精品解析：江西省上饶市第四中学2024-2025学年下学期八年级数学期中考试试卷　

2024—2025学年度第二学期期中考试 八年级数学试卷 一．选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 6，7，8 D. 9，40，42 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知在四边形中，，，添加下列条件，不能保证四边形是矩形的是( ) A. B. C. D. 5. 如图，在菱形中，E，F分别是，的中点，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 不确定 6. 《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙的距离为寸，点和点距离门槛都为尺(尺寸)，则的长是（ ） A. 寸 B. 寸 C. 寸 D. 寸 二、填空题（共6 题，每题3分） 7. 要使根式有意义，则x应满足的条件是______． 8. 写出一个能与合并的二次根式_______（答案不唯一）． 9. 如图，四边形是平行四边形，已知，，则_____． 10. 如图，已知菱形中，对角线与交于点，，，则该菱形的面积是 _____． 11. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为 _________________ ． 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点C的坐标为，四边形是平行四边形，点D、E份别在边、上，且，．动点P、Q在的一组邻边上，以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，其面积为_________． 三．解答题（共5 题，每题6分） 13. 计算： （1）； （2）； 14. 如图，在平行四边形中，点E、F分别在上，且．求证：四边形是平行四边形． 15. 已知的三边分别为a、b、c且满足， （1）求a、b、c的值； （2）试判断的形状． 16. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； （2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、； （3）如图3，点A、B、C是小正方形的顶点，求的度数． 17. 一个矩形的长a=，宽b=． （1）该矩形的面积=　　，周长=　　； （2）求a2+b2+ab的值． 四．解答题（共3题，每题8分） 18. 如图，已知矩形中，对角线，相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 19. 已知 的对角线相交于点 O ，E ，F 分别是 的中点，连接． （1）如图 1 ，求证：； （2）如图 2 ，连接，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图 2 中的所有与面积相等的钝角等腰三角形． 20. 杭州纸伞馆有制作精美的纸伞，如图，四条长度相等的伞骨围成菱形，伞骨连结点A固定在伞柄顶端，伞圈C能沿着伞柄滑动．小聪通过测量发现：当伞完全张开时，伞柄的中点O到伞骨连结点B，D的距离都等于的一半，若夹角，求的度数． 五．解答题（共2题，每题9分） 21. 如图，等腰中，，交于D点，E点是的中点，分别过D，E两点作线段的垂线，垂足分别为G，F两点． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，求的长． 22. 像、、，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题： （1）计算：______； （2）计算：； （3）已知有理数、满足，直接写出、的值． 六．解答题（共1题，12分） 23. 如图，在正方形中，点E是对角线上的一动点，连接，过点E作 交直线于点F，连接． （1）发现问题 如图1，当点F落在边上时，猜想的形状： ． （2）深入探究 如图2，当点F落在边的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题 当点E是在射线上运动，且， 时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期期中考试 八年级数学试卷 一．选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：被开方数中的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、是最简二次根式，故本选项符合题意； C、的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、的被开方数中含有能开方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：B． 2. 以下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 6，7，8 D. 9，40，42 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理逆定理进行判定即可． 【详解】解：，故选项A不符合题意； ，故选项B符合题意； ，故选项C不符合题意； ，故选项D不符合题意； 故选B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方、算术平方根、二次根式的加减，据此逐一判断即可，解决本题的关键是熟记同底数幂相乘，幂的乘方、算术平方根、二次根式的加减法则． 【详解】解：A、，故该选项符合题意； B、，，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：A． 4. 已知在四边形中，，，添加下列条件，不能保证四边形是矩形的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，，证明四边形是平行四边形，，而，则，求得，则四边形是矩形，可判断A不符合题意；由，，证明四边形是平行四边形，则，所以，求得，则四边形是矩形，可判断B不符合题意；由，，，证明，得，可知四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，可判断C符合题意；由，，得，由，得，则，所以，则四边形是矩形，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，，， 四边形是平行四边形，， ， ， ， 四边形是矩形， 故A不符合题意； 如图，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， 故B不符合题意； 如图， 在和中， ， ， ， ， 四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形， 不能保证四边形是矩形， 故C符合题意； 如图，，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， 故D不符合题意， 故选：C． 5. 