精品解析：河北省保定市容城县雄安容和第一高级中学2025届高三下学期数学模拟试题

雄安新区容和一中2025届高三数学模拟试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若纯虚数满足（是虚数单位，），则在复平面内表示的点为（ ） A. （0，-1） B. （1，0） C. （0，1） D. （0，2） 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简复数，由复数为纯虚数，求出参数的值，从而求出的共轭复数，即可判断； 【详解】解：由题意得，又复数为纯虚数，所以 ，所以，则在复平面内对应的点为. 故选：C. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的类型求参数的值，以及复数的几何意义，属于基础题. 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式化简集合，求出函数值域化简集合，再利用补集、交集的定义求解即得. 【详解】由，得，则， 函数，则， 所以. 故选：B 3. 两数的等比中项是（ ）. A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比中项的定义即可求解. 【详解】设与两数的等比中项是，则，解得：. 故选：A. 4. 在平面内与点距离为1，与点距离为2的直线共有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】D 【解析】 【分析】分析得到与点距离为1，与点距离为2的直线为以为圆心1为半径的圆和以为圆心2为半径的公切线，根据两圆的位置关系得到公切线的条数. 【详解】∵在平面内与点距离为1的直线的是以为圆心1为半径的圆的切线， 同理可得与点距离为2的直线是以为圆心2为半径的圆的切线， 满足条件的直线为两圆的公切线， ， 两圆的位置关系为外离，公切线有4条， 故满足条件的直线有4条. 故选：D 5. 已知向量，与的夹角为，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的模公式以及数量积公式，即可得到本题答案. 【详解】因为向量，与的夹角为， 所以. 故选：C 【点睛】本题主要考查平面向量的模的公式以及数量积公式. 6. 甲、乙等6人去参观民间剪纸艺术展，参观结束后，他们站成一排拍照留念，则甲、乙相邻的不同站法有（ ） A. 120种 B. 240种 C. 360种 D. 480种 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理、相邻问题的排列直接列式计算作答. 【详解】依题意，甲、乙相邻的不同站法有（种）. 故选：B 7. 在中，已知，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长. 【详解】设， 结合余弦定理：可得：， 即：，解得：（舍去）， 故. 故选：D. 【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型： (1)已知三角形的三条边求三个角； (2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角； (3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形． 8. 已知有两个极值点、，且在区间上有极大值，无极小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导函数，利用在区间上有极大值，无极小值，可得的两个根中：，，由此可得结论． 【详解】解：由题意，， 在区间上有极大值，无极小值，有两个极值点、， 的两个根中：，， ， 解得. 故选：A． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知，，设，则关于的说法正确的是（       ） A. 最大值为3，最小值为 B. 最大值为，无最小值 C. 单调递增区间为和，单调递减区间为和 D. 单调递增区间为和，单调递减区间为和 【答案】BC 【解析】 【分析】在同一坐标系中由与的图象得出函数的图象，结合图象即可得出的性质，判断各选项． 【详解】在同一坐标系中先画出与的图象， 当时，，表示的图象在的图象下方就留下的图象， 当时，，表示的图象在的图象下方就留下的图象， 根据定义画出， 容易看出有最大值，无最小值，故A错误； 当时，由，得舍或， 此时的最大值为：，无最小值，故B正确； 时，由，解得：（舍去）， 故F在，递增，在和递减， 故C正确，D错误， 故选：BC． 10. 设双曲线的左焦点为，右焦点为，点在的右支上，且不与的顶点重合，则下列命题中正确的是（ ） A. 若且，则双曲线的两条渐近线的方程是 B. 若，则的面积等于 C. 若点的坐标为，则双曲线的离心率大于3 D. 以为直径的圆与以的实轴为直径的圆外切 【答案】BCD 【解析】 【分析】将且，带入方程求解渐近线方程即可判断A；，结合双曲线的定义求解即可判断B；把点坐标代入的方程，然后计算离心率的取值范围即可判断C；画图，两圆的圆心距是的中位线，两圆的半径之和，故两圆外切，即可判断D. 【详解】当且时，的渐近线斜率为，选项A错误； ，故选项B正确； 把点坐标代入的方程得： ，选项C正确； 如图，两圆的圆心距是的中位线， 两圆的半径之和，故两圆外切，选项D正确. 故选：BCD 11. 已知飞船在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度大小的变化服从面积守恒规律，即飞船的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等，设椭圆的长轴长、焦距分别为，则下列结论中正确的有（ ） A. 飞船向径的取值范围是 B. 飞船在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C. 飞船向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 D. 