1，得底面的边长为；根据图2，得长方体底面的长和宽，根据长方形的面积公式列式即可； （2）①把，代入代数式结合正方形的面积公式求值即可； ②把，代入代数式结合长方体的体积公式求值即可． 【详解】（1）解：无盖长方体纸盒底面的边长是， 有盖长方体纸盒底面的长为，宽为， 故有盖长方体纸盒的底面积是． （2）解：①当，时， 该长方体纸盒的底面边长为， 所以该长方体纸盒的底面积为． ②当，时， 该长方体纸盒的底面积为， 所以该长方体纸盒的体积为． 24．（24-25六年级上·山东泰安·期末）用若干个棱长为的小正方体搭成如图所示的几何体． (1)该几何体共有______个棱长为的小正方体． (2)请利用网格纸画出从正面看和从上面看该几何体的形状图． 【分析】本题考查的知识点是从不同方向看几何体，解题关键是熟练掌握从不同方向看几何体相关知识点． （1）根据题中的几何体构想其组成即可得解； （2）结合题中几何体进行作图即可． 【详解】（1）解：由题中几何体可得，该几何体共有个棱长为的小正方体． 故答案为：． （2）解：如下图： 25．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）如图，在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为1cm的小正方体堆成一个几何体．    (1)请分别画出从正面、左面和上面观察该几何体看到的形状图． (2)如果在这个几何体上再添一些小立方块，保持从正面看和从上面看到的形状图不变，最多可以再添______个小立方块． 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，画图时是应注意“长对正，宽相等，高平齐” （1）根据从不同侧面看几何体的画法，画出从正面，左面，上面看到的形状即可； （2）从左面看的图上的相应位置增加小立方块，使从正面看和从上面看到的形状图不变，确定添加的最大数量即可； 【详解】（1）这个几何体从正面，左面，上面看到的几何体形状如下图：    （2）从左面看的图的相应位置上，添加小正方体，使从正面看和从上面看的图不变，添加的位置和最多的数量如图所示    即在正面第一排第一列第二层上依次加1块，第三层上加1块，总共最多加2个正方体，使从正面看和从上面看到的形状图不变， 故答案为：2 26．（24-25七年级下·福建福州·期中）在数学实践课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示． (1)若，直接用含的代数式表示出的长； (2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是______． A．B． C．D． (3)今有两种不同型号的矩形卡纸，其规格、单价如表所示： 卡纸型号 型号I 型号II 规格（单位：） 单价（单位：元） 5 现要制作10个这种底面是边长为的正方形，高为的礼品盒．请你合理选择上述两种型号的卡纸： ①在两种卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸最多可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况） ②若要卡纸不浪费（恰好做10个礼盒），可以只用一种卡纸或两种卡纸都用，有几种方案？并计算出最省钱方案的费用． 【分析】本题考查了几何体的展开与折叠，空间观念、推理能力、模型观念、创新意识等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由折叠和题意可知，，，四边形是正方形，得到，即，即可求解； （2）根据几何体的展开图即可求解； （3）由题意可得，每张型号Ⅲ卡纸可制作10个正方体，每张型号Ⅱ卡纸可制作2个正方体，每张型号Ⅰ卡纸可制作1个正方体，即可求解． 【详解】（1）如图： 上述图形折叠后变成： 由折叠和题意可知，，， ∵四边形是正方形， ∴，即， ∴，即， ∵，， ∴． （2）根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，而对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反， ∴C选项符合题意， 故答案为：C； （3）①只选型号Ⅰ卡纸：礼品盒展开图分步情况，如图所示： ∴用一张型号Ⅰ卡纸可以制作这样的礼品盒2个， ∴制作10个这样的礼品盒，需要的卡片张数为， 则需要的费用为：（元）； ②只选型号Ⅱ卡纸：礼品盒展开图分步情况，如图所示： ∴用一张型号Ⅱ卡纸可以制作这样的礼品盒3个， ∴制作10个这样的礼品盒，需要的卡片张数为， 则需要的费用为：（元）； ③用1张型号Ⅰ卡纸，3张型号Ⅱ卡纸，，也可以制作10个这样的礼品盒，需要的费用为：（元）； ④用2张型号Ⅰ卡纸，2张型号Ⅱ卡纸，，也可以制作10个这样的礼品盒，需要的费用为：（元）； ⑤用4张型号Ⅰ卡纸，1张型号Ⅱ卡纸，，也可以制作10个这样的礼品盒，需要的费用为：（元）． ∴共有5种方案，最省钱方案是用用2张型号Ⅰ卡纸，2张型号Ⅱ卡纸，最省钱方案的费用为17元． 18 学科网（北京）股份有限公司 $$