北京市通州区2024-2025学年高二下学期期末质量检测数学试卷

2025北京通州高二（下）期末 数 学 2025年7月 本试卷共4页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）已知集合，，则 （A） （B） （C） （D） （2）下列函数中，在区间上单调递减的是 （A） （B） （C） （D） （3）随机变量服从正态分布，，则 （A） （B） （C） （D） （4）已知8名学生中有5名男生，从中选出4名代表，记选出的代表中男生人数为，则 （A） （B） （C） （D） （5）某校男女生人数之比为，其中男生近视率为0.4，女生近视率为0.6，则该校学生的近视率为 （A） （B） （C） （D） （6）设离散型随机变量的分布列为 -1 0 1 2 0.3 0.3 则与的值分别是 （A）0.4 3 （B）0.4 2 （C）0.4 1 （D）0.2 1.6 （7）已知，且，则 （A） （B） （C） （D） （8）已知，则“”是“”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件　　　　　 （D）既不充分也不必要条件 （9）血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，某患者治疗过程中，血氧饱和度随给氧时间（单位：时）的变化规律满足指数模型：，其中为初始血氧饱和度，为参数.已知开始治疗时患者血氧饱和度为，治疗1小时后，血氧饱和度为.若要使得血氧饱和度恢复到，则至少还需要给氧时间（单位：时）约为 （精确到0.1，参考数据：） （A）1.5 （B）1.6 （C） 0.5　 （D）0.6 （10）设集合，集合，那么集合中满足的元素的个数为 （A）72 （B）54 （C）24　 （D）12 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． （11）函数的定义域是 ． （12）已知的展开式的二项式系数和为，则 ；含有项的系数为 ． （13）已知函数若关于的方程有三个相异的实数根，则的取值范围是 ． （14）一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球5个，其余为黑球，每次随机摸1球．若不放回地摸球，第一次摸到白球，则第二次又摸到白球的概率为 ；某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中有放回地随机摸取10次，若其中恰有次摸到白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大，该同学应该设置摸到白球的次数为 ． （15）Sigmoid函数是神经网络中最常用的激活函数之一，其解析式为：.则下列正确结论的序号是 ． ①若，则； ②； ③导函数的最大值是； ④，. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （16）（本小题13分） 已知函数为偶函数. （Ⅰ）求实数的值； （Ⅱ）求函数的单调区间和极值． （17） （本小题13分） 某县开展“振兴乡村•助农直播”活动，某日不同时段的直播开始时间及带货时长如下表（均按计划完成）： 上午场（09:00至11:59开播，生鲜农产品） 下午场（14:00至17:59开播，手工艺品） - 09:00 直播间A（特色水果）：带货时长2小时20分 - 09:45 直播间B（生态大米）：带货时长1小时50分 - 10:30 直播间C（散养土鸡）：带货时长2小时30分 - 11:15 直播间D（手工腐竹）：带货时长1小时30分 - 14:00 直播间E（竹编器具）：带货时长1小时30分 - 15:30 直播间F（刺绣饰品）：带货时长2小时40分 - 16:45 直播间G（藤编家具）：带货时长1小时10分 （Ⅰ）某主播从上述直播间中随机选取一场参与，求该场直播的带货时长超过2小时的概率； （Ⅱ）甲、乙、丙3位主播依次从上述直播间中随机选取一场参与（每直播间仅一位主播）， 求甲、乙、丙中至少有2人带货时长超过2小时的概率； （Ⅲ）若甲、乙、丙三人随机选取一场参与，其中甲必须选上午场直播，乙必须选下午场直播，丙的选择无时段限制，且甲、乙、丙3人的选择互不影响．记甲、乙、丙的带货时长的方差分别为，写出的大小关系？（结论不要求证明） （18）（本小题15分） 某区开展“文明先锋”志愿服务活动，为表彰优秀志愿者，用分层抽样的方法按青少年组与成年组分别抽取若干名志愿者调查其服务情况，并依据服务时长评选出一星、二星、三星优秀志愿者，数据如下： 组别 人数 获奖人数 一星 二星 三星 青少年 100 5 15 20 成年 200 15 15 20 假设所有志愿者的获奖情况相互独立，用频率估计概率． （Ⅰ）试估计本社区一星志愿者的获奖概率； （Ⅱ）从本社区青少年组志愿者中随机抽取1名，成年组志愿者中随机抽取2名，以表示这3名志愿者中获奖的人数，求的分布列与期望； （Ⅲ）若从该社区志愿者中随机抽取1名，记抽到的志愿者获奖的概率为；为支援某大型活动，从其他社区调入名一星志愿者，再随机抽取1名，记抽到的志愿者获奖的概率为，试估计与的大小.（结论不要求证明） （19） （本小题15分） 已知函数. （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）当时，求证：. （Ⅲ）设，求函数的极值. （20） （本小题15分） 已知函数，. （Ⅰ）若曲线在处的切线与平行，求实数的值； （Ⅱ）当时，记函数，求的零点个数及所有零点之和的值． （21） （本小题14分） 定义元点集满足，，.若非空集合，满足中所有点的横坐标之和，则称满足性质;若中所有点的纵坐标之和，则称满足性质.若集合存在两个其非空子集，满足，，且， 之一满足性质，另一个满足性质，则称为一个元均衡点集. （Ⅰ）请写出一个3元均衡点集，并写出一组使得时对应的子集和； （Ⅱ）求证：对于任意一个3元均衡点集，都满足； （Ⅲ）求最大的正整数,使得任意一个都是元均衡点集. 参考答案 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） B C B C D A C A D B 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （11） （12）; （13） （14） ；2 （15） ②③④ 三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共13分） （Ⅰ）因为函数为偶函数， 故，………………2分 所以．………………4分 （Ⅱ）函数定义域为， 当时，， ，令，得， 当，，在上递减； 当，，在上递增， 有极小值，无极大值，………………10分 由偶函数对称性知，当时， 在上递增；在上递减，有极小值，无极大值， 故的单调递减区间为和，单调递增区间为和， 极小值为和，无极大值.………………13分 （17） （共13分） 解：（Ⅰ）7场直播中有3场时间超过2小时，故该主播直播的带货时长超过2小时的概率为． ………4分 （Ⅱ）记事件=“甲、乙、丙中至少有2人带货时长超过2小时”， 则， 故甲、乙、丙至少有2人带货时长超过2小时的概率为.……………10分 （Ⅲ）. ………………13分 （18） （共15分） 解：（Ⅰ）样本中300名志愿者共有20名一星志愿者，故估计本社区一星志愿者的获奖概率为. ………3分 （Ⅱ）由表知，估计本社区青少年组志愿者获奖概率，成年组志愿者获奖概率， 的可能取值为0，1，2，3. ； ； ； . 0 1 2 3 的分布列为 . ………12分 （Ⅲ）. ………15分 （19） （共15分） （Ⅰ）当时，，则， ∴，又 ， ∴切线方程为即.………4分 （Ⅱ）证明：当时，， 函数的定义域为， 要证明，即证明， 设， 则， 令，得，(舍). 当变化时，，的变化情况如下表: -1 + 0 - ↗ 极大值 ↘ 所以≤. 因为，所以≤0， 即， ∴ 得证.………10分 （Ⅲ）, ∴， 令，因为，所以， 当时，的定义域为， 当变化时，，的变化情况如下表： + 0 - ↗ 极大值 ↘ 此时有极大值，无极小值. 当时,h(x)的定义域为， 当变化时，，的变化情况如下表： - 0 + ↘ 极小值 ↗ 此时有极小值，无极大值.………15分 （20）（共15分） 解：（Ⅰ）由条件知，，又， 所以， 故. ………4分 （Ⅱ）当时，，.  记在上单调递减，且. 所以存在唯一的，使，即.  当，，在上递增； 当，，在上递减， 所以.  ，又，， 故在和各有一个零点，共两个零点.  设是零点，则， 又有， 所以也是零点，故零点和为.……………15分 （21） （共14分） 解：（Ⅰ）．（答案不唯一）………3分 （Ⅱ）对于任意3元均衡点集，不妨设， 且，，， ①若，则，不妨令， 则，此时恒有； ②若，则，可令， 此时，则，满足题意； ③若，则，令， 此时，则，满足题意； ④若，则，则 令， 此时，则，满足题意； 同理可证时成立， 所以对于任意3元均衡点集，都满足.………8分 （Ⅲ）． 取12元点集， ， 任取其６元子集,其所有点的横坐标之和，所以此 具有性质的子集中点的个数不超过5个，从而与这个构成的另一子集至少含有7个点，而其所有点的纵坐标之和不小于,所以子集不具有性质，因此该 不是均衡子集，所以, 下证，即证时，11元点集 都是均衡点集． 任取， 不妨设， ①如果， 则取，， 得，满足性质，满足性质，则是均衡点集. ②如果，则存在唯一正整数，使得 ， 取，，则 当且仅当时取等号； 所以子集满足性质，故是均衡点集． 综上，任一为一个11元均衡点集，则 ，所以．……………14分 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$