精品解析：广东省江门市新会区尚雅学校2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题B卷

2024—2025学年第一学期 八年级数学期中考试B卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别； 根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，逐项判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，涉及合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方等基本法则．很具运算法则逐一计算即可得到答案． 【详解】解：选项A： 合并同类项时，系数相加，字母及指数不变． 计算：，故A错误． 选项B： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 计算：，故B正确． 选项C： 幂的乘方，底数不变，指数相乘． 计算：，故C错误． 选项D： 积的乘方，每个因数均需乘方． 计算：，故D错误． 故选：B． 3. 点关于y轴对称的点的坐标为（ ） A. （－3，－2） B. （3，－2） C. （3，2） D. （－3，2） 【答案】C 【解析】 【分析】关于y轴对称的两个点横坐标互为相反数，纵坐标一样． 【详解】解：关于y轴对称的点的坐标是． 故选：C． 【点睛】本题考查点坐标的对称，解题的关键是掌握关于坐标轴对称的点坐标的特点． 4. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，根据线段垂直平分线的判定：与线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上即可确定凉亭位置，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵凉亭到草坪三个顶点的距离相等， ∴凉亭选择三条边的垂直平分线的交点，即凉亭选择三条边的中垂线的交点， 故选：． 5. 下列说法正确的是（） A. 三角形的中线就是过顶点平分对边的直线 B. 三角形的高就是顶点到对边的距离 C. 三角形的角平分线是射线 D. 三角形的三条中线必交于一点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形三线定义，根据三角形中线的定义、角平分线的定义、高线的定义逐一判断即可，掌握三角形中线的定义、角平分线的定义、高线的定义是解题的关键． 【详解】解：A、三角形的中线就是连接三角形一个顶点与它对边中点的线段，故选项不符合题意； B、三角形的高就是三角形一个顶点到它对边所在直线的垂线段，故选项不符合题意； C、三角形的角平分线是线段，故选项不符合题意； D、三角形的三条中线必交于一点，说法正确，故选项符合题意； 故选：D． 6. 如图，已知，下列判断中，错误的是（ ） A. 若添加条件，则 B. 若添加条件，则 C. 若添加条件，则 D. 若添加条件，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故选项不符合题意； B、，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故选项符合题意； C、，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故选项不符合题意； D、，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故选项不符合题意； 故选：B． 7. 在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，小于长为半径画弧，分别交，于点、；②分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点；③作射线，交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查基本作图“平分已知角”．解题的关键是熟练掌握角平分线的作法，同时熟记角平分线分角为大小相等的两个角．由题意知，平分，可得的度数，再由，可得的度数． 【详解】解：由作图步骤作图如下： 则平分，又， ∴ 又， ∴． 故选：C． 8. 如图，的外角和的平分线交分线交于点和的平分线交于点M，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线定义等知识点，掌握三角形内角和定理成为解题的关键． 先求出，进而求出，再根据角平分线定义得及，最后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵和的平分线交分线交于点， ∴， ∴． ∵和的平分线交于点M， ∴， ∴， 在中，， 即：． 故选：C． 9. 为求的值，可令，则，然后用，可以得到，则．仿照计算的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查与有理数有关的规律探究，读懂题意并理解题中的计算方法是解题的关键． 仿照题中的方法求解即可． 【详解】解：设，两边同乘以5，得： 用减去原式S，得： 右侧除首项和末项外，其余项均抵消，故：， 解得：． 故选D． 10. 如图，、分别是的高和角平分线，与相交于，平分交于，交于，连接交于，且．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据是的高，，结合是的角平分线， 平分，得到即可得到，判断①正确；先证明再证明即可，可判定②正确；根据得到，结合得到，结合，等量代换即可得到，可判定④正确；；延长交于点N，得到，得到，可以判断③错误，解答即可． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线， 平分， ∴， ∴， 故①正确； ∵是的高，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，是的角平分线， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵ ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故④正确； 延长交于点N， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵，是钝角， ∴， ∴， 故不成立， 故③错误， 故选：B 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，角的平分线的意义，同一三角形中，大角对大边，直角三角形的特征量，熟练掌握三角形全等的判定和性质，直角三角形的特征量，三角形内角和定理是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 如图，是周长为的等边三角形，D是上一点，，交于点E，则线段_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 先求出等边得边长，再在中，由可得，从而求出即可解决问题． 【详解】解：∵是等边三角形，周长为， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：2． 13. 已知一个正多边形的一个外角为，则这是个正_______边形． 【答案】八## 【解析】 【分析】本题考查了正多边形外角和的知识，正多边形的每个外角相等，且其和为．利用任意凸多边形的外角和均为，正多边形的每个外角相等即可求出答案． 【详解】解：多边形的每个外角相等，且其和为，可得 ， 故答案为：八． 14. 已知等边中，点分别在边上，把沿直线翻折，使点落在点处，分别交边于点，若，则的度数为_______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、等边三角形的性质、三角形的内角和定理等知识点，掌握折叠的性质及三角形内角和定理是解题关键．由题意可得，由折叠可知，又，所以，得出，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴． 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，已知中，厘米，，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为____厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 【答案】4或6##6或4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，求出的长，要使与全等，必须或，得出方程或，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过x秒后，使与全等， ∵厘米，点D为的中点， ∴厘米，∠ABC=∠ACB， ∴要使与全等，必须或， 即或， 解得：或， 当时，； 当时，； 即点Q的运动速度是4或6， 故答案为：4或6 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分） 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，9 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值等知识点，掌握整式的混合运算法则成为解题的关键． 先运用整式的混合运算法则化简，然后将代入计算即可． 【详解】解： ． 当，原式． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）请画出与关于轴对称的； （2）请写出点，，的坐标； （3）在轴上找出点，使得的值最小．（保留作图痕迹） 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2），， （3）解：如图，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了作图轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的． （1）利用轴对称变换的性质分别分别作出，，的对应点，，即可； （2）根据图形可得三点的坐标； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时，的值最小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，，，； 【小问3详解】 略 18. 已知：如图，E为△ABC的外角平分线上的一点，AE∥BC，，求证： （1）△ABC是等腰三角形； （2）． 【答案】（1） 证明：∵AE//BC ∴ ∵AE平分 ∴ ∴ ∴，即△ABC是等腰三角形； （2） 证明：由（1）可得， ∵ ∴ ∴． 【解析】 【分析】（1）由AE//BC可得，由AE平分得，从而，故可得结论； （2）根据SAS证明即可证明AF=CE． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判断与性质，能判断出等角对等边是解答本题的关键． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分） 19. 若（且，是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： （1）如果，则_______； （2）如果，求的值； （3）如果，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）根据（且，是正整数），则即可求解； （）根据幂的乘方法则计算即可； （）根据同底数幂的乘法逆用以及幂的乘方与积的乘方法则计算即可； 本题主要考查了同底数幂的乘法逆用以及幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变形． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 【小问3详解】 ∵， ∴， ， ∴， ∴， 解得：． 20. 观察下列分解因式的过程：． 解：原式 ． 像这种通过增项或减项把多项式转化成完全平方形式的方法称为配方法． （1）请你运用上述配方法分解因式：； （2）已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求周长的最大值． 【答案】（1）； （2）23． 【解析】 【分析】（1）本题考查了因式分解，掌握公式法即可解题． （2）本题考查了配方法运用，将原式变形为，再根据平方的非负性，解出a和b的值，最后利用三角形三边关系即可解题． 【小问1详解】 解：原式， ． 【小问2详解】 解：由整理， 得， ， ， 解得，． 由三角形三边之间的关系，得． 为正整数，周长最大， ， ， 即周长的最大值为23． 21. 如图①，已知在中，，D是边上任意一点，过点D分别向作垂线，垂足分别为E，F． （1）当点D在的什么位置时，？请说明理由； （2）如图②，过点C作边上的高，试猜想之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】（1） 当点D在的中点时，．理由如下： ∵点D为的中点， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （2） ．理由如下： 如图，连接． ∵ ∴． ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形面积公式等知识点，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）当点D在的中点时，，根据证，再根据全等三角形的性质即可解答； （2）如图，连接，根据进行分析证明即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 五、解答题（三）（本大题共2小题，其中22题13分，23题14分） 22. [知识生成]通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 例如：如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： （1）观察图②，请你写出、、之间的等量关系是______； （2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若，，求的值； [知识迁移]类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式． （3）根据图③，写出一个代数恒等式：______； （4）已知，，利用上面的规律求的值． 【答案】（1）；（2）14；（3）；（4）9 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，以及对完全平方式进行了知识扩展，考查了学生灵活应变的能力． （1）观察图②大正方形面积减中间小正方形面积等于个长方形面积； （2）灵活利用上题得出的结论，灵活计算求解； （3）利用两种方式求解长方体的体积，得出关系式； （4）利用上题得出的关系式，进行变换，最终求出答案． 【详解】解：（1）用两种方法表示出个长方形的面积：即大正方形面积减中间小正方形面积等于个长方形面积，可得：； 故答案为：； （2）由题（1）知：， ； （3）根据题意得：； 故答案为：； （4）由（3）可知， 把，代入得： ． ． 23. 【基础巩固】（1）如图1，在与中，，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在与中，，B、D、E三点在一条直线上，与交于点F，若点F为中点， ①求的大小； ②，求的面积； 【拓展提高】（3）如图3，在与中，，与交于点F，，的面积为18，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）①；②2； （3）的长为6 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质和判定，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键. 对于（1），先说明，再根据“边角边”可得答案； 对于（2）①，先说明，可得，再根据得出答案；②作，证明，可得，再根据等腰三角形的性质得，进而求出，最后根据得出答案； 对于（3），连接，同（2）得：，接下来说明，可得.进而得，然后根据，可得，则此题可解. 【详解】（1）略 （2）解：①∵， ∴， ∴， 同（1）得：， ∴， ∴； ②如图2，过点A作于点G， 则， 由①可知，， ∴. ∵点F为中点， ∴. 又∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3，连接， 同（2）得：， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴. 即的长为6． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期 八年级数学期中考试B卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 点关于y轴对称的点的坐标为（ ） A. （－3，－2） B. （3，－2） C. （3，2） D. （－3，2） 4. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 5. 下列说法正确的是（） A. 三角形的中线就是过顶点平分对边的直线 B. 三角形的高就是顶点到对边的距离 C. 三角形的角平分线是射线 D. 三角形的三条中线必交于一点 6. 如图，已知，下列判断中，错误的是（ ） A. 若添加条件，则 B. 若添加条件，则 C. 若添加条件，则 D. 若添加条件，则 7. 在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，小于长为半径画弧，分别交，于点、；②分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点；③作射线，交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，的外角和的平分线交分线交于点和的平分线交于点M，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 为求的值，可令，则，然后用，可以得到，则．仿照计算的值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，、分别是的高和角平分线，与相交于，平分交于，交于，连接交于，且．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分） 11. 分解因式：______． 12. 如图，是周长为的等边三角形，D是上一点，，交于点E，则线段_____． 13. 已知一个正多边形的一个外角为，则这是个正_______边形． 14. 已知等边中，点分别在边上，把沿直线翻折，使点落在点处，分别交边于点，若，则的度数为_______． 15. 如图，已知中，厘米，，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为____厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分） 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）请画出与关于轴对称的； （2）请写出点，，的坐标； （3）在轴上找出点，使得的值最小．（保留作图痕迹） 18. 已知：如图，E为△ABC的外角平分线上的一点，AE∥BC，，求证： （1）△ABC是等腰三角形； （2）． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分） 19. 若（且，是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： （1）如果，则_______； （2）如果，求的值； （3）如果，求的值． 20. 观察下列分解因式的过程：． 解：原式 ． 像这种通过增项或减项把多项式转化成完全平方形式的方法称为配方法． （1）请你运用上述配方法分解因式：； （2）已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求周长的最大值． 21. 如图①，已知在中，，D是边上任意一点，过点D分别向作垂线，垂足分别为E，F． （1）当点D在的什么位置时，？请说明理由； （2）如图②，过点C作边上的高，试猜想之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 五、解答题（三）（本大题共2小题，其中22题13分，23题14分） 22. [知识生成]通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 例如：如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： （1）观察图②，请你写出、、之间的等量关系是______； （2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若，，求的值； [知识迁移]类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式． （3）根据图③，写出一个代数恒等式：______； （4）已知，，利用上面的规律求的值． 23. 【基础巩固】（1）如图1，在与中，，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在与中，，B、D、E三点在一条直线上，与交于点F，若点F为中点， ①求的大小； ②，求的面积； 【拓展提高】（3）如图3，在与中，，与交于点F，，的面积为18，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $