精品解析：福建省泉州市泉州科技中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

泉州科技中学2024-2025学年度 第一学期初三年期中考试 数学试卷 时间：120分钟 满分150分 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式：①，②，③，④中，最简二次根式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 相等的圆心角所对的弧相等 B. 在同圆中，等弧所对的圆心角相等 C. 弦相等，圆心到弦的距离相等 D. 圆心到弦的距离相等，则弦相等 7. 关于x的一元二次方程x2﹣（k＋3）x＋2（k＋1）＝0的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个实数根 D. 没有实数根 8. 小匡同学从市场上买一块长80cm、宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，点在边上，且．按下列要求作图： ①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点： ②以点为圆心，以长为半径画弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径画弧，交前一条弧于点： ④作直线，交边于点． 下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价以及实数确定实际销售价格，这里x被称为乐观系数，经验表明，最佳乐观系数x恰好使得，据此可得，最佳乐观系数x的值等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 计算=_____． 12. 已知为方程的一个根，则的值为__________． 13. 在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径为，那么轴与的位置关系是__________． 14. 如图，在中，半径与弦垂直，，若点C在劣弧上，______． 15. 新石器时代的河姆渡人为使房子与地面隔离而达到有效的防潮，建造了如图①所示的干栏式房屋，图②为其正面简易图，若米，在点处测得房檐处的俯角为，距离为米，则房屋的高度约为__________米． 16. 如图，在矩形中，，，先将沿翻折到处，再将沿翻折到处，延长交于点，则的长为_________． 三、解答题：本题共9小题，共86分． 17. 解方程： 18. 计算：． 19. 如图，在矩形中，E为边上的一点，于点F． （1）证明：； （2）若，求的长． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程的一个根是，求方程的另一个根； （2）若该一元二次方程的两个根分别为，，当时，求的值． 21. 如图，在中，，、、所对的边分别记为a、b、c． （1）若，求的面积（用含a、c的式子表示）； （2）若，，求的值， 22. 如图，在矩形中，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为，连接． （1）当t为何值时，P，Q两点间的距离为？ （2）当t为何值时，． （3）在运动过程中，是否存在一个时刻，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 23. 如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． （1）求证：为的切线； （2）连接．若，求的长． 24. 综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动． 【特例探究】 （1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积． 等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 图③ 1 ______ ______ ______ 请补全表格中数据，并完成以下猜想． 已知的角平分线，，，用含的等式写出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：______． 【变式思考】 （2）已知的角平分线，，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明． 【拓展运用】 （3）如图④，中，，点D在边上，．以点C为圆心，长为半径作弧与线段相交于点E，过点E作任意直线与边，分别交于M，N两点．请补全图形，并分析的值是否变化？ 25. 已知中，，平分，，．点、分别是边、上的点（点不与点、重合），且，、相交于点． （1）求的长； （2）如图，如果，求的值； （3）如果是以为腰的等腰三角形，求长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州科技中学2024-2025学年度 第一学期初三年期中考试 数学试卷 时间：120分钟 满分150分 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式：①，②，③，④中，最简二次根式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】利用最简二次根式的概念分析得出答案． 【详解】解：①是最简二次根式； ②=，不是最简二次根式； ③，不是最简二次根式； ④，不是最简二次根式； 最简二次根式有1个， 故选：A． 【点睛】本题考查了最简二次根式，正确理解二次根式的定义是解题的关键． 2. 下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义； 根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、当时，不是一元二次方程，故本选项错误； B、符合一元二次方程的定义，故本选项正确； C、x的最高次数为1，不是关于x的一元二次方程，故本选项错误； D、当时，是一元一次方程，故本选项错误． 故选：B． 3. 下列运算，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的运算性质进行计算即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，此选项不符合题意； B、3与不是同类二次根式，不能合并，此选项不符合题意； C、正确，此选项符合题意； D、原计算错误，，此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式加减乘除计算，熟知以上计算是解题的关键． 4. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得出，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得， 故选：B． 5. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的方法和步骤是解此题的关键． 按照配方法解一元二次方程的方法和步骤，先移项，再在方程两边都加上一次项系数的一半的平方(二次项系数为1)，整理化简即得答案． 【详解】 移项得， 配方得，，即． 故选：B． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 相等的圆心角所对的弧相等 B. 在同圆中，等弧所对的圆心角相等 C. 弦相等，圆心到弦的距离相等 D. 圆心到弦的距离相等，则弦相等 【答案】B 【解析】 【分析】圆心角、弧、弦、圆心到弦的距离的关系的前提“在同圆和等圆中”，据此逐项判定即可． 【详解】解：A、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故此选项不符合题意； B、在同圆中，等弧所对的圆心角相等，故此选项符合题意； C、在同圆和等圆中，弦相等，圆心到弦的距离相等，故此选项不符合题意； D、在同圆和等圆中，圆心到弦的距离相等，则弦相等，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦、圆心到弦的距离的关系，解题关键是熟练掌握在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对弧、圆心角所对弦、圆心到弦的距离中有一组量相等，则其余各组量也相等． 7. 关于x的一元二次方程x2﹣（k＋3）x＋2（k＋1）＝0的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】先计算根的判别式得到△=[-（k+3）]2-4×2（k+1）=（k-1）2，再利用非负数的性质得到△≥0，然后可判断方程根的情况． 【详解】解：△=[-（k+3）]2-4×2（k+1）=（k-1）2， ∵（k-1）2≥0， 即△≥0， ∴方程有两个实数根． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 8. 小匡同学从市场上买一块长80cm、宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知：裁剪后的底面的长为cm，宽为cm，从而根据底面积可以列出相应的方程即可． 【详解】解：由题意可得，裁剪后的底面的长为cm，宽为cm， ∴， 故选：C． 【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，根据面积列出方程是解题关键． 9. 如图，在中，点在边上，且．按下列要求作图： ①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点： ②以点为圆心，以长为半径画弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径画弧，交前一条弧于点： ④作直线，交边于点． 下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作一个角等于已知角，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，根据作图可知，推出，进而得到，逐一进行判断即可． 【详解】解：根据作图可知，故A选项正确； ∴， ∴，，故选项B正确； ∴，故选项C正确； ∴，故选项D错误； 故选D． 10. 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价以及实数确定实际销售价格，这里x被称为乐观系数，经验表明，最佳乐观系数x恰好使得，据此可得，最佳乐观系数x的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由得到：，再根据，可得，再列方程，解方程可得答案． 【详解】解：由得到：， 即：， ， ， ， ， 解得：，， ， 不合题意， ， 故选D． 【点睛】本题考查了等式的变形，一元二次方程的解法等知识，关键是根据已知条件，变形为，从而可转化为关于x的一元二次方程． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 计算=_____． 【答案】 【解析】 【分析】先把化为最简二次根式，再合并同类二次根式计算结果． 【详解】解： ． 12. 已知为方程的一个根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，利用整体代入的思想解决问题即可． 【详解】解：∵m为方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：0． 13. 在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径为，那么轴与的位置关系是__________． 【答案】相交 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，坐标与图形，由题意可求到y轴的距离d为3，根据直线与圆的位置关系的判定方法可求解． 【详解】解：∵的圆心坐标为， ∴到y轴的距离d为3， ∵， ∴y轴与相交， 故答案为：相交． 14. 如图，在中，半径与弦垂直，，若点C在劣弧上，______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角、圆内接四边形，根据垂径定理得，再根据圆周角定理得，分类讨论：当点在上时，当点在上时，利用圆周角定理及圆内接四边形的性质即可求解，熟练掌握基础知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：连接， ， ， ， ， 当点在上时，如图： ， 当点在上时，如图： A、B、D、共圆， ， 综上所述，或， 故答案为：或． 15. 新石器时代的河姆渡人为使房子与地面隔离而达到有效的防潮，建造了如图①所示的干栏式房屋，图②为其正面简易图，若米，在点处测得房檐处的俯角为，距离为米，则房屋的高度约为__________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，过点A作，垂足为F，根据题意可得：米，米，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：如图：过点A作，垂足为F， 由题意得：米，米，， ∴， 在中，（米）， ∴（米）， ∴房屋的高度约为3.54米， 故答案为：3.54． 16. 如图，在矩形中，，，先将沿翻折到处，再将沿翻折到处，延长交于点，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作的延长线于点，设与交于点，根据矩形性质和翻折性质，设，，利用勾股定理求出的值，证明，求出，然后证明，得，再由，得，求出，，证明，对应边成比例即可求出的长． 【详解】解：如图，过点作的延长线于点，设与交于点， 四边形是矩形， ，，， ， 由翻折可知：， ， ， 由翻折可知：，， ， ， 设， ， 在中，根据勾股定理得： ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题是相似形的综合题，难度大，考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，翻折变换，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是作出辅助线构造相似三角形． 三、解答题：本题共9小题，共86分． 17. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】直接用公式法求解即可． 【详解】 ∴ ∴ ， 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 18. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】利用二次根式的乘除法则，再化为最简式并合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除混合运算．掌握二次根式的乘除法则是解答本题的关键． 19. 如图，在矩形中，E为边上的一点，于点F． （1）证明：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形； ，， , 于点， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出，，进而证明是解题的关键． （1）由矩形的性质得，则，而于点，，即可证明； （2）由，，，求得，由相似三角形的性质得，进而，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， 的长是． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程的一个根是，求方程的另一个根； （2）若该一元二次方程的两个根分别为，，当时，求的值． 【答案】（1）方程的另一个根为； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系以及解一元二次方程． （1）将代入中，得，再解方程即可； （2）先根据判别式求得m的取值范围，再根据根与系数的关系代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程的一个根是， ∴将代入中，得，解得， ∴解一元二次方程，得或， ∴方程的另一个根为； 【小问2详解】 解：由题意知， ∴， ∵， ∴且； ∵一元二次方程的两个根分别为，， ∴，，， ∴，可化为， 解得或（舍去）， ∴． 21. 如图，在中，，、、所对的边分别记为a、b、c． （1）若，求的面积（用含a、c的式子表示）； （2）若，，求的值， 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）本题考查解直角三角形，延长，作于点，根据题意得到，利用，求得，再根据，即可解题． （2）本题考查勾股定理和解直角三角形，根据题意得到，，结合得到，两边同时除以，将看作一个整体求解，即可解题． 【小问1详解】 解：延长，作于点，如图所示： ，， ， ，， ， ，解得， 的面积为：． 【小问2详解】 解：，， ， ， ，即有， 整理得，解得或， 的值为或． 22. 如图，在矩形中，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为，连接． （1）当t为何值时，P，Q两点间的距离为？ （2）当t为何值时，． （3）在运动过程中，是否存在一个时刻，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）为时，间的距离是 （2） （3）不存在一个时刻，使得 【解析】 【分析】（1）过作于，根据路程速度时间，用表示出的值，然后在直角三角形中，根据勾股定理求出的值； （2）根据勾股定理得，然后根据当时，列出方程求出的值即可； （3）当时，有，列出方程，由，说明方程无实数解，进而可得不存在一个时刻，使得． 【小问1详解】 解：如图，过点作于， ∵点以的速度向点移动，点以的速度向点移动，移动时间为， ， ， ， ， 解得：或， ， ， ， ∴不符合题意舍去， ∴为时，间的距离是； 【小问2详解】 解：∵， 在中，根据勾股定理得：， 当时，， 整理得，， 解得或（舍去）； 故当的值为时，； 【小问3详解】 解：不存在一个时刻，使得， 理由如下： 如图，过点作于点，得矩形，矩形， ， ，， 当时，有， ， 化简得，， ， ∴此方程无实数解， 所以不存在一个时刻，使得． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的定义，直角三角形，一元二次方程，关键是数形结合思想解决问题． 23. 如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． （1）求证：为的切线； （2）连接．若，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是直径，D是的中点， ∴ ∴， ∴， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查的是圆的切线的判定、等腰三角形性质、垂径定理的推论及勾股定理的应用，综合运用这些知识点是解题关键． （1）连接，证明，，得出，根据是直径，D是的中点，得出，证明即可得出结论； （2）设，则，根据勾股定理求出，根据勾股定理求出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，则， 在中， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴． 24. 综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动． 【特例探究】 （1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积． 等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 图③ 1 ______ ______ ______ 请补全表格中数据，并完成以下猜想． 已知的角平分线，，，用含的等式写出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：______． 【变式思考】 （2）已知的角平分线，，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明． 【拓展运用】 （3）如图④，中，，点D在边上，．以点C为圆心，长为半径作弧与线段相交于点E，过点E作任意直线与边，分别交于M，N两点．请补全图形，并分析的值是否变化？ 【答案】（1） 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 图③ 1 ， （2）猜想：，理由如下： 如图，延长至使，连接，过作于，延长交于， ∵，平分， ∴为等边三角形，，， 设，， ∴，，而， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：， ∴； ， ∴； （3）是定值 补全图形如图所示： 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 如图，过点作于，于，过点作于， ， ， ，，， ， 在中，， ， ， ， ， ， 由是确定的，由作图可得为定长，而和为定值， 为定值， 即为定值． 【解析】 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值分别计算，再填表即可；再由可得结论； （2）如图，延长至使，连接，过作于，延长交于，证明为等边三角形，，，设，，利用相似三角形的性质求解，再进一步可得； （3）根据题目要求画图，设，运用等腰三角形性质和三角形内角和定理可求得，过点作于，于，过点作于，利用，即可求得答案． 【详解】解：（1）∵，是的角平分线，， ∴， ∴； ∴，； 如图，由（1）可得：， ∴， ∴，， ∴； （2）略 （3）略 【点睛】本题属于实际探究题，考查了类比方法的应用，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的灵活应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 25. 已知中，，平分，，．点、分别是边、上的点（点不与点、重合），且，、相交于点． （1）求的长； （2）如图，如果，求的值； （3）如果是以为腰的等腰三角形，求长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义以及和的关系，可以得出，，据此求出的长即可； （2）根据和相似，可以求出和的长，过作交于，根据和可求出的值； （3）分情况讨论：当时；当时，即可解答． 【小问1详解】 解：，平分， ， ， 又， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ， 过作交于，如图：     ， ， ， 又， ， ， ； 【小问3详解】 解：当时， ， ， ， ，， ， ， ， ， 由（2）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当时，在上截取点，使，如图所示： 则， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 解得：， 综上，的长为或． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、等角的补角相等、相似三角形的判定和性质、平行线的判定及性质、等腰三角形的判定与性质、外角的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确判断相似条件与全等是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $