7.4 《二元一次方程与一次函数》课件-2024-2025学年鲁教版（五四制）七年级数学下册

7.4 二元一次方程与一次函数 学习目标 1.掌握二元一次方程组，用待定系数法确定一次函数的表达式 2.理解作函数图象的方法与代数方法各自的特点 3.进一步理解方程与函数的联系，体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化 情景引入 是兔子还是鸭子？ 是少女还是巫婆？ 我们应该学会通过不同角度看待问题 x+y=5这个等式是二元一次方程还是一次函数呢？ 1.二元一次方程组与一次函数有何联系? 二元一次方程组的解是它们对应的两个一次函数图象的交点坐标；反之，两个一次函数图象的交点坐标也是它们所对应的二元一次方程组的解． 2.二元一次方程组有哪些解法？ 消元法 图象法 是一种代数方法 回顾思考 二元一次方程与一次函数的关系 1.将x+y=5用含x的式子表示y的等式是 。 y=-x+5 2.将方程2x-y=1转化为一次函数的形式为 3.任意的二元一次方程都能转化成一次函数的形式吗？ 从式的角度： y=2x-1 　　今天数学王国搞了个家庭Party，各个成员按照自己所在的集合就坐，这时来了“x+y=5”. 二元一次方程 一次函数 x+y=5 到我这里来 到我这里来 这是怎么回事？ x+y=5应该坐在哪里呢？ 一次函数与二元一次方程 一 程 方 函 数 二元一次方程 一次函数 一一对应 x+y=5 x+4y=2 y=kx+b k≠0 一次函数与二元一次方程 一 5 O 4 3 1 2 y x 2 3 4 5 1 -1 -2 -4 -3 -4 -3 -2 -1 -5 方程的解和函数图象上的点的关系 x+y=5 方程的角度 函数的角度 几何的角度 -5 一次函数与二元一次方程 一 问题探究 思考1：一次函数与二元一次方程有什么关系？ 一次函数 y=5-x 二元一次方程 x+y=5 二元一次方程 y=5-x 做一做 1.解方程组 2.请在同一直角坐标系内分别画出函数y=-x+5与 y=2x-1的图象，找出它们的交点坐标，并比较 与上述方程的解有什么联系． 解：利用消元法，解方程组得 二元一次方程组与一次函数的关系 二 画一画 y x 0 4 1 2 3 5 5 4 3 2 1 -1 -2 思考：方程组的解和这两个函数图象的交点坐标有什么关系？ (2,3) 结 总 一般地，从图形的角度看，确定两条直线的焦点坐标，相当于求相应的二元一次方程的解；而解二元一次方程组相当于确定相应的两直线交点坐标。 二元一次方程组的解 两个一次函数所在直线的交点坐标 一一对应 你一定能行的！ 做 一 做 1、一次函数y=5-x与y=2x-1图象的交点为(2,3), 则相应方程组 的解为 . 你一定能行的！ 做 一 做 2、若二元一次方程组 的解为 则函数 与 的图象的交点 坐标为 . 议一议：A ,B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离 s(千米)都是骑车时间 t (时)的一次函数.1小时后乙距A地80千米; 2小时后甲距A地30千米. 问：经过多长时间两人相遇 ?说出你的方法，并与同学们交流. 1小时后 2小时后甲距A地30千米 乙距A地80千米 甲 A 乙 B 讲授新课 知识点一 用二元一次方程组确定一次函数表达式 图象表示 (A) 0 4 1 2 3 t/时 s/千米 120 100 80 60 50 40 30 20 (B) 可以分别作出两人s 与t 之间的关系图象，找出交点的横坐标就行了. 乙 甲 对于乙，s 是t的一次函数，可设 s=kt+b. 当t=0时，s=100；当t=1时，s=80. 将它们分别代入s=kt+b中， 可以求出k，b的值， 即可以求出乙中s 与t 之间的函数表达式. 你能求出甲的表达式吗？ 设同时出发后t小时相遇，则 15t+20t=100 1时后乙距A地 80千米,即乙的速度是20千米/时 2时后甲距A 地 30千米,故甲的速度是15千米/时 O 4 3 1 2 y x 2 3 4 5 1 -1 -2 -4 -3 -4 -3 -2 -1 -5 y=-x+2 y=-x+5 y=3-x y=3x-7 y=2x-5 1、方程组 有 个解； 2、方程组 有 个解； 3、方程组 有 个解； 二元一次方程组 有一个解 对应一次函数的两直线有一个交点 总结方程组与函数交点的关系 二元一次方程组 有无数个解 对应一次函数的两直线重合 二元一次方程组 无解 对应一次函数的两直线平行 ①将方程组中各方程化为y=kx+b的形式； ②画出各个一次函数的图象； ③由交点坐标得出方程组的解． 总结图像法解方程组的步骤 下列图象，能说出是哪些方程组的解?这些解是什么? 1 1 x y 0 练习 一般需要整理 画成整数形式 -2 1 x y 0 交流学习 用一元一次方程的方法可以解决问题 用图象法可以解决问题 用方程组的方法可以解决问题 用作图象的方法可以直观地获得问题的结果，但有时却难以准确，为了获得准确的结果，我们一般用代数方法. 在以上的解题过程中你受到什么启发？ 例1：某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数．已知李明带了60 kg的行李，交了行李费5元；张华带了90 kg的行李，交了行李费10元． （1）写出y与x之间的函数表达式； （2）旅客最多可免费携带多少千克的行李？ 解：（1）设此一次函数表达式为：y=kx+b（k≠0) . 根据题意，可得方程组 解得 所以旅客最多可免费携带30千克的行李 （2）当x=30时，y=0 例题分析 在某个范围内,某产品的购买量y(单位:kg)与单价x(单位:元)之间满足一次函数,若购买1000kg,单价为800元;若购买2000kg,单价为700元.若一客户购买400kg,单价是多少? 解:设购买量y与单价x的函数解析式为y=kx+b， ∵当x=1000时 y = 800;当x=2000时y = 700， ∴ 800k + b = 1000 700k + b = 2000 ｛ 解得: b =9000 因此,购买量y与单价x的函数解析式为 y =-10x + 9000 当 y = 400时得， -10 x + 900 =400, ∴ x =860. 答:当客户购买400kg,单价是860元. ｛ k=－10 及时练习 解方程组得 b=-1. 例2 已知一次函数的图象过点（3，5）与（-4，-9），求这个一次函数的解析式． 解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b. 3k+b=5， -4k+b=-9， ∴这个一次函数的解析式为 把点（3，5）与（-4，9）分别代入，得： k=2， y=2x-1. 像这样，先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法. 1.设：设出一次函数的表达式：y=kx+b（k≠0）； 2.列：把图象上的点（x1，y1），（x2，y2）代入一次函数解析式，组成二元一次方程组； 3.解：解这个二元一次方程组得k，b. 4.还原：把k，b的值代入一次函数的表达式. 要点归纳 利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤： 1.已知一个正比例函数的图象经过点(－2，4)，则这个正比例函数的表达式是 ______. 2.已知一次函数y=kx+5的图象经过点(－1，2),则k=______. 3.已知函数 y=2x+b的图像经过点(a，7)和(－2，a)，则这个函数的表达式为____________. y=－2x 3 y=2x+5 及时练习 解得 b=-2 解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b. k=－1， 2k+b=0， ∴这个一次函数的解析式为 由题意得： k=－1， y=－x+2. 及时练习 例3 甲、乙两工程队同时修筑水渠，且两队所修水渠总长度相等．右图是两队所修水渠长度y(m)与修筑时间x(h)的函数图象的一部分．请根据图中信息，解答下列问题： （1）直接写出甲队在0≤x≤5的时间段内，y与x之间的函数关系式 ； （2）直接写出乙队在2≤x≤5的时间段内，y与x之间的函数关系式 . 2 5 10 50 70 x(h) y(m) 甲 乙 O y=10x y=20x-30 1. 如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，填空: 　(1)b=______,k=______; (2)当x=30时，y=______; (3)当y=30时，x=______. 2 -18 -42 l x y 随堂练习 2.已知一次函数的图象经过点A（2，1）且与直线 平行，求这个一次函数的表达式？ 分析：由直线平行确定k=-2 由点 A(2,1)确定b的值，b=5 ∴y=-2x+5 解得 解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b（b≠0）. ∴这个一次函数的解析式为 k=1或－1， y=x+2或y=－x+2. ∵一次函数y=kx+b的图象过点（0，2）. ∴b=2 利用二元一次方程确定一次函数表达式 用含字母的系数设出一次函数的表达式： y=kx+b 将已知条件代入上述表达式中得关于k，b的二元一次方程组 解这个二元一次方程组得k，b 课堂小结 $$