如图，在菱形中，E，F分别是，的中点，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的性质，三角形的中位线的性质，先求解，再利用三角形的中位线的性质求解即可. 【详解】解：在菱形中， ， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴， 故选：A 6. 《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙的距离为寸，点和点距离门槛都为尺(尺寸)，则的长是（ ） A. 寸 B. 寸 C. 寸 D. 寸 【答案】C 【解析】 【分析】画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】设OA=OB=AD=BC=，过D作DE⊥AB于E， 则DE=10，OE=CD=1，AE=． 在Rt△ADE中， ，即， 解得． 故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 二、填空题（共6 题，每题3分） 7. 要使根式有意义，则x应满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件“被开方数大于等于0”求解即可． 【详解】根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 8. 写出一个能与合并的二次根式_______（答案不唯一）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：能与合并的二次根式可以是．（答案不唯一） 9. 如图，四边形是平行四边形，已知，，则_____． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的对边平行的性质．先利用三角形的外角性质求得的度数，再根据平行四边形的性质推出，利用平行线的性质，即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 如图，已知菱形中，对角线与交于点，，，则该菱形的面积是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是掌握菱形面积等于对角线乘积的一半．根据菱形面积等于对角线乘积的一半进行计算即可． 【详解】解：根据菱形面积等于对角线乘积的一半可得：． 故答案为：． 11. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为 _________________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用．连接，由勾股定理求出，即可得出的长． 【详解】解：如图，连接，则， 中，由勾股定理可得， ， 又∵， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点C的坐标为，四边形是平行四边形，点D、E份别在边、上，且，．动点P、Q在的一组邻边上，以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，其面积为_________． 【答案】或或 【解析】 【分析】过点C作CH⊥OA于点H，由题意易得，，则有，然后分①点P在OC上，点Q在BC上，②点Q在OC上，点P在OA上，③点Q在OA上，点P在AB上，进而根据平信四边形的性质及面积计算公式进行求解即可． 【详解】解：过点C作CH⊥OA于点H，如图所示： ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，即点H与点D重合， 由动点P、Q在的一组邻边上，以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，则可分： ①点P在OC上，点Q在BC上，如图所示： ∴点O与点P重合， ∴； 当DE为对角线时，如图所示： 则； ②点Q在OC上，点P在OA上，如图所示： ∴点C、Q重合， ∴； ③点Q在OA上，点P在AB上，如图所示： ∴点B、P重合， ∴； 综上所述：当动点P、Q在的一组邻边上，以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，其面积为或或； 故答案为或或． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 三．解答题（共5 题，每题6分） 13. 计算： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算和实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先化简绝对值和二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先化简二次根式和运算二次根式的乘法，然后加减计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 14. 如图，在平行四边形中，点E、F分别在上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 解：∵在中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，根据平行四边形的性质，推出，进而得到，证明，根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形，即可得证． 【详解】略 15. 已知的三边分别为a、b、c且满足， （1）求a、b、c的值； （2）试判断的形状． 【答案】（1） （2）直角三角形 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，算术平方根的非负性，勾股定理的逆定理， （1）根据完全平方公式，二次根式的非负性可得，可得答案； （2）根据勾股定理的逆定理解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴是直角三角形． 16. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； （2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、； （3）如图3，点A、B、C是小正方形的顶点，求的度数． 【答案】（1）如图1即为所求； （2）如图2即为所求； （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的定义画出图形即可； （2）利用数形结合的思想画出图形即可． （3）对图形进行点标注，连接，如图，由勾股定理可得，，由此可得是等腰直角三角形，继而得到结果． 【小问1详解】 解：如图1的正方形的边长是，面积是10； 【小问2详解】 如图2的三角形的边长分别为2，，； 【小问3详解】 如图3，连接， ，， ， ， 是等腰直角三角形， 即． 【点睛】本题考查作图应用与设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 17. 一个矩形的长a=，宽b=． （1）该矩形的面积=　　，周长=　　； （2）求a2+b2+ab的值． 【答案】（1）1；4；（2）23． 【解析】 【分析】（1）根据矩形面积公式和周长公式列式计算即可； （2）先求出a+b和ab的值，再利用完全平方公式将原式变形为：（a+b）2-ab，最后将a+b和ab的值代入计算即可． 【详解】解：（1）矩形的面积=ab=(+)×(-)=6-5=1； 周长=2(a+b)=2×(++-)=4． 故答案为：1；4． （2）由（1）得：a+b=2，ab=1， 原式=(a+b)2-ab =(2)2−1 =23． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，正确掌握二次根式的混合运算法则和完全平方公式是解题关键． 四．解答题（共3题，每题8分） 18. 如图，已知矩形中，对角线，相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ，，， ， ∵，， 四边形是平行四边形， 又∵， 四边形是菱形； （2）24 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． （1）首先由四边形是矩形，根据矩形的性质，易得，又由，，可证得四边形是平行四边形，即可判定四边形是菱形； （2）根据以及，即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ，， ∴， ∵， ， ∵四边形是菱形， ． 19. 已知 的对角线相交于点 O ，E ，F 分别是 的中点，连接． （1）如图 1 ，求证：； （2）如图 2 ，连接，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图 2 中的所有与面积相等的钝角等腰三角形． 【答案】（1） 证明：四边形为平行四边形， ， 点分别为的中点， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）根据平行四边形的性质和三角形全等的证明方法求解即可； （2）根据等边三角形的判定与性质证明是等边三角形，再三角形中线的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，， ，F 分别是的中点， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 同理，与面积相等的钝角等腰三角形还有 综上所述，所有与面积相等的钝角等腰三角形有． 20. 杭州纸伞馆有制作精美的纸伞，如图，四条长度相等的伞骨围成菱形，伞骨连结点A固定在伞柄顶端，伞圈C能沿着伞柄滑动．小聪通过测量发现：当伞完全张开时，伞柄的中点O到伞骨连结点B，D的距离都等于的一半，若夹角，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，由题意得，，，推出；根据，得出，即可求解； 【详解】解：∵是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 五．解答题（共2题，每题9分） 21. 如图，等腰中，，交于D点，E点是的中点，分别过D，E两点作线段的垂线，垂足分别为G，F两点． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴点D是的中点． ∵E点是的中点， ∴是的中位线． ∴ ∵，， ∴， ∴． ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴平行四边形为矩形； （2）4 【解析】 【分析】（1）先跟等腰三角形三线合一的性质得出点D是的中点．再证明是的中位线．由中位线的性质得出，再根据，得出，进一步即可得出四边形为矩形． （2）由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，由矩形的性质得出，由勾股定理求出，最后根据线段的和差关系即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵交于D点，E点是的中点，， ∴， 由（1）知，四边形为矩形，则， 在直角中，，， 由勾股定理得：． ∵，， ∴． 即的长为4． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，矩形的判定，三角形斜边的中线等于斜边的一半，三角形中位线有关的求解问题，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键． 22. 像、、，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题： （1）计算：______； （2）计算：； （3）已知有理数、满足，直接写出、的值． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】此题考查了分母有理化计算，正确掌握各式子的有理化因式是解题的关键． （1）分子、分母都乘以； （2）第一项分子、分母都乘以，第二项分子、分母都乘以，再计算即可； （3）将等式左边分母有理化，得到，根据、都是有理数，即可求解． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵、都是有理数， ∴，， 解得，． 六．解答题（共1题，12分） 23. 如图，在正方形中，点E是对角线上的一动点，连接，过点E作 交直线于点F，连接． （1）发现问题 如图1，当点F落在边上时，猜想的形状： ． （2）深入探究 如图2，当点F落在边的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题 当点E是在射线上运动，且， 时，求的面积． 【答案】（1）等腰直角三角形 （2） 解：（1）中结论仍然成立， 理由如下：如图所示，过点 E分别作、的垂线，垂足分别为G、H， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴； ∴是等腰直角三角形． （3）的面积为5或 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的判定和分类讨论的思想是解题的关键， （1）过点E分别作、的垂线，垂足分别为M、N，根据正方形的性质可得 ，，从而可得四边形是矩形，再根据正方形的判定定理可得四边形是正方形，得到，进而可证明，得到，即可判断是等腰直角三角形． （2）过点E分别作、的垂线，垂足分别为G、H，利用（1）中的证明过程，同样可证明，即可证得； （3）根据题意，可分两种情况讨论：①当点E在线段上时，利用正方形的性质可求得，再利用勾股定理即可求得，由（2）可知，从而求出的值；②当点E在延长线上时，过点E分别作直线，直线的垂线，垂足分别为H、G，同理可得四边形是正方形，同样利用勾股定理求得，进而求得的值． 【小问1详解】 解：如图所示，过点E分别作、的垂线，垂足分别为M、N， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图2﹣1，当点E在线段上时， ∵四边形是正方形，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知， 又∵， ∴． 如图2﹣2，当点E在延长线上时，过点E分别作直线，直线的垂线，垂足分别为H、G， 同理可得四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的面积为5或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $