《1.4线段垂直平分线与角平分线（二）》导学案 暑假预习手册10-2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025年暑假苏科版新八年级数学预习手册10-《1.4线段垂直平分线与角平分线（二）》 ( 一、 预习 目标 1.   理解角平分线的性质定理和判定定理，能准确阐述其内容。 2.   掌握角平分线性质定理和判定定理的证明过程，体会证明思路和方法。 3.   学会运用角平分线的性质定理和判定定理解决简单的几何问题，如证明线段相等、角相等，以及进行相关的计算。 4.   通过预习，培养自主探究、分析问题和解决问题的能力，提高逻辑思维水平。 ) ( 一、 预习内容 （一）角平分线的定义 1.从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线 。例如，若OC是 ∠ AOB的角平分线，则 ∠ AOC = ∠ BOC = ∠ AOB。 2.探究 ：在纸上任意画一个角，不利用工具,请你将这个角分成两个相等的角,你有什么办法? 再打开纸片,看看折痕与这个角有何关系?角是轴对称图形吗? 3. 尝试用直尺和圆规作出这个角的平分线，思考作图的依据和原理。 4.点到直线距离:从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 ) ( （二） 角平分线的性质定理 【探究】在 ∠ AOB的内部取折痕上的一点P，分别画点P到OA和OB的垂线段PD和PE,再沿原折痕重新折叠，你有什么发现？ 已知：如图，OC平分 ∠ AOB，点P是OC上的任意一点，PD ⊥ OA，PE ⊥ OB，垂足分别为D,E. 求证：PD=PE. 【 性质定理 】 角平分线上的点到角的两边距离相等； 【 基本图形 】 ： 【 符号语言 】 ： ∵ OC平分 ∠ AOB，PD ⊥ OA ，PE ⊥ OB ∴ PD=PE 【 强调 】定理应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离。缺一不可。 （三）角平分线性质定理的逆定理（角平分线的判定定理） 我们已经知道：线段的垂直平分线性质定理 —— 线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反过来，得到线段的垂直平分线判定定理 —— 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。类似地，角平分线的性质定理 —— 角平分线上的点到角的两边距离相等；反过来，你能提出什么猜想？ 角的内部一点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的角平分线上吗？ 如图，若点Q在 ∠ AOB内部， QD ⊥ OA，QE ⊥ OB，且QD＝QE，点Q在 ∠ AOB的角平分线上吗？为什么？ ) ( 【判定定理】（性质定理的逆定理） 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 。 【 符号语言 】 ∵ 点Q在 ∠ AOB的内部，QD ⊥ OA，QE ⊥ OB，且QD = QE， ∴ 点Q在 ∠ AOB的平分线上。 （四） 角平分线的性质定理 与角平分线的判定定理的比较 （五）三角形的角平分线 1.定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线 （也叫三角形的内角平分线）。三角形有三条角平分线。 例： 如图， △ ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等. 2.性质： 三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心 。三角形的内心到三角形三边的距离相等 。 3.应用：找三角形内到三角形三边距离相等的点。 ) ( 三．经典例题 例1. 如图,OP平分 ∠ MON,PA ⊥ ON于点A,点 Q 是射线OM上的一个动点，若PA=4，则 PQ的长不可能是 ( ) A.3.5 B.4 C.4.5 D.5 例 2 . 如图AD 是 △ ABC中 ∠ BAC的平分线,DE ⊥ AB于点 E,S △ ABC =7,DE=2,AB=4,AC == ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 ) ( 例3 .如图所示,AD ⊥ OB,BC ⊥ OA,垂足分别为D、C,AD与BC相交于点P,连接OP,若PA=PB,则 ∠ 1与 ∠ 2的大小关系是(　　) A. ∠ 1= ∠ 2　　　　B. ∠ 1> ∠ 2 C. ∠ 1< ∠ 2　　　　D.无法确定 例4 .如图,DB ⊥ AB于B,DC ⊥ AC于C,BD=DC, ∠ BAC=80°,则 ∠ BAD的度数为(　　) A.10°　　　　B.40°　　　　C.30°　　　　D.20° 例5 . 要想富 , 先修路 . 道路通 , 百业兴 . 古往今来 , 人们一直很重视修建道路 . 因为只有交通便利 , 货物才能流通 , 商业才能发达 . 如图 , 三条公路两两相交 , 现计划在 △ ABC 内部安装一个探照灯 , 要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等 , 则探照灯的位置是 △ ABC 　　　　 的交点 .(　　)  A. 三条角平分线 　　　B. 三条中线 C. 三边上高的交点 　　D. 三边垂直平分线 　 例6. 如图,在 △ ABC中,AD平分 ∠ BAC,DE ⊥ AB,垂足为E.若AC=2,DE=1,则S △ ACD = 　　 .  例7. 已知 △ ABC是等腰直角三角形,AB是其斜边,AD平分 ∠ BAC,求证:AC+CD=AB. 例8 .如图 △ ABC中,AD平分 ∠ BAC,DG垂直平分BC,DE ⊥ AB于E,DF ⊥ AC交AC的延长线于F.(1)求证:BE=CF; (2)如果AB=5,AC=3,求AE、BE的长. ) ( 四．基础过关 （一）选择题 1.如图在 △ ABC中, ∠ C=90°, ∠ B=30°,AD是 ∠ BAC的平分线,已知DC=2,则BD = ( 　) A.3.5　　　　B.4　　　　C.4.5　　　　D.5 2.如图,在 △ ABC中,AD平分 ∠ BAC,DE ⊥ AB,垂足为点E.若 △ ACD的面积为16,AC=8,则DE的长为(　　) A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.6 3 .如图,点P是 △ ABC内部的一点,点P到三边AB,AC,BC的距离相等,即PD=PE=PF,若 ∠ BPC=130°,则 ∠ BAC的度数为　(　　) A.65°　　　　B.80°　　　　C.100°　　　　D.70° 4 .如图, △ ABC的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16,点O是 △ ABC三条角平分线的交点,则S △ OAB ∶ S △ OBC ∶ S △ OAC =(　　) A.4 ∶ 3 ∶ 2　　　　B.5 ∶ 3 ∶ 2 C.2 ∶ 3 ∶ 4　　　　D.3 ∶ 4 ∶ 5 （ 二）填空题 5 ．如图， △ ABC中， ∠ C＝90 ° ，AD平分 ∠ BAC交BC于点D，BD：DC＝2：1，BC＝7.8cm，则D到AB的距离为 　　 cm． 6 ．如图，在 △ ABC中，点D为AB延长线上一点，点E为AC中点，过C作CF ∥ AB交射线DE于F，若BD＝1，CF＝5，则AB的长度为 　　 ． 7 ． △ ABC的周长为6， ∠ A和 ∠ B的平分线相交于点P，若点P到边AB的距离为1，则 △ ABC的面积为 　　 ． （三）解答题 8. 如图,AN ⊥ OB,BM ⊥ OA,垂足分别为N、M,OM=ON,BM与AN相交于点P,连接OP.求证:点P在 ∠ AOB的平分线上. ) ( 9 .如图,某私营企业要修建一个加油站,其设计要求:加油站到两村A、B的距离必须相等,且到两条公路m、n的距离也必须相等,那么加油站应修在什么位置?在图上标出它的位置.(要有作图痕迹) 1 0 .如图,AD ∥ BC, ∠ D=90°, ∠ CPB=30°, ∠ DAB的平分线与 ∠ CBA的平分线相交于点P,且D,P,C在同一条直线上.(1)求 ∠ PAD的度数;(2)求证:P是线段CD的中点. 11. 如图, △ ABC的外角 ∠ DAC的平分线交BC边的垂直平分线于点P,PD ⊥ BA交BA的延长线于点D,PE ⊥ AC于点E. (1)求证:BD=CE; (2)若AB=6 cm,AC=12 cm,求AD的长. ) ( 五．强化练习 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（30分） 1．如图，已知AC平分 ∠ PAQ，D、E、F分别是AP、AC、AQ上的三个动点，下列说法不正确的是（　　） A．DE ⊥ AP，EF ⊥ AQ，可推出AD＝AF B．若DE＝EF，可推出AD＝AF C．若 ∠ DEA＝ ∠ FEA，可推出AD＝AF D．若 ∠ ADE＝ ∠ AFE，可推出AD＝AF 2 ．如图，点E是 ∠ AOB的平分线上一点，EC ⊥ OA，ED ⊥ OB，垂足分别是C，D．下列结论中正确的有（　　）（1）ED＝EC；（2）OD＝OC；（3） ∠ ECD＝ ∠ EDC；（4）EO平分 ∠ DEC；（5）OE ⊥ CD；（6）直线OE是线段CD的垂直平分线． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3 ． △ ABC中，点O是 △ ABC内一点，且点O到 △ ABC三边的距离相等； ∠ A＝40 ° ，则 ∠ BOC＝（　　） A．110 ° B．120 ° C．130 ° D．140 ° 4 ．如图，在 △ ABC中，AB＝8，BC＝9，AC＝6，AD是角平分线，DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，则S △ ABD ：S △ ACD ＝（　　） A．4：3 B．9：8 C．9：6 D．3：2 5 ．如图，在 △ ABC中， ∠ C＝90 ° ， ∠ B＝30 ° ，以A为圆心，任意长为半径画弧交AB于M、AC于N，再分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于D，下列四个结论： ① AD是 ∠ BAC的平分线； ②∠ ADC＝60 ° ； ③ 点D在AB的中垂线上； ④ S △ ACD ：S △ ACB ＝1：3．其中正确的有（　　） A．只有 ①②③ B．只有 ①②④ C．只有 ①③④ D． ①②③④ 6 ．如图，在 △ ABC中， ∠ C＝90 ° ， ∠ ABC＝60 ° ，BD平分 ∠ ABC．若CD＝3，则AD等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 ) ( 7 ．如图， △ ABC中， ∠ A＝90 ° ，AB＝AC，BD平分 ∠ ABE，DE ⊥ BC，如果BC＝10cm，则 △ DEC的周长是（　　） A．8cm B．10cm C．11cm D．12cm 8 ．如图，已知点P到 △ ABC三边的距离相等，DE ∥ AC，AB＝8.1cm，BC＝6cm， △ BDE的周长为（　　）cm． A．12 B．14.1 C．16.2 D．7.05 9. 如图，在等边 △ ABC中，AD是它的角平分线，DE ⊥ AB于点E，若AC＝8，则BD＝（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 1 0 ．如图，AD是 △ ABC中 ∠ BAC的平分线，DE ⊥ AB于点E，DF ⊥ AC于点F．若S △ ABC ＝28，DE＝4，AB＝8，则AC长是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 二．填空题（30分） 11 ．如图，已知BG是 ∠ ABC的平分线，DE ⊥ AB于点E，DF ⊥ BC于点F，DE=6，则DF的长度是 =_________. 12. 如图， ∠ B= ∠ C=90°，M是BC的中点，DM平分 ∠ ADC，且 ∠ ADC=110°，则 ∠ MAB= _______. 1 3 ．如图， △ ABC的外角 ∠ ACD的平分线CP与内角 ∠ ABC的平分线BP交于点P，若 ∠ BPC=40°，则 ∠ CAP= ________. 1 4 ．如图，在 △ ABC中， ∠ C=90°，AD是 ∠ BAC的角平分线，若CD=2，AB=8，则 △ ABD的面积是 __________ ) ( 1 5 ．如图，已知 △ ABC的周长是20，OB和OC分别平分 ∠ ABC和 ∠ ACB，OD ⊥ BC于点D，且OD=3，则 △ ABC的面积是 ________. 1 6 ．如图，AD是 △ ABC的角平分线，DE ⊥ AB于点E，S △ ABC =10，DE=2，AC=6，则AB长是 ______. 1 7 ．如图，BD平分 ∠ ABC交AC于点D，DE ⊥ BC于点E，若AB=5，BC=6，S △ ABC=9，则DE的长为 __________ ． 18 ．如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址 有 ______ 处． 19 ．如图，AB ∥ CD，O为 ∠ BAC、 ∠ DCA的平分线的交点，OE ⊥ AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于 _______ ． 2 0 ．小林在没有量角器和圆规的情况下，利用刻度尺和一副三角板画出了一个角的平分线，他的作法是这样的：如图，（1）利用刻度尺在 ∠ AOB的两边OA，OB上分别取OM=ON； （2）利用两个三角板，分别过点M，N画OM，ON的垂线，交点为P；（3）画射线OP． 则射线OP为 ∠ AOB的平分线．请写出小林的画法的依 据 ___________ ． 三．解答题（60分） 21 ．已知，如图，BD ⊥ AM于点D，CE ⊥ AN于点E，BD、CE交点F，CF＝BF，求证：点F在 ∠ A的平分线上． ) ( 22 ．如图，已知点D、E、F分别是 △ ABC的三边上的点，CE＝BF，且 △ DCE的面积与 △ DBF的面积相等．求证：AD平分 ∠ BAC． 23 ．已知：如图，AD ∥ BC，DB平分 ∠ ADC，CE平分 ∠ BCD，交AB于点E，BD于点O．求证：点O到EB与ED的距离相等． 24 ．如图，D是 △ ABC中BC边上一点， ∠ C= ∠ DAC． （1）尺规作图：作 ∠ ADB的平分线，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求证：DE ∥ AC． 25 ．如图， △ ABC中， ∠ ACB=90°，AD平分 ∠ BAC，DE ⊥ AB于E． （1）若 ∠ BAC=54°，求 ∠ EDA的度数； （2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线． 2 6 ．AD是 △ ABC的角平分线，过点D作DE ⊥ AB于点E，且DE＝3，S △ ABC ＝20． （1）如图1，若AB＝AC，求AC的长； （2）如图2，若AB＝5，请直接写出AC的长． 2 7 ．如图，在 △ ABC中， ∠ ABC＝90 ° ，BD是AC边上的高，AE是 ∠ BAC的角平分线，分别交BD、BC于点G、E，过点B作AE的垂线BF，分别交AE、AC于点H、F． （1）求证：BF平分 ∠ DBC； （2）若 ∠ ABF＝3 ∠ C，求 ∠ C的度数． ) ( ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年暑假苏科版新八年级数学预习手册10-《1.4线段垂直平分线与角平分线（二）》 ( 一、 预习 目标 1.   理解角平分线的性质定理和判定定理，能准确阐述其内容。 2.   掌握角平分线性质定理和判定定理的证明过程，体会证明思路和方法。 3.   学会运用角平分线的性质定理和判定定理解决简单的几何问题，如证明线段相等、角相等，以及进行相关的计算。 4.   通过预习，培养自主探究、分析问题和解决问题的能力，提高逻辑思维水平。 ) ( 一、 预习内容 （一）角平分线的定义 1.从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线 。例如，若OC是 ∠ AOB的角平分线，则 ∠ AOC = ∠ BOC = ∠ AOB。 2.探究 ：在纸上任意画一个角，不利用工具,请你将这个角分成两个相等的角,你有什么办法? 再打开纸片,看看折痕与这个角有何关系?角是轴对称图形吗? 【解析】 对折 。角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 3. 尝试用直尺和圆规作出这个角的平分线，思考作图的依据和原理。 作 法： （1） 以角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，分别交角的两边于两点。 （2） 分别以这两个交点为圆心，以大于这两点间距离一半的长为半径画弧，两弧在角内相交于一点。 （3） 连接角的顶点和这个交点，所得射线就是这个角的平分线。 因为构造出的两个三角形三边分别相等，根据全等三角形的判定定理（SSS）可知这两个三角形全等，全等三角形对应角相等，所以这条射线就是角平分线。 4.点到直线距离:从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 ) ( （二） 角平分线的性质定理 【探究】在 ∠ AOB的内部取折痕上的一点P，分别画点P到OA和OB的垂线段PD和PE,再沿原折痕重新折叠，你有什么发现？ 【解析】PD=PE； 猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 已知：如图，OC平分 ∠ AOB，点P是OC上的任意一点，PD ⊥ OA，PE ⊥ OB，垂足分别为D,E. 求证：PD=PE. 证明： ∵ OP平分 ∠ AOB， ∴ ∠ AOP= ∠ BOP ∵ PD ⊥ AO,PE ⊥ OB ∴∠ PDO= ∠ PEO=90 ° 在 △ PDO和 △ PEO中 ∴△ PDO ≌△ PEO（AAS） ∴ PD=PE 也可以用图形运动来证实：把 △ POC沿OP翻折，由翻折得 ∠ POA= ∠ POB. ∵ PD ⊥ AO,PE ⊥ OB，依据基本事实 “ 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ” 可知PD与PE重合， ∴ PD=PE 【 性质定理 】 角平分线上的点到角的两边距离相等； 【 基本图形 】 ： 【 符号语言 】 ： ∵ OC平分 ∠ AOB，PD ⊥ OA ，PE ⊥ OB ∴ PD=PE 【 强调 】定理应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离。缺一不可。 （三）角平分线性质定理的逆定理（角平分线的判定定理） 我们已经知道：线段的垂直平分线性质定理 —— 线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反过来，得到线段的垂直平分线判定定理 —— 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。类似地，角平分线的性质定理 —— 角平分线上的点到角的两边距离相等；反过来，你能提出什么猜想？ 角的内部一点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的角平分线上吗？ 如图，若点Q在 ∠ AOB内部， QD ⊥ OA，QE ⊥ OB，且QD＝QE，点Q在 ∠ AOB的角平分线上吗？为什么？ 【解析】点Q在 ∠ AOB的平分线上，理由如下:连接OQ， ∵ QD ⊥ OA，QE ⊥ OB， ∴ ∠ PDO= ∠ PEO=90 ° .在Rt △ OPD和Rt △ OPE中，PD=PE，OP=OP， ∴ Rt △ OPD=Rt △ OPE(HL)， ∴ ∠ POD= ∠ POE, ∴ 点P在 ∠ AOB的平分线上. ) ( 【判定定理】（性质定理的逆定理） 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 。 【 符号语言 】 ∵ 点Q在 ∠ AOB的内部，QD ⊥ OA，QE ⊥ OB，且QD = QE， ∴ 点Q在 ∠ AOB的平分线上。 （四） 角平分线的性质定理 与角平分线的判定定理的比较 （五）三角形的角平分线 1.定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线 （也叫三角形的内角平分线）。三角形有三条角平分线。 例： 如图， △ ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等. 证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F ∵ BM是 △ ABC的角平分线，点P在BM上 ∴ PD=PE同理可得PE=PF ∴ PD=PE=PF即点P到边AB、BC、 CA的距离相等 2.性质： 三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心 。三角形的内心到三角形三边的距离相等 。 3.应用：找三角形内到三角形三边距离相等的点。 ) ( 三．经典例题 例1. 如图,OP平分 ∠ MON,PA ⊥ ON于点A,点 Q 是射线OM上的一个动点，若PA=4，则 PQ的长不可能是 ( ) A.3.5 B.4 C.4.5 D.5 【答案】 A 【解析】 ∵ OP 平分 ∠ MON,PA ⊥ ON, ∴ 点P到OM的距离等于 PA,即点 P 到OM 的距离为4, ∴ PQ ≥ 4.故选A. ) ( 例 2 . 如图AD 是 △ ABC中 ∠ BAC的平分线,DE ⊥ AB于点 E,S △ ABC =7,DE=2,AB=4,AC == ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】 A 【解析】 作 DH ⊥ AC于 H,如图 ∵ AD 是 △ ABC中 ∠ BAC 的平分线，DE ⊥ AB,DH ⊥ AC, ∴ DH=DE= 2, ∵ S △ ABC = S △ ADC +S △ ABD , 1 /2 × 2AC+ 1 /2 × 2 × 4=7, ∴ AC=3.故选 A. 例3 .如图所示,AD ⊥ OB,BC ⊥ OA,垂足分别为D、C,AD与BC相交于点P,连接OP,若PA=PB,则 ∠ 1与 ∠ 2的大小关系是(　　) A. ∠ 1= ∠ 2　　　　B. ∠ 1> ∠ 2 C. ∠ 1< ∠ 2　　　　D.无法确定 【 答案】 A　 【 解析】 ∵ AD ⊥ OB,BC ⊥ OA, ∴∠ ACP= ∠ BDP, 又 ∵∠ APC= ∠ BPD,PA=PB, ∴△ ACP ≌△ BDP(AAS), ∴ CP=DP, ∴ OP 平分 ∠ AOB, ∴∠ 1= ∠ 2. 故选 A. 例4 .如图,DB ⊥ AB于B,DC ⊥ AC于C,BD=DC, ∠ BAC=80°,则 ∠ BAD的度数为(　　) A.10°　　　　B.40°　　　　C.30°　　　　D.20° 【 答案】 B　 【 解析】 解法一 : 【角平分线法】 ∵ DB ⊥ AB,DC ⊥ AC, 且 BD=DC, ∴ AD 平分 ∠ BAC, ∴∠ BAD= ∠ CAD= ∠ BAC= ×80°=40°. 故选 B. 解法二 : 【全等三角形法】 ∵ DB ⊥ AB,DC ⊥ AC, ∴∠ B= ∠ C=90°, 在 Rt △ ABD 和 Rt △ ACD 中 , ∴ Rt △ ABD ≌ Rt △ ACD(HL), ∴∠ BAD= ∠ CAD, 又 ∵∠ BAC=80°, ∴∠ BAD=40°. 故选 B. 例5 . 要想富 , 先修路 . 道路通 , 百业兴 . 古往今来 , 人们一直很重视修建道路 . 因为只有交通便利 , 货物才能流通 , 商业才能发达 . 如图 , 三条公路两两相交 , 现计划在 △ ABC 内部安装一个探照灯 , 要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等 , 则探照灯的位置是 △ ABC 　　　　 的交点 .(　　)  A. 三条角平分线 　　　B. 三条中线 C. 三边上高的交点 　　D. 三边垂直平分线 　 【 答案】 A　 【 解析】 ∵ 探照灯的位置到这三条公路的距离都相等 , ∴ 探照灯的位置是 △ ABC 三条角平分线的交点 . ) ( 例6. 如图,在 △ ABC中,AD平分 ∠ BAC,DE ⊥ AB,垂足为E.若AC=2,DE=1,则S △ ACD = 　　 .  【 答案】 1 【 解析 】 过 D 点作 DH ⊥ AC 于 H, 如图 , ∵ AD 平分 ∠ BAC,DE ⊥ AB,DH ⊥ AC, ∴ DE=DH=1, ∴ S △ ACD = ×2×1=1. 例7. 已知 △ ABC是等腰直角三角形,AB是其斜边,AD平分 ∠ BAC,求证:AC+CD=AB. 证明　证法一 : 如图 , 过点 D 作 DE ⊥ AB 于 E, ∵△ ABC 是等腰直角三角形 ,AB 是斜边 , ∴∠ B=45°, ∠ C=90°, ∴△ BDE 是等腰直角三角形 , ∴ BE=DE, ∵ AD 平分 ∠ BAC,CD ⊥ AC,DE ⊥ AB, ∴ CD=DE, ∴ CD=BE. 在 Rt △ ACD 和 Rt △ AED 中 , ∴ Rt △ ACD ≌ Rt △ AED(HL), ∴ AC=AE, ∵ AE+BE=AB, ∴ AC+CD=AB. 证法二 : 如图 , 延长线段 AC 到 E, 使 CE=CD, 连接 DE, ∵ CE=CD, ∴∠ E= ∠ EDC, ∵∠ ACB=90°, ∠ E+ ∠ EDC= ∠ ACB, ∴∠ E= ∠ EDC=45°, ∵△ ABC 是等腰直角三角形 , ∴∠ B=45°, ∴∠ B= ∠ E, ∵ AD 平分 ∠ BAC, ∴∠ EAD= ∠ BAD, 在 △ EAD 和 △ BAD 中 , ∴△ EAD ≌△ BAD(AAS), ∴ AE=AB, 又 ∵ AE=AC+CE=AC+CD, ∴ AC+CD=AB. 例8 .如图 △ ABC中,AD平分 ∠ BAC,DG垂直平分BC,DE ⊥ AB于E,DF ⊥ AC交AC的延长线于F.(1)求证:BE=CF; (2)如果AB=5,AC=3,求AE、BE的长. 解 ： (1) 证明 : 连接 BD 、 CD, 如图 . ∵ AD 平分 ∠ BAC,DE ⊥ AB,DF ⊥ AF, ∴ DE=DF, ∠ BED= ∠ CFD=90°, ∵ DG 垂直平分 BC, ∴ BD=CD. 在 Rt △ BED 与 Rt △ CFD 中 , ∴ Rt △ BED ≌ Rt △ CFD(HL), ∴ BE=CF. (2) ∵ AD 平分 ∠ BAC, ∴∠ EAD= ∠ FAD. 在 △ AED 和 △ AFD 中 , ∴△ AED ≌△ AFD(AAS), ∴ AE=AF, 设 BE=x, 则 CF=x, ∵ AB=5,AC=3,AE=AB-BE,AF=AC+CF, ∴ 5-x=3+x, 解得 x=1, ∴ BE=1, ∴ AE=5-1=4. ) ( 四．基础过关 （一）选择题 1.如图在 △ ABC中, ∠ C=90°, ∠ B=30°,AD是 ∠ BAC的平分线,已知DC=2,则BD = ( 　) A.3.5　　　　B.4　　　　C.4.5　　　　D.5 【 答案】 B　 【 解析】 过 D 点作 DE ⊥ AB 于 E, 如图 , ∵ AD 是 ∠ BAC 的平分线 ,DE ⊥ AB,DC ⊥ AC, ∴ DE=DC=2. 在 Rt △ BDE 中 , ∵∠ B=30°, ∴ BD=2DE=4. 故选 B. 2.如图,在 △ ABC中,AD平分 ∠ BAC,DE ⊥ AB,垂足为点E.若 △ ACD的面积为16,AC=8,则DE的长为(　　) A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.6 【 答案】 C　 【 解析】 如图 , 过点 D 作 DF ⊥ AC, 垂足为 F, ∵△ ACD 的面积为 16,AC=8, ∴ AC·DF=16, ∴ DF=4, ∵ AD 平分 ∠ BAC,DE ⊥ AB,DF ⊥ AC, ∴ DE=DF=4, 故选 C. 3 .如图,点P是 △ ABC内部的一点,点P到三边AB,AC,BC的距离相等,即PD=PE=PF,若 ∠ BPC=130°,则 ∠ BAC的度数为　(　　) A.65°　　　　B.80°　　　　C.100°　　　　D.70° 【 答案】 B　 【 解析】 由题意可知 ,BP 、 CP 是 ∠ ABC 、 ∠ ACB 的平分线 , ∴∠ ABC=2 ∠ PBC, ∠ ACB=2 ∠ PCB, ∵∠ BPC=130°, ∴∠ PBC+ ∠ PCB=50°, ∴∠ ABC+ ∠ ACB=2 ∠ PBC+2 ∠ PCB=2( ∠ PBC+ ∠ PCB)=100°, ∴∠ BAC=180°-( ∠ ABC+ ∠ ACB)=180°-100°=80°. 故选 B. 4 .如图, △ ABC的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16,点O是 △ ABC三条角平分线的交点,则S △ OAB ∶ S △ OBC ∶ S △ OAC =(　　) A.4 ∶ 3 ∶ 2　　　　B.5 ∶ 3 ∶ 2 C.2 ∶ 3 ∶ 4　　　　D.3 ∶ 4 ∶ 5 【 答案】 A　 【 解析】 如图 , 过点 O 作 OD ⊥ AB 于点 D,OE ⊥ BC 于点 E,OF ⊥ AC 于点 F, ∵ 点 O 是 △ ABC 三条角平分线的交点 , ∴ OD=OE=OF, ∵ S △ OAB = AB·OD= ×16OD=8OD, S △ OBC = BC·OE= ×12OE=6OE,S △ OAC = AC·OF= ×8OF=4OF, ∴ S △ OAB ∶ S △ OBC ∶ S △ OAC =8OD ∶ 6OE ∶ 4OF=4 ∶ 3 ∶ 2. 故选 A. ) ( （ 二）填空题 5 ．如图， △ ABC中， ∠ C＝90 ° ，AD平分 ∠ BAC交BC于点D，BD：DC＝2：1，BC＝7.8cm，则D到AB的距离为 　　 cm． 【答案】2.6． 【 解析 】过点D作DE ⊥ AB于E， ∵ AD平分 ∠ BAC，DE ⊥ AB，DC ⊥ AC ∴ CD＝DE 又BD：DC＝2：1，BC＝7.8cm ∴ DC＝7.8 ÷ （2+1）＝7.8 ÷ 3＝2.6cm． ∴ DE＝DC＝2.6cm． 故填2.6． 6 ．如图，在 △ ABC中，点D为AB延长线上一点，点E为AC中点，过C作CF ∥ AB交射线DE于F，若BD＝1，CF＝5，则AB的长度为 　　 ． 【答案】4． 【 解析 】解： ∵ CF ∥ AB， ∴∠ ADE＝ ∠ F， ∠ FCE＝ ∠ A． ∵ 点E为AC的中点， ∴ AE＝EC． ∵ 在 △ ADE和 △ CFE中， ， ∴△ ADE ≌△ CFE（AAS）． ∴ AD＝CF＝5， ∵ BD＝1， ∴ AB＝AD ﹣ BD＝5 ﹣ 1＝4．故答案为：4． 7 ． △ ABC的周长为6， ∠ A和 ∠ B的平分线相交于点P，若点P到边AB的距离为1，则 △ ABC的面积为 　　 ． 【答案】 3 【 解析 】如图，过点P作PD ⊥ AB于D，PE ⊥ BC于E，PF ⊥ AC于F， ∵∠ A和 ∠ B的平分线相交于点P， ∴ PD＝PE＝PF＝1， ∵△ ABC的周长为60， ∴△ ABC的面积＝ AB • PD+ BC • PE+ AC • PF＝ PD（AB+BC+AC）＝ × 1 × 6＝3．故答案为：3． （三）解答题 8. 如图,AN ⊥ OB,BM ⊥ OA,垂足分别为N、M,OM=ON,BM与AN相交于点P,连接OP.求证:点P在 ∠ AOB的平分线上. 证明　 ∵ AN ⊥ OB,BM ⊥ OA, ∴∠ ANO= ∠ BMO=90°, 在 Rt △ ONP 和 Rt △ OMP 中 , ∴ Rt △ ONP ≌ Rt △ OMP(HL), ∴ PN=PM, ∴ OP 平分 ∠ AOB, 即点 P 在 ∠ AOB 的平分线上 . ) ( 9 .如图,某私营企业要修建一个加油站,其设计要求:加油站到两村A、B的距离必须相等,且到两条公路m、n的距离也必须相等,那么加油站应修在什么位置?在图上标出它的位置.(要有作图痕迹) 解 ： 如图 , 点 P 或点 P' 即为所求作的点 . 1 0 .如图,AD ∥ BC, ∠ D=90°, ∠ CPB=30°, ∠ DAB的平分线与 ∠ CBA的平分线相交于点P,且D,P,C在同一条直线上.(1)求 ∠ PAD的度数;(2)求证:P是线段CD的中点. 解 ： (1) ∵ AD ∥ BC, ∴∠ C+ ∠ D=180°, ∴∠ C=180°- ∠ D=180°-90°=90°, ∵∠ CPB=30°, ∴∠ PBC=90°- ∠ CPB=60°, ∵ BP 平分 ∠ ABC, ∴∠ ABC=2 ∠ PBC=120°, ∵ AD ∥ BC, ∴∠ DAB+ ∠ ABC=180°, ∴∠ DAB=180°-120°=60°, ∵ AP 平分 ∠ DAB, ∴∠ PAD= ∠ DAB=30°. (2) 证明 : 过 P 点作 PE ⊥ AB 于 E 点 , 如图 , ∵ AP 平分 ∠ DAB,PD ⊥ AD,PE ⊥ AB, ∴ PD=PE, ∵ BP 平分 ∠ ABC,PC ⊥ BC,PE ⊥ AB, ∴ PC=PE, ∴ PD=PC, ∴ P 是线段 CD 的中点 . 11. 如图, △ ABC的外角 ∠ DAC的平分线交BC边的垂直平分线于点P,PD ⊥ BA交BA的延长线于点D,PE ⊥ AC于点E. (1)求证:BD=CE; (2)若AB=6 cm,AC=12 cm,求AD的长. 解 ： (1) 证明 : 连接 PB,PC, 如图 , ∵ PQ 垂直平分 BC, ∴ PB=PC, ∵ AP 平分 ∠ DAC,PD ⊥ AB,PE ⊥ AC, ∴ PD=PE. 在 Rt △ BPD 和 Rt △ CPE 中 , ∴ Rt △ BPD ≌ Rt △ CPE(HL), ∴ BD=CE. (2) 在 Rt △ ADP 和 Rt △ AEP 中 , ∴ Rt △ ADP ≌ Rt △ AEP(HL), ∴ AD=AE, ∵ BD=CE, ∴ AD+AB=AC-AE, ∴ AD+6=12-AD, ∴ AD=3 cm. ) ( 五．强化练习 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（30分） 1．如图，已知AC平分 ∠ PAQ，D、E、F分别是AP、AC、AQ上的三个动点，下列说法不正确的是（　　） A．DE ⊥ AP，EF ⊥ AQ，可推出AD＝AF B．若DE＝EF，可推出AD＝AF C．若 ∠ DEA＝ ∠ FEA，可推出AD＝AF D．若 ∠ ADE＝ ∠ AFE，可推出AD＝AF 【答案】B 【 解析 】A、 ∵ AC平分 ∠ PAQ，DE ⊥ AP，EF ⊥ AQ， ∴ DE＝EF， ∴△ ADE ≌ AFE， ∴ AD＝AF，正确；B、 ∵ DE＝EF，无法得出 △ ADE ≌ AFE，错误；C、 ∵ AC平分 ∠ PAQ， ∠ DEA＝ ∠ FEA，AE＝AE， ∴△ ADE ≌ AFE， ∴ AD＝AF，正确；D、 ∵ AC平分 ∠ PAQ， ∠ ADE＝ ∠ AFE，AE＝AE， ∴△ ADE ≌ AFE， ∴ AD＝AF，正确；故选：B． 2 ．如图，点E是 ∠ AOB的平分线上一点，EC ⊥ OA，ED ⊥ OB，垂足分别是C，D．下列结论中正确的有（　　）（1）ED＝EC；（2）OD＝OC；（3） ∠ ECD＝ ∠ EDC；（4）EO平分 ∠ DEC；（5）OE ⊥ CD；（6）直线OE是线段CD的垂直平分线． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【 解析 】 ∵ 点E是 ∠ AOB的平分线上一点，EC ⊥ OA，ED ⊥ OB， ∴ EC＝ED，故（1）正确； 在Rt △ OCE和Rt △ ODE中， ， ∴ Rt △ OCE ≌ Rt △ ODE（HL）， ∴ OD＝OC， ∠ ECD＝ ∠ EDC，故（2）（3）正确； ∴ EO平分 ∠ DEC，故（4）正确； ∵ OC＝OD，OE平分 ∠ AOB， ∴ OE ⊥ CD，故（5）正确；直线OE是线段CD的垂直平分线，故（6）正确； 综上所述，6个结论都正确．故选：D． 3 ． △ ABC中，点O是 △ ABC内一点，且点O到 △ ABC三边的距离相等； ∠ A＝40 ° ，则 ∠ BOC＝（　　） A．110 ° B．120 ° C．130 ° D．140 ° 【答案】A 【 解析 】 ∵ O到三角形三边距离相等， ∴ O是内心，即三条角平分线交点，AO，BO，CO都是角平分线， ∴∠ CBO＝ ∠ ABO＝ ∠ ABC， ∠ BCO＝ ∠ ACO＝ ∠ ACB， ∴∠ ABC+ ∠ ACB＝180 °﹣ 40 ° ＝140 ° ， ∴∠ OBC+ ∠ OCB＝70 ° ， ∴∠ BOC＝180 °﹣ 70 ° ＝110 ° ．故选：A． 4 ．如图，在 △ ABC中，AB＝8，BC＝9，AC＝6，AD是角平分线，DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，则S △ ABD ：S △ ACD ＝（　　） A．4：3 B．9：8 C．9：6 D．3：2 【答案】A 【 解析 】 ∵ AD是角平分线，DE ⊥ AB，DF ⊥ AC， ∴ DE＝DF， ∵ AB＝8，BC＝9，AC＝6， ∴ S △ ABD ：S △ ACD ＝ ＝AB：AC＝8：6＝4：3．故选：A． ) ( 5 ．如图，在 △ ABC中， ∠ C＝90 ° ， ∠ B＝30 ° ，以A为圆心，任意长为半径画弧交AB于M、AC于N，再分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于D，下列四个结论： ① AD是 ∠ BAC的平分线； ②∠ ADC＝60 ° ； ③ 点D在AB的中垂线上； ④ S △ ACD ：S △ ACB ＝1：3．其中正确的有（　　） A．只有 ①②③ B．只有 ①②④ C．只有 ①③④ D． ①②③④ 【答案】D 【 解析 】根据作图方法可得AD是 ∠ BAC的平分线，故 ① 正确； ∵∠ C＝90 ° ， ∠ B＝30 ° ， ∴∠ CAB＝60 ° ， ∵ AD是 ∠ BAC的平分线， ∴∠ DAC＝ ∠ DAB＝30 ° ， ∴∠ ADC＝60 ° ，故 ② 正确； ∵∠ B＝30 ° ， ∠ DAB＝30 ° ， ∴ AD＝DB， ∴ 点D在AB的中垂线上，故 ③ 正确； ∵∠ CAD＝30 ° ， ∴ CD＝ AD， ∵ AD＝DB， ∴ CD＝ DB， ∴ CD＝ CB，S △ ACD ＝ CD • AC，S △ ACB ＝ CB • AC， ∴ S △ ACD ：S △ ACB ＝1：3，故 ④ 正确，故选：D． 6 ．如图，在 △ ABC中， ∠ C＝90 ° ， ∠ ABC＝60 ° ，BD平分 ∠ ABC．若CD＝3，则AD等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【 解析 】 ∵∠ C＝90 ° ， ∠ ABC＝60 ° ， ∴∠ A＝30 ° ， ∵ BD平分 ∠ ABC， ∴∠ CBD＝ ∠ ABD＝ ∠ A＝30 ° ， ∴ BD＝AD， ∵∠ C＝90 ° ， ∠ DBC＝30 ° ， ∴ BD＝2CD＝6， ∴ AD＝BD＝6． 故选：D． 7 ．如图， △ ABC中， ∠ A＝90 ° ，AB＝AC，BD平分 ∠ ABE，DE ⊥ BC，如果BC＝10cm，则 △ DEC的周长是（　　） A．8cm B．10cm C．11cm D．12cm 【答案】B 【 解析 】 ∵ BD平分 ∠ ABE，DE ⊥ BC，DA ⊥ AB ∴ AD＝DE又 ∵ BD＝BD ∴ Rt △ BAD ≌ Rt △ BED（HL） ∴ AB＝BE又 ∵ AB＝AC ∴ BE＝ACBC＝BE+EC＝AC+EC＝AD+DC+EC＝DE+DC+EC＝10cm ∴△ DEC的周长是10cm，故选：B． 8 ．如图，已知点P到 △ ABC三边的距离相等，DE ∥ AC，AB＝8.1cm，BC＝6cm， △ BDE的周长为（　　）cm． A．12 B．14.1 C．16.2 D．7.05 【答案】B ) ( 【 解析 】 ∵ 点P到 △ ABC三边的距离相等， ∴ AP平分 ∠ BAC， ∴∠ DAP＝ ∠ CAP， ∵ DE ∥ AC， ∴∠ DPA＝ ∠ PAC， ∴∠ DAP＝ ∠ APD， ∴ AD＝PD，同理PE＝CE， ∴△ BDE的周长＝BD+DE+BE＝BD+PD+PE+BE＝BD+AD+BE+CE＝AB+BC＝14.1cm，故选：B． 9. 如图，在等边 △ ABC中，AD是它的角平分线，DE ⊥ AB于点E，若AC＝8，则BD＝（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【 解析 】 ∵△ ABC是等边三角形，AC＝8， ∴ BC＝AC＝8，AB＝AC， ∵ AD是 △ ABC的角平分线， ∴ BD＝CD＝ BC＝4，故选：A． 1 0 ．如图，AD是 △ ABC中 ∠ BAC的平分线，DE ⊥ AB于点E，DF ⊥ AC于点F．若S △ ABC ＝28，DE＝4，AB＝8，则AC长是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【 解析 】 ∵ AD是 △ ABC中 ∠ BAC的平分线，DE ⊥ AB于点E，DF ⊥ AC交AC于点F， ∴ DF＝DE＝4．又 ∵ S △ ABC ＝S △ ABD +S △ ACD ，AB＝8， ∴ 28＝ × 8 × 4+ × AC × 4， ∴ AC＝6． 故选：C． 二．填空题（30分） 11 ．如图，已知BG是 ∠ ABC的平分线，DE ⊥ AB于点E，DF ⊥ BC于点F，DE=6，则DF的长度是 =_________. 【 答案】6 【 解析】 ∵ BG是 ∠ ABC的平分线，DE ⊥ AB，DF ⊥ BC， ∴ DE=DF=6，故选：D． 12. 如图， ∠ B= ∠ C=90°，M是BC的中点，DM平分 ∠ ADC，且 ∠ ADC=110°，则 ∠ MAB= _______. 【 答案】 35° 【 解析】 作MN ⊥ AD于N， ∵∠ B= ∠ C=90°， ∴ AB ∥ CD， ∴∠ DAB=180°﹣ ∠ ADC=70°， ∵ DM平分 ∠ ADC，MN ⊥ AD，MC ⊥ CD， ∴ MN=MC， ∵ M是BC的中点， ∴ MC=MB， ∴ MN=MB，又MN ⊥ AD，MB ⊥ AB， ∴∠ MAB= ∠ DAB=35°． 1 3 ．如图， △ ABC的外角 ∠ ACD的平分线CP与内角 ∠ ABC的平分线BP交于点P，若 ∠ BPC=40°，则 ∠ CAP= ________. ) ( 【 解析】 延长BA，作PN ⊥ BD，PF ⊥ BA，PM ⊥ AC，设 ∠ PCD=x°， ∵ CP平分 ∠ ACD， ∴∠ ACP= ∠ PCD=x°，PM=PN， ∵ BP平分 ∠ ABC， ∴∠ ABP= ∠ PBC，PF=PN， ∴ PF=PM， ∵∠ BPC=40°， ∴∠ ABP= ∠ PBC= ∠ PCD﹣ ∠ BPC=（x﹣40）°， ∴∠ BAC= ∠ ACD﹣ ∠ ABC=2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）=80°， ∴∠ CAF=100°，在Rt △ PFA和Rt △ PMA中， ， ∴ Rt △ PFA ≌ Rt △ PMA（HL）， ∴∠ FAP= ∠ PAC=50°． 1 4 ．如图，在 △ ABC中， ∠ C=90°，AD是 ∠ BAC的角平分线，若CD=2，AB=8，则 △ ABD的面积是 __________ 【 答案】8 【 解析】 如图，过点D作DE ⊥ AB于E， ∵ AB=8，CD=2， ∵ AD是 ∠ BAC的角平分线， ∠ C=90°， ∴ DE=CD=2， ∴△ ABD的面积= AB•DE= × 8 × 2=8． 1 5 ．如图，已知 △ ABC的周长是20，OB和OC分别平分 ∠ ABC和 ∠ ACB，OD ⊥ BC于点D，且OD=3，则 △ ABC的面积是 ________. 【 答案】 30 【 解析】 如图，连接OA，过O作OE ⊥ AB于E，OF ⊥ AC于F， ∵ OB、OC分别平分 ∠ ABC和 ∠ ACB， ∴ OE=OF=OD=3， ∵△ ABC的周长是20，OD ⊥ BC于D，且OD=3， ∴ S △ ABC= × AB × OE + × BC × OD + × AC × OF= × （AB + BC + AC） × 3= × 20 × 3=30， 1 6 ．如图，AD是 △ ABC的角平分线，DE ⊥ AB于点E，S △ ABC =10，DE=2，AC=6，则AB长是 ______. 【 答案】 4 【 解析】 如图：过D作DF ⊥ AC于F， ∵ AD是 △ ABC中 ∠ BAC的角平分线，DE ⊥ AB，DE=2， ∴ DF=DE=2， ∵ S △ ABC=10， ∴ AB × DE + AC × DF=10， ∴ × AB × 2 + 6 × 2=10， ∴ AB=4， 1 7 ．如图，BD平分 ∠ ABC交AC于点D，DE ⊥ BC于点E，若AB=5，BC=6，S △ ABC=9，则DE的长为 __________ ． 【答案】 ) ( 【 解析】 作DF ⊥ AB于F， ∵ BD平分 ∠ ABC，DE ⊥ BC，DF ⊥ AB， ∴ DE=DF， ∴ × AB × DF + × BC × DE=S △ ABC，即 × 5 × DE + × 6 × DE=9，解得，DE= ，故答案为： ． 18 ．如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址 有 ______ 处． 【 答案】4 【 解析】 ∵△ ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等， ∴△ ABC内角平分线的交点满足条件；如图：点P是 △ ABC两条外角平分线的交点，过点P作PE ⊥ AB，PD ⊥ BC，PF ⊥ AC， ∴ PE=PF，PF=PD， ∴ PE=PF=PD， ∴ 点P到 △ ABC的三边的距离相等， ∴△ ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；综上，到三条公路的距离相等的点有4个， ∴ 可供选择的地址有4个．故答案为：4． 19 ．如图，AB ∥ CD，O为 ∠ BAC、 ∠ DCA的平分线的交点，OE ⊥ AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于 _______ ． 【 答案】4 【 解析】 解：过点O作OF ⊥ AB于F，作OG ⊥ CD于G， ∵ O为 ∠ BAC、 ∠ DCA的平分线的交点，OE ⊥ AC， ∴ OE=OF，OE=OG， ∴ OE=OF=OG=2， ∵ AB ∥ CD， ∴∠ BAC + ∠ ACD=180°， ∴∠ EOF + ∠ EOG=（180°﹣ ∠ BAC） + （180°﹣ ∠ ACD）=180°， ∴ F、O、G三点共线， ∴ AB与CD之间的距离=OF + OG=2 + 2=4．故答案为：4． 2 0 ．小林在没有量角器和圆规的情况下，利用刻度尺和一副三角板画出了一个角的平分线，他的作法是这样的：如图，（1）利用刻度尺在 ∠ AOB的两边OA，OB上分别取OM=ON； （2）利用两个三角板，分别过点M，N画OM，ON的垂线，交点为P；（3）画射线OP． 则射线OP为 ∠ AOB的平分线．请写出小林的画法的依 据 ___________ ． 【 答案】 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线 【 解析】 有画法得OM=ON， ∠ OMP= ∠ ONP=90°，则可判定Rt △ OPM ≌ Rt △ OPN，所以 ∠ POM= ∠ PON，即射线OP为 ∠ AOB的平分线． ) ( 三．解答题（60分） 21 ．已知，如图，BD ⊥ AM于点D，CE ⊥ AN于点E，BD、CE交点F，CF＝BF，求证：点F在 ∠ A的平分线上． 证明： ∵ BD ⊥ AM，CE ⊥ AN， ∴∠ CDF＝ ∠ BEF＝90 ° ，在 △ CDF和 △ BEF中， ， ∴△ CDF ≌△ BEF（AAS）， ∴ DF＝EF， ∴ 点F在 ∠ A的平分线上． 22 ．如图，已知点D、E、F分别是 △ ABC的三边上的点，CE＝BF，且 △ DCE的面积与 △ DBF的面积相等．求证：AD平分 ∠ BAC． 证明：过D作DM ⊥ AB于M，DN ⊥ AC于N， ∵△ DCE的面积与 △ DBF的面积相等， ∴ ＝ ， ∵ CE＝BF， ∴ DM＝DN， ∴ 点D在 ∠ BAC的平分线上，又 ∵ A点也在 ∠ BAC的平分线上， ∴ AD平分 ∠ BAC． 23 ．已知：如图，AD ∥ BC，DB平分 ∠ ADC，CE平分 ∠ BCD，交AB于点E，BD于点O．求证：点O到EB与ED的距离相等． 证明： ∵ AD ∥ BC， ∴∠ ADC+ ∠ BCD＝180 ° ， ∵ DB平分 ∠ ADC，CE平分 ∠ BCD， ∴∠ ODC+ ∠ OCD＝90 ° ， ∴∠ DOC＝90 ° ， ∴∠ DOC＝ ∠ BOC，又 ∵ CO＝CO， ∠ DCO＝ ∠ BCO， ∴△ DCO ≌△ BCO（ASA） ∴ CB＝CD， ∴ OB＝OD， ∴ CE是BD的垂直平分线， ∴ EB＝ED，又 ∠ DOC＝90 ° ， ∴ EC平分 ∠ BED， ∴ 点O到EB与ED的距离相等． 24 ．如图，D是 △ ABC中BC边上一点， ∠ C= ∠ DAC． （1）尺规作图：作 ∠ ADB的平分线，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求证：DE ∥ AC． 【答案】 （1）解：如图， （2）证明： ∵ DE平分 ∠ ADB， ∴∠ ADE= ∠ BDE， ∵∠ ADB= ∠ C + ∠ DAC，而 ∠ C= ∠ DAC， ∴ 2 ∠ BDE=2 ∠ C，即 ∠ BDE= ∠ C， ∴ DE ∥ AC． ) ( 25 ．如图， △ ABC中， ∠ ACB=90°，AD平分 ∠ BAC，DE ⊥ AB于E． （1）若 ∠ BAC=54°，求 ∠ EDA的度数； （2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线． 解：（1） ∵∠ BAC=54°，AD平分 ∠ BAC， ∴∠ EAD= ∠ BAC=27°， ∵ DE ⊥ AB， ∴∠ AED=90°， ∴∠ EDA=90°﹣27°=63°． （2） ∵ DE ⊥ AB， ∴∠ AED=90°= ∠ ACB，又 ∵ AD平分 ∠ BAC， ∴∠ DAE= ∠ DAC， ∵ AD=AD， ∴△ AED ≌△ ACD， ∴ AE=AC， ∵ AD平分 ∠ BAC， ∴ AD ⊥ CE，即直线AD是线段CE的垂直平分线． 2 6 ．AD是 △ ABC的角平分线，过点D作DE ⊥ AB于点E，且DE＝3，S △ ABC ＝20． （1）如图1，若AB＝AC，求AC的长； （2）如图2，若AB＝5，请直接写出AC的长． 解：（1）如图1，作DF ⊥ AC于F， ∵ AD是 △ ABC的角平分线，DE ⊥ AB，DF ⊥ AC， ∴ DF＝DE＝3，由题意得， × AB × 3+ × AC × 3＝20，解得，AC＝AB＝ ； （2）如图2，作DF ⊥ AC于F， ∵ AD是 △ ABC的角平分线，DE ⊥ AB，DF ⊥ AC， ∴ DF＝DE＝3，由题意得， × 5 × 3+ × AC × 3＝20，解得，AC＝ ． 2 7 ．如图，在 △ ABC中， ∠ ABC＝90 ° ，BD是AC边上的高，AE是 ∠ BAC的角平分线，分别交BD、BC于点G、E，过点B作AE的垂线BF，分别交AE、AC于点H、F． （1）求证：BF平分 ∠ DBC； （2）若 ∠ ABF＝3 ∠ C，求 ∠ C的度数． 解：（1）证明： ∵ BD ⊥ AC， ∴∠ BDC＝90 ° ， ∵∠ ABC＝90 ° ， ∴∠ ABD+ ∠ DBC＝90 ° ， ∠ DBC+ ∠ C＝90 ° ， ∴∠ ABD＝ ∠ C， ∵ AE平分 ∠ BAC， ∴∠ BAE＝ ∠ CAE， ∵∠ BGE＝ ∠ ABD+ ∠ BAE， ∠ BEG＝ ∠ C+ ∠ EAC， ∴∠ BGE＝ ∠ BEG， ∴ BG＝BE， ∵ BF ⊥ EG， ∴ BF平分 ∠ DBC． （2） ∵∠ ABF＝3 ∠ C， ∠ ABD＝ ∠ C，BF平分 ∠ DBC， ∴∠ FBD＝ ∠ FBC＝2 ∠ C， ∴ 5 ∠ C＝90 ° ， ∴∠ C＝18 ° ． ) 学科网（北京）股份有限公司 $$