精品解析：宁夏固原市彭阳县第一中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

彭阳县第一中学2024—2025学年第二学期期末考试 高一数学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 计算的值为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数代数形式的加法求解即得. 【详解】. 故选：A 2. 在中，，，用，表示向量，正确的一组是（ ） A. ， B. ， C. ， D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用加法的平行四边形法则及减法的三角形法则计算判断各个选项即可. 【详解】在中，，， 应用加法的平行四边形法则得， 应用减法的三角形法则得， 故选：A. 3. 计算的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法计算得解. 【详解】. 故选：C 4. 已知，是第四象限角，求的值（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平方关系及差角的正弦公式计算得解. 【详解】由，是第四象限角，得， 所以. 故选：B 5. 为了得到函数的图象，只需把余弦函数曲线上所有的点（ ） A. 向左平行移动个单位长度 B. 向右平行移动个单位长度 C. 向左平行移动个单位长度 D. 向右平行移动个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】 根据三角函数图象变换规律确定选项. 【详解】因为向左平行移动个单位长度得， 故选：C 【点睛】本题考查三角函数图象变换，考查基本分析判断能力，属基础题. 6. 若直线不平行于平面，且，则 A. 内的所有直线与异面 B. 内不存在与平行的直线 C. 内存在唯一的直线与平行 D. 内的直线与都相交 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据线面关系的定义，我们根据已知中直线l不平行于平面α，且l⊄α，判断出直线l与α的关系，利用直线与平面相交的定义，我们逐一分析四个答案，即可得到结论． 解：直线l不平行于平面α，且l⊄α，则l与α相交 l与α内的直线可能相交，也可能异面，但不可能平行 故A，C，D错误 故选B． 考点：平面的基本性质及推论． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面 B. 如果直线a和平面α满足a∥α，那么a平行于平面α内的任何一条直线 C. 如果直线a，b满足a∥α，b∥α，则a∥b D. 如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，bα，那么b∥α 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行的定义即可判断A；根据线面平行的性质定理可判断B；根据线面平行的定义即可判断C；根据线面平行的判定定理可判断D 【详解】如图，在长方体ABCD­A′B′C′D′中， AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面AB′内，故选项A不正确； AA′∥平面B′C，BC平面B′C，但AA′不平行于BC，故选项B不正确； AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，但AA′与A′D′相交，所以选项C不正确； 选项D中，假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾， 故b∥α，即选项D正确． 故选：D. 【点睛】本题考查了线面平行的定义、判定定理、性质定理，需理解定理与定义，属于基础题. 8. 已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( ) （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心） A. 重心外心垂心 B. 重心外心内心 C. 外心重心垂心 D. 外心重心内心 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：因为，所以到定点的距离相等，所以为的外心，由，则，取的中点，则，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以点为的垂心，故选C. 考点：向量在几何中的应用. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的有（ ） A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体叫做棱柱. B. 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形. C. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥. D. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据简单几何体的结构特征，逐项判断，即可得出结果. 【详解】 对于A：如图所示，上下底面平行，各个面都是平行四边形， 此几何体不是棱柱，故A错误； 对于B：由平行六面体的概念和性质可知： 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故B正确； 对于C：棱锥侧面全为三角形，有一个面是平行四边形， 则此面为底面，所以该棱锥为四棱锥，故C正确； 对于D：正棱锥的定义是：底面为正多边形，且顶点在底面上的投影为底面中心. 容易得到，所有侧棱长度相等，底面边长相等，每个侧面三角形由两条侧棱和一条底边组成， 因此正棱锥的侧面是等腰三角形，同时，所有侧面三角形的边长对应相等，故侧面三角形全等，故D正确. 故选：BCD. 10. 下列计算正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用向量线性运算逐项计算判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D错误. 故选：AB 11. 下列等式成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦、余弦公式，结合同角公式逐项分析判断. 【详解】对于A，，A成立； 对于B、D，，B不成立，D成立； 对于C，由，得，C成立. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据及向量的复数表示运算得到答案. 【详解】复数与分别表示向量与， ，所以表示向量的复数为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了向量与复数的关系,向量的运算和复数的运算，属于基础题. 13. 四面体的各棱长均为2，则它的表面积_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用四面体的结构特征，三角形面积公式计算作答. 【详解】因为四面体的各棱长均为2，所以. 故答案为： 14. 求函数的周期______.单调递增区间______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用正弦函数的周期性及单调性分别求解即得. 【详解】函数的周期； 当时，，而正弦函数在上单调递增， 则由，解得，所以所求单调递增区间是. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设向量，． （1）求； （2）求向量，的夹角. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标表示求得结果. （2）利用向量的夹角公式求解. 【小问1详解】 由向量，，得. 【小问2详解】 ，则， 而，所以. 16. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合． 【答案】（1），（2），时 【解析】 【分析】（1）先利用同角平方关系及二倍角公式，辅助角公式进行化简，即可求解； （2）由的范围先求出的范围，结合余弦函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）， ， ， ， 故的最小正周期； （2）由可得，， 当得即时，函数取得最小值．所以，时 17. 如图，在三棱锥P－ABC中，底面ABC，，D，E分别是AB，PB的中点． （1）求证：平面PAC； （2）求证： 【答案】（1） ∵点D、E分别是棱AB、PB的中点， ∴， 又∵平面，平面； ∴平面． （2） ∵底面，底面， ∴， ∵，，平面， ∴平面， 又∵平面， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线的性质得到，即可得证； （2）由线面垂直的性质得到，再根据，即可得到平面，即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知函数． （1）求的值： （2）在中，若， ①求的最大值； ②若，，求的面积及边BC的长. 【答案】（1） （2）①；②， 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式得出，再利用倍角公式和辅助角公式化简求出即可； （2）①根据条件求出，再利用辅助角公式化简得出，最后求三角函数的值域即可； ②根据三角形面积公式以及余弦定理求解即可. 【小问1详解】 ， 则. 【小问2详解】 ①由题意可知，， 因，则，则，即， 则， 因，则，， 故的最大值为. ②由①可知，则； 由余弦定理可得，， 则. 19. 如图，在正四棱锥中，已知侧棱和底面边长都等于2，E是的中点. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求正四棱锥外接球的表面积. 【答案】（1）证明：因为四边形为正方形。 所以 又平面，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明； （2）作出异面直线所成的角，由余弦定理求解. （2）连接AC，BD，设，连接，列方程解得，即可求出该正四棱锥外接球的表面积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接,， 则，且， 即为异面直线与所成角， 由可知，又, 所以 即异面直线与所成角的余弦值为. 【小问3详解】 连接AC，BD，设，连接， 易知外接球球心在上，设其为O，且， 在中，， 又在中，，即， 解得，即此时与重合， 从而该正四棱锥外接球的表面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 彭阳县第一中学2024—2025学年第二学期期末考试 高一数学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 计算的值为（ ） A. 5 B. C. D. 2. 在中，，，用，表示向量，正确的一组是（ ） A. ， B. ， C. ， D. 3. 计算的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，是第四象限角，求的值（ ） A. B. C. D. 5. 为了得到函数的图象，只需把余弦函数曲线上所有的点（ ） A. 向左平行移动个单位长度 B. 向右平行移动个单位长度 C. 向左平行移动个单位长度 D. 向右平行移动个单位长度 6. 若直线不平行于平面，且，则 A. 内的所有直线与异面 B. 内不存在与平行的直线 C. 内存在唯一的直线与平行 D. 内的直线与都相交 7. 下列说法正确的是（ ） A. 如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面 B. 如果直线a和平面α满足a∥α，那么a平行于平面α内的任何一条直线 C. 如果直线a，b满足a∥α，b∥α，则a∥b D. 如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，bα，那么b∥α 8. 已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( ) （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心） A. 重心外心垂心 B. 重心外心内心 C. 外心重心垂心 D. 外心重心内心 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的有（ ） A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体叫做棱柱. B. 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形. C. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥. D. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形. 10. 下列计算正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 下列等式成立的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为_________. 13. 四面体的各棱长均为2，则它的表面积_________． 14. 求函数的周期______.单调递增区间______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设向量，． （1）求； （2）求向量，的夹角. 16. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合． 17. 如图，在三棱锥P－ABC中，底面ABC，，D，E分别是AB，PB的中点． （1）求证：平面PAC； （2）求证： 18. 已知函数． （1）求的值： （2）在中，若， ①求的最大值； ②若，，求的面积及边BC的长. 19. 如图，在正四棱锥中，已知侧棱和底面边长都等于2，E是的中点. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求正四棱锥外接球的表面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $