第1章 专题强化练3 数列的递推公式及通项公式（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册（湘教版2019）

专题强化练3　数列的递推公式及通项公式 1. 已知数列{an}中,a1=3,a2=6,an+2=an+1-an,则 a2 020=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　 A.6　　B.-6　　C.3　　D.-3 2.已知数列{an}满足a1=2,an+1=,则数列{an}的通项公式为an=(　　) A.2n-1　　B.2n-1　　C.　　D.n2 3.记首项为1的数列{an}的前n项和为Sn,且n≥2时,an(2Sn-1)=2,则S10的值为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 4.数列{an}的首项a1=2,且an+1=4an+6,令bn=log2(an+2),则=(　　) A.2 020　　B.2 021　　C.2 022　　D.2 023 5.在数列{an},{bn}中,an+1=an+bn+,bn+1=an+bn-,a1=1,b1=1,设cn=,则数列{cn}的前2 020项和为(　　) A.2 016　　B.4 020　　C.2 020　　D.4 040 6.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a2=3,且Sn+1+Sn-1=2n+2Sn(n≥2),若λ(Sn-an)+λ+7≥(2-λ)n对任意n∈N+都成立,则实数λ的最小值为(　　) A.-　　B.　　C.　　D.1 7.已知在数列{an}中,a1=2,a1+++…+=an+1-2,则an=　　　　.  8.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,Sn+1=4an+2,则an=　　　　.  9.已知各项都为正数的数列{an}满足an+2=2an+1+3an. (1)证明:数列{an+an+1}为等比数列; (2)若a1=,a2=,求{an}的通项公式. 10.在①nan+1-(n+1)an=n2+n,②3Sn=(n+2)an,③Tn+1=这三个条件中任选一个补充在下面的问题中,并解答. 设首项为2的数列{an}的前n项和为Sn,前n项积为Tn,且　　　　.  (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=(-1)nan,求数列{bn}的前n项和. 答案与分层梯度式解析 1.D　因为an+2=an+1-an①, 所以an+3=an+2-an+1②, ①+②并化简得an+3=-an,则an+6=-an+3=an, 即数列{an}是周期为6的周期数列. 因为a1=3,a2=6,所以a3=a2-a1=3,a4=-a1=-3,a5=-a2=-6,a6=-a3=-3,则a2 020=a6×336+4=a4=-3,故选D. 2.C　易知an>0,且an≠1,在an+1=的两边同时取常用对数,得lg an+1=2lg an,故=2,所以数列{lg an}是以lg 2为首项,2为公比的等比数列,所以lg an=2n-1×lg 2=lg ,所以an=,故选C. 3.D　当n≥2时,an(2Sn-1)=2,则(Sn-Sn-1)(2Sn-1)=2,即Sn+2SnSn-1=Sn-1,可得-=2, 所以是首项为1、公差为2的等差数列, 所以=1+2(n-1)=2n-1,所以Sn=, 所以S10==,故选D. 4.C　∵an+1=4an+6,∴an+1+2=4(an+2)>0,即=4,又∵a1=2,∴数列{an+2}是以4为首项、4为公比的等比数列,故an+2=4n.由bn=log2(an+2),得bn=log24n=2n,设数列{bn}的前n项和为Sn,则S2 021=2×(1+2+3+…+2 020+2 021)=2 021×2 022, ∴=2 022,故选C. 5.D　an+1=an+bn+①,bn+1=an+bn-②,①+②,得an+1+bn+1=2(an+bn),又因为a1=1,b1=1,所以{an+bn}是以2为首项、2为公比的等比数列,所以an+bn=2n.①×②,得an+1bn+1=2anbn,又因为a1=1,b1=1,所以{anbn}是以1为首项、2为公比的等比数列,所以anbn=2n-1.所以cn==2,所以数列{cn}的前2 020项和为2×2 020=4 040,故选D. 6.C　由题意得Sn+1-Sn=2n+Sn-Sn-1(n≥2),故an+1-an=2n(n≥2),因为a2-a1=2,所以an+1-an=2n(n≥1),所以an-an-1=2n-1,an-1-an-2=2n-2,……,a2-a1=2,则an-a1=21+22+…+2n-1, 故an=1+21+22+…+2n-1==2n-1,所以Sn=21+22+23+…+2n-n=-n=2n+1-n-2, 所以Sn-an=2n-n-1.因为λ(Sn-an)+λ+7≥(2-λ)·n对任意n∈N+都成立,所以λ≥. 设cn=,则cn+1-cn=-=,当n≤4时,cn+1>cn,当n≥5时,cn+1<cn,因此c1<c2<c3<c4<c5>c6>c7>…,即λ≥c5=,故λ的最小值为.故选C. 7.答案　2n 解析　因为a1+++…+=an+1-2①,所以当n=1时,a1=a2-2,得a2=4;当n≥2时,a1+++…+=an-2②,①-②,得=an+1-an, 即nan+1=(n+1)·an,易知an≠0,所以=(n≥2). 因为=2,所以=(n≥1),所以···…·=×××…×=n,所以=n,所以an=2n. 8.答案　n·2n 解析　由题意得S2=4a1+2,所以a1+a2=4a1+2,解得a2=8,又因为an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1-4an,于是an+2-2an+1=2(an+1-2an),因此数列{an+1-2an}是以a2-2a1=4为首项、2为公比的等比数列,故an+1-2an=4×2n-1=2n+1,于是-=1,因此数列是以1为首项、1为公差的等差数列,故=1+(n-1)=n,故an=n·2n. 9.解析　(1)证明:∵an+2=2an+1+3an,∴an+2+an+1=3(an+1+an),易知an+an+1≠0,∴{an+an+1}是以a1+a2为首项、3为公比的等比数列. (2)由题意得a1+a2=2, ∴an+1+an=2·3n-1, ∴an=2·3n-2-an-1=2·3n-2-(2·3n-3-an-2)=4·3n-3+an-2(n≥3). 当n≥3且n为奇数时,an=4·3n-3+4·3n-5+…+4·30+a1=4·+=·3n-1,当n=1时,a1=满足此式; 当n≥3且n为偶数时,an=4·3n-3+4·3n-5+…+4·31+a2=4·+=·3n-1,当n=2时,a2=满足此式. 综上,an=·3n-1(n∈N+). 10.解析　(1)选①. 因为nan+1-(n+1)an=n2+n,所以-=1, 因为a1=2,所以=2,所以数列是以2为首项、1为公差的等差数列,所以=n+1,即an=n2+n. 选②. 因为3Sn=(n+2)an,所以3Sn+1=(n+3)an+1, 两式相减,可得3an+1=(n+3)an+1-(n+2)an, 即nan+1=(n+2)an, 所以=,所以是常数列,因为=1,所以=1,即an=n2+n. 选③. 因为Tn+1=,所以=an+1=,即=,所以是常数列,因为=1,所以=1,即an=n2+n. (2)由(1)可知,an=n2+n,所以bn=(-1)n(n2+n).设{bn}的前n项和为Bn, 则b2k-1+b2k=-[(2k-1)2+2k-1]+(2k)2+2k=4k, 所以当n=2k(k∈N+)时,Bn=B2k=4+4×2+…+4×k==2k2+2k=+n; 当n=2k-1(k∈N+)时,n+1=2k, Bn=Bn+1-bn+1=+(n+1)-[(n+1)2+n+1]=-. 综上,Bn= 7 学科网（北京）股份有限公司 $$