第2章 本章复习提升（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册（湘教版2019）

本章复习提升 易混易错练　　　　　　　　　　　　　　　 易错点1　弄不清直线的斜率与倾斜角间的关系 1.已知直线l过点P(1,0)且与以A(2,1),B(4,-3)为端点的线段AB有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围为　　　　.  易错点2　忽略直线与圆的方程中的隐含条件 导致计算错误 2.两条直线3x-2y-1=0与6x-4y+1=0间的距离是(　　) A.　　B.　　C.　　D. 3.若圆C:x2+y2-2(m-1)x+2(m-1)y+2m2-6m+4=0过坐标原点,则实数m的值为 (　　) A.2或1　　B.-2或-1　　C.2　　D.1 4.已知圆x2+y2+2k2x+2y+4k=0关于直线y=x对称,则k的值为(　　) A.1　　B.-1　　C.-1或1　　D.0 5.已知两直线l1:x+m2y+6=0,l2:(m-2)x+3my+2m=0,若l1∥l2,求实数m的值. 易错点3　应用直线与圆的方程时考虑不全面而致错 6.已知直线l过点(1,2),且其在纵坐标轴上的截距为其在横坐标轴上的截距的两倍,则直线l的方程为(　　) A.2x-y=0　　　　 B.2x+y-4=0 C.2x-y=0或x+2y-2=0　　　　 D.2x-y=0或2x+y-4=0 7.已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是(　　) A.(x-5)2+(y-7)2=25 B.(x-5)2+(y-7)2=17或(x-5)2+(y+7)2=15 C.(x-5)2+(y-7)2=9 D.(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9 8.已知直线l过两直线3x+4y-5=0,2x-3y+8=0的交点,且A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,求直线l的方程. 9.已知圆C:x2+y2-4x+3=0. (1)求过点M(3,2)的圆C的切线方程; (2)直线l过点N且被圆C截得的弦长为m,求m的取值范围; (3)已知圆E的圆心在x轴上,与圆C相交所得的弦长为,且与圆x2+y2=16内切,求圆E的标准方程. 思想方法练 一、函数与方程思想在直线与圆中的应用 1.若圆上的点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点A'仍在圆上,且直线x-y+1=0被圆所截得的弦长为2,求圆的方程. 2.已知圆M:x2+(y-6)2=16,点P是直线l:x-2y=0上的一个动点,过点P作圆M的切线PA,PB,切点分别为A,B. (1)当切线长|PA|=4时,求线段PM的长度; (2)若△PAM的外接圆为圆N,试问:当点P在直线l上运动时,圆N是否过定点?若过,求出所有定点的坐标,若不过,请说明理由; (3)求线段AB长度的最小值. 二、分类讨论思想在直线与圆中的应用 3.已知圆(x+1)2+(y-a)2=1与圆(x-2)2+(y-4)2=16相切,则实数a的取值个数为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.1　　B.2　　C.3　　D.4 4.过点P(-1,6)且与圆(x+3)2+(y-2)2=4相切的直线的方程是　　　　　　　　.  三、转化与化归思想在直线与圆中的应用 5.若圆M:x2+y2-6x+8y=0上至少有3个点到直线l:y-1=k(x-3)的距离为,则k的取值范围是(　　) A.[-,0)∪(0,]　　　　 B.[-,] C.(-∞,-]∪[,+∞)　　　　 D.(-∞,-)∪(,+∞) 6.已知圆C1:(x-a)2+y2=1和C2:x2+y2-2by+b2-4=0恰好有三条公切线,则的最小值为(　　) A.2　　　　B.1+ C.2-　　　　D.4 四、数形结合思想在直线与圆中的应用 7.已知圆C1:x2+y2=2,圆C2:+y2=4.若过点(0,-2)的直线l与圆C1、C2都有公共点,则直线l斜率的取值范围是(　　) A.[-1,]　　　　B.[0,] C.[-1,0]∪[1,]　　　　D.[1,] 8.已知点P为直线y=x+1上的一点,M,N分别为圆C1:(x-4)2+(y-1)2=4与圆C2:x2+(y-4)2=1上的点,则|PM|+|PN|的最小值为(　　) A.5　　　　B.6 C.2　　　　D.1 9.已知点P,Q分别在直线l1:x+y+2=0与直线l2:x+y-1=0上,且PQ⊥l1,点A(-3,-3),B,则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为　　　　.  答案与分层梯度式解析 易混易错练 1.答案　∪ 解析　如图所示. 设直线l过A点时斜率为k1,直线l过B点时斜率为k2, 则k1==1,k2==-1, 所以要使直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率的取值范围为[-1,1], 所以直线l的倾斜角的取值范围为∪. 易错警示 　　求直线的斜率或倾斜角的取值范围时,要注意三点:一是起、止直线的确定,从起始直线到终止直线要按逆时针方向旋转;二是当有斜率不存在的直线也符合题意时,斜率的范围将分成两个区间;三是有倾斜角为0的直线也符合题意时,倾斜角的范围将分成两个部分. 2.B　因为3×(-4)-(-2)×6=0,所以直线 3x-2y-1=0与直线 6x-4y+1=0平行,直线 3x-2y-1=0的方程可化为 6x-4y-2=0,故两直线间的距离是 =,故选B. 易错警示 　　运用公式求两平行线之间的距离时,要将一次项系数化相等. 3.C　∵x2+y2-2(m-1)x+2(m-1)y+2m2-6m+4=0表示圆,∴[-2(m-1)]2+[2(m-1)]2-4(2m2-6m+4)>0,∴m>1.又∵圆C过坐标原点,∴2m2-6m+4=0,解得m=2或m=1(舍去),∴m=2. 4.B　圆的方程可化为(x+k2)2+(y+1)2=k4-4k+1. 依题意得所以k=-1,故选B. 易错警示 　　关于圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0的问题,解题时应牢记D2+E2-4F>0. 5.解析　依题意得,1×3m-m2×(m-2)=0,且1×2m-6×(m-2)≠0,化简,得m(m2-2m-3)=0,且m≠3,所以m=0或m=-1. 故实数m的值为0或-1. 易错警示 　　解决与直线的一般式方程相关的问题时,一要注意不能默认斜率存在,二要注意排除直线重合的情况. 6.D　①当直线过原点时,由直线经过点(1,2),知所求直线方程为y=2x,即2x-y=0; ②当直线不过原点时,设直线l的方程为+=1,代入(1,2)得+=1,解得a=2,此时直线l的方程为+=1,即2x+y-4=0. 故直线l的方程为2x-y=0或2x+y-4=0.故选D. 易错警示 　　在利用截距的关系求直线的方程时,要注意截距为0的情况. 7.D　设动圆圆心为(x,y),若动圆与已知圆外切,则=4+1,∴(x-5)2+(y+7)2=25; 若动圆与已知圆内切,则=4-1, ∴(x-5)2+(y+7)2=9. 易错警示 　　两圆相切包括内切和外切,在不明确具体的相切方式时要分两种情况讨论. 8.解析　解方程组得 即交点坐标为(-1,2). ①当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0. 由题意得=,解得k=-, 所以直线l的方程为y-2=-(x+1), 即x+3y-5=0. ②当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,符合题意. 综上,所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1. 9.解析　(1)圆C:x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,其圆心为C(2,0),半径为1. 若切线的斜率不存在,则切线方程为x=3,符合题意. 若切线的斜率存在,设切线斜率为k,则切线方程为 y-2=k(x-3),即kx-y-3k+2=0, 由圆心到切线的距离等于半径,得=1,解得k=,此时,切线方程为3x-4y-1=0. 综上可得,所求切线方程为x=3或3x-4y-1=0. (2)当直线l⊥CN时,弦长m最短,易知|CN|=, 所以m=2=; 当直线l经过圆心时,弦长m最长,为2. 所以m∈[,2]. (3)设圆E:(x-a)2+y2=r2(r>0),其与圆C相交于A,B两点(不妨设点A在第一象限),∵|AB|=,∴A,B两点的纵坐标分别为,-,将y2=代入圆C的方程,得x=或x=, ∴或在圆E上. ∵圆E内切于圆x2+y2=16, ∴圆E经过点(4,0)或(-4,0), 若圆E经过点和(4,0),则其标准方程为+y2=; 若圆E经过点和(4,0),则其标准方程为(x-3)2+y2=1; 若圆E经过点和(-4,0),则其标准方程为+y2=; 若圆E经过点和(-4,0),则其标准方程为+y2=. 思想方法练 1.解析　设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 利用待定系数法求解圆的方程,体现了方程思想. 则圆心为(a,b),半径为r. ∵点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点A'仍在这个圆上,∴圆心(a,b)在直线x+2y=0上, ∴a+2b=0,① 且(2-a)2+(3-b)2=r2.② 设圆心到直线x-y+1=0的距离为d, ∵直线x-y+1=0被圆所截得的弦长为2, ∴r2-d2=r2-=()2.③ 由①②③,解得或 ∴所求圆的方程为(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244. 2.解析　(1)由题意知,圆M的半径r=|AM|=4,圆心M(0,6), ∵直线PA是圆M的一条切线,∴∠MAP=90°, ∴|PM|==8. (2)圆N过定点. 设P(2a,a),∵∠MAP=90°,∴经过A,P,M三点的圆N以MP为直径, ∴其圆心为N,半径为=, ∴圆N的方程为(x-a)2+=, 即x2+y2-6y+a(-2x-y+6)=0, 根据二元二次方程的特点,分别令x2+y2-6y=0,-2x-y+6=0,联立求解可得圆恒过的定点坐标. 令解得或 ∴圆N过定点(0,6)和. (3)由(2)知,圆N的方程为(x-a)2+=, 即x2+y2-2ax-ay-6y+6a=0,① 圆M:x2+(y-6)2=16,即x2+y2-12y+20=0,② ②-①得,2ax+(a-6)y+20-6a=0, 此方程即为直线AB的方程. 又∵圆心M(0,6)到直线AB的距离d==, ∴|AB|=2=8, 把|AB|表示为关于a的函数,利用二次函数的最值可得|AB|的最小值. ∴当a=时,线段AB的长度取得最小值,最小值为. 思想总结 　　函数与方程思想是分析和解决解析几何问题的一种非常重要的数学思想.圆的方程的求解、直线与圆的交点及个数判断、弦长的求解、圆与圆的交点及个数判断等都需要借助函数与方程思想. 3.C　设圆(x+1)2+(y-a)2=1的圆心为C1,半径为R1,圆(x-2)2+(y-4)2=16的圆心为C2,半径为R2,则C1(-1,a),C2(2,4),R1=1,R2=4, 两个圆相切要分内切和外切两种情况进行讨论并求解. 当两圆外切时,有|C1C2|=R1+R2,即=5,解得a=0或a=8;当两圆内切时,有|C1C2|=R2-R1,即=3,解得a=4. 综上所述,a=0或a=8或a=4.故选C. 思想总结 　　在直线和圆的位置关系的判断中需要对直线斜率是否存在进行分类讨论,在圆与圆的位置关系的判断中需要对两圆心的距离和半径之间的大小关系以及圆心的位置等进行分类讨论. 4.答案　3x-4y+27=0或x=-1 解析　因为不清楚直线的斜率是否存在,所以需要分类讨论. 当所求直线的斜率存在时,设所求直线的方程为y-6=k(x+1), 则圆心到直线的距离d==2,解得k=,此时,所求直线的方程为3x-4y+27=0; 当所求直线的斜率不存在时,所求直线的方程为x=-1,验证可知,符合题意. 综上所述,所求直线的方程为3x-4y+27=0或x=-1. 5.C　圆M的标准方程为(x-3)2+(y+4)2=52,则圆心M(3,-4),半径为5,由题意及圆的几何性质,得圆心M(3,-4)到直线l:y-1=k(x-3)的距离不超过, 将圆上满足条件的点的个数问题转化为圆心到直线的距离问题. 则≤,解得k2≥3,即k≥或k≤-. 6.A　圆C1的圆心为C1(a,0),半径r1=1. 圆C2的圆心为C2(0,b),半径r2=2. 由圆C1与圆C2有三条公切线知,两圆外切, ∴|C1C2|==r1+r2=3, 因此a2+b2=9. 设P(a,b),A(3,4), 则P在圆x2+y2=9上, 则|PA|=, ∵|OA|==5,∴|PA|min=|OA|-3=2. 将定点到圆上一动点的距离的最小值问题转化为定点到圆心的距离问题. 故选A. 思想总结 　　转化与化归思想在本章中的应用主要体现在圆上的点到直线的距离的最值问题、直线与圆构成的三角形面积的范围问题等. 7.D　如图,由题意可知,过点(0,-2)的直线与两个圆分别相切时为临界位置,即直线介于图形中的两直线之间时可满足题意. 借助几何图形找到满足条件的位置,进而求解. 设直线l的方程为y=kx-2(k≠0),由=,得k=1或k=-1(舍去),由=2,得k=或k=0,由图知k=0舍去, 所以直线l斜率的取值范围是[1,]. 8.C　如图所示,由圆C1:(x-4)2+(y-1)2=4, 可得其圆心为C1(4,1),半径r1=2, 由圆C2:x2+(y-4)2=1, 可得其圆心为C2(0,4),半径r2=1, 可得两圆圆心距|C1C2|==5, 所以|PM|+|PN|≥5-r1-r2=2, 当且仅当M,N,C1,C2,P共线时,取得最小值2, 利用数形结合思想分析最值与动点、定点之间的关系. 故|PM|+|PN|的最小值为2.故选C. 思想总结 　　与圆有关的最值问题、直线与圆的交点问题、判断圆与圆的位置关系等都可能用到数形结合思想.利用数形结合思想解决问题,比传统的解法更形象、更巧妙,并且计算量小. 9.答案　+ 解析　如图,由平行线间的距离公式得|PQ|=. 过点A作垂直于l1的直线,并截取|AA'|=|PQ|, 连接A'B,A'Q,设点A'(x0,y0), 则 因此,点A',则|A'B|=. 则四边形AA'QP是平行四边形, 故|AP|+|QB|=|A'Q|+|QB|≥|A'B|=. 作图形,利用对称性和三角形中边长之间的关系求解线段之和(或差)的最值. 因此,|AP|+|PQ|+|QB|≥+. 故|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为+. 17 学科网（北京）股份有限公司 $$