第2章 测评卷word（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（湘教版2019）

第2章　平面解析几何初步 (满分150分,考试用时120分钟) 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.“a=1”是“直线ax-y+2=0与直线(a+3)x+4y-4=0垂直”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知直线l的倾斜角为,直线l1经过点A(3,2)和B(a,-1),且直线l与l1平行,则实数a的值为(　　) A.0 B.1C.6 D.0或6 3.若点P(1,1)在圆C:x2+y2+x-y+k=0的外部,则实数k的取值范围是(　　) A.(-2,+∞) B. C. D.(-2,2) 4.已知圆C1:(x-2)2+(y+2)2=r2(r>0)与圆C2:(x+1)2+(y-2)2=4,若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点,则实数r等于(　　) A.7 B.3 C.3或7 D.5 5.已知点A(-1,1),B(3,5),若点A,B到直线l的距离都为2,则直线l的方程不可能为(　　) A.x-y+2-2=0 B.x-y+2+2=0 C.y=3 D.x-y-1=0 6.过点P(2,3)向圆C:x2+y2=1作两条切线,切点分别为A,B,则弦AB所在的直线方程为(　　) A.2x-3y-1=0　 B.2x+3y-1=0 C.3x+2y-1=0　 D.3x-2y-1=0 7.直线kx-y+3-3k=0与曲线y=2+有两个不同的交点,则实数k的取值范围是(　　) A. B. C. D.∪ 8.设点M(,3)在圆O:x2+y2=r2(r>0)外,若圆O上存在点N,使得∠OMN=,则实数r的取值范围是(　　) A.[,2] B.[2,2) C.[,2) D.[,2) 二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分) 9.下列说法正确的是(　　) A.过(x1,y1),(x2,y2)两点的直线方程为= B.点(1,3)关于直线x-y+1=0的对称点为(2,2) C.直线2x-y+4=0与两坐标轴围成的三角形的面积是4 D.经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0 10.设有一组圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R),下列结论正确的是(　　) A.无论k如何变化,圆心Ck始终在一条直线上 B.存在圆Ck,经过点(3,0) C.存在定直线始终与圆Ck相切 D.若圆Ck上总存在两点到原点的距离为1,则k∈ 11.已知圆C1:x2+y2=1,圆C2:(x-3)2+(y+4)2=r2(r>0),下列判断正确的是(　　) A.若圆C1与圆C2无公共点,则0<r<4 B.当r=5时,两圆的公共弦所在直线的方程为6x-8y-1=0 C.当r=2时,P,Q分别是圆C1与圆C2上的点,则|PQ|的取值范围为[2,8] D.当0<r<4时,过直线6x-8y+r2-26=0上任意一点分别作圆C1、圆C2的切线,则切线长相等 12.设m∈R,过定点A的动直线l1:x+my=0和过定点B的动直线l2:mx-y-m+3=0交于点P,圆C:(x-2)2+(y-4)2=3,则下列说法正确的有(　　) A.直线l2过定点(1,3) B.直线l2与圆C相交的最短弦长为2 C.动点P的曲线与圆C相交 D.|PA|+|PB|的最大值为5 三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分) 13.已知圆C:x2+y2-4x-2y+1=0,直线l:3x-4y+m=0与圆C交于A,B两点,且∠ACB=120°,则实数m的值为　　　　.  14.已知直线l1:+=1经过点P(1,2),且与直线l2:2x+y+m=0平行,则a+b=　　　　;若这两条平行线之间的距离为,且l2不经过第一象限,则m=　　　　.  15.点B在y轴上运动,点C在直线l:x-y-2=0上运动,若A(2,3),则△ABC的周长的最小值为　　　　.  16.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x-2)2+(y-1)2=5,线段AB是圆C2:(x+4)2+(y+2)2=4的一条动弦,且|AB|=2,线段AB的中点为Q,则直线OQ被圆C1截得的弦长的取值范围是　　　　.  四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)在以下这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并求解. ①圆经过点C(3,4);②圆心在直线x+y-2=0上;③圆截y轴所得弦长为8且圆心M的坐标为整数. 已知圆M经过点A(-1,2),B(6,3),且　　　　.  (1)求圆M的方程; (2)求以(2,1)为中点的弦所在的直线方程. 18.(12分)等腰直角△ABC的直角为∠C,且点C(0,-1),斜边AB所在的直线方程为x+2y-8=0. (1)求△ABC的面积; (2)求斜边AB的中点D的坐标. 19.(12分)已知△ABC中,BC边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0,∠A的平分线所在的直线方程为y=0,点C的坐标为(1,2). (1)求点A和点B的坐标; (2)过点C作直线l,分别与x轴、y轴的正半轴交于点M,N,求△MON(O为坐标原点)面积的最小值及此时直线l的方程. 20.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆N过点(-1,0),(1,0),且圆心N在直线l:x+y-1=0上,圆M:(x-3)2+(y-4)2=8. (1)求圆N的标准方程,并判断圆M与圆N的位置关系; (2)直线MN上是否存在点B,使得过点B分别作圆M与圆N的切线,切点分别为T,S(不重合),满足|BS|=2|BT|?若存在,求出点B的坐标,若不存在,请说明理由. 21.(12分)如图所示,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不小于80 m.经测量,点A位于点O正北方向60 m处,点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸),tan∠BCO=. (1)求新桥BC的长; (2)当|OM|为多少时,圆形保护区的面积最大? 22.(12分)已知点P1(-+1,0),P2(+1,0),P3(1,1)均在圆C上. (1)求圆C的方程; (2)若直线3x-y+1=0与圆C相交于A,B两点,求线段AB的长; (3)设过点(-1,0)的直线l与圆C相交于M,N两点,试问:是否存在直线l,使得以MN为直径的圆经过原点O?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由. 答案与解析 1.A　由直线ax-y+2=0与直线(a+3)x+4y-4=0垂直,可得a(a+3)+(-1)×4=0,即a2+3a-4=0,解得a=1或a=-4,∴“a=1”是“直线ax-y+2=0与直线(a+3)x+4y-4=0垂直”的充分不必要条件.故选A. 2.C　由题意得直线l的斜率为tan =-1,直线l1的斜率为,因为直线l与l1平行,所以=-1,解得a=6,故选C. 3.C　由题意得解得-2<k<,故选C. 4.C　由题意知圆C1与圆C2内切或外切, 因为|C1C2|==5, 所以r-2=5或r+2=5, 所以r=7或r=3,故选C. 5.D　由题意得直线AB的斜率为=1.当直线l与直线AB平行时,设直线l的方程为x-y+m=0,点A到直线l的距离为=2,解得m=2±2,直线l的方程为x-y+2-2=0或x-y+2+2=0.当直线l过AB的中点(1,3)时,若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-3=k(x-1),整理得kx-y+3-k=0,点A到直线l的距离为=2,解得k=0,直线l的方程为y=3;若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=1,满足题意.故选D. 6.B　因为PC垂直平分AB,所以弦AB可以看作是以PC为直径的圆与圆x2+y2=1的公共弦,而以PC为直径的圆的方程为(x-1)2+=.根据两圆的公共弦的求法,可得弦AB所在直线的方程为(x-1)2+--(x2+y2-1)=0,整理可得2x+3y-1=0. 7.C　由kx-y+3-3k=0得k(x-3)-y+3=0,则直线过定点C(3,3),由y=2+得(x-1)2+(y-2)2=4(y≥2).如图所示,当直线与半圆相切时,圆心(1,2)到直线的距离d==2,解得k=-; 当直线过点A(-1,2)时,-k-2+3-3k=0,解得k=. 由于直线与曲线有两个不同的交点,故-<k≤,故选C. 8.D　如图所示,由题意得,当∠OMN的最大值大于或者等于时,一定存在点N,使得∠OMN=,当MN与圆相切时,∠OMN取得最大值,此时,sin∠OMN==≥,解得r=|ON|≥,又M(,3)在圆外,∴r<2,综上可得,≤r<2. 9.BC　当x1=x2或y1=y2时,方程不成立,故A错误;点(1,3)和点(2,2)连线的斜率k==-1,与直线x-y+1=0垂直,并且两点到直线x-y+1=0的距离均为,所以点(1,3)关于直线x-y+1=0的对称点为(2,2),故B正确;直线2x-y+4=0与两坐标轴的交点坐标分别是(-2,0)和(0,4),所以直线2x-y+4=0与两坐标轴围成的三角形的面积是×2×4=4,故C正确;当直线过原点时,设其方程为y=kx,代入(1,1),得k=1,所以直线方程是y=x,当直线不过原点时,设其方程为+=1,代入(1,1),得+=1,解得a=2,此时直线方程是+=1,即x+y-2=0,故D错误.故选BC. 10.AC　圆心Ck(k,k)的轨迹为直线y=x,即无论k如何变化,圆心Ck始终在一条直线上,A正确;圆Ck中,当x=3,y=0时,(3-k)2+k2=4⇔2k2-6k+5=0,因为Δ=(-6)2-4×2×5=-4<0,所以关于k的方程无实数根,B错误;选取直线l:x-y±2=0,圆心Ck(k,k)到直线l的距离d==2,即直线l与圆Ck相切,C正确;到原点距离为1的点的轨迹是单位圆O:x2+y2=1,当圆O与圆Ck相交时满足条件,此时|OCk|=|k|∈(1,3),得k∈或k∈,D错误.故选AC. 11.BCD　圆C1:x2+y2=1的圆心为C1(0,0),半径r1=1;圆C2:(x-3)2+(y+4)2=r2(r>0)的圆心为C2(3,-4),半径为r,则|C1C2|==5.若圆C1与圆C2无公共点,则只需|C1C2|<|r-1|或|C1C2|>r+1,解得r>6或0<r<4,故A错;若r=5,则圆C2:(x-3)2+(y+4)2=25,由x2+y2=1与(x-3)2+(y+4)2=25两式作差,可得两圆的公共弦所在直线的方程为6x-8y-1=0,故B正确;若r=2,则圆C2:(x-3)2+(y+4)2=4,此时|C1C2|=5>2+1=3,所以圆C1与圆C2外离,又P,Q分别是圆C1与圆C2上的点,所以|C1C2|-(1+2)≤|PQ|≤|C1C2|+1+2,即2≤|PQ|≤8,故C正确;当0<r<4时,两圆外离,记直线6x-8y+r2-26=0上任意一点为M(x0,y0),则6x0-8y0+r2-26=0,所以|MC1|=,|MC2|===,因此切线长分别为d1==,d2==,即d1=d2,故D正确.故选BCD. 12.ABC　由题意得直线l1过定点A(0,0),直线l2过定点B(1,3),所以A正确;由圆的方程可得圆心C(2,4),半径r=,所以圆心C到直线l2的距离d==,所以弦长为2=2=2∈[2,2)∪(2,2],即弦长的最小值为2,故B正确;因为两条直线始终互相垂直,P是两条直线的交点,所以PA⊥PB,可得P的轨迹为圆,设为圆Q,则圆心为Q,半径r'==,因为|CQ|==∈(r-r',r+r'),两圆相交,所以C正确;由C可知|PA|2+|PB|2=|AB|2=12+32=10,由基本不等式,可得≤=,即|PA|+|PB|≤2,当且仅当|PA|=|PB|时,等号成立,所以D不正确.故选ABC. 13.答案　3或-7 解析　圆C的标准方程是(x-2)2+(y-1)2=4,圆心为C(2,1),半径R=2,由∠ACB=120°,知C到AB的距离d=Rcos 60°=1,所以=1,解得m=3或m=-7. 14.答案　6;1 解析　∵l1过点P(1,2),∴+=1①,∵l2的斜率为-2,且与l1平行,∴-=-2②,由①②可得a=2,b=4,∴a+b=6,∴l1:+=1,即2x+y-4=0,∴=,解得m=1或m=-9.当m=-9时,l2经过第一象限,不符合题意,∴m=1. 15.答案　 解析　设A关于y轴的对称点为M,A关于l:x-y-2=0的对称点为D,∴|MB|=|BA|,|AC|=|CD|,连接MD交直线l于点C,交y轴于点B,则△ABC的周长=|AB|+|BC|+|AC|=|MB|+|BC|+|CD|≥|MD|,∴当M,B,C,D四点共线时,△ABC的周长最小.易知M(-2,3).设点D(x,y),则解得所以D(5,0).由两点间的距离公式知,|DM|==. 16.答案　[3,2] 解析　由题意得圆C1的圆心为C1(2,1),半径r1=,圆C2的圆心为C2(-4,-2),半径r2=2.由弦长|AB|=2可得,圆心C2到直线AB的距离d===,即|C2Q|=,所以点Q的轨迹方程为(x+4)2+(y+2)2=2.设直线OQ与圆Q相切的直线为y=kx,则=,解得k=1或k=,当直线为y=x时,圆心C1到直线的距离d1==,弦长为2=2=3;当直线为y=x,即x-7y=0时,圆心C1到直线的距离d2==,弦长为2=2=3.所以弦长的取值范围为[3,2]. 17.解析　(1)选条件①.设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 由题意得(3分) 解得 所以圆M的方程为x2+y2-6x+2y-15=0,即(x-3)2+(y+1)2=25.(6分) 选条件②.设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 由题意得(3分) 解得 所以圆M的方程为x2+y2-6x+2y-15=0, 即(x-3)2+(y+1)2=25.(6分) 选条件③.设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 由题意得(i) 因为圆截y轴所得弦长为8, 所以方程y2+Ey+F=0有两个不等的实数根y1,y2, 且|y1-y2|===8, 即E2-4F=64,(ii)(3分) 由(i)(ii)可得D=-6,E=2,F=-15或D=-,E=-,F=, 又因为圆心M的坐标为整数, 所以D=-6,E=2,F=-15, 故圆M的方程为x2+y2-6x+2y-15=0,即(x-3)2+(y+1)2=25.(6分) (2)由(1)知圆心M的坐标为(3,-1),弦的中点为N(2,1), 弦的斜率k=-=-=,(8分) 所以弦所在的直线方程为y-1=(x-2),即y=x.(10分) 18.解析　(1)顶点C到斜边AB所在的直线的距离d===2,(3分) 所以|AB|=2d=4,(4分) 故△ABC的面积S=×|AB|×d=×4×2=20.(6分) (2)由题意知,CD⊥AB, 又因为kAB=-,所以kCD=2,(7分) 所以直线CD的方程为y=2x-1,即2x-y-1=0,(9分) 由解得(11分) 所以点D的坐标为(2,3).(12分) 19.解析　(1)易知点A在BC边上的高所在的直线x-2y+1=0上,且在∠A的平分线所在的直线y=0上,解方程组得即A(-1,0).(2分) 因为BC边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0,所以kBC=-2, 因为点C的坐标为(1,2),所以直线BC的方程为2x+y-4=0.(4分) 因为kAC=1,所以kAB=-kAC=-1,所以直线AB的方程为x+y+1=0, 解方程组得即B(5,-6).(6分) (2)依题意得直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-2=k(x-1)(k<0), 则M,N(0,2-k),(8分) 所以S△MON=··(2-k) =·≥=4,(10分) 当且仅当-k=-,即k=-2时取等号,所以(S△MON)min=4,此时直线l的方程是2x+y-4=0.(12分) 20.解析　(1)由题意知,圆心N也在直线x=0上, 联立解得 ∴N(0,1),易知圆N的半径rN=, ∴圆N的标准方程为x2+(y-1)2=2.(3分) ∵M(3,4),且|MN|==3, rM+rN=2+=3=|MN|, ∴圆M与圆N外切.(6分) (2)存在.∵N(0,1),M(3,4),∴直线MN的方程为x-y+1=0, 设B(a,a+1), 由|BS|=2|BT|可知,|BS|2=4|BT|2, 即|BN|2-2=4(|BM|2-8),所以|BN|2=4|BM|2-30, 即a2+(a+1-1)2=4[(a-3)2+(a+1-4)2]-30,(9分) 整理得a2-8a+7=0,解得a=1或a=7, ∴B(1,2)或B(7,8), 当B的坐标为(1,2)时,点B为圆N与圆M的公切点,此时T,S,B重合,不符合题意. ∴存在点B(7,8),满足|BS|=2|BT|.(12分) 21.解析　(1)如图,以O为坐标原点,OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy. 由条件知,A(0,60),C(170,0),kBC=-tan∠BCO=-. 又因为AB⊥BC,所以kAB=.(2分) 设点B的坐标为(a,b), 则kBC==-,kAB==,(4分) 解得a=80,b=120. 所以|BC|==150. 因此新桥BC的长为150 m.(6分) (2)设保护区的边界圆M的半径为r m,|OM|=d m(0≤d≤60). 由(1)知,直线BC的方程为y=-(x-170), 即4x+3y-680=0. 由于圆M与直线BC相切, 故点M(0,d)到直线BC的距离是r, 即r==.(8分) 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不小于80 m, 所以即 解得10≤d≤35.(10分) 故当d=10时,r=最大,即圆的面积最大. 所以当|OM|=10 m时,圆形保护区的面积最大.(12分) 22.解析　(1)由题意得圆心C的横坐标为1, 设圆C的方程为(x-1)2+(y-b)2=r2(r>0), 则∴(2分) ∴圆C的方程为(x-1)2+(y+2)2=9.(4分) (2)由(1)知圆C的圆心坐标为(1,-2),半径为3, ∵圆心C到直线3x-y+1=0的距离d==, ∴|AB|=2=.(7分) (3)存在直线l满足题意. 设M(x1,y1),N(x2,y2), 由题意,知OM⊥ON,且直线OM,ON 的斜率均存在. ①当直线l的斜率不存在时, 可得直线l的方程为x=-1, 不妨设y1>y2, 则M(-1,-2),N(-1,--2),满足·=-1, ∴直线l:x=-1满足条件;(8分) ②当直线l 的斜率存在时, 可设直线l 的方程为y=k(x+1), 代入(x-1)2+(y+2)2=9,得(1+k2)x2+(2k2+4k-2)x+k2+4k-4=0, 则Δ=(2k2+4k-2)2-4(1+k2)(k2+4k-4)>0恒成立, 则x1+x2=-,x1x2=,(9分) ∴kOM·kON=·=-1,即x1x2+y1y2=0, 即x1x2+k2(x1+1)(x2+1)=0, 即(1+k2)x1x2+k2(x1+x2)+k2=0,(11分) ∴(1+k2)·-k2·+k2=0,解得k=1, ∴直线l的方程为y=x+1. 综上可知,存在满足条件的直线l:x=-1或l:y=x+1.(12分) 18 学科网（北京）股份有限公司 $$