精品解析：重庆市秀山县2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷

2024年秋期学生期末考试 八年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 如图，在矩形镜框背面，安装一根木条，使矩形镜框不易变形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．根据三角形具有稳定性解答． 【详解】解：根据三角形具有稳定性可知，使矩形镜框不易变形的是C． 故选：C． 2. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形可知两角及夹边分别相等即可判断． 【详解】解：小明画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，即． 3. 剪纸艺术不仅具有艺术价值，还承载着丰富的文化内涵和历史记忆．它是中国传统文化的重要组成部分，也是世界文化遗产的瑰宝．以下四幅剪纸图案中，不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项符合题意； 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 4. 下面计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，根据同底数幂的乘法，合并同类项法则逐一排除即可，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：，原选项计算错误，不符合题意； 、与不是同类项，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 5. 在中，分式的个数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义，掌握分母中含有字母的代数式是分式成为解题的关键． 根据分式的定义逐个判断即可． 【详解】解：，分母为a（含字母），是分式；：分母为1（无字母），是整式，不是分式；：分母为m（含字母），是分式；：分母为3（无字母），是整式，不是分式；分母为2b（含字母b），是分式；：分母为7（无字母），是整式，不是分式． 综上，分式共有、、，共3个． 故选：B． 6. 设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a与b的关系是（ ） A. a>b B. a=b C. a<b D. b=a+180° 【答案】B 【解析】 【分析】根据多边形的内角和定理与多边形外角的关系即可得出结论． 【详解】解：∵四边形的内角和等于a， ∴a=（4﹣2）•180°=360°． ∵五边形的外角和等于b， ∴b=360°， ∴a=b． 故选B． 7. 如果对多项式“”进行因式分解的结果为，则“”中的数是（　　） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式成为解题的关键． 将给定的因式分解结果展开，与原多项式对比即可解答． 【详解】解：∵多项式“”进行因式分解的结果为， ∴“”中的数是2． 故选C． 8. 用正方形和三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第四，个图案中有7个三角形，第③个图案中有10个三角形．．．，按此规律，则第⑨个图案，三角形的个数是（　　） A. 27 B. 28 C. 29 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察可知第n个图形比第个多3个三角形，据此规律求解即可． 【详解】解：由图形可得， 第①个图形：个三角形， 第②个图形：个三角形， 第③个图形：个三角形， ……， 以此类推可得第个图形有个三角形， ∴第⑨个图形有个三角形， 故选：B． 9. 等腰三角形一个内角的度数是，则它的一个底角的度数是（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，分已知角为顶角或底角两种情况讨论，结合三角形内角和定理求解，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 【详解】解：当为顶角时：底角度数为 ； 当为底角时：另一底角也为，顶角为 ， 综上，底角可能为或， 故选：C． 10. 在5个字母中（均不为零），不改变字母的顺序，在每相邻两个字母之间都添加一个“+”或者一个“-”组成一个多项式，且从字母之间开始从左至右所添加的“+”或“-”交替依次出现，再在这个多项式中，任意添加两个括号（括号内至少有两个字母，且括号中不再含有括号），添加括号后仍只含有加减运算，然后再进行去括号运算，我们称为“添减括号操作”． 例如：． 下列说法： ①所有的“添减括号操作”共有7种不同运算结果； ②不存在两种“添减括号操作”，使它们的运算结果求和后为0； ③存在“添减括号操作”，使其运算结果与其未加括号之前的多项式相等． 其中正确的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查整式的加减运算、括号添等知识点，掌握整式的加减运算法则成为解题的关键． 先根据题意列举出此操作的所有结果，即可判定①；所有结果中字母a的系数恒为1，两结果相加a的系数为2，无法为零，即可判定②；通过合理添加括号可使结果与原式相同，正确． 【详解】解：①初始多项式符号交替排列，如．添加两个括号后，可能的结果包括：1． 原式：；2．添加括号如，结果为；3．添加括号如，结果为；同理，符号排列为时，类似操作产生3种结果．总共有种不同结果，故①错误． ②无论括号如何添加，所有结果中字母的系数始终为．若存在两种操作结果相加为0，则的系数需为，矛盾．故②正确． ③例如，添加括号，去括号后与原式相同．故③正确． 综上，正确的说法为②和③，共2个． 故选C． 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解中提公因式法是解题的关键，将公因式为提出分解因式即可得到答案． 【详解】解：. 故答案为：． 12. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用可求得边数． 【详解】解：多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是， 即该正多边形的边数是8， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形外角和以及多边形的边数，解题的关键是掌握正多边形的各个内角相等，各个外角也相等． 13. 若点与点关于轴对称，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形－轴对称变换，熟知关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数；是解本题的关键． 根据关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数得出的值，代入求值即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 分式与的最简公分母是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求两个分式的最简公分母，两个分式的最简公分母通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，即可得解． 【详解】解：与的最简公分母是， 故答案为：． 15. 如图，平分，，点D是上的动点，若，则长度的最小值为 ___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质，确定出最小时的位置是解题的关键． 根据垂线段最短可知，当时最短，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得，进而求解． 【详解】解：如下图所示：过点P作，垂足为点, ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 即当点D运动到点的位置时，长度最短，最小值为． 故答案为：． 16. 如图，一个大正方形中有2个小正方形和，如果大正方形的边长为27，则小正方形的面积是___________． 【答案】162 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判定．先根据正方形的性质得，，，，可得是等腰直角三角形，再设，根据勾股定理求出，可得，然后根据勾股定理得，进而得出，即可求出答案． 【详解】解：如图所示，是正方形的对角线， ∴． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． 设，根据勾股定理， 得， ∴． 根据勾股定理，得， ∴， 解得， ∴， ∴小正方形的面积是． 故答案为：162． 17. 已知分式的值为负整数，则满足条件的整数的所有的值的和是___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简，根据分式的值的情况求解参数，分式有意义的条件等等．先化简分式，然后根据分式的值为正整数， 为整数，进行求解即可得到答案． 【详解】解：， ∵分式的值为负整数，为整数， ∴或或或且，， 解得，或或或且，． ∴m的值为0或1或2． ∴满足条件的整数的所有的值的和是． 故答案为：3． 18. 如果一个三位数满足各数位上的数字相互都不相同，且都不为零，那么称这个三位数为“相异数”．将“相异数”的个位数字去掉，得到一个两位数，将其与的个位数字的差记为，将的十位数字与个位数字的差记为．已知“相异数”123，则___________；若一个三位正整数（其中、都是整数，且）是“相异数”，与的商为整数且能被13整除，则满足条件的“相异数”的最大值是___________． 【答案】 ①. 9 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，不等式的性质，根据新定义可得；当时，的百位数字为a，十位数字为，个位数字为，则，，，要使“相异数”的最大，则首先要保证“相异数”的百位数为最大，当时，；由能被13整除，则一定能被13整除，则，可得，此时，满足是整数；当时，的百位数字为a，十位数字为2，个位数字为，则，，，要使“相异数”的最大，首先要保证“相异数”的百位数为最大，当时，；由能被13整除，得到一定能被13整除，可证明，则此时不能被13整除，故不存在百位是9且满足条件的Q，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，； 当时，则， ∵， ∴的百位数字为a，十位数字为，个位数字为， ∴，， ∴， ∵要使“相异数”的最大， ∴首先要保证“相异数”的百位数为最大， 当时，， ∵能被13整除， ∴一定能被13整除， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴此时是整数， ∴此时； 当时，则， ∵， ∴的百位数字为a，十位数字为2，个位数字为， ∴，， ∴， ∵要使“相异数”的最大， ∴首先要保证“相异数”的百位数为最大， 当时，， ∵能被13整除， ∴一定能被13整除， ∵， ∴， ∴此时不能被13整除， ∴不存在百位是9且满足条件的Q； 综上所述，满足条件的“相异数”Q的最大值是932， 故答案为：9；932． 三、解答题（本大题8个小题，第19小题8分，其余每题各10分，共78分）请将必要的演算过程或推理步骤书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，分式的加减运算，掌握完全平方公式的结构及通分和约分的技巧是解题关键． （1）先利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则展开，然后再算加减； （2）先将分式进行通分，再利用同分母分式的加法法则计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 在等边中，点是边上任意一点，连接，过点的射线交于点，交于点，当时，则必有．为验证此规律的正确性，先利用下图，作，再通过证明全等得出结论．请根据以上思路完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规在下图的基础上作交于点，交于点．（不写作法，不下结论，只保留作图痕迹） （2）证明：为等边三角形 ①___________②___________， 在和中， ， ， ④___________， 又， ⑤___________， ． 【答案】（1） 如图，射线即为所作； （2），，，， 【解析】 【分析】本题考查作一个角等于已知角，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据作一个叫等于已知角解答即可； （2）根据等边三角形的性质，利用得到，即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：为等边三角形 ， 在和中， ， ， ， 又， ， ． 故答案为：，，，，． 21. （1）因式分解：； （2）解分式方程．． 【答案】（1）；（2）无解 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解分式方程，掌握因式分解的常用方法和解分式方程的步骤是解题的关键． （1）先提取公因式，再由完全平方公式进行分解； （2）先去分母，化为整式方程求解，再检验即可． 【详解】解：（1） ． （2） ， 解得：， 经检验：是增根， ∴原方程无解． 22. 为助力古诗词学习活动的深入开展，我校组织七、八年级学生开展了“漫游诗海牵手古今”古诗词知识竞赛（满分100分），为了解本校学生的掌握情况，现从七年级和八年级参与知识竞赛的学生中各随机选出10名学生的成绩进行分析，将学生竞赛成绩分为四个等级组（，，，）． 下面给出了部分信息： 七年级10名学生竞赛成绩为：65，70，70，83，87，88，90，90，90，90，100； 八年级10名学生竞赛成绩中，组的成绩为：84，88，89； 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 83.3 87.5 八年级 83.3 91 请根据所给信息，解答下列问题： （1）根据以上信息可以求出：______，_____，______； （2）结合以上数据，你认为在此次古诗词知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）． （3）若本校七年级有500名学生参赛，八年级有400名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩在组的共有多少人？ 【答案】（1），90，40 （2）八年级的成绩更好， 理由：八年级成绩的中位数和众数都比七年级的高， （3）估计两个年级参赛学生中成绩在组的约有410人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，中位数，众数，样本估计总体，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据中位数（排序后位于数据的中间位置的数）以及众数的定义（数据出现次数最多的数）进行作答即可； （2）运用中位数和众数作答即可； （3）运用样本估计总体进行列式，即可作答． 【小问1详解】 解：∵八年级参与竞赛的学生中各随机选出10名同学的成绩， ∴，，， ∴， ∴； ∵八年级等级C的学生成绩为：84，88，89． ∴中位数； ∵七年级学生的竞赛成绩为：65，70，70，83，87，88，90，90，90，90，100． ∴众数； 故答案为：，90，40； 【小问2详解】 解：八年级的成绩更好，理由如下： ∵八年级成绩的中位数和众数都比七年级的高， ∴在此次知识竞赛中，八年级的成绩更好； 【小问3详解】 解：由题意得（名） 估计两个年级参赛学生中成绩在组的约有410人． 23. 小强计划在2025年春节来临前，给街道2024年退伍军人及6位劳动模范每人送一张贺卡，网上购买贺卡的优惠条件是：购买25或25张以上享受团购价．小强发现：零售价与团购价的比是，经过分析，按计划购买贺卡张数只能享受零售价，如果比原计划多购买5张贺卡就能享受团购价，这样正好花100元，而且比原计划还节约20元． （1）贺卡的零售价是多少？ （2）街道2024年退伍军人有多少人？ 【答案】（1）零售价为6元； （2）街道2024年退伍军人有14名 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解决本题的关键是找出题目中的等量关系，设出未知数列出方程，注意分式方程必须检验． （1）根据题意设零售价为元，团购价为元，根据等量关系零售价用120元所购买的数量团购价用100元所购买的数量，列出方程，解方程求得x的值即可； （2）根据（1）中的零售价求出原计划购买贺卡数量，即为退伍军人和劳动模范的总人数，再减去劳动模范的人数即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意设零售价为元，团购价为元，则 ， 解得，， 经检验：是原分式方程的解， ， 答：贺卡的零售价为6元； 【小问2详解】 解：街道2024年退伍军人为（人） 答：街道2024年退伍军人有14名． 24. 周末，红红、青青与华华三人在公园玩荡秋千，发现荡秋千的过程中蕴含着很多数学知识，于是，三人把荡秋千的过程抽象为数学模型进行探讨．如图，红红坐在秋千的起始位置处，与地面垂直于，两脚在地面上用力一蹬，青青在距地面高的处接住红红后用力一推，华华在处接住红红，若青青与华华到的水平距离、分别为和， （1）与全等吗？请说明理由； （2）华华是在距离地面多高的地方接住红红的？ 【答案】（1） 解：与全等． 理由如下： 由题意可知，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）华华是在距离地面的地方接住红红的． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． （1）根据证明与全等即可； （2）根据全等三角形的性质得出，，求出，据此求出结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 答：华华是在距离地面的地方接住红红的． 25. 某水果商用5000元购进一批浦江耙耙柑进行试销，由于销售状况良好，该水果商又用11000元资金购进浦江耙耙柑，但这次的进货价比试销时每千克多了0.5元，购浦江耙耙柑数量是试销的2倍． （1）试销时浦江耙耙柑的进货价为每千克多少元？ （2）如果水果商将两次购进的浦江耙耙柑都按每千克7.5元的定价出售，当第一次购进的全部售完，且第二次购进的也售出部分后，为了尽快售完，决定打折促销，余下的500千克按定价的七折售完，那么水果商在这两次浦江耙耙柑销售中共盈利多少元？ 【答案】（1）试销时浦江耙耙柑的进货价为每千克5元 （2）水果商在这两次浦江耙耙柑销售中共盈利5375元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用． （1）设试销时浦江耙耙柑的进货价为每千克x元，则第二次进货价为元，根据数量总价单价结合第二次购进浦江耙耙柑的数量是试销的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）根据数量总价单价即可求出两次购进苹果的数量，再利用利润销售收入成本即可求出结论． 【小问1详解】 解：设试销时浦江耙耙柑的进货价为每千克x元，则第二次进货价为元， 由题意得，， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：试销时浦江耙耙柑的进货价是每千克5元； 【小问2详解】 解：（元）， 答：水果商在这两次浦江耙耙柑销售中共盈利5375元． 26. 在中，点为上一点，为上一点，连接、、，已知． （1）如图1，若，求的度数． （2）如图2，点是的中点，过点作的垂线，分别交于点，交于点，交于点．求证：． （3）如图3，中，若，为线段上一点，为线段上一点，且，点在下方，若，，连接，当取最小值时，直接写出的长度． 【答案】（1） （2） 证明：过点作的平行线交的延长线于点， 由（1）得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）4 【解析】 【分析】（1）先证明，则，再由等边对等角得到，然后通过即可求解； （2）过点作的平行线交的延长线于点，先证明，则，再证明，则，得到，由可知，则，故； （3）连接，可得为等边三角形，然后证明，则，故当时，最短，再根据角直角三角形性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，最短， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，角直角三角形的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋期学生期末考试 八年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 如图，在矩形镜框背面，安装一根木条，使矩形镜框不易变形的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（ ） A. B. C. D. 3. 剪纸艺术不仅具有艺术价值，还承载着丰富的文化内涵和历史记忆．它是中国传统文化的重要组成部分，也是世界文化遗产的瑰宝．以下四幅剪纸图案中，不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 下面计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 在中，分式的个数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a与b的关系是（ ） A. a>b B. a=b C. a<b D. b=a+180° 7. 如果对多项式“”进行因式分解的结果为，则“”中的数是（　　） A. B. 1 C. 2 D. 8. 用正方形和三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第四，个图案中有7个三角形，第③个图案中有10个三角形．．．，按此规律，则第⑨个图案，三角形的个数是（　　） A. 27 B. 28 C. 29 D. 30 9. 等腰三角形一个内角的度数是，则它的一个底角的度数是（　　） A. B. C. 或 D. 或 10. 在5个字母中（均不为零），不改变字母的顺序，在每相邻两个字母之间都添加一个“+”或者一个“-”组成一个多项式，且从字母之间开始从左至右所添加的“+”或“-”交替依次出现，再在这个多项式中，任意添加两个括号（括号内至少有两个字母，且括号中不再含有括号），添加括号后仍只含有加减运算，然后再进行去括号运算，我们称为“添减括号操作”． 例如：． 下列说法： ①所有的“添减括号操作”共有7种不同运算结果； ②不存在两种“添减括号操作”，使它们的运算结果求和后为0； ③存在“添减括号操作”，使其运算结果与其未加括号之前的多项式相等． 其中正确的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 11. 分解因式：______． 12. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________. 13. 若点与点关于轴对称，则___________． 14. 分式与的最简公分母是___________． 15. 如图，平分，，点D是上的动点，若，则长度的最小值为 ___________． 16. 如图，一个大正方形中有2个小正方形和，如果大正方形的边长为27，则小正方形的面积是___________． 17. 已知分式的值为负整数，则满足条件的整数的所有的值的和是___________． 18. 如果一个三位数满足各数位上的数字相互都不相同，且都不为零，那么称这个三位数为“相异数”．将“相异数”的个位数字去掉，得到一个两位数，将其与的个位数字的差记为，将的十位数字与个位数字的差记为．已知“相异数”123，则___________；若一个三位正整数（其中、都是整数，且）是“相异数”，与的商为整数且能被13整除，则满足条件的“相异数”的最大值是___________． 三、解答题（本大题8个小题，第19小题8分，其余每题各10分，共78分）请将必要的演算过程或推理步骤书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2） 20. 在等边中，点是边上任意一点，连接，过点的射线交于点，交于点，当时，则必有．为验证此规律的正确性，先利用下图，作，再通过证明全等得出结论．请根据以上思路完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规在下图的基础上作交于点，交于点．（不写作法，不下结论，只保留作图痕迹） （2）证明：为等边三角形 ①___________②___________， 在和中， ， ， ④___________， 又， ⑤___________， ． 21. （1）因式分解：； （2）解分式方程．． 22. 为助力古诗词学习活动的深入开展，我校组织七、八年级学生开展了“漫游诗海牵手古今”古诗词知识竞赛（满分100分），为了解本校学生的掌握情况，现从七年级和八年级参与知识竞赛的学生中各随机选出10名学生的成绩进行分析，将学生竞赛成绩分为四个等级组（，，，）． 下面给出了部分信息： 七年级10名学生竞赛成绩为：65，70，70，83，87，88，90，90，90，90，100； 八年级10名学生竞赛成绩中，组的成绩为：84，88，89； 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 83.3 87.5 八年级 83.3 91 请根据所给信息，解答下列问题： （1）根据以上信息可以求出：______，_____，______； （2）结合以上数据，你认为在此次古诗词知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）． （3）若本校七年级有500名学生参赛，八年级有400名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩在组的共有多少人？ 23. 小强计划在2025年春节来临前，给街道2024年退伍军人及6位劳动模范每人送一张贺卡，网上购买贺卡的优惠条件是：购买25或25张以上享受团购价．小强发现：零售价与团购价的比是，经过分析，按计划购买贺卡张数只能享受零售价，如果比原计划多购买5张贺卡就能享受团购价，这样正好花100元，而且比原计划还节约20元． （1）贺卡的零售价是多少？ （2）街道2024年退伍军人有多少人？ 24. 周末，红红、青青与华华三人在公园玩荡秋千，发现荡秋千的过程中蕴含着很多数学知识，于是，三人把荡秋千的过程抽象为数学模型进行探讨．如图，红红坐在秋千的起始位置处，与地面垂直于，两脚在地面上用力一蹬，青青在距地面高的处接住红红后用力一推，华华在处接住红红，若青青与华华到的水平距离、分别为和， （1）与全等吗？请说明理由； （2）华华是在距离地面多高的地方接住红红的？ 25. 某水果商用5000元购进一批浦江耙耙柑进行试销，由于销售状况良好，该水果商又用11000元资金购进浦江耙耙柑，但这次的进货价比试销时每千克多了0.5元，购浦江耙耙柑数量是试销的2倍． （1）试销时浦江耙耙柑的进货价为每千克多少元？ （2）如果水果商将两次购进的浦江耙耙柑都按每千克7.5元的定价出售，当第一次购进的全部售完，且第二次购进的也售出部分后，为了尽快售完，决定打折促销，余下的500千克按定价的七折售完，那么水果商在这两次浦江耙耙柑销售中共盈利多少元？ 26. 在中，点为上一点，为上一点，连接、、，已知． （1）如图1，若，求的度数． （2）如图2，点是的中点，过点作的垂线，分别交于点，交于点，交于点．求证：． （3）如图3，中，若，为线段上一点，为线段上一点，且，点在下方，若，，连接，当取最小值时，直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $