精品解析：湖南省岳阳市湘阴县2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学试题

2025年高一期终质量检测 数学学科试题卷 注意事项：本试卷分试题卷和答题卷，请将答案写在答题卷上，只交答题卷. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，若，那么符合条件的集合S的个数是（ ） A. 4 B. 10 C. 11 D. 12 3. 八名学生的高考总分分别为，则这组数据的第75百分位数是（ ） A. 667 B. 671 C. 673 D. 675 4. 在中，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 16 5. 已知且，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 6 6. 《九章算术》中将正四棱台称为“方亭”．现有一方亭，上底面边长为2，下底面边长为6，侧棱与下底面所成的角为，则此方亭的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义在上的增函数，且为奇函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知大于1的三个实数满足，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，其中，，，，则（ ） A. B. C. 与互斥 D. 与相互独立 10. 已知函数，则（） A. 函数的最小正周期为 B. 是的一个对称中心 C. 函数在上单调递增 D. 函数图象与直线有3个交点 11. 如图，四棱锥中，侧面为等腰直角三角形，底面ABCD为矩形，，，若该四棱锥存在内切球，且其内切球球心为，其外接球球心为，则下列结论正确的是（ ） A. 平面平面 B. 四棱锥的内切球半径为 C. 四棱锥的体积为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的零点是__________． 13. 已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为______． 14. 已知15个数，， ，的平均数为6，方差为9，现从中剔除，，，，这5个数，且剔除的这5个数的平均数为7，方差为5，则剩余的10个数，， ，的方差为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某市消防救援大队为了提高市民对安全的重视及应对突发情况的能力，对本市市民组织了一次逃生及安全常识(综合安全事故､自然灾害等)网络测试，满分为100分．测试完后抽取了400份试卷，把分数按依次分为第一至第六组(所有得分均满足)，其中与的人数均为40人，统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图．若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，以频率估计概率，得出本次测试成绩的平均分为74分． （1）求图中的值，并估计本次测试的及格率(“及格率”指得分为60分及以上的市民所占比例)； （2）分别求图中的值与的值； 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，． （1）求角A和边a； （2）若点是边上的中点，求的最大值． 17. 如图，在直三棱柱中，，，， 是四边形(含边界)内的动点且． （1）求证：平面； （2）求点的轨迹长． （3）若点又在线段上， 求此时直线与直线所成角的余弦值． 18. 几何体是从边长为2的正方体中截取所得，其中E，F分别为CC1，AA1的中点，点在线段上． （1）若为的中点，求证：平面； （2）求二面角的正切值； （3）证明：存在点，使得平面，并求的值． 19. 双曲函数在实际生活中有着非常重要的应用，比如悬链桥．在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，最基础的是双曲正弦函数和双曲余弦函数． （1）证明：； （2）是否存在正实数，使得在上的取值范围是？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． （3）求证：函数存在唯一零点且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年高一期终质量检测 数学学科试题卷 注意事项：本试卷分试题卷和答题卷，请将答案写在答题卷上，只交答题卷. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的性质直接求解即可. 【详解】由题意有，则，所以． 故选：D． 2. 已知，若，那么符合条件的集合S的个数是（ ） A. 4 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】解法1 ：写出S所有可能的集合，即可求解； 解法2：分析可得，若，则，此时S的个数为，从而可得满足的个数. 【详解】解法1 ：由题意知，满足要求的S可能为 ， 则符合条件的集合S的个数为12． 解法2：由题意，集合，若，则， 此时集合S的个数为， 所以当时，可得集合S的个数为． 故选：D. 3. 八名学生的高考总分分别为，则这组数据的第75百分位数是（ ） A. 667 B. 671 C. 673 D. 675 【答案】C 【解析】 【分析】由百分位数的计算公式计算可得答案． 【详解】将这组数据由小到大排列为：， 因为，所以选取第6个和第7个数的平均数作为结果， 所以这组数据的第75百分位数是． 故选：C． 4. 在中，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算可得，，再根据数量积的定义及运算律求解即可. 【详解】由为的中点，得， 又， 则． 故选：B. 5. 已知且，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】法一：由得，可得，进而结合基本不等式求解即可； 法二：由得，由，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】已知，且， 法一：由得， 则 ， 当且仅当时取等号，则的最小值为； 法二：由得， 则， 当且仅当，即，时取等号， 则的最小值为． 故选：B. 6. 《九章算术》中将正四棱台称为“方亭”．现有一方亭，上底面边长为2，下底面边长为6，侧棱与下底面所成的角为，则此方亭的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意找到侧棱与下底面所成的角，求出侧棱长，求出正四棱台的高即可求出此方亭的体积. 【详解】如图，分别是正四棱台不相邻两个侧面的高，是一条侧棱， 过作，连接， 所以是正四棱台的高，所以， 因为，所以， 所以方亭的体积为． 故选：A． 7. 已知函数是定义在上的增函数，且为奇函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，把转化成，再结合函数的奇偶性，把不等式转化成，再结合的单调性，得到，分离参数，根据二次函数的性质，可求实数的取值范围. 【详解】令，则， 由， 可得， 即， 又因为为奇函数，所以. 因为是定义在上的增函数，所以也是定义在上的增函数， 故，即恒成立. 因为，所以的最小值为， 所以，即实数的取值范围是. 故选：A 8. 已知大于1的三个实数满足，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 令，则为的零点，根据判别式可得，就和分类讨论后可得的大小关系. 【详解】令，则为的零点且该函数图象的对称轴为， 故， 因为，故，所以即. 又， 若，则，故即. 若，则，所以或者， 即或. 故选：D. 【点睛】本题考查二次函数的零点，注意先根据方程的形式构建二次函数，再利用零点存在定理来讨论，注意合理分类，本题为中档题. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，其中，，，，则（ ） A. B. C. 与互斥 D. 与相互独立 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题设先求出可判断C；结合古典概型、相互独立的概率公式判断AD；根据概率的基本性质判断B. 【详解】因为，，，， 所以，所以与不互斥，故C错误； 而，，， 所以，即与相互独立，故A错误，D正确； 而，故B正确． 故选：BD 10. 已知函数，则（） A. 函数的最小正周期为 B. 是的一个对称中心 C. 函数在上单调递增 D. 函数图象与直线有3个交点 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，利用三角恒等变换得到，可求出最小正周期；B选项，代入验证；C选项，换元，令，转化成在对应区间上的单调性问题；D选项，同一坐标系内画出两函数图象，数形结合可得到答案. 【详解】A选项， ， 故的最小正周期为，A正确； B选项，， 故不是的一个对称中心，B错误； C选项，，令， 由于在上不单调，故在上不单调，C错误； D选项，同一坐标系内画出与，如下： 可以看出两函数有3个交点，D正确． 故选：AD 11. 如图，四棱锥中，侧面为等腰直角三角形，底面ABCD为矩形，，，若该四棱锥存在内切球，且其内切球球心为，其外接球球心为，则下列结论正确的是（ ） A. 平面平面 B. 四棱锥的内切球半径为 C. 四棱锥的体积为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：运用线面垂直判断得到 垂直面，再用面面垂直判定得到平面平面即可. 选项B：由等腰直角三角形 三边关系得 长度，再由全等得 垂直面 ，四棱锥内切球在面 投影是 内切圆，用直角三角形内切圆半径公式求半径．选项C：取中点、，由面面垂直得垂直面，设，根据条件列方程求，进而求体积．选项D： 是 外接圆圆心，外接球球心是中点，结合内切球半径和 长度求． 【详解】对于A，因为，，平面PAD， 所以平面PAD，所以平面平面ABCD，A正确； 对于B，因为侧面PAD为等腰直角三角形，， 所以，， 因为平面PAD，平面PAD，则， 则为直角三角形，且，， 所以，易知平面， 该四棱锥的内切球在平面上的“正投影”为的内切圆， 设的内切圆半径为r，则， 所以四棱锥的内切球半径为，B正确； 对于C，分别取的中点E，F，连接则， 又平面截内切球所得的圆为大圆，且切点在上， 设，则，，， 所以，得， 所以四棱锥的体积，C错误； 对于D，易知E为的外接圆圆心，平面PAD， 又四边形为矩形， 所以外接球球心为为的中点，故，D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的零点是__________． 【答案】 【解析】 【分析】直接令，解出即可. 【详解】令，解得. 故答案为：. 13. 已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直的关系式求得，再代入投影向量的公式，即可求解. 【详解】由，得， 因为，所以，即， 则，可得． 则向量在向量上的投影向量为． 故答案为：. 14. 已知15个数，， ，的平均数为6，方差为9，现从中剔除，，，，这5个数，且剔除的这5个数的平均数为7，方差为5，则剩余的10个数，， ，的方差为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平均数和方差的公式求解即可. 【详解】由题意知，，， 所以，所以剩余的10个数的平均数为． 根据方差公式， 得，， 即，， 所以， 所以剩余的10个数的方差为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某市消防救援大队为了提高市民对安全的重视及应对突发情况的能力，对本市市民组织了一次逃生及安全常识(综合安全事故､自然灾害等)网络测试，满分为100分．测试完后抽取了400份试卷，把分数按依次分为第一至第六组(所有得分均满足)，其中与的人数均为40人，统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图．若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，以频率估计概率，得出本次测试成绩的平均分为74分． （1）求图中的值，并估计本次测试的及格率(“及格率”指得分为60分及以上的市民所占比例)； （2）分别求图中的值与的值； 【答案】（1）0.01；85% （2），． 【解析】 【分析】（1）先求出a，再根据频率算出及格率即可； （2）根据及格率和平均值构造方程组计算即可； 【小问1详解】 由题意·，， 所以及格率为. 【小问2详解】 由题意可知：， 得， 平均分， 解得，． 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，． （1）求角A和边a； （2）若点是边上的中点，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和两角和差的正弦公式化简得，再利用诱导公式即可求出； （2）根据得出，再利用余弦定理和基本不等式求出即可. 【小问1详解】 由和正弦定理可得，， 化简得， 因，则，则，即， 因，故， 又由且， 可得． 【小问2详解】 因为点是边上的中点，所以， 平方得， 又由余弦定理得， 则，即，当且仅当时等号成立， 所以. 所以的最大值为. 17. 如图，在直三棱柱中，，，， 是四边形(含边界)内的动点且． （1）求证：平面； （2）求点的轨迹长． （3）若点又在线段上， 求此时直线与直线所成角的余弦值． 【答案】（1） 因，，则在中，由余弦定理得， ，故， 由勾股定理得，所以， 因为直三棱柱，则平面， 因平面，则， 又，平面，所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用余弦定理求出，即可得出，再结合以及线面垂直的判定定理即可求证； （2）利用勾股定理求出，即可求出点的轨迹，再求扇形的弧长即可； （3）过点作直线的平行线交于，在中利用余弦定理求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵平面，平面，∴， ∵，∴， 则点在以为圆心，半径为1的圆上， 又是四边形(含边界)内， 故点的轨迹所对圆心角为，所以点的轨迹长为． 【小问3详解】 因为点又在线段上且，所以， 过点作直线的平行线交于，连接， 则直线与直线所成角为或其补角， 又，所以， ， 在中，， 所以， 故直线与直线所成角的余弦值为. 18. 几何体是从边长为2的正方体中截取所得，其中E，F分别为CC1，AA1的中点，点在线段上． （1）若为的中点，求证：平面； （2）求二面角的正切值； （3）证明：存在点，使得平面，并求的值． 【答案】（1）证明：设，连接， 因为正方形，所以为中点，又矩形中，为的中点， 所以且，所以为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面； （2） （3）证明：连接交于点，因为是正方形，所以， 且，所以平面，平面，所以， 当时，，平面， 所以平面， 此时，，，则， 又，所以，则，则， 所以，又，所以，则， 所以，所以． 【解析】 【分析】（1）设，连接，即可证明为平行四边形，从而得到，即可得证； （2）在平面中，过作于，连接，说明是二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得； （3）连接交于点，由面面垂直的性质得到平面，即可得到，当时可证平面，从而求出此时的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面中，过作于，连接， 因为几何体是从边长为2的正方体中截取所得， 平面，平面， 所以，又，平面，所以平面， 又平面，所以， 是二面角的平面角， 因为，，所以， 所以， 在中，，， 二面角的正切值为； 【小问3详解】 略 19. 双曲函数在实际生活中有着非常重要的应用，比如悬链桥．在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，最基础的是双曲正弦函数和双曲余弦函数． （1）证明：； （2）是否存在正实数，使得在上的取值范围是？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． （3）求证：函数存在唯一零点且． 【答案】（1） 证明：右边 ， 左边， 所以. （2）存在，且 （3） ，定义域为， ①当时，函数在上单调递增， 因为， 所以，根据零点存在定理，使得， 故在上有且只有一个零点． ②当时，因为单调递增，单调递减， ，，所以， 所以在上不存在零点； ③当时， 因为单调递增，，因为 所以，所以在上不存在零点； 综上：有且只有一个零点，且．  因为，所以， 所以， 在上单调递减， ， 所以． 【解析】 【分析】（1）根据双曲函数的运算性质和指数幂的运算性质化简计算即可得证； （2）假设存在正实数t满足题意，可得在上单调递增，令，进而得到即关于u的一元二次方程有两个不等正根，，可得， 进而求解即可； （3）通过逐段分析得函数的单调性，并结合零点存在定理确定有且只有一个零点，且，从而得，再由函数的单调性即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 假设存在正实数t满足题意，易知在上单调递增， 所以， 所以，为关于的方程的两个不等实数根， 令，即关于u的一元二次方程有两个不等正根，， 所以，解得且 所以存在正实数满足题意，t的取值范围且. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $