第1章 测评卷word（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（湘教版2019）

第1章　数列 (满分150分,考试用时120分钟) 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知数列{an}是等差数列,a1+a7=-8,a2=2,则数列{an}的公差d等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 2.各项均为正数的等比数列{an}中,a6与a12的等比中项为3,则log3a7+log3a11=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 3.《算法统宗》是我国古代数学名著,由明代数学家程大位编著,它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中,许多数学问题都是以歌诀形式呈现的,如“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿,若问生年总不知,自长排来差三岁,共年二百又零七,借问长儿多少岁,各儿岁数要详推.在这个问题中,这位公公的长儿的年龄为(　　) A.23岁 B.32岁 C.35岁 D.38岁 4.已知数列{an}中,a1=-,an=1-(n≥2),则a100=(　　) A.5 B.- C. D.- 5.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=,则=(　　) A. B. C. D. 6.若等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,记bn=,则(　　) A.数列{bn}是公差为d的等差数列 B.数列{bn}是公差为2d的等差数列 C.数列{an+bn}是公差为d的等差数列 D.数列{an-bn}是公差为d的等差数列 7.设等差数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}的前n项和为Tn,已知a5=11,S10=120,bn=,若Tk=,则正整数k的值为(　　) A.9 B.8 C.7 D.6 8.已知数列{an}满足a1=1,a2=,anan+2=4,则an的最小值为(　　) A.2-12 B.2-10 C.2-5 D.2-6 二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分) 9.设d,Sn分别为等差数列{an}的公差与前n项和,若S10=S20,则下列判断中正确的有(　　) A.当n=15时,Sn取最大值 B.当n=30时,Sn=0 C.当d>0时,a10+a22>0 D.当d<0时,|a10|>|a22| 10.如图所示的数表中,第1行是从1开始的正奇数,从第2行开始,每个数是它肩上两个数之和,则下列说法正确的是(　　) A.第6行第1个数为192 B.第10行的数从左到右构成公差为210的等差数列 C.第10行前10个数的和为95×29 D.第2 021行第2 021个数为6 061×22 020 11.在数列{an}中,若-=p(n≥2,n∈N+,p为常数),则称{an}为等方差数列.下列对等方差数列的判断正确的是(　　) A.若{an}是等差数列,则{}是等方差数列 B.{(-1)n}是等方差数列 C.若{an}是等方差数列,则{akn}(k∈N+,k为常数)也是等方差数列 D.若{an}既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列 12.设正整数n=a0·20+a1·21+…+ak-1·2k-1+ak·2k,其中ai∈{0,1},记ω(n)=a0+a1+…+ak,则(　　) A.ω(2n)=ω(n) B.ω(2n+3)=ω(n)+1 C.ω(8n+5)=ω(4n+3) D.ω(2n-1)=n 三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分) 13.设{an}是公差为-2的等差数列,如果a1+a4+a7+…+a97=50,那么a3+a6+a9+…+a99=　　　　.  14.已知等比数列{an}是递增数列,若a1=1,且3a2,2a3,a4为等差数列,则{an}的前4项和S4=　　　　.  15.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则=　　　　.  16.如图,P1是一块半径为2a的半圆形纸板,在P1的左下端剪去一个半径为a的半圆后得到图形P2,然后依次剪去一个更小的半圆(其直径为前一个被剪掉半圆的半径)得到图形P3,P4,…,Pn,…,记第n块纸板Pn的面积为Sn,则S3=　　　　,若∀n∈N+,Sn> 恒成立,则a的取值范围是　　　　.  四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)在①Sn=2an-1,②=,a2=,③Sn=2n+1这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答. 已知数列{an}的前n项和为Sn,　　　　,数列{bn}满足bn=anan+1,求数列{bn}的前n项和Tn.  18.(12分)在等差数列{an}中,a5=-10,a6+a7+a8=-18,其前n项和为Sn. (1)求Sn的最小值及此时n的值; (2)求数列{|an|}的前n项和Tn. 19.(12分)已知数列{an},{bn}满足an-bn=2n. (1)若{an}是等差数列,b2=1,b4=-7,求数列{bn}的前n项和Sn; (2)若{bn}是各项均为正数且公比为q的等比数列,是否存在实数q,使{an}为等比数列?若存在,求出q的值;若不存在,请说明理由. 20.(12分)已知数列{an}的前n项和Sn满足tSn+1-Sn=t(an+1+an-1),t∈R且t(t-1)≠0,n∈N+. (1)求{an}的通项公式; (2)已知{bn}是等差数列,b1=3a1,b2=2a2,b3=a3,求数列{anbn}的前n项和Tn. 21.(12分)已知数列{an}满足an+1-2an+2=0,且a1=8. (1)证明:数列{an-2}为等比数列; (2)设bn=,记数列{bn}的前n项和为Tn,若对任意的n∈N+,m≥Tn恒成立,求m的取值范围. 22.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,2Sn=(2n+1)an-2n2(n∈N+),数列{bn}满足b1=a1,nbn+1=anbn. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)设数列{cn}满足c1=4,cn+1=cn-(n∈N+),若不等式λ+≥cn(n∈N+)恒成立,求实数λ的取值范围. 答案与解析 1.C　由题意得解得故选C. 2.B　易知a6·a12=9,∴log3a7+log3a11=log3(a7·a11)=log3(a6·a12)=log39=2.故选B. 3.C　设第n个儿子的年龄为an岁,由题可知{an}是等差数列,且公差d=-3,则S9=9a1+×(-3)=207,解得a1=35,即这位公公的长儿的年龄为35岁,故选C. 4.B　因为a1=-,an=1-(n≥2), 所以a2=1-=1-=5,a3=1-=1-=,a4=1-=1-=1-=-, 所以数列{an}是以每3个数“-,5,”为一个周期的周期数列, 因为100=33×3+1,所以a100=a1=-,故选B. 5.C　由等比数列前n项和的性质知S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等比数列,设S4=m(m≠0),因为=,所以S8=3m,则S8-S4=2m,所以S12-S8=4m,S16-S12=8m,所以S12=7m,S16=15m,所以==,故选C. 6.C　易知an=a1+(n-1)d,Sn=na1+d,故bn==dn+a1-d,因此bn是关于n的一次函数,故数列{bn}是公差为d的等差数列,故A,B错误;由an+bn=dn+2a1-d是关于n的一次函数,得数列{an+bn}是公差为d的等差数列,故C正确;由an-bn=dn-d是关于n的一次函数,得数列{an-bn}是公差为d的等差数列,故D错误.故选C. 7.A　设等差数列{an}的公差为d,因为S10==5(a5+a6)=5(11+a6)=120,所以a6=13,则d=a6-a5=2,所以an=a5+2(n-5)=2n+1,所以bn==, 所以Tn===,因为Tk=,所以=,解得k=9.故选A. 8.D　∵a1=1,a2=,anan+2=4, ∴an≠0,=, ∴数列是首项为=,公比为4的等比数列, ∴=×4n-1=4n-3. 当n≥2时,an=··…··a1=4n-4×4n-5×…×4-2×1=, ∵n=1时,=1=a1,∴an=. ∴当n=3或n=4时,an取得最小值,最小值为4-3=2-6,故选D. 9.BC　因为S10=S20,所以10a1+d=20a1+d,解得a1=-d. 因为无法确定a1和d的正负,所以无法确定Sn是否有最大值,故A错误. S30=30a1+d=30×+15×29d=0,故B正确. a10+a22=2a16=2(a1+15d)=2=d>0,故C正确. a10=a1+9d=-d+9d=-d,a22=a1+21d=-d+21d=d, 因为d<0,所以|a10|=-d,|a22|=-d, 所以|a10|<|a22|,故D错误. 故选BC. 10. ABD　数表中,第1行的数构成首项为1,公差为2的等差数列;第2行的数构成首项为4,公差为4的等差数列;第3行的数构成首项为12,公差为8的等差数列;……;故第n行的数构成首项是an=n×2n-1,公差为dn=2n的等差数列.故第6行第1个数为a6=6×26-1=192,故A正确;第10行的数从左到右构成公差为210的等差数列,故B正确;第10行的第1个数为a10=10×210-1=10×29,所以第10行前10个数的和为10×10×29+×210=190×29,故C错误;第2 021行第1个数为a2 021= 2 021×22 021-1=2 021×22 020,第2 021行的公差为22 021,故第2 021行第 2 021个数为2 021×22 020+(2 021-1)×22 021=6 061×22 020,故D正确.故选ABD. 11.BCD　在选项A中,取an=n,则{an}是等差数列,且=n2,则-=(n+1)2-n2=2n+1,不是常数,所以{}不是等方差数列,故A错误. 在选项B中,设an=(-1)n,则-=-[(-1)n-1]2=1-1=0,是常数,所以{(-1)n}是等方差数列,故B正确. 在选项C中,由{an}是等方差数列,得-=p,从而=+(n-1)p,所以-=[+(kn+k-1)p]-[+(kn-1)p]=kp,是常数,所以{akn}(k∈N+,k为常数)是等方差数列,故C正确. 在选项D中,由{an}是等差数列,可设其公差为d,则an-an-1=d,又{an}是等方差数列,所以-=p,所以-=(an+an-1)(an-an-1)=(an+an-1)d=p①,从而(an+1+an)d=p②. ②-①,得(d+d)d=0,所以d=0,所以{an}是常数列,故D正确.故选BCD. 12.ACD　对于A选项,ω(n)=a0+a1+…+ak,2n=a0·21+a1·22+…+ak-1·2k+ak·2k+1,所以ω(2n)=a0+a1+…+ak=ω(n),A选项正确; 对于B选项,取n=2,2n+3=7=1×20+1×21+1×22,∴ω(7)=3, 而2=0×20+1×21,则ω(2)=1,即ω(7)≠ω(2)+1,B选项错误; 对于C选项,8n+5=a0·23+a1·24+…+ak·2k+3+5=1×20+1×22+a0·23+a1·24+…+ak·2k+3,所以ω(8n+5)=2+a0+a1+…+ak, 4n+3=a0·22+a1·23+…+ak·2k+2+3=1×20+1×21+a0·22+a1·23+…+ak·2k+2,所以ω(4n+3)=2+a0+a1+…+ak,因此ω(8n+5)=ω(4n+3),C选项正确; 对于D选项,2n-1=20+21+…+2n-1,故ω(2n-1)=n,D选项正确. 故选ACD. 13.答案　-82 解析　∵{an}是公差为-2的等差数列,∴a3+a6+a9+…+a99=(a1+2d)+(a4+2d)+(a7+2d)+…+(a97+2d)=a1+a4+a7+…+a97+33×2d=50-132=-82. 14.答案　40 解析　由题意知数列{an}的各项均为正数.设{an}的公比为q(q>1),因为3a2,2a3,a4为等差数列,所以4a3=3a2+a4.因为a1=1,所以4q2=3q+q3,即q2-4q+3=0,解得q=1(舍去)或q=3,所以S4===40. 15.答案　1 解析　在等差数列{an}中,=,所以====·=1. 16.答案　a2;[,+∞) 解析　依题意得,S1=π×(2a)2=2πa2, S1-S2=πa2, S2-S3=π×=πa2, ∴S3=S2-πa2=S1-πa2-πa2=a2. 以此类推,{Sn+1-Sn}是以S2-S1=-πa2为首项,为公比的等比数列, 记S2-S1=-πa2=S, 则S3-S2=S,……,Sn-Sn-1=S(n≥2), ∴Sn-S1==S×, ∴Sn=S1+S×=2πa2-πa2+πa2× =πa2+πa2(n≥2), 经检验,当n=1时,上式也成立, ∴Sn=πa2+πa2(n∈N+). ∵Sn>对任意n∈N+恒成立,且Sn>a2, ∴只需πa2≥即可,解得a2≥505, 又∵a>0,∴a≥,即a的取值范围是[,+∞). 17.解析　选条件①Sn=2an-1, 由得an=2an-2an-1, 所以an=2an-1(n≥2),(3分) 又因为S1=2a1-1,所以a1=1, 所以数列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列, 所以an=2n-1.(5分) 因此bn=anan+1=2n-1·2n=22n-1,(7分) 所以Tn=21+23+…+22n-1==.(10分) 选条件②=,a2=, 解法一:由=,得=,又a2=,所以a1=1. 当n≥2时,=××…×=××…×=, 所以an=(n≥2), 又因为a1=1也符合an=,所以an=.(5分) 因此bn=anan+1==,(7分) 所以Tn===.(10分) 解法二:由=,得(2n+1)an+1=(2n-1)an, 所以数列{(2n-1)an}是常数列,(3分) 所以(2n-1)an=(2×2-1)a2=1,所以an=.(5分) 下同解法一.(10分) 选条件③Sn=2n+1, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n+1)-(2n-1+1)=2n-1,(3分) 又因为a1=S1=3,显然不符合上式, 所以an=(5分) 则bn=an·an+1=(7分) 当n≥2时,Tn=6+23+25+…+22n-1=6+=×4n+, 又因为T1=6,符合Tn=×4n+, 所以Tn=×4n+.(10分) 18.解析　(1)设{an}的公差为d. ∵a6+a7+a8=-18=3a7,∴a7=-6. ∵a5=-10,∴d==2,∴a1=a5-4d=-18,(3分) ∴Sn=na1+=-18n+n2-n=n2-19n=-, ∴当n=9或n=10时,Sn取得最小值,且最小值为-90.(6分) (2)由(1)得an=2n-20,则当n≤10时,an≤0,当n≥11时,an>0, ∴当n≤10时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=-a1-a2-a3-…-an=-=19n-n2,(9分) 当n≥11时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=-a1-a2-a3-…-a10+a11+a12+…+an=90+=n2-19n+180. 综上,Tn=(12分) 19.解析　(1)由an-bn=2n,b2=1,b4=-7, 得a2=b2+22=5,a4=b4+24=9, 设{an}的公差为d,则a4=a2+2d=5+2d=9,解得d=2, 所以an=a2+(n-2)d=5+2(n-2)=2n+1,(3分) 所以bn=an-2n=2n+1-2n, 所以Sn=b1+b2+b3+…+bn=[3+5+…+(2n+1)]-(2+22+…+2n) =-=n2+2n+2-2n+1.(6分) (2)因为{bn}是各项均为正数且公比为q的等比数列, 所以bn=b1qn-1(q>0), 由an-bn=2n,得an=bn+2n=2n+b1qn-1. 若{an}是等比数列,则=a1a3,即=(b1+2)(b3+8), 整理得+8b2+16=b1b3+8b1+2b3+16,所以4b2=4b1+b3, 所以4b1q=4b1+b1q2,解得q=2.(9分) 当q=2时,an=2n+b1·2n-1=(b1+2)·2n-1, 因为b1>0,所以=2,为常数,故{an}是等比数列. 所以存在实数q=2,使{an}为等比数列.(12分) 20.解析　(1)当n=1时,tS2-S1=t(a2+a1-1),即-S1=-a1=-t,解得a1=t. 当n≥2时,由tSn+1-Sn=t(an+1+an-1),① 得tSn-Sn-1=t(an+an-1-1),②(3分) ①-②,得tan+1-an=t(an+1-an-1),即an=tan-1, 由于a1=t≠0,所以=t, 所以数列{an}是以t为首项,t为公比的等比数列,即an=tn.(6分) (2)由{bn}是等差数列,得2b2=b1+b3,即4a2=3a1+a3,所以4t2=3t+t3, 又因为t(t-1)≠0,所以t=3,故an=3n.(8分) 设等差数列{bn}的公差为d, 则b1=3a1=3×3=9,b2=2a2=2×32=18, 所以d=b2-b1=9,所以bn=9+9(n-1)=9n, 所以anbn=3n·9n=n·3n+2,(9分) 则Tn=1×33+2×34+3×35+…+n·3n+2,① 3Tn=1×34+2×35+3×36+…+n·3n+3,② ①-②,得-2Tn=33+34+35+…+3n+2-n·3n+3=-n·3n+3, 所以Tn=.(12分) 21.解析　(1)证明:因为an+1-2an+2=0,所以an+1=2an-2, 即an+1-2=2(an-2),则=2, 所以数列{an-2}是以a1-2=6为首项,2为公比的等比数列.(4分) (2)由(1)知an-2=6×2n-1,则an=3×2n+2, 所以bn===(-1)n,(6分) 当n为偶数时,Tn=++…++=-+=-+,(8分) 当n为奇数时,Tn=++…++=--=--.(10分) 当n为偶数时,Tn=-+单调递减,当n=2时,Tn取得最大值-,则m≥-; 当n为奇数时,Tn=--<-,则m≥-. 综上,m的取值范围是.(12分) 22.解析　(1)当n=1时,2a1=3a1-2,∴a1=2, 当n≥2时,由得2an=(2n+1)an-(2n-1)·an-1-2n2+2(n-1)2,即an-an-1=2, ∴数列{an}是首项为2,公差为2的等差数列,∴an=2n.(3分) 由已知得b1=2,nbn+1=2nbn,∴bn+1=2bn,即数列{bn}是首项为2,公比为2的等比数列,∴bn=2n.(6分) (2)==,设数列的前n项和为Tn, 则Tn=1++++…+, ∴Tn=+++…++, 两式相减得Tn=1++++…+-=-=2-, ∴Tn=4-.(9分) 由cn+1=cn-得cn+1-cn=-,即c2-c1=-,c3-c2=-,……,cn-cn-1=-, 累加得cn-c1=-=-Tn-1, ∴cn-4=-4+,∴cn=. ∵λ+≥cn,∴λ≥-=. 令f(n)=,则f(n+1)-f(n)=-=, ∴f(1)<f(2)<…<f(6)=f(7)>f(8)>…, ∴f(n)max=f(6)=f(7)=,∴λ≥.(12分) 14 学科网（北京）股份有限公司 $$