精品解析：福建省厦门市2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学试题

6学科网命组卷网 厦门市2024一2025学年第二学期高一年级质量检测 数学试题 满分：150分考试时间：120分钟 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴 的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致， 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上 无效 3考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共0分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.某企业生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用按比例分配的分层随 机抽样方法，抽取一个容量为n的样本，样本中甲型号产品有10件，则n的值为() A.20 B.30 C.50 D.100 【答案】C 【解析】 【分析】根据分层抽样原理，利用样本容量与频率、频数的关系，即可求出样本容量. 第1页/共25页 学科网命组卷网 【详解】因为某企业生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5， 现用分层抽样方法抽出一个容量为的样本，样本中甲型号产品有10件， 102 所以n2+3+5,解得n=50. 故选：C 2平行四边形4BCD的两条对角线相交于点M,且B=ā，D=6,则CM=（) 1a-6 1 a+6 1 1 C. a+-b B.2 2 2 D.2 【答案】A 【解析】 【分析】以ā，b向量为基底，结合向量的线性运算用基底表示向量CM 【详解】 c-+而列-5 故选：A 0 M B (1+i2 3.在复平面内， 1-i对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算、除法运算及复数的几何意义即可求解。 +i_2i2+)=2i+2-1+1,÷0 【详解】：1-i=1-i(1-i)1+i)2 1-i 对脑的点为0生 1-i 第2页/共25页 6学科网6组卷网 对应的点位于第二象限 故选：B 4.某组合体的上、下部分分别是圆台和圆柱圆台和圆柱的高相等，且圆台的下底面与圆柱的上底面重合， 圆台的上底面半径是下底面半径的一半，则圆台与圆柱的体积之比为() J 7 > A.12 B.12 C.4 D.4 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆台和圆柱的体积公式直接计算即可得解 【详解】设圆台的上底面半径为r,高为h,则圆台和圆柱的底面半径为2r, 则圆台体积 32+4+2r)h=3h 圆柱体积=4πr2h, 7 元r2h7 V=3 所以圆台与圆柱的体积之比为了，42万12 故选：B 5.已知2=1-2i是关于x的方程+pm+9=0(B,g∈R)-个根，则P+g=() A.-2 B.3 C.6 D.7 【答案】B 【解析】 【分析】将2=1-2i代入方程，即可得到关于卫，9的方程组，解出即可 【详解】将z=1-2i代入方程得（1-21)+p(1-21)+q=0. p+9-3=0 9=5 即p+g-3-(2p+4)i=0,则2p+4=0,解得p=-2,故p+g=3, 故选：B 第3页/共25页 6学科网列组卷网 6.a B y 为两两不重合的平面，m,”为不重合的直线，则(） A.若m/1/n,m//a,则n//a B.若a/B.mca nep ,则m/n ny=m,Bny=n,m1n,则a1B C.若 D.=Bny-n mAn-p PEaoB ,则 【答案】D 【解析】 【分析】ABC均可举出反例；D选项，由点线面的位置关系，求 P∈，PEB mPeaOB,D正确 ,则 【详解】对于A,若m/n,m/1a,则n/a或nca,A错误； B选项，若a/B.mc&ncB。 m/In mn ，则 或 异面，B错误： c选项，如图所示，满足ny=m,Bn7=”,m上n,则 a,B 不垂直，C错误； m n D选项，若mnn=P,gP∈m,P∈n ,则 又any=m.Bny=nmca,ncB 则 PEa,P∈B,则PeaoB,D正晚 所 故选：D 7已知向量a,6满足a+=2a-,则si血(a,6）的最大值为《) 第4页/共25页 命学科网 组卷网 √5 2 4 A.3 B.5 C.2 D. 5 【答案】D 【解析】 【分1点+可=26-两边下方.得到a6-+） 利用夹角余弦公式和基本不等式得到 csG可号。从求世F价益大 【详解1因为a+6=2a-6,两边平方得d+62+2a-6=4(a2+2-2a-6）, 整理得 6-8+)】 cos(a.6- +、325_3 0 51055, 当H汉当回=6时等号成立，所以ma列s小-[得)-号 故si血(a,6)的最大值为5. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多个选项 符合题目要求，全部选对的得，部分选对的得部分分，有选错的得0分 8.现对1200名学生的某次物理成绩进行统计分析，得到如下频率分布直方图，则() 第5页/共25页 6学科网命组卷网 频率组距 a- 0.020 0.015 0.010 0405060708090100成绩（分） A.众数的估计值为75 B.a=0.030 C.成绩在[70,80)的学生人数为300 D.成绩的中位数小于70 【答案】AB 【解析】 【分析】在频率分布直方图中，将最高的小长方形所在区间的中点作为众数的估计值，即可判断A；由所 有小长方形的面积和即频率和为1，列式求出口值，即可判断B,通过计算成s绩在[70,80)的学生人数，即 可判断C:先计算频率小于0.5的区间范围，再计算频率小于0.5的区间范围，由此确定中位数所在的区间， 即可判断D, 【详解】由频率分布直方图可知，成绩在[70,80) 的人数最多， 所以将这个区间的中点75作为众数的估计值，故A正确； 由所有小长方形的面积和即频率和为1， 可知(0.010x2+0.015×2+0.020+a×10=1,解得a=0.030,故B正确： 成绩在[70,80)的学生人数为1200x0.030×10=360,故C错误： 因为成续在[40,70)的领率为(0.010+0.015+0.020)×10=0.45<0.5 成绩在[40,80)的频率为0.010+0.015+0.020+0.30)×10=0.75>0,5， 所以成续的中位数落在区同[70,80)内， 即成绩的中位数大于70，故D错误； 故选：AB 第6页/共25页 6学科网6组卷网 9在平面直角坐标系中，0为坐标原点， 0A=(-7,6).0B=(（-1,2).AB=2BP.记0P在0B方向 上的投影向量为ā，则() A.0P=(2,6) B.OPI/04-20B) D.a=(-2,4) 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A,由4B=2BP,得OB-O1=2(OP-0B), 利用向量的坐标运算求解：对B,利用向量 的坐标运算求出01-208 的坐标，再根据两向量平行的坐标关系判断；对C,利用向量夹角公式求解判 断；对D,根据投影向量的定义求解判断 【详解】对于A,由AB=2BP,得OB-0A=2(OP-0B), mm-o+20丽=76r2(12=00收E 对于B.因为01-20B=(-7,6)-2(-1,2)=(-5,-10),又0P=(2,6), 所以(5)x6-（←10)x2=-10≠0，所以OP与O1-20B不平行，放B错误： 对于C,因为c0S∠B0P=cosOP,OB= 0p.0B-2+12√2 oPoB V5×V402, 又∠Bope[o,.可，所u∠BoP-年 4,故C正确： a-P-0o丽-19-12y-(24 对于D, OB 故D正确： 故选：ACD. 第7页/共25页 命学科网命组卷网 l0.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,若△ABC的面积为1，且 asinB--bcosA=-5,则(） b sinA= 3 3<b< A. 5 C.5c3 D.a2+b2+c2≥7 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A,由正弦定理结合平方关系求解判断；对B,由 A+C>π 0<T-A<C< ,得2 2,根据正 b4,3 切函数的单调性和诱导公式求解判断；对C,由正弦定理结合三角恒等变换可得c5tanC5，结合 tanc 3 5 bc= 4求解判断：对D,由三角形面积公式可得2，再由余弦定理结合基本不等式求解判断. b 1 bsinA-bcosA= sinA-cosA= 【详解】对于A,由正弦定理，得 5,所以 因为snA+eos2A=1所以co4+ 、+C0s2A=1,解得cOS4=5或C0S4=一4 5 5 因为4，所 4 cosA=>sinA=V1-cos24 5,故A正确： 对于B,在锐角A4BC中A十C2,0<天C< 2 所以tanC>tan 小，数 第8页/共25页 6学科网命组卷网 4 b sinB sin(4+C)sinAcosC+cosAsinC 5 CosC+sinc 5 4.3 对于c,csinC sinC sinC sinC 5tanC 5 因为anC3 34,316,35 3b5 4,所以55tanC'51553,所以5c3,故C正确： 5 对于D,因为△ABC的面积为1，即2 bcsind=-l,所以bc=2, ，所以 所以a++c=2N+2c2-2bc0s1=2b2+2c2_6e≥4bc-52 -bc=7 5 V10 当且仅当b=c= 2,等式成立，故D正确 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 1.若复数2=2-i05,则= (答案)V5 【解析】 【分析】利用复数的乘方运算求得二，进而可求 【详解】因为z=2-2=2-01=2-i,所以=V22+(-1}=V5 故答案为： 5 12.若事件A和B相互独立，P(4)=0.3,P(B)=0.6,则P(4UB) 【答案】0.58 【解析】 【分析】根据相互独立事件概率乘法公式以及容斥原理即可得出答案 第9页/共25页 学科网 命组卷网 【详解】因为事件A与B独立，所以事件A与事件B独立，故P(4B)=P(4)P(B)=0.3x0.4=0.12 根据容斥原理可知：P(4UB)=P(A)+P(E)-P(4B)=0.3+0,4-0,.12=0,58 故答案为：0.58 13.已知正方体 BCD-AB,CD的楼长为1，球O与正方体的各面均相切，P为球O上一点，M,N 分别为4C,4D上的点，则PN+小值为 J3 √2 【答案】4 【解析】 【分】直无利用珠面上点的特点转化PNN≥ON-r+N=ON+N 2,作 6 NTIIDD交AD于T,通过作二面角D,-AC-D的平面角，将 MN转化为NT,在平面展开图中， 通过化曲为直。维线转化ON+ MN=ON+NT之OT,根据梯形的中位线公式求出OT的值即可得 解 D D 【详解】 图1 图2 第10页/供25页 6学科网6组卷网 图，易知0为正方体4C的中心，球0的半轻，Q必 2 所Pw+N6MN≥ON-r+3M=0, MN-I 3 连接BD交4C于R,可知∠DRD是二面角D-1C-D的平面角 sin∠D,RD=D2=1vV6 在RIADDR中 DR63 2 对于AD上一点N,当M1AC时，MN取得最小值， 此时，作NT1/DD交4D于T,连接MT, 可知∠NM7也是二面角D-AC-D的平面角， N3,所以N7=5w 在RtA NTM中，sin∠WMT=WT-V6 3 如图2，将平面1BD 沿直线1D翻折，使之与平 ADD重合 作OT1DA于I,交D于点N 有ON士6MN=ON+NT之OT.当取Y与NE合时现 作BH⊥DA交DA延长线于H,则△AHB为等腰直角三角形， =2,所以07=8H+DD-2+2 BH-8- 2 2 4 Pw+w0r}平 3 第11页/共25页 6学科网 组卷网 √2 故答案为：4 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 14.某沙稻研究中心利用早直播技术在沙漠试验田种植甲、乙两个新品种水稻，随机各抽取5块试验田， 其亩产量数据（单位：1Okg)如下： 甲4751495053 乙4451605852 (1)利用均值和极差对甲、乙的产量进行评价： (2)产量的变异系数(C)是一个用于评估产量稳定性和变异程度的指标，CV越小，产量越稳定，生 标准差 CV= ×100% 产的风险也越小，其计算公式为 均值 根据产量的变异系数，你认为哪个品种更适合推广？ _47+51+49+50+53=50 【答案】(1)甲品种产量样本的平均值 5 极差为53-47=6： 44+51+60+58+52=53 乙品种产量样本的平均值 极差为60-44=16. 所以甲品种的产量略低乙品种，但比较稳定：乙品种的产量较高，但波动较大 (2)甲品种 【解析】 【分析】(1)求出均值和极差即可得出结论： (2)求出标准差，代入公式求出C",比较其大小即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 甲品精的样东方老呢-47-0广+51-50+(49-50+60-50+63-50 4 第12页/供25页 6学科网命组卷网 所以甲品种产班的变异系数C= ×100%=4% 50 乙品种的样本方差 2-44-5f+651-53+60-59f+{58-59+62-59y-2 所以2品种产港的变异系尚C化= x100%=4V2 100%≈10.7% 53 53 因 C<C,所以甲品种的产量更稳完，生产的风险也更小，更适合推广 15.在△ABC中，角 C的对边分别为a,6c,且V5 heosC+-csin=V5a A,B, (1)求B: C②若D为8C的点，AD=VI,cos∠BiD= 7,求b 【答案】(1) Bsπ 3 (2)b=7 【解析】 【分析】（）山由题设条件及正弦定理求得sinCsinB=V5 eosBsinC,求得anB=V5 即可求解；(2) 先利用同角三角函数平方关系得到sin∠81D=2y了 BD AD 7，在△ABD中，由正弦定理得sin/BAD sinB, 得BD=4.因为D为BC中点，得CD=4.在△ADC中，由余弦定理计算得到答案： 【小问1详解】 由正弦定理得V5 BsinBcosC+-sinCsinB=V3sin4 第13页供25页 命学科网丽组卷网 3sinBcosC+sinCsinB=3sin(B+C) 3sinBcosC+sinCsinB=3sinBcosC+cosBsinC 所以sinCsinB=V3 cosBsinC 新B=π 又sinC≠0，得tanB=5,因为Be(0,π)，所以B=3 【小问2详解】 D 解法1：因为0s∠BAD=V2 ,所以sin∠BAD=V1-cos2∠BAD 2√ 7· BD 21 在 中，由正弦定理得 BD =AD,即273，得 △ABD sin∠BAD sinB 72 BD=4 因为D为BC中点，所以CD=4. 在△ADC中，由余弦定理得 AC2=AD2+CD2-2AD.CD.COSLADC=21+16-2×V21×4× V21 14 =49 所以b=7. 解法2：因为cos∠BAD= 7,所以in∠BAD=V-cos'zBAD=2V7 7. 第14页/供25页 6学科网组卷网 BD 21 在 中，由正弦定理得 BD AD,即2W7 ,得 △ABD sin∠BAD sinB 7 2 BD=4 因为D为BC中点，所以CD=4. sin∠ADB=sin ∠BAD+ π2W71,21V357 -X 3727214· AB。V21 在 中，由正弦定理得AB AD,即5V7V3 ,得 △ABD sin∠ADB sinB 14 2 AB=5 在△ABC中， 2=AB2+BC2-2AB-BCc0s=25+64-2×5×8× =49 由余弦定理得 3 所以b=7. 16,如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD,PA=AB=AC=2,E为 PA 的中点，直线PD与平面 BCE F 交于点 (1)证明：EF/平面ABCD: (2)求四棱锥P-BCFE的体积 【答案】(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BC//AD 第15页/供25页 6学科网 命组卷网 又BC￠平面PAD,ADC平面PAD,所以BCII平面PAD 因为BCC平面BCE,平面BCE∩平面PAD=EF,所以BC//EF 又EFa平面ABCD,BCC平面ABCD,所以EFII平面ABCD 5 (2)2 【解析】 【分析】(1)由题可知BCII平面PAD,由线面平行的性质定理得BCIEF,再由线面平行的判定定 理得证； 3 (2)法1，由题可 S棉形EFCB=2S ,c,所以 ,是可供 2 正。=3C84-C8万E-C,运算得解：法2，取AB,AD的中点分别为G,H 2 2 2 CG1PAB.CHL平面PAD,得 平面 平面 人=+Knm=+居吉CG5e+兮CH-Sm,远字的解，法.由题司得 ,-ErCB='p-ACn-V多霸作4nE8=Vp-aCD-(化4-Bc+'。-ACr）,由'-BCs=VFC,得 2Vp-EFC8V-ARCD4 。1。cD=,BCp,即'p-oB8p-BD,运算得解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 第16页/供25页 学科网命组卷网 BCIEF BCI AD EF AD 解法1：因为 ,所以 因为E为PA的中点，所以F为PD的中点。 因为BCREF,EF=号BC ,所以5 2 5,所以 2 VP-EFCB 3Vp-ECB 3 。Da电点，所CB之Vp-BcB二2Ac8=会c 因为P4L平面BCD,所取子xSEA-8 图为边形8CD是麦形，B=4C=2:所双C=2,所以9×23 4 EA=-PA=1 因为E为PA的中点，PA=2,所以 所以'a=,×1xV5= 1 2 2· A H G 解法2：连接CE,则，Cs=BcE+,cEr 设AB,AD的中点分别为G,H,连接CG,CH 因为四边形ABCD是菱形，AB=AC=2,所以BC=2,所以CG⊥AB,CH⊥AD 因为PA⊥平面ABCD,PAC平面PAB,所以平面PAB⊥平面ABCD 第17页/供25页 6学科网6组卷网 又平面PABA平面ABCD=AB,CGC平面ABCD,CG⊥AB,所以CG⊥平面PAB. 同理CH⊥平面PAD. maY+omwC-5mc 3 因为△1BC和△1CD都是等边三角形，所以CG=CH=V5 -X- 22 2×2=1SPEr= 4 o-2x2- 42 所收m方5+5-9 6 2 解法3，p-ErC8='-4BCD-'多面依ADEPC=VnAD-(亿4-EFc+V,-AGr） 因为E为PA的中点，所以'-c='4-c, 所以 2VP-EFCB=VP-ABCD-VD-4CF =VP-ABCD-VF-ACD 因为F为PD的中点，所以'Acn=p四 丙为SMBC三S4CD,所以'PAD二2pBcD 所以 VP-EFCB=8 An=V。ABCD-Vp-ABCD=A'p-ABCD即P-E P-ABCD 31 1 因为PA⊥平面ABCD,所以'=8×3 PA·S菱形ABCD=8 PA·S菱形ABCD 因为58w=2S4c=2xV5 ×22=23 4 ,PA=2 第18页/供25页 学科网命组卷网 所以'-×2x2V5= 8 2 17.某商场开展促销活动，每消费调500元可获得一次抽奖机会抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球， 这些球除颜色外完全相同抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖：若摸 出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖 (1)己知甲在该商场消费了500元，求甲获得一等奖的概率： (2)为加大促销力度，在原规则的基础上，当顾客在该商场消费满1000元时，若顾客两次抽奖均摸出蓝 球，则额外获得一个二等奖已知乙在该商场消费了1000元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件A,“乙恰 好获得一个二等奖”为事件B.判断事件A与B是否相互独立，并说明理由. 1 【答案】(1)5 (2)不相互独立，理由见解析 【解析】 【分析】(1)写出所有的样本点，再根据古典概率公式即可得出答案： (2)利用独立性事件同时发生的乘法公式及互斥事件发生的加法公式计算P(4),P(B),P(4B）,再验证 P(4B)与P(4)P(B)是香相等即可判断 【小问1详解】 记三个红球分别为4，本，4，两个白球分别为品及，蓝球为C, 则6个球中一次摸出两球的样本空间为： 2={44,A4,4B,AB2,4C,A,4,A,B,A,B2,A,C,4,B,4B2,A,C,BB2,BC,B2C} 则n(2)=15 且每个样本点出现的可能性相等，所以这是一个古典概型 记事件D=“甲获得一等奖”，则D={A4,44,44}.n(D)=3 所以P(D)=n(D)1 n(②)5，所以甲获得一等奖的概率为5 第19页/共25页 6学科网列组卷网 【小问2详解】 记事件E,=“乙第次投得两个红球”，事件F=“乙第次揆得一红一蓝两个球”， 事件G,=“乙第次摸得一白一蓝两个球”，事件H,=“乙第次未摸到蓝球”，其中=1,2 P)- 由(1)知 F=4C,4C,4C.P()-5。 G=CaC.PG)-后. H=4,4,48,4,44,品，4品品，品，8风.Pu)-智号 则1=E瓦UEE,UE,E,A=E,瓦与E:相互独立 所P(40=I1-P(团=1-P(E)1-8 因为B=FH,UH,BUG,G,且事件FA,H5,GG,两两互斥，两次轴奖相互独立， P(B)=P(FH:UHF:UGG.)=P(FH:)+P(H,F:)+P(GG.) 号后品盘 因为1B=EBUF,且EB,FE:互斥，两次抽奖相互独立， 南P0=5uRP(rP6)g号会 所以P(AB)≠P(4)P(B),所以事件A与事件B不相互独立， 第20页/共25页 6学科网组卷网 18.如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD,PA=PB=PC,AC=2BC=4 (1)求AB: (2)若直线PA与BC所成角的余弦值为4 (i)求二面角P-AB-C的正切值； (i)D是△ABC的外接圆上的动点，三棱锥P-ABD内有一圆柱，圆柱的底面在△ABD内，求该圆柱 侧面积的最大值： 【答案】(1)2V5 2)i)25:i)V3 【解析】 【分析】(1)利用面面垂直的性质定理得出线面垂直PO⊥平面ABC进而得出PO⊥OB,由全等得出 OA=OB 进而得出 C即可求MB的值， AB⊥B (2)(i)先找到二面角的平面角∠MON,在△OMN中由余弦定理求PO的值，即可求二面角 P-AB-C 的正切值： (①)当O在△ABD内时，根据机似结合二角形面积公式用4B,AD,BD表示圆柱底面圆半径，再 第21页/供25页 6学科网命组卷网 由余弦定理结合基本不等式找到48的取值范国，再用48表示圆柱的高及其取值范围即可求该圆挂侧 面积的最大值；当点O在△ABD外（包含边界）时，找到圆柱底面圆半径的取值范围即可求该圆柱侧面积 的最大值 【小问1详解】 如图1，取AC的中点O,连接PO,BO,由PA=PC知PO⊥AC 因为平面PAC⊥平面ABCD,平面PAC∩平面ABCD=AC,POc平面PAC, 所以PO⊥平面ABC 因为OBC平面ABC,所以PO⊥OB 又因为PA=PB,所以RtAPOAS≌RtAPOB,所以OA=OB,进而OA=OB=OC, 所以点B在以AC为直径的圆上，所以AB⊥BC 所以AB=VAC2-BC2=V42-22=2V5 A经N B B 【小问2详解】 图1 图2 图3 (i)设M,N分别为棱AB,PC的中点，连接OM,ON. 设X,Y分别为0 OC MB 的中点，则 XY∥OM∥BCPA∥ON 所以∠MON是直线PA与BC所成角或其补角 第22页/供25页 6学科网列组卷网 又OM L AB,X灯⊥AB,9 Oc-1(OM)8 2 MX=VMY2+XY2 所以 2 2 NX=PO=x 设PO=2x,连接NX,则 2 由X∥P0.POL平面ABCD.每X上平面ABCD,又4C,MXc平面4BCD, 所以NX⊥AC,NX⊥MX. 所以N0=VOX2+NX2=1+x2,MWN=VMx'+Nx=V3+ 在 AOY中，由COSZMON=ow+oM2-MN21+x）+1-（3+x）☐ 2.ON.OM 2x1xvx2+1 4,解得x=5 所以P0=25 由PO⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,得AB⊥PO 又4BLOM.PO0nOM=O.P0,OMc平面POM,所以4B⊥平面POM 因为PMc平面POM,所以AB⊥PM,所以∠PMO是二面角P-AB-C的平面角， tan∠PM0=PO-2N5 OM ，即二面角P-AB-C的正切值为2V3 (①)由△ABD的外接图直径4C=4及正弦定理知sm∠ADB=织=5 AC2· ①如图2，当O在△ABD内时，∠4ADB=60, 设圆柱上底面所在平面与三棱锥P-ABD的截面为△4B,D 第23页/供25页 6学科网6组卷网 当圆挂上底面是△4B,D的内切圆时，其半径取得最大值 PA元 记AB=元，因为△AB,D∽△ABD,PA2V5,∠AD,B=∠ADB=60°. V3 元+m+n 段4D=m,BD=n,则S480)mnsinAD.B4mSB) r √3+m+n mn 所以4mn= ,得2m+。 r 2 △4BD中，由余弦定理得，2=m2+n-2 mncOs∠AB,D=(m+n}-3mn. (m+n)2-2 一方面，mn= 3 即m+n≤2九，当且仅当m=n时等号成立 所r=5咖5a+m-足6 2m+n+元6m+n+26(m+n=253 6(21-)=5团 P0-h_元23-h1 设圆柱的高为h:则P02√5，即2√325，得h=23-入， 所以圆柱的侧面积 -2w尝8小学s水含 当且仅当m=”且=V5时等号成立 ②如图3，当点O在△ABD外（包含边界）时，A为钝角 若圆柱的高为h,过BD作底面的垂面a,a与截面4BD的交线为品， B.D. 第24页/供25页 6学科网命组卷网 则圆柱上底面 △AB,D1内部记 △4B,D内切圆半径为”， 此时，r'<3 5<2x.5A.h 6 6 综上，圆柱侧面积的最大值为V5π 第25页/共25页 厦门市2024—2025学年第二学期高一年级质量检测 数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 考生注意； 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某企业生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用按比例分配的分层随机抽样方法，抽取一个容量为的样本，样本中甲型号产品有10件，则的值为（ ） A. 20 B. 30 C. 50 D. 100 2. 平行四边形的两条对角线相交于点，且，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 某组合体的上、下部分分别是圆台和圆柱.圆台和圆柱的高相等，且圆台的下底面与圆柱的上底面重合，圆台的上底面半径是下底面半径的一半，则圆台与圆柱的体积之比为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是关于的方程一个根，则（ ） A. -2 B. 3 C. 6 D. 7 6. ，，为两两不重合的平面，，为不重合的直线，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 7. 已知向量，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项.符合题目要求，全部选对的得，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 现对1200名学生的某次物理成绩进行统计分析，得到如下频率分布直方图，则（ ） A. 众数的估计值为75 B. C. 成绩在的学生人数为300 D. 成绩的中位数小于70 9. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，.记在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 10. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，若的面积为1，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 若复数，则________. 12. 若事件和相互独立，，，则________. 13. 已知正方体的棱长为1，球与正方体的各面均相切，为球上一点，，分别为，上的点，则的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 某沙稻研究中心利用早直播技术在沙漠试验田种植甲、乙两个新品种水稻，随机各抽取5块试验田，其亩产量数据（单位：10kg）如下： 甲 47 51 49 50 53 乙 44 51 60 58 52 （1）利用均值和极差对甲、乙的产量进行评价； （2）产量的变异系数（CV）是一个用于评估产量稳定性和变异程度的指标，越小，产量越稳定，生产的风险也越小，其计算公式为.根据产量的变异系数，你认为哪个品种更适合推广? 15. 在中，角的对边分别为，且. （1）求； （2）若为的中点，，，求. 16. 如图，四棱锥中，底面是菱形，平面，，为的中点，直线与平面交于点. （1）证明：平面； （2）求四棱锥的体积. 17. 某商场开展促销活动，每消费调500元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同.抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖. （1）已知甲在该商场消费了500元，求甲获得一等奖的概率； （2）为加大促销力度，在原规则的基础上，当顾客在该商场消费满1000元时，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了1000元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件，“乙恰好获得一个二等奖”为事件.判断事件与是否相互独立，并说明理由. 18. 如图，四棱锥中，平面平面，，. （1）求； （2）若直线与所成角的余弦值为. （i）求二面角的正切值； （ii）是的外接圆上的动点，三棱锥内有一圆柱，圆柱的底面在内，求该圆柱侧面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $