广东省大湾区2024-2025学年高一下学期期末统一测试数学试卷

★启用前注意保密 大湾区2024－2025学年高一年级第二学期期末统一测试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 1或3 2. 已知平面向量，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角度（弧度）是（ ） A. B. C. D. 4. 设，是两个平面，m，l是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 5. 如图，水平放置的的直观图恰为腰长为2的等腰直角三角形，则中最长边的长为（ ） A. B. 4 C. D. 6 6. 如图，已知直线，为之间一定点，并且点到的距离为2，到的距离为1.为直线上一动点，作，且使与直线交于点，则△面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，高度为的圆锥形玻璃容器中装了水，则下列四个容器中，水的体积最接近容器容积一半的是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在区间上恰有两个零点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 在上单调递增 C. 是奇函数 D. 将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象 10. 如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔AB（A为塔顶，B为塔底）的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D（B，C，D不在同一直线上），测得测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔AB的高度的是（ ） A. s， B. s， C. s， D. s， 11. 已知一个直三棱柱的顶点都在一个球的球面上，该棱柱的底面为等腰直角三角形，且侧棱长与底面三角形的斜边长相等，现过球心作一截面，则截面的可能是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 化简______. 13. 函数的定义域为______. 14. 多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的顶点．如图所示，正方体的一个顶点在平面内，其余顶点在的同侧．正方体上与顶点相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，则正方体其余四个顶点到平面的距离之和为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在中，已知为线段上一点，，． （1）求实数，的值； （2）若，，且与的夹角为，求的值． 16. 已知函数 （1）求的最小正周期; （2）求在区间上的最大值与最小值; （3）若，且，求的值. 17. 如图，记的内角的对边分别为．已知点在边上，，． （1）求证：； （2）若， （i）求； （ii）当时，求的周长． 18. 如图，在三棱柱中，D为的中点，，平面平面． （1）证明：平面平面； （2）设，四棱锥的体积为，求平面与平面ABC所成角的余弦值． 19. 若实数，且满足，则称是“余弦相关”的． （1）若，求出所有与之“余弦相关”的实数； （2）若实数是“余弦相关”的，求的取值范围； （3）若不相等的两个实数是“余弦相关”的，求证：存在实数，使得为“余弦相关”的，也为“余弦相关”的． ★启用前注意保密 大湾区2024－2025学年高一年级第二学期期末统一测试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】21 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 （3） 【17题答案】 【答案】（1）证明：因为，，所以，                   所以，              即，                  所以. （2）（i）；（ii） 【18题答案】 【答案】（1） 连接，设，连接， 因为四边形为平行四边形，所以E为的中点， 又因为，所以， 则由平面平面，平面平面， 可得，平面①， 设F为AC的中点，连接和FE． 在中，由E和F分别是和AC的中点得，且， 又因为且，所以且， 所以四边形BDEF为平行四边形，所以②， 由①②可得，平面， 又平面ABC，所以平面平面； （2） 【19题答案】 【答案】（1）或 （2） （3） 假设， 则由余弦函数的单调性可知， 所以，， 同理可得，相加得，与假设矛盾，故， ，， ， 故，也是余弦相关的， 所以，解得，， 综上，， 此时可设，， ， ， 故，为“余弦相关”的， 同理，也为“余弦相关”的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $