云南省丽江市第一高级中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

丽江市第一高级中学2024-2025学年高三10月月考 数学试卷 注意事项: 1. 试卷总分 150 分, 考试时间 120 分钟。 2. 答题前,考生先将自己的姓名,考号等内容填写清楚。 3. 选择题部分必须使用2B铅笔填涂,非选择题部分必须使用黑色碳素笔或钢笔书写,字迹工整、笔迹清楚。 4. 请按照题号顺序在各题目对应的区域内作答,超出答题区域书写的答案无效。 5. 保持答题卷面整洁,不要折叠、不要弄破,禁止使用涂改液、涂改胶条。 一、单选题（本大题共8小题，共计40分） 1．在复平面内，复数，则（    ） A．2 B． C． D． 2．已知向量，且，则（    ） A．1 B．-1 C．4 D．-4 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．掷一个均匀的骰子．记A为“掷得点数大于等于2”，B为“掷得点数为奇数”，则为（    ） A． B． C． D． 5．现有一种检验方法，对患疾病的人化验结果呈阳性，对未患疾病的人化验结果呈阴性.我们称检验为阳性的人中未患病比例为误诊率.已知一地区疾病的患病率为，则这种检验方法在该地区的误诊率约为（ ） A．0.716 B．0.618 C．0.112 D．0.067 6．关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若且，则是（    ） A．等边三角形 B．顶角为的等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．非直角三角形，也非等腰三角形 8．如图，正方体中，M，N分别是线段上的动点（不含端点），则下列各项中会随着M，N的运动而变化的是（    ）    A．异面直线与直线所成的角的大小 B．平面与平面所成的角的大小 C．直线到平面距离的大小 D．异面直线，之间的距离的大小 二、多选题（本大题共3小题，共计18分） 9．已知正数，，满足，则下列不等关系正确的有（ ） A． B． C． D． 10．已知复数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．是关于的方程的一个根 11．已知、是椭圆的左、右焦点，点在上，是上的动点，轴，垂足为，且为的中点，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．点的轨迹方程为 D．的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，共计15分） 12．若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是__________________. 13．设为单位向量，且，则 . 14．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，CD上，且满足＝，＝2，则|＋|＝________. 四、解答题（本大题共5小题） 15．如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，P、Q为侧棱上的点，且，点为上的点，且．    （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）平面与侧棱相交于点，求的值． 16．某校开展了“学党史”知识竞赛活动，竞赛试题由若干选择题和填空题两种题型构成，每位选手共需要回答三个问题.对于每一个问题，若回答错误得0分；若回答正确，填空题得30分，选择题得20分.现设置了两种活动方案供选手选择.方案一：只回答填空题；方案二：先回答填空题，后续选题按如下规则：若上一题回答正确，则下一次选择填空题；若上题回答错误，则下一次选择选择题.已知甲、乙两位同学能正确回答填空题的概率均为，能正确回答选择题的概率均为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若甲同学采用方案一答题，求甲得分不低于60分的概率； （2）分别列出乙同学选择两种方案得分的分布列，并说明乙同学应该选择何种方案参加比赛更加有利. 17．已知抛物线：与双曲线：相交于点． （1）若，求抛物线的准线方程； （2）记直线l：与、分别切于点M、N，当p变化时，求证：的面积为定值，并求出该定值． 18．已知椭圆C：的短轴长和焦距相等，长轴长是． （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线l与椭圆C相交于P，Q两点，原点O到直线l的距离为．点M在椭圆C上，且满足|OM|= |OP| + |OQ|，求直线l的方程． 19．设函数. （1）证明：当时，； （2）令，证明：数列递减且. 参考答案 1．【答案】A 【详解】∵，则， ∴. 故选A. 2．【答案】D 【详解】由向量，且， ，解得：. 故选D. 3．【答案】A 【详解】因为集合，，故. 故选A. 4．【答案】D 【详解】事件有下列可能： ，共5种； 在事件A条件下满足条件有：共2种，所以. 故选D. 5．【答案】A 【详解】记事件检查结果呈阳性，事件被检查确实患疾病.由题意可知，，，，，所以，因此这种检验方法在该地区的误诊率为.故选. 6．【答案】A 【详解】解：因为关于的不等式的解集为， 所以，且，， 所以，， 所以化为， 解得. 故选A. 7．【答案】A 【详解】在中， ， ，， 又由可得， ，故是等边三角形. 故选A. 8．【答案】A 【详解】以点D为原点，DA，DC，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方形边长为1，则，，，，，，，因为M，N分别是线段上的动点（不含端点），故设，，所以， 会随着M，N的运动而变化，故A选项正确； 设平面的法向量为，则 ，解得： 设平面的法向量为，则，解得： 所以，故平面与平面所成的角的大小为，不随着M，N的运动而变化； 设平面的法向量为，则，解得：， 则，即与平面平行，故直线到平面距离不变，不随着M，N的运动而变化. 设异面直线，的公共法向量为，则，解得：，设异面直线，之间的距离为，夹角为，则，所以异面直线，之间的距离的不随着M，N的运动而变化.    故选A 9．【答案】ACD 【详解】令，则，，，. 选项：，故正确； 选项：，故错误； 选项：，故，，故，从而，故正确； 选项：由知，则，故正确. 故选. 10．【答案】ABD 【详解】，所以 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，即是关于的方程的一个根，D正确. 故选ABD. 11．【答案】ACD 【详解】对于A选项，将点的坐标代入椭圆方程可得，因为，解得， 由椭圆定义可得，因为，则， ， 因为，且函数在上单调递减， 故的最大值为，A对； 对于B选项，不妨设点，则， 则 ， 因为， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为，B错； 对于C选项，设点，则点，设点， 由中点坐标公式可得，则， 因为点在椭圆上，则，即，化简得， 故点的轨迹方程为，C对； 对于D选项，圆的圆心为原点，半径为， 因为，故点在圆外， 所以，， 当且仅当为线段与圆的交点时，取最小值，D对. 故选ACD. 12．【答案】 【详解】因为，所以.设切点为，则切线方程为，将代入，整理得，由题意得（提示：有两条过原点的切线，则有两个切点，即方程有两个解），解得或，所以的取值范围是. 13．【答案】 【详解】因为为单位向量，所以 所以 解得： 所以 14．【答案】3 【详解】因为＝， 所以＝＋＝＋， 又因为＝2， 所以＝＋＝＋， 所以|＋|＝|＋|＝||， 又因为∠BAD＝120°，所以∠ADC＝60°， 所以△ADC为等边三角形，所以AC＝AD＝2， 所以|＋|＝||＝×2＝3. 15．【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）2 【详解】（1）连接， 在中，，，且， 又，，且， 四边形为平行四边形，， 又平面，平面， 所以平面. （2）由（1）得，又平面，平面， 平面， 在中，，， 又平面，平面，平面， 又因且均在平面中， 平面平面. （3）由（1）知，又面，面，平面， 又平面，面面， ，又，，．    16．【答案】（1） （2）分布列见详解，乙同学选择方案二参加比赛更加有利，理由见详解 【详解】（1）甲同学采用方案一答题，得分不低于60分的情况为至少答对两道填空题， ∴其概率； （2）乙同学选择方案二参加比赛更加有利，理由如下：若采用方案一，则其得分X的可能取值为0，30，60，90，∴；； ；， ∴X的分布列为 X 0 30 60 90 P ∴X的数学期望； 若采用方案二，则其得分Y的可能为取值为0，20，30，50，60，90， ∴；； ；； ；， ∴Y的分布列为 Y 0 20 30 50 60 90 P ∴Y的数学期望， ∵，∴乙同学选择方案二参加比赛更加有利. 17．【答案】（1）； （2）见详解，. 【详解】（1）由，得，将其代入，得， 所以抛物线的方程为，其准线方程为. （2）由，得， 由直线与相切，得，解得，切点， 由，得， 由直线与相切，得，解得，切点， 于是，令，则直线的方程为， 点，由，得， 所以， 点到直线的距离为， 所以， 所以的面积为定值，该定值为. 18．【答案】（1） （2）或或或 【详解】（1）设椭圆C的焦距为2c， 由题意有， 解得，，， 故椭圆C的标准方程为； （2）若直线l的斜率不存在，直线l的方程为， 此时满足的点M显然不在椭圆C上，可得直线l的斜率存在， 设直线l的方程为，，，， 联立方程，消去y后整理为， 可得，， 由，可得， 又由，可得，， 将点M的坐标代入椭圆C的方程，有， 整理为， 又由原点O到直线l的距离为，有，可得， 联立方程，可得， 解得或或或， 又由， 可得直线l的方程为或或或． 19．【答案】（1）见详解； （2）见详解. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以函数在上单调递减， 所以当时，， 所以当时， ， 要证明，即证明， 只需证明，因为，所以， 所以只需证明当时，， 设，则， 令，可得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以，当且仅当取等号， 所以，当且仅当取等号， 所以当时， ， 所以当时，成立， 综上，当时，； （2）因为，所以， 若，由（1），故， 则，则， 又，所以， 所以，， 由（1）当时，， 所以，故，又， 于是， 所以，所以，所以， 所以数列单调递减， 设，， 则， 因为，由（1）可得当时，，所以， 所以函数在上单调递增，所以， 所以当时，，所以， 由题意，所以，又， 所以当时，， 所以，当且仅当时等号成立. 所以数列递减且. 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$