第一章：数列知识归纳与题型突破（20类题型清单）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（湘教版2019选择性必修第一册）

第一章：数列 知识点1 数列的概念 1、数列的有关概念 （1）数列：按一定顺序排列的一列数叫做数列． （2）项：数列中的每一个数叫做这个数列的项，排在第一位的数叫做数列的首项或叫做数列的第1项，排在第二位的数叫做数列的第二项，……，排在第位的数叫做数列的第项． （3）数列的一般形式：数列通常写成，，，…，，…，其中表示数列的第项，简记为． 2、数列的表示方法 （1）数列的表示方法：通项公式法、列表法、图象法、逆推公式法． （2）通项公式：如果数列的第项与之间的函数关系可以用一个式子表示成， 那个这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式． （3）递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 3、数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 其中n∈N+ 递减数列 常数列 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 知识点2 等差数列 1、等差数列的概念及通项 （1）等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列称为等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差用字母d表示． （2）等差数列的通项公式：利用累加公式推导，以为首项，为公差的等差数列通项公式为． （3）等差中项：在两个数a，b之间插入数M，使a，M，b成等差数列，则M称为a与b的等差中项. 2、等差数列的性质 （1）等差数列的性质 ①通项公式的推广：； ②若，则； ③若的公差为d，则也是等差数列，公差为； ④若是等差数列，则也是等差数列． （2）等差数列与一次函数关系 由等差数列的通项公式，可知其图象是直线上的一些等间隔的点，其中点的横坐标是正整数，是直线在轴上的截距，公差是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加． （3）等差数列的单调性：当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且一次项系数为公差.若公差，则为递增数列，若公差，则为递减数列，若公差，则为常数列． 3、等差数列的前n项和 （1）等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 选用公式 （2）等差数列前n项和的性质 ①； ②； ③两个等差数列，的前n项和，之间的关系为. ④数列，，，…构成等差数列． ⑤关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 若项数为，则，； 若项数为，则，，，． （3）等差数列前n项和的最值 ①函数特性：将配方，若，则从二次函数的角度看： 当时，Sn有最小值； 当时，有最大值． 当n取最接近对称轴的正整数时，取到最值． ②邻项变号 当，时，满足的项数n使取最大值； 当，时，满足的项数n使取最小值． 知识点3 等比数列 1、等比数列的概念及通项 （1）等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示．其数学语言表达式： (，为非零常数)． （2）等比数列的通项公式 ①等比数列的首项为，公比为，则通项公式为：． ②通项公式的变形：或． （3）等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列． 2、等比数列的性质 （1）等比数列的性质 ①相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为． ②若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列． ③若，则有．口诀：下标和相等，项的积也相等． 推广：． （2）等比数列与指数函数：等比数列的通项公式可整理为，而是一个不为0的常数与指数函数的乘积，从图象上看，表示数列中的各项的点是函数的图象上的孤立点． 3、等比数列的前n项和 （1）等比数列的前n项和公式 已知量 首项与公比 首项，末项与公比 公式 （2）等比数列前n项和的性质 ①等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． ②若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）． ③若一个非常数列的前n项和，则数列为等比数列． （3）与的关系 当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为 设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数． 知识点4 数学归纳法 1、数学归纳法的定义 一般地，当要证明一个与正整数有关的命题时，可采用以下两个步骤： （1）（归纳奠基）证明当时命题成立； （2）（归纳递推）假设当(，≥)时命题成立，证明当命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以知道：对任何从开始的正整数，命题成立，这种证明方法称为数学归纳法． 2、数学归纳法的三个关键点 （1）验证是基础：数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点． （2）递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项． （3）利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法． 题型一 数列中项的求解与判断 【例1】（23-24高二下·山东德州·月考）已知数列的通项公式为，则257是这个数列的（    ） A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 【变式1-1】（23-24高二下·陕西渭南·月考）已知数列1，，，，…，，则是这个数列的第（    ） A．20项 B．21项 C．23项 D．22项 【变式1-2】（23-24高二下·河南·月考）已知数列，则它的第8项为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高二下·江西·月考）已知数列的通项公式为． (1)求． (2)是不是该数列中的项？为什么？ (3)在区间内是否有该数列中的项？若有，求出有几项；若没有，请说明理由． 