飞船运行速度的大小，在近地点时最大，在远地点时最小 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据椭圆的定义可判断选项A；根据面积守恒规律可判断选项B；根据离心率与椭圆的形状关系可判断选项C；根据面积守恒规律可判断选项D. 【详解】根据椭圆定义知飞船向径的取值范围是，A正确； 当飞船在左半椭圆弧上运行时，对应的面积更大， 根据面积守恒规律， 知飞船在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，B正确； ，比值越大，则越小，椭圆轨道越圆，C错误； 根据面积守恒规律，飞船在近地点时向径最小，故速度的大小最大， 在远地点时向径最大，故速度的大小最小，D正确． 故选：ABD． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数（a，b为常数，且）满足，方程有唯一解，则函数的解析式为________________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据，且方程的解只有一个，求出a和b的值，从而求出函数的解析式即可. 【详解】因为，且，可知， 令，整理可得，解得或， 若方程有唯一解，则或或， 解得或， 当时，又因为，解得， 所以； 当时，又因为，解得， 所以； 所以或 故答案为：或. 13. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96名学生喜欢足球或游泳，60名学生喜欢足球，82名学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数为________． 【答案】46 【解析】 【分析】设喜欢足球的学生、喜欢游泳的学生形成的集合分别为，，利用容斥原理计算即可. 【详解】设喜欢足球的学生、喜欢游泳的学生形成的集合分别为，， 由题意可知，，， 则， 即该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数为46， 故答案为：46 14. 函数为奇函数，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用正余弦函数的奇偶性求解即可. 【详解】函数为奇函数，则. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求函数的对称中心及对称轴方程； （2）当时，求函数的最大值和最小值． 【答案】（1）对称中心为，对称轴方程为：； （2）最大值为，最小值为0． 【解析】 【分析】（1）先用半角公式降次，再利用辅助角公式可化简为，利用正弦函数的对称性，求解即可． （2）当时，，可得，即可得出函数的最值． 【小问1详解】 ， 令，解得， 对称轴方程为：． 令，解得， 函数的对称中心为． 【小问2详解】 当时，， 由正弦函数的性质可知，的最大值为1，最小值为， 函数的最大值为，最小值为0． 16. 已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，且，，点M是线段中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）线段上是否存在点P，使得与所成的角恰为？若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）建立如图所示空间直角坐标系: ， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则， 所以，又平面， 所以平面； （2）；（3）存在，. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，由证明； （2）分别求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，由求解； （3）假设存在点P，有，设与所成的角为，由求解. 【详解】（1）略 （2）易知， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则， 易知， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则， 则， 设二面角的大小为， 易知为锐角，则， 所以； （3）假设存在点P，有，则 ，， 设与所成的角为， 则， 解得， 所以. 所以线段上存在点P，使得与所成的角恰为，且的长为1. 17. 求满足下列条件的曲线的标准方程： （1）焦点在x轴上，且经过点和点的椭圆的标准方程； （2）焦点在轴上，焦距是16，的双曲线的标准方程 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据焦点位置及椭圆的顶点即可确定，从而求出椭圆方程； （2）根据焦距和离心率确定，从而求出，结合焦点位置求出双曲线方程. 【小问1详解】 由题意得：，，因为焦点在x轴上，所以椭圆方程为：； 【小问2详解】 依题意，又，所以，所以， 由于双曲线焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为． 18. 小明同学设置手机密码的六位数字，准备将e（）的前6位数字（1，2，2，7，8，8，）按照一定的顺序进行设置． （1）记事件：相同的数字排在一起，求事件发生的概率； （2）记事件：只有一组相同的数字排在一起，求事件发生的概率； （3）记事件：相同数字不相邻且相同数字之间只有一个数字，求事件发生的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助捆绑法处理元素问题，结合概率公式计算即可得； （2）相同元素问题使用倍缩法处理后，结合概率公式计算即可得； （3）分两个2之间是否为8进行讨论，结合概率公式计算即可得. 【小问1详解】 将相同的数字排在一起，只需将两个2、两个8分别看成同一元素， 与另外两个元素全排列即可，此时共有种不同排法， 任意排列时共有种不同排法， 故； 【小问2详解】 只有一组相同的数字排在一起，共有种不同排法， 则； 【小问3详解】 若两个2之间不是8，两个8之间不是2，则有种不同排法， 若两个2之间是8，则必有或的排序， 此时共有种不同排法，故共有种不同排法， 则. 19. 把一颗质地均匀，四个面上分别标有复数、、、（为虚数单位）的正四面体玩具连续抛掷两次，第一次出现底面朝下的复数记为，第二次出现底面朝下的复数记为． （1）用表示“”这一事件，求事件的概率； （2）设复数的实部为，求的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列为 【解析】 【分析】（1）求出基本事件的总数，以及事件所包含的基本事件，结合古典概型的概率公式可求得的值； （2）由题意可知，随机变量的可能取值为、、，利用列举法可求出随机变量在不同取值下的概率，即可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【小问1详解】 所有的基本事件个数有（个）， 包含的基本事件有、、、共个，所以． 【小问2详解】 由题意可知，随机变量的可能取值为、、， 所包含的基本事件有：、、、，共个， 所包含的基本事件有：、、、、、、、，共个， 所包含的基本事件有：、、、，共个， 所以，，，， 的分布列为 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 雄安新区容和一中2025届高三数学模拟试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若纯虚数满足（是虚数单位，），则在复平面内表示的点为（ ） A. （0，-1） B. （1，0） C. （0，1） D. （0，2） 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 两数的等比中项是（ ）. A. B. 1 C. D. 4. 在平面内与点距离为1，与点距离为2的直线共有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 5. 已知向量，与的夹角为，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 1 6. 甲、乙等6人去参观民间剪纸艺术展，参观结束后，他们站成一排拍照留念，则甲、乙相邻的不同站法有（ ） A. 120种 B. 240种 C. 360种 D. 480种 7. 在中，已知，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 8. 已知有两个极值点、，且在区间上有极大值，无极小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知，，设，则关于的说法正确的是（       ） A. 最大值为3，最小值为 B. 最大值为，无最小值 C. 单调递增区间为和，单调递减区间为和 D. 单调递增区间为和，单调递减区间为和 10. 设双曲线的左焦点为，右焦点为，点在的右支上，且不与的顶点重合，则下列命题中正确的是（ ） A. 若且，则双曲线的两条渐近线的方程是 B. 若，则的面积等于 C. 若点的坐标为，则双曲线的离心率大于3 D. 以为直径的圆与以的实轴为直径的圆外切 11. 已知飞船在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度大小的变化服从面积守恒规律，即飞船的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等，设椭圆的长轴长、焦距分别为，则下列结论中正确的有（ ） A. 飞船向径的取值范围是 B. 飞船在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C. 飞船向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 D. 飞船运行速度的大小，在近地点时最大，在远地点时最小 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数（a，b为常数，且）满足，方程有唯一解，则函数的解析式为________________． 13. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96名学生喜欢足球或游泳，60名学生喜欢足球，82名学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数为________． 14. 函数为奇函数，则_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求函数的对称中心及对称轴方程； （2）当时，求函数的最大值和最小值． 16. 已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，且，，点M是线段中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）线段上是否存在点P，使得与所成的角恰为？若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由. 17. 求满足下列条件的曲线的标准方程： （1）焦点在x轴上，且经过点和点的椭圆的标准方程； （2）焦点在轴上，焦距是16，的双曲线的标准方程 18. 小明同学设置手机密码的六位数字，准备将e（）的前6位数字（1，2，2，7，8，8，）按照一定的顺序进行设置． （1）记事件：相同的数字排在一起，求事件发生的概率； （2）记事件：只有一组相同的数字排在一起，求事件发生的概率； （3）记事件：相同数字不相邻且相同数字之间只有一个数字，求事件发生的概率． 19. 把一颗质地均匀，四个面上分别标有复数、、、（为虚数单位）的正四面体玩具连续抛掷两次，第一次出现底面朝下的复数记为，第二次出现底面朝下的复数记为． （1）用表示“”这一事件，求事件的概率； （2）设复数的实部为，求的分布列及数学期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $