2026届高三数学暑期专题练——数列(1)

2026届暑期专题练—数列（1）参考答案 1．B 【分析】根据等比数列求和公式计算化简即可. 【详解】从今年起到第年，这个厂的总产值为， 故选：B. 2．C 【分析】根据等比数列的性质， 得到，再由，求出，，即可得出结果. 【详解】由等比数列的性质可知，， ∵，所以，解得或， 若，则，所以； 若，则，所以. 故选：C. 【点睛】本题主要考查等比数列性质的应用，属于基础题型. 3．D 【分析】由已知可依次求出的值，即可得出答案. 【详解】由已知可得，，. 故选：D. 4．C 【分析】结合等差数列的性质与基本不等式计算即可得. 【详解】由，则有，即， 由基本不等式得，当且时，等号成立， 故的最大值为. 故选：C. 5．B 【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，首项为， 则，所以， 因为，即，则， 等差数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，等差数列的前30项中奇数项有15项，所以，得， 所以. 故选：B 6．A 【分析】若为递增数列，则，可求得，即可求出，再由充分条件、必要条件的定义即可求出答案. 【详解】若为递增数列，则， 即，得，又， 所以，所以， 所以“”是“为递增数列”的必要不充分条件． 故选：A. 7．D 【分析】由，可得异号.若,则，所以，则;若,则，所以，则,再由等差数列的性质和前项和公式对选项进行逐一分析可得答案. 【详解】由，可得异号. 若,等差数列单调递增，则，所以，则 若,等差数列单调递减，则，所以，则 所以，故选项A不正确. 选项B. 当时,则，所以，则 则此时，当时，；当时， ， 而且 此时，故选项B不正确. 选项C.   当时，，则，此时，所以选项C不正确. 选项D. 由，则均不为0. 所以选项D正确. 故选：D 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的性质和前项和公式的应用，解答本题的关键是先分析出若,则，所以，则；若,则，所以，则，以及等差数列的性质和前项和公式的灵活应用. 8．B 【分析】先应用得出，再应用累乘法得出通项公式，代入即可求值. 【详解】由题得，即， 所以， 将上面个式子两端分别相乘， 可得， 即， 所以． 故选：B. 9．AD 【分析】根据选项取值验算可得正确答案. 【详解】当时，，故C不正确； 当时，，排除B； 当，时，经验算，AD均正确，由周期性可知AD正确， 故选：AD. 10．AC 【分析】根据等差中项和等比中项的定义分别求得后可得． 【详解】解：由题意，，， 所以． 故选：AC． 11．ACD 【分析】根据等比数列基本量的计算可得公比，即可求解，利用等比数列的定义即可求解BC，由等比求和公式即可求解D. 【详解】由正项等比数列中，，，所以公比，因此， 对于A，的首项为，A正确， 对于B，，因此，因此是公比为4的等比数列，B错误，C正确， 对于D，由于是公比为4，首项为的等比数列，故前项和为，D正确， 故选：ACD 12．3 【分析】计算出前几项，得出是周期为6的数列，即可根据周期得出答案. 【详解】，， 则， ， ， ， ， ， 即，，所以是周期为6的数列， ， ， 故答案为：3. 13． 【解析】由可得，然后利用累加法，结合等差数列的求和公式可得答案. 【详解】因为，所以， 则； ； . 各式相加可得， 所以， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法. 14． 【分析】由已知递推关系变形凑出一个等差数列的形式，然后利用等差数列通项公式求解． 【详解】∵，∴， ∴数列是等差数列，公差为，又， ∴，∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查由数列的递推公式求通项公式，考查等差数列的通项公式．解题关键是构造一个新数列是等差数列． 15．每一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都相等． 【分析】相邻两项相比可得答案 【详解】每一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都相等．--------------------13分 16． 【分析】由得，当时，结合题意得，进而检验时满足条件即可得答案. 【详解】解：因为①--------------------------3分 所以当时，，可得；---------------------------------------------6分 当时，，②----------------------------8分 ①-②得，所以，--------------------------------------------11分 当时也满足上式，------------------------------------------------------------------------12分 所以的通项公式为.---------------------------------------------------15分 17．是，公比为2 【分析】由等比数列的定义判断并求解即可. 【详解】因为，--------------------------------------------------------------------------4分 所以，-----------------------------------------------------------------------------10分 所以数列是等比数列，且首项为6，公比为2．----------------------------------------15分 18．(1)，，，； (2)，证明见解析 【分析】（1）由代值即可求解； （2）猜想，由数学归纳法的步骤证明即可 【详解】（1）由得， ，解得；--------------------------------------------------------2分 由，解得；---------------------------------------------4分 由，解得；---------------------------------------6分 由，解得；---------------------------------8分 所以计算得，，，；-----------------------------9分 （2）猜想，下面用数学归纳法证明： ①当n＝1时，猜想显然成立.-------------------------------------------------------11分 ②假设时，猜想成立， 即.-------------------------------------------------------------------------13分 那么，当时，，------------------------------------14分 即.-----------------------------------------------------------15分 又， 所以，----------------------------------------------------16分 从而. 即时，猜想也成立. 故由①和②可知，猜想成立.-----------------------------------------------------------17分 19．(1)；； (2)为偶数时，；为奇数时，． 【分析】(1)设公差为，设公比为，根据已知条件列出方程求出d、和q即可得到两个数列的通项公式； (2)分n为偶数和奇数时，利用错位相减法求出数列的前项和为，从而求出的表达式． 【详解】（1）设公差为， ，--------------------------------------------2分 ，-------------------------3分 联立解得：，，；--------------------------------------------------------4分 设公比为， 、、成等差数列，-------5分 ．-------------------------------------------------------------------------------------6分 故，．-------------------------------------------------------------------------------7分 （2）令，则，------------------9分 当为偶数时， ，-----------------------------------------------------------------------------------10分 ，①---------------------------------------------------------11分 ，②---------------------------------------------12分 ①－②得：，-----------------------13分 ，----------------------14分 当为奇数时，，----------------------------15分 为偶数时， ，-----------------------------------16分 为奇数时， ．-----------------17分 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026届暑期专题练—数列（1） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．某工厂去年产值为，计划今后年内每年比上年产值增加，则从今年起到第年，这个厂的总产值为（    ） A． B． C． D． 2．已知等比数列满足，，则（    ） A． B．-2 C．或-2 D．2 3．数列满足，且对，恒有，则（    ） A．2021 B．2023 C．2035 D．2037 4．已知是各项均为正数的等差数列，且，则的最大值为（    ） A．10 B．20 C．25 D．50 5．已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（    ） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知公差的等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 8．已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．数列0，1，0，，0，1，0，，…的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 10．已知a是1,2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab等于（    ） A．6 B．12 C．－6 D．－12 11．在正项等比数列中，，，则（   ） A．数列的首项为 B．数列是公比为2的等比数列 C．数列是公比为4的等比数列 D．数列的前项和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，，（是正整数），写出数列的前几项后猜测 ． 13．设数列中，，，则通项 . 14．已知数列中，，，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）①1，，，，… ②，1，，1，… ③1，，，，… ④3，12，48，192，… 观察上述4个数列，它们有什么共同特点？ 16．（15分）已知数列满足，求数列的通项公式； 17．（15分）已知数列的通项公式为，判断这个数列是否是等比数列．如果是，求出公比；如果不是，说明理由． 18．（17分）已知数列{an}的前n项和. (1)计算a1，a2，a3，a4； (2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论. 19．（17分）已知等差数列前项和为，，；数列是等比数列，且，，，成等差数列. (1)求数列，的通项公式； (2)若数列的前项和为，求的表达式. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026届暑期专题练—数列（1） 高三数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17． （15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$