题型二 由数列的前几项求通项 【例2】（23-24高二上·青海西宁·期末）数列的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二上·陕西宝鸡·月考）数列，4，，20，……的一个通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二上·山东烟台·期末）已知数列的前几项为：，…，则该数列的一个通项公式可能为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二下·广东佛山·月考）数列5，55，555，5555，…… 的前n项和为Sn ，则Sn = 题型三 求数列中的最大（小）项 【例3】（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）已知，则这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-1】（23-24高二下·辽宁大连·月考）已知数列的通项公式，则最小的项是第 项． 【变式3-2】（23-24高二上·山东枣庄·月考）（多选）已知在数列中，，则数列的最小项是（    ） A．第1项 B．第2项 C．第3项 D．第4项 【变式3-3】（23-24高二下·贵州毕节·月考）（多选）已知数列{an}的通项公式为an＝（n＋2）·，则下列说法正确的是（    ） A．数列{an}的最小项是a1 B．数列{an}的最大项是a4 C．数列{an}的最大项是a5 D．当n≥5时，数列{an}递减 题型四 数列的周期性及应用 【例4】（23-24高二上·湖北十堰·期末）数列满足，且，则（    ） A． B．4 C． D．2 【变式4-1】（23-24高二下·江西新余·月考）已知数列中，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【变式4-2】（23-24高二上·湖南衡阳·月考）在数列中，，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高二上·广东湛江·月考）在数列中，，若，则（    ） A． B． C． D． 题型五 等差数列基本量的求解 【例5】（23-24高二下·安徽滁州·月考）已知等差数列的公差为，前项和为，若，则（    ） A．7 B．3 C．1 D． 【变式5-1】（23-24高二下·陕西宝鸡·月考）记等差数列的前项和为，已知，则公差（    ） A．-1 B． C． D．2 【变式5-2】（23-24高三下·湖南湘潭·月考）设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．34 B．35 C．36 D．38 【变式5-3】（23-24高二上·福建福州·期末）等差数列的前项和记为，且，则 ． 题型六 等差数列的判定与证明 【例6】（23-24高二上·安徽合肥·月考）已知数列满足. (1)求证：是等差数列. (2)求数列的通项公式. 【变式6-1】（23-24高二上·河南洛阳·月考）已知数列满足， (1)求证：数列为等差数列; (2)求数列的通项公式与最大值. 【变式6-2】（23-24高二下·全国·课前预习）设数列的前n项和为，已知，，．证明：数列是等差数列； 【变式6-3】（23-24高二下·江苏·月考）数列的前项和为，且，当时，. (1)计算：，； (2)证明为等差数列，并求数列的通项公式； 题型七 等差数列的性质应用 【例7】（23-24高二下·贵州黔东南州·期末）在等差数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高三上·四川成都·月考）在等差数列中，，则的值为（    ） A．20 B．40 C．60 D．80 【变式7-2】（23-24高二上·安徽合肥·月考）在等差数列中，若，则 . 【变式7-3】（22-23高二下·全国·课后作业）在等差数列中，，则 . 题型八 等差数列前n项和的性质应用 【例8】（23-24高二上·湖北武汉·月考）在等差数列中，，其前n项和为，若，则等于（    ） A．10 B．100 C．110 D．120 【变式8-1】（23-24高二下·安徽·月考）已知等差数列和的前项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24高二上·河北邢台·月考）已知等差数列的前项和为，若，则 . 【变式8-3】（22-23高二下·吉林白城·月考）若项数为奇数的等差数列的所有项和为190，且奇数项和比偶数项和多10，则数列的项数为 ． 题型九 等差数列前n项和的最值 【例9】（23-24高二上·山东烟台·月考）已知等差数列的前项和为，，且，则取最大值时，（     ） A．9 B．10 C．9或10 D．10或11 【变式9-1】（23-24高二下·安徽六安·月考）设等差数列的前项和为，则当 时，最大；使的的最大值为 ． 【变式9-2】（23-24高二上·河南焦作·月考）（多选）等差数列中，若且，则下面结论正确的是（    ） A． B． C．最大 D． 【变式9-3】（23-24高二下·四川成都·期末）（多选）等差数列 的前 项和为 ，则（    ） A． B． C． D．当 时， 的最小值为 16 题型十 含绝对值的等差数列求和问题 【例10】（23-24高二上·福建福州·期末）已知等差数列的前项和为，； (1)求等差数列的前项和及的最大值； (2)求数列的前项和. 【变式10-1】（23-24高二下·辽宁丹东·月考）已知等差数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【变式10-2】（23-24高二上·湖北武汉·月考）数列中，，， (1)求数列的通项公式及前项和； (2)求数列的前项和． 【变式10-3】（23-24高二下·山东潍坊·期中）已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式，判断这个数列是否是等差数列，并说明理由; (2)记数列的前项和为，若，求. 题型十一 等差数列的实际应用 【例11】（23-24高二下·河南驻马店·月考）《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传．意思是：有996斤棉花要给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子分完为止，则第2个孩子分得棉花的斤数为（    ） A．48 B．65 C．82 D．99 【变式11-1】（23-24高二下·山西长治·月考）某镇政府计划从3月1日开始植树绿化环境，第一天植树2000棵，以后每天植树的棵数比前一天多相同的数量.若该镇政府计划用13天（即到3月13日结束）植树33800棵，则植树节（3月12日）这一天植树（    ） A．3000棵 B．3100棵 C．3200棵 D．3300棵 【变式11-2】（23-24高二上·河南洛阳·期末）周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【变式11-3】（23-24高二下·江西·月考）（多选）某公司为入职员工实行每月加薪，小王入职第1个月工资为a元，从第2个月到第13个月，每月比上个月增加100元，从第14个月到第25个月，每月比上个月增加50元，已知小王前3个月的工资之和为9300元，则（    ） A． B．小王第3个月与第7个月工资之和等于第2个月与第8个月工资之和 C．小王入职后前15个月的工资之和是第8个月工资的15倍 D．小王入职后第20个月的工资为4550元 题型十二 等比数列的基本量计算 【例12】（23-24高二上·甘肃定西·月考）正项等比数列的前项和为，若，，则（    ） A．9 B． C．9或 D．18 【变式12-1】（23-24高二下·湖南·月考）已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，则的值为（    ） A．4 B． C．8 D． 【变式12-2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·月考）设等比数列的前n项和为，若，，则等比数列的公比等于（    ） A． B． C．2 D．5 【变式12-3】（2024·河北邯郸·模拟预测）记为等比数列的前项的和，若，，则 . 题型十三 等比数列的判断与证明 【例13】（2024高二·全国·专题练习）已知数列中，，证明：数列是等比数列. 【变式13-1】（23-24高二下·云南曲靖·月考）已知为二次函数，，且，. (1)求的解析式； (2)若数列满足，且，判断数列是否为等比数列？若是，请求出的通项公式；若不是，请说明理由. 【变式13-2】（23-24高二上·江苏·单元测试）数列的前n项和为，，且成等差数列． (1)求的值； (2)证明为等比数列，并求数列的通项公式． 【变式13-3】（23-24高三上·四川成都·二模）已知数列的首项为3，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式，并判断数列是否是等比数列. 题型十四 等比数列的性质应用 【例14】（23-24高二上·甘肃金昌·月考）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C．32 D．64 【变式14-1】（23-24高二上·福建福州·月考）在等比数列中，是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】（23-24高二下·广东广州·月考）在等比数列中，，，则 【变式14-3】（23-24高二下·辽宁大连·月考）已知等比数列满足，则的最小值是 ． 题型十五 等比数列前n项和的性质应用 【例15】（23-24高二下·江西·期中）设等比数列的前7项和、前14项和分别为2，8，则该等比数列的前28项和为（    ） A．64 B．72 C．80 D．92 【变式15-1】（23-24高二上·江苏南京·月考）已知等比数列的前项和满足，满足，，则 . 【变式15-2】（23-24高二下·云南保山·开学考试）等比数列的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝ . 【变式15-3】（23-24高二上·重庆·月考）（多选）设等比数列的公比为，其前n项和为，前n项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．是数列中的最大项 D． 题型十六 等比数列的实际应用 【例16】（23-24高二上·福建宁德·月考）中国古代数学著作《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰.书里记载了这样一个问题“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？”译文是“今有一女子很会织布，每日加倍增长，5天共织5尺，问每日各织布多少尺？”，则该女子第二天织布（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【变式16-1】（22-23高二上·湖南郴州·月考）我国古代数学名著《算法统宗》记有行程减等问题：三百七十八里关，初行健步不为难次日脚痛减一半，六朝才得到其关．要见每朝行里数，请公仔细算相还．意为：某人步行到378里的要塞去，第一天走路强壮有力，但把脚走痛了，次日因脚痛减少了一半，他所走的路程比第一天减少了一半，以后几天走的路程都比前一天减少一半，走了六天才到达目的地．请仔细计算他每天各走多少路程?在这个问题中，第四天所走的路程为（    ） A．96 B．48 C．24 D．12 【变式16-2】（22-23高二上·山东烟台·期末）《算法统宗》是一部我国古代数学名著，由明代数学家程大位编著.《算法统宗》中记载了如下问题情境：“远望魏魏塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，意思为：“一座7层塔，共悬挂了381盛灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍”.在上述问题情境中，塔的正中间一层悬挂灯的数量为（    ） A．12 B．24 C．48 D．96 【变式16-3】（23-24高三上·湖南·月考）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；…；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”.设第次操作去掉的区间长度为，数列满足：，则数列中的取值最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 题型十七 证明恒等式 【例17】（23-24高二下·河南南阳·月考）用数学归纳法证明：时，从到，等式的左边需要增乘的代数式是（       ） A． B． C． D． 【变式17-1】（23-24高二下·上海宝山·月考）已知，则共有（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 【变式17-2】有下列命题：；使用数学归纳法证明 【变式17-3】（23-24高二上·上海·期末）用数学归纳法证明：对于任意正整数都有：. 题型十八 证明不等式 【例18】（23-24高二下·辽宁·月考）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变到时，左边增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 【变式18-1】（23-24高二下·辽宁沈阳·月考）用数学归纳法证明不等式：，从到时，不等式左边需要增加的项为（    ） A． B． C． D． 【变式18-2】证明∶不等式成立. 【变式18-3】用数学归纳法证明1+++…+≤+n(n∈N*). 题型十九 证明整除问题 【例19】用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”，第二步归纳假设应写成（    ） A．假设正确，再推正确 B．假设正确，再推正确 C．假设正确，再推正确 D．假设正确，再推正确 【变式19-1】已知数列满足，，，证明：数列的第项（）能被3整除． 【变式19-2】设，用数学归纳法证明：是64的倍数． 【变式19-3】用数学归纳法证明：能被整除（） 题型二十 证明与猜想归纳有关的问题 【例20】（23-24高二下·四川眉山·月考）在数列{an}中，． (1)求出，猜想的通项公式；并用数学归纳法证明你的猜想． (2)令，为数列的前n项和，求． 【变式20-1】（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）设数列满足，． (1)计算，猜想的通项公式并加以证明； (2)求数列，求的前项和． 【变式20-2】（23-24高二下·北京房山·期中）已知数列中，且. (1)求数列的第2，3，4项； (2)根据（1）的计算结果，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 【变式20-3】（22-23高二下·陕西西安·期中）设数列满足，. (1)计算，，猜想的通项公式并用数学归纳法加以证明； (2)若数列的前项和为，证明：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章：数列 知识点1 数列的概念 1、数列的有关概念 （1）数列：按一定顺序排列的一列数叫做数列． （2）项：数列中的每一个数叫做这个数列的项，排在第一位的数叫做数列的首项或叫做数列的第1项，排在第二位的数叫做数列的第二项，……，排在第位的数叫做数列的第项． （3）数列的一般形式：数列通常写成，，，…，，…，其中表示数列的第项，简记为． 2、数列的表示方法 （1）数列的表示方法：通项公式法、列表法、图象法、逆推公式法． （2）通项公式：如果数列的第项与之间的函数关系可以用一个式子表示成， 那个这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式． （3）递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 3、数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 其中n∈N+ 递减数列 常数列 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 知识点2 等差数列 1、等差数列的概念及通项 （1）等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列称为等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差用字母d表示． （2）等差数列的通项公式：利用累加公式推导，以为首项，为公差的等差数列通项公式为． （3）等差中项：在两个数a，b之间插入数M，使a，M，b成等差数列，则M称为a与b的等差中项. 2、等差数列的性质 （1）等差数列的性质 ①通项公式的推广：； ②若，则； ③若的公差为d，则也是等差数列，公差为； ④若是等差数列，则也是等差数列． （2）等差数列与一次函数关系 由等差数列的通项公式，可知其图象是直线上的一些等间隔的点，其中点的横坐标是正整数，是直线在轴上的截距，公差是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加． （3）等差数列的单调性：当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且一次项系数为公差.若公差，则为递增数列，若公差，则为递减数列，若公差，则为常数列． 3、等差数列的前n项和 （1）等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 选用公式 （2）等差数列前n项和的性质 ①； ②； ③两个等差数列，的前n项和，之间的关系为. ④数列，，，…构成等差数列． ⑤关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 若项数为，则，； 若项数为，则，，，． （3）等差数列前n项和的最值 ①函数特性：将配方，若，则从二次函数的角度看： 当时，Sn有最小值； 当时，有最大值． 当n取最接近对称轴的正整数时，取到最值． ②邻项变号 当，时，满足的项数n使取最大值； 当，时，满足的项数n使取最小值． 知识点3 等比数列 1、等比数列的概念及通项 （1）等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示．其数学语言表达式： (，为非零常数)． （2）等比数列的通项公式 ①等比数列的首项为，公比为，则通项公式为：． ②通项公式的变形：或． （3）等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列． 2、等比数列的性质 （1）等比数列的性质 ①相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为． ②若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列． ③若，则有．口诀：下标和相等，项的积也相等． 推广：． （2）等比数列与指数函数：等比数列的通项公式可整理为，而是一个不为0的常数与指数函数的乘积，从图象上看，表示数列中的各项的点是函数的图象上的孤立点． 3、等比数列的前n项和 （1）等比数列的前n项和公式 已知量 首项与公比 首项，末项与公比 公式 （2）等比数列前n项和的性质 ①等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． ②若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）． ③若一个非常数列的前n项和，则数列为等比数列． （3）与的关系 当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为 设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数． 知识点4 数学归纳法 1、数学归纳法的定义 一般地，当要证明一个与正整数有关的命题时，可采用以下两个步骤： （1）（归纳奠基）证明当时命题成立； （2）（归纳递推）假设当(，≥)时命题成立，证明当命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以知道：对任何从开始的正整数，命题成立，这种证明方法称为数学归纳法． 2、数学归纳法的三个关键点 （1）验证是基础：数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点． （2）递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项． （3）利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法． 题型一 数列中项的求解与判断 【例1】（23-24高二下·山东德州·月考）已知数列的通项公式为，则257是这个数列的（    ） A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 【答案】B 【解析】，令，解得.故选：B. 【变式1-1】（23-24高二下·陕西渭南·月考）已知数列1，，，，…，，则是这个数列的第（    ） A．20项 B．21项 C．23项 D．22项 【答案】C 【解析】由题意可得，令，解得， 所以是这个数列的第23项.故选：C 【变式1-2】（23-24高二下·河南·月考）已知数列，则它的第8项为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，数列的通项公式为， 所以它的第8项的值为.故选：D. 【变式1-3】（23-24高二下·江西·月考）已知数列的通项公式为． (1)求． (2)是不是该数列中的项？为什么？ (3)在区间内是否有该数列中的项？若有，求出有几项；若没有，请说明理由． 【答案】(1)；(2)不是，理由见解析；(3)在区间内有该数列中的项，且只有一项. 【解析】（1）因为， 所以． （2）由（1）知，令，解得． 因为，所以无正整数解，即不是该数列中的项． （3）由（1）知，令， 则，解得． 因为，所以， 所以在区间内有该数列中的项，且只有一项． 题型二 由数列的前几项求通项 【例2】（23-24高二上·青海西宁·期末）数列的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】数列的分子都是1，分母依次为，则第n项的分母为， 所以数列，的一个通项公式是.故选：B 【变式2-1】（23-24高二上·陕西宝鸡·月考）数列，4，，20，……的一个通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A选项，当时，，故A错误； 对于B选项，当时，，当时，， 当时，，当时，，故B正确； 对于C选项，当时，，故C错误； 对于D选项，当时，，故D错误.故选：B. 【变式2-2】（23-24高二上·山东烟台·期末）已知数列的前几项为：，…，则该数列的一个通项公式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，数列的前几项为：…， 即，，，， 故数列的一个通项公式可以为.故选：C. 【变式2-3】（23-24高二下·广东佛山·月考）数列5，55，555，5555，…… 的前n项和为Sn ，则Sn = 【答案】 【解析】数列9，99，999，9999，…的通项为 所以数列5，55，555，5555，…的第n项， , 故答案为： 题型三 求数列中的最大（小）项 【例3】（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）已知，则这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】， 当，时，，，且随着的变大，变大， 当，时，，，且随着的变大，变大， 故这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是，.故选：C 【变式3-1】（23-24高二下·辽宁大连·月考）已知数列的通项公式，则最小的项是第 项． 【答案】 【解析】， 当时，， 当时，，要取最小的项需在此范围内取到， 又当时，为单调递减数列， 所以当时，最小. 【变式3-2】（23-24高二上·山东枣庄·月考）（多选）已知在数列中，，则数列的最小项是（    ） A．第1项 B．第2项 C．第3项 D．第4项 【答案】BC 【解析】依题意，， 函数的开口向上，对称轴为， 由于，所以当或时，取得最小值.故选：BC 【变式3-3】（23-24高二下·贵州毕节·月考）（多选）已知数列{an}的通项公式为an＝（n＋2）·，则下列说法正确的是（    ） A．数列{an}的最小项是a1 B．数列{an}的最大项是a4 C．数列{an}的最大项是a5 D．当n≥5时，数列{an}递减 【答案】BCD 【解析】假设第n项为{an}的最大项， 则即所以 又n∈N*，所以n＝4或n＝5，故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝， 当n≥5时，数列{an}递减．故选BCD. 题型四 数列的周期性及应用 【例4】（23-24高二上·湖北十堰·期末）数列满足，且，则（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【解析】由题意知，所以， 所以可得是周期为2的周期数列，则．故A正确.故选：A. 【变式4-1】（23-24高二下·江西新余·月考）已知数列中，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】由可得①， 当时，②， 将②式代入①式可得，，即， 即数列的项的周期为，故.故选：A. 【变式4-2】（23-24高二上·湖南衡阳·月考）在数列中，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，； 当时，， 当时，， 故数列是以为周期的周期数列，故.故选：A. 【变式4-3】（23-24高二上·广东湛江·月考）在数列中，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为且， 所以，， ，，，， 所以是以为周期的周期数列，所以.故选：C 题型五 等差数列基本量的求解 【例5】（23-24高二下·安徽滁州·月考）已知等差数列的公差为，前项和为，若，则（    ） A．7 B．3 C．1 D． 【答案】D 【解析】由得，， 即，解得故选：D 【变式5-1】（23-24高二下·陕西宝鸡·月考）记等差数列的前项和为，已知，则公差（    ） A．-1 B． C． D．2 【答案】A 【解析】由等差数列求和公式得，解得.故选：A 【变式5-2】（23-24高三下·湖南湘潭·月考）设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．34 B．35 C．36 D．38 【答案】B 【解析】因为是等差数列，设其公差为， 因为，则， 所以，则， 所以，.故选：B. 【变式5-3】（23-24高二上·福建福州·期末）等差数列的前项和记为，且，则 ． 【答案】 【解析】设数列的公差为， 根据题意可得，即， 解得：，，故. 题型六 等差数列的判定与证明 【例6】（23-24高二上·安徽合肥·月考）已知数列满足. (1)求证：是等差数列. (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）为常数， 所以为公差为的等差数列， （2）由于为公差为的等差数列，且首项为， 所以，所以 【变式6-1】（23-24高二上·河南洛阳·月考）已知数列满足， (1)求证：数列为等差数列; (2)求数列的通项公式与最大值. 【答案】(1)证明见解析；(2)，最大值是 【解析】（1）因为， 所以数列是以-1为首项，3为公差的等差数列. （2）由（1）可得，即 当时，由反比例函数的性质知单调递减，所以， 又，，，所以数列的最大值是 【变式6-2】（23-24高二下·全国·课前预习）设数列的前n项和为，已知，，．证明：数列是等差数列； 【答案】证明见解析 【解析】数列的前n项和为，因为， 所以，即 所以 （为常数）， 所以数列是等差数列． 【变式6-3】（23-24高二下·江苏·月考）数列的前项和为，且，当时，. (1)计算：，； (2)证明为等差数列，并求数列的通项公式； 【答案】(1)，；(2)证明见解析， 【解析】（1）由，， 令，得，又，所以， 令，得，又； （2）因为当时，， 所以， 所以数列为等差数列，首项为，公差为， 所以， 所以， 于是，当时， ， 当时，，满足上式，故. 题型七 等差数列的性质应用 【例7】（23-24高二下·贵州黔东南州·期末）在等差数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得， 故，故选：D 【变式7-1】（23-24高三上·四川成都·月考）在等差数列中，，则的值为（    ） A．20 B．40 C．60 D．80 【答案】A 【解析】在等差数列中，因为，所以， 所以.故选：A 【变式7-2】（23-24高二上·安徽合肥·月考）在等差数列中，若，则 . 【答案】 【解析】由可得，故， . 【变式7-3】（22-23高二下·全国·课后作业）在等差数列中，，则 . 【答案】20 【解析】在等差数列中，， 所以， 所以. 题型八 等差数列前n项和的性质应用 【例8】（23-24高二上·湖北武汉·月考）在等差数列中，，其前n项和为，若，则等于（    ） A．10 B．100 C．110 D．120 【答案】B 【解析】因为数列是等差数列，则数列也为等差数列，设其公差为， 则，则，又因为， 所以，所以，所以.故选：B. 【变式8-1】（23-24高二下·安徽·月考）已知等差数列和的前项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由等差数列前项和公式可设： ，，， 从而， ， 所以，故选：C 【变式8-2】（23-24高二上·河北邢台·月考）已知等差数列的前项和为，若，则 . 【答案】12 【解析】设，则， 因为也成等差数列，所以， 即，即，所以. 【变式8-3】（22-23高二下·吉林白城·月考）若项数为奇数的等差数列的所有项和为190，且奇数项和比偶数项和多10，则数列的项数为 ． 【答案】19 【解析】设数列的项数为，公差为， 则， 又， 即，代入， 可得，即数列的项数为. 题型九 等差数列前n项和的最值 【例9】（23-24高二上·山东烟台·月考）已知等差数列的前项和为，，且，则取最大值时，（     ） A．9 B．10 C．9或10 D．10或11 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为， 由等差数列前项和公式， 得：，， 又，，即， 又，， 由此可知，数列是单调递减数列， 点在开口向下的抛物线上， 又，点与点关于直线对称， 当或时，最大.故选：C 【变式9-1】（23-24高二下·安徽六安·月考）设等差数列的前项和为，则当 时，最大；使的的最大值为 ． 【答案】 10 19 【解析】，进一步公差， 从而，所以当且仅当时，最大； 注意到， 且当时，， 所以使的的最大值为19. 【变式9-2】（23-24高二上·河南焦作·月考）（多选）等差数列中，若且，则下面结论正确的是（    ） A． B． C．最大 D． 【答案】AD 【解析】等差数列中，若且，则，，故. ，故A正确； ，故，故B错误； ，故C错误； ，，故，故D正确；故选：AD. 【变式9-3】（23-24高二下·四川成都·期末）（多选）等差数列 的前 项和为 ，则（    ） A． B． C． D．当 时， 的最小值为 16 【答案】ABD 【解析】对于A，由题意，故A正确； 对于B，，其中为等差数列的公差，即，故B正确； 对于C，，即，故C错误； 对于D，由题意， 从而当，，且，故D正确.故选：ABD. 题型十 含绝对值的等差数列求和问题 【例10】（23-24高二上·福建福州·期末）已知等差数列的前项和为，； (1)求等差数列的前项和及的最大值； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)，210；(2)212. 【解析】（1）等差数列的前项和为，由，得，解得， 由，得，解得，则，公差， 因此，对称轴为， 因为，则当或时，， 所以，的最大值为210. （2）由（1）知，，则， 所以. 【变式10-1】（23-24高二下·辽宁丹东·月考）已知等差数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）时，， 时，， 又， 所以； （2）由（1）， 当时，， 当时，， . 【变式10-2】（23-24高二上·湖北武汉·月考）数列中，，， (1)求数列的通项公式及前项和； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）因为，即，所以数列是等差数列， 所以，. （2）令得，； 当时，； 当时， . 综上可得， 【变式10-3】（23-24高二下·山东潍坊·期中）已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式，判断这个数列是否是等差数列，并说明理由; (2)记数列的前项和为，若，求. 【答案】(1)，数列是等差数列，理由见解答；(2) 【解析】（1）当时，， 当时，有， 又因为，所以当时，也成立， 因此数列的通项公式为， 数列是等差数列，理由如下： 因为， 所以数列是等差数列； （2）令，解得且， 当时，， 可得； 所以，又因为，所以， 当时，， 可得 ， 令，解得或（舍去）， 所以. 题型十一 等差数列的实际应用 【例11】（23-24高二下·河南驻马店·月考）《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传．意思是：有996斤棉花要给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子分完为止，则第2个孩子分得棉花的斤数为（    ） A．48 B．65 C．82 D．99 【答案】C 【解析】由题意可知，每人分得的棉花数量构成公差为17的等差数列， 设等差数列为，公差为，前项和为， 则， 所以，解得， 所以， 所以第2个孩子分得棉花的斤数为82，故选：C 【变式11-1】（23-24高二下·山西长治·月考）某镇政府计划从3月1日开始植树绿化环境，第一天植树2000棵，以后每天植树的棵数比前一天多相同的数量.若该镇政府计划用13天（即到3月13日结束）植树33800棵，则植树节（3月12日）这一天植树（    ） A．3000棵 B．3100棵 C．3200棵 D．3300棵 【答案】B 【解析】由题意知，这13天中每天植树数量为等差数列，则， 设数列的公差为，则，解得， 所以.故选：B. 【变式11-2】（23-24高二上·河南洛阳·期末）周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】C 【解析】设冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种 这十二个节气的日影长分别为，，，，前n项和， 由小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺， 得，解得，， 所以谷雨日影长为（尺）．故选：C 【变式11-3】（23-24高二下·江西·月考）（多选）某公司为入职员工实行每月加薪，小王入职第1个月工资为a元，从第2个月到第13个月，每月比上个月增加100元，从第14个月到第25个月，每月比上个月增加50元，已知小王前3个月的工资之和为9300元，则（    ） A． B．小王第3个月与第7个月工资之和等于第2个月与第8个月工资之和 C．小王入职后前15个月的工资之和是第8个月工资的15倍 D．小王入职后第20个月的工资为4550元 【答案】ABD 【解析】A：小王前3个月的工资之和为， 解得，故A正确； B：记小王入职第n个月工资为，则时，是等差数列， 因为，所以，故B正确； C：当时，是公差为100的等差数列， 当时，是公差为50的等差数列，则， ，所以，故C错误； D：小王入职后第13个月的工资为， 第20个月的工资为，D正确．故选：ABD． 题型十二 等比数列的基本量计算 【例12】（23-24高二上·甘肃定西·月考）正项等比数列的前项和为，若，，则（    ） A．9 B． C．9或 D．18 【答案】C 【解析】正项等比数列的前项和为， 若，则，则. 又，则，即，即， 则，化简，解得都满足题意. 则或.故选：C. 【变式12-1】（23-24高二下·湖南·月考）已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，则的值为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【解析】设数列的公比为， 则，得， 解得或（舍）， 所以.故选：C. 【变式12-2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·月考）设等比数列的前n项和为，若，，则等比数列的公比等于（    ） A． B． C．2 D．5 【答案】A 【解析】由，，得， 则， 所以，所以.故选：A. 【变式12-3】（2024·河北邯郸·模拟预测）记为等比数列的前项的和，若，，则 . 【答案】 【解析】设等比数列的公比为，由题意可得， 由，可得，解得， 又，即，所以， 同理，，，， 因为， 所以. 题型十三 等比数列的判断与证明 【例13】（2024高二·全国·专题练习）已知数列中，，证明：数列是等比数列. 【答案】证明见解析 【解析】因为所以， 因为，所以， 又，所以， 所以数列是以5为首项，2为公比的等比数列； 【变式13-1】（23-24高二下·云南曲靖·月考）已知为二次函数，，且，. (1)求的解析式； (2)若数列满足，且，判断数列是否为等比数列？若是，请求出的通项公式；若不是，请说明理由. 【答案】(1)；(2)是等比数列， 【解析】（1）设， ，， 又， ，解得， . （2）数列为等比数列，理由如下： ， ， ， ， ，又，则，所以， 构成首项为，公比为的等比数列， . 【变式13-2】（23-24高二上·江苏·单元测试）数列的前n项和为，，且成等差数列． (1)求的值； (2)证明为等比数列，并求数列的通项公式． 【答案】(1)；(2)证明见解析， 【解析】（1）由， 令，得 ① 又成等差数列，则② 则由①②解得； （2）证明：由 当时，， 得到，则，， 由（1）知，则，则，满足上式， 所以，且， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则． 【变式13-3】（23-24高三上·四川成都·二模）已知数列的首项为3，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式，并判断数列是否是等比数列. 【答案】(1)证明见解析；(2)，数列不是等比数列 【解析】（1）由，， 得，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）得，， 所以 所以数列不是等比数列. 题型十四 等比数列的性质应用 【例14】（23-24高二上·甘肃金昌·月考）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C．32 D．64 【答案】C 【解析】设等比数列的公比为， 则，即，解得， 所以．故选：C． 【变式14-1】（23-24高二上·福建福州·月考）在等比数列中，是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是等比数列，且，是方程的两根， 所以，且，. 根据等比数列的性质，得：，且，所以 ∴.故选：A 【变式14-2】（23-24高二下·广东广州·月考）在等比数列中，，，则 【答案】 【解析】设， 则 ， 所以. 【变式14-3】（23-24高二下·辽宁大连·月考）已知等比数列满足，则的最小值是 ． 【答案】27 【解析】因为数列是等比数列，则，可得， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是27. 故答案为：27. 题型十五 等比数列前n项和的性质应用 【例15】（23-24高二下·江西·期中）设等比数列的前7项和、前14项和分别为2，8，则该等比数列的前28项和为（    ） A．64 B．72 C．80 D．92 【答案】C 【解析】设是该等比数列的前项和，依题意可知， 则成等比数列，即成等比数列， 则，解得．故选：C. 【变式15-1】（23-24高二上·江苏南京·月考）已知等比数列的前项和满足，满足，，则 . 【答案】210 【解析】由等比数列的性质可得：，，也成等比数列， 所以，即，所以. 【变式15-2】（23-24高二下·云南保山·开学考试）等比数列的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝ . 【答案】/0.5 【解析】设数列共有项， 由题意得，， 则，解得. 【变式15-3】（23-24高二上·重庆·月考）（多选）设等比数列的公比为，其前n项和为，前n项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．是数列中的最大项 D． 【答案】AB 【解析】，或， ，，同号， 且，，即数列前项大于，从第项开始小于1， 对于A，，且易知，故，A正确， 对于B，易知，故，，B正确， 对于C，由题意知是递减数列，且，， 故是数列中的最大项，故C错误， 对于D，，故D错误，故选:AB 题型十六 等比数列的实际应用 【例16】（23-24高二上·福建宁德·月考）中国古代数学著作《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰.书里记载了这样一个问题“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？”译文是“今有一女子很会织布，每日加倍增长，5天共织5尺，问每日各织布多少尺？”，则该女子第二天织布（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】B 【解析】由题，设每日织布数的数列为，则为以2为公比的等比数列， 由题知，得，所以第二天织布尺数为.故选：B. 【变式16-1】（22-23高二上·湖南郴州·月考）我国古代数学名著《算法统宗》记有行程减等问题：三百七十八里关，初行健步不为难次日脚痛减一半，六朝才得到其关．要见每朝行里数，请公仔细算相还．意为：某人步行到378里的要塞去，第一天走路强壮有力，但把脚走痛了，次日因脚痛减少了一半，他所走的路程比第一天减少了一半，以后几天走的路程都比前一天减少一半，走了六天才到达目的地．请仔细计算他每天各走多少路程?在这个问题中，第四天所走的路程为（    ） A．96 B．48 C．24 D．12 【答案】C 【解析】由题意可知：每天所走的里程构成公比为的等比数列. 第一天走了里，． 第4天走了.故选：C． 【变式16-2】（22-23高二上·山东烟台·期末）《算法统宗》是一部我国古代数学名著，由明代数学家程大位编著.《算法统宗》中记载了如下问题情境：“远望魏魏塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，意思为：“一座7层塔，共悬挂了381盛灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍”.在上述问题情境中，塔的正中间一层悬挂灯的数量为（    ） A．12 B．24 C．48 D．96 【答案】B 【解析】设灯塔每层的灯数满足数列，顶层的灯数为，前项和为， 则为公比为2的等比数列， 根据题意有,解得， ∴，塔的正中间一层悬挂灯的数量为24.故选:B. 【变式16-3】（23-24高三上·湖南·月考）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；…；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”.设第次操作去掉的区间长度为，数列满足：，则数列中的取值最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】C 【解析】由题可知， 由此可知，所以， 因为， 令，解得（舍）， 由此可知时时，故的取值最大，故选：C. 题型十七 证明恒等式 【例17】（23-24高二下·河南南阳·月考）用数学归纳法证明：时，从到，等式的左边需要增乘的代数式是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】从到，等式的左边需要增乘的代数式是 .故选：D. 【变式17-1】（23-24高二下·上海宝山·月考）已知，则共有（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 【答案】D 【解析】由可得， ， 故的表达式中共有项数为.故选：D. 【变式17-2】有下列命题：；使用数学归纳法证明 【答案】证明见解析 【解析】当时，左边，右边，则原等式成立； 假设当时，原不等式成立，即成立， 则当时，， 即当时原等式成立， 所以对于任意成立. 【变式17-3】（23-24高二上·上海·期末）用数学归纳法证明：对于任意正整数都有：. 【答案】证明见解析 【解析】当时，，结论成立； 假设①当时，， ②则当时， ，结论成立； 综合由①②知，对于任意正整数都有：. 题型十八 证明不等式 【例18】（23-24高二下·辽宁·月考）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变到时，左边增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 【答案】D 【解析】由题意，不等式的左边中分子都为1，分母是从1开始到，故共有项， 又由变到时，左边由项增加到项， 从而左边增加了项.故选：D. 【变式18-1】（23-24高二下·辽宁沈阳·月考）用数学归纳法证明不等式：，从到时，不等式左边需要增加的项为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据数学归纳法可知： 当时， 当时， 相比从到，可知多增加的项为，故选：D 【变式18-2】证明∶不等式成立. 【答案】证明见解析 【解析】①当时，左边右边，∴不等式成立. ②假设当时不等式成立，即. ③当时， 左边 ， ∴当时，不等式也成立. 综上可得，原不等式恒成立. 【变式18-3】用数学归纳法证明1+++…+≤+n(n∈N*). 【答案】证明见解析 【解析】(1)当n＝1时，左边右边， 即当n＝1时，原不等式成立， (2)假设当n=k(k∈N*)时，原不等式成立， 即1+++…+≤+ k， 则当n=k+1时， 1+++…++++…+<+k+=+(k+1)， 即当n=k+1时，不等式成立， 综合(1)和(2)得，原不等式对所有的n∈N*都成立. 题型十九 证明整除问题 【例19】用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”，第二步归纳假设应写成（    ） A．假设正确，再推正确 B．假设正确，再推正确 C．假设正确，再推正确 D．假设正确，再推正确 【答案】B 【解析】根据数学归纳法的证明步骤，注意为奇数， 所以第二步归纳假设应写成：假设正确，再推正确；故选：B． 【变式19-1】已知数列满足，，，证明：数列的第项（）能被3整除． 【答案】证明见解析 【解析】用数学归纳法证明： ①当时，，能被3整除． ②假设当时，能被3整除． 当时， , 由于假设了能被3整除，又能被3整除，故能被3整除, 因此，当时，也能被3整除． 综上可知：对一切，数列中的第项都能被3整除． 【变式19-2】设，用数学归纳法证明：是64的倍数． 【答案】证明见解析 【解析】（1）当时， 能被64整除，命题成立． （2）假设当时，能够被64整除． 当时，， 能够被64整除， 能够被64整除． 即当时，命题也成立． 由（1）（2）可知，能被64整除， 即是64的倍数． 【变式19-3】用数学归纳法证明：能被整除（） 【答案】答案见解析 【解析】当时，， 故能被整除， 假设当时，结论成立，即能被整除， 则当时，， 由于和均能被整除， 故能被整除， 综上：能被整除（）. 题型二十 证明与猜想归纳有关的问题 【例20】（23-24高二下·四川眉山·月考）在数列{an}中，． (1)求出，猜想的通项公式；并用数学归纳法证明你的猜想． (2)令，为数列的前n项和，求． 【答案】(1)，，，证明见解析；(2) 【解析】（1）∵， ∴ 因此可猜想: ； 当时，，等式成立， 假设时，等式成立，即， 则当时，， 即当时，等式也成立， 综上所述，对任意自然数，. （2）， ① ② 由①-②得： 【变式20-1】（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）设数列满足，． (1)计算，猜想的通项公式并加以证明； (2)求数列，求的前项和． 【答案】(1)，，，猜想，证明见解析；(2) 【解析】（1）由，得：；；； 由此可猜想，证明如下： 当时，，即成立； 假设当时，成立， 那么当时，，即成立； 综上所述：当时，. （2）由（1）得：， ，， 两式作差得：， . 【变式20-2】（23-24高二下·北京房山·期中）已知数列中，且. (1)求数列的第2，3，4项； (2)根据（1）的计算结果，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 【答案】(1)，，；(2)猜想，证明见解析 【解析】（1）由且，则， ，； （2）由（1）的计算结果可猜想，证明如下： 当时，，等式成立； 假设当时等式成立，即有， 则当时，有， 即当时，等式成立； 故猜想成立. 【变式20-3】（22-23高二下·陕西西安·期中）设数列满足，. (1)计算，，猜想的通项公式并用数学归纳法加以证明； (2)若数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)，证明详见解析；(2)证明详见解析 【解析】（1）依题意，，，则， 所以， 猜想. 当时，成立， 假设当时，猜想成立，即， 则当时，，猜想成立， 所以. （2）， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$