１.３.1-1.3.2 等比数列与指数函数（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册（湘教版2019）

1.3　等比数列 1.3.1　等比数列及其通项公式 1.3.2　等比数列与指数函数 基础过关练 题组一　等比数列的概念 1.(多选)下列说法正确的有(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.等比数列中的项不能为0 B.等比数列的公比的取值范围是R C.若一个常数列是等比数列,则其公比为1 D.22,42,62,82,…成等比数列 2.设an=(-1)n(n∈N+),则数列{an}是(　　) A.等比数列　　　　B.等差数列 C.递增数列　　　　D.递减数列 3.已知函数f(x)=logkx(k为常数,k>0且k≠1).下列条件中,能使数列{an}为等比数列的是　　　　(填序号).  ①数列{f(an)}是首项为2,公比为2的等比数列; ②数列{f(an)}是首项为4,公差为2的等差数列; ③数列{f(an)}是首项为2,公差为2的等差数列的前n项和构成的数列. 题组二　等比数列的通项公式 4.已知等比数列{an}的公比q为正数,且a3a9=2,a2=1,则a1=(　　) A.　　　　B. C. 　　　　D.2 5.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an(n∈N+).若am≤128,则正整数m的最大值是(　　) A.7　　　　　B.8　 C.9　　　　　D.10 6.在等比数列{an}中,a1=1,a2a3=8,则=(　　) A.8　　B.6　　C.4　　D.2 7.已知数列{an},若a1=2,an+1+an=2n+1,则a2 020=(　　) A.2 017　　B.2 018　　C.2 019　　D.2 020 8.已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an,设bn=. (1)求b1,b2,b3; (2)判断数列{bn}是不是等比数列,并说明理由; (3)求{an}的通项公式. 题组三　等比中项 9.等比数列{an}中,a1=,q=2,则a4与a8的等比中项为(　　) A.4　 　　　　B.-4　　 C.±4　　　 　　D.±2 10.设数列{an}的每一项都不为零,且对任意n∈N+满足an+1=an·a2,若a3=3,则a2=(　　) A.±3　　　　B.± C.3　　　　D. 11.已知a,b,c成等差数列,a+1,b,c和a,b,c+2都分别成等比数列,则b的值为(　　) A.16　　B.15　　C.14 　　D.12 题组四　 等比数列的性质及综合应用 12.在等比数列{an}中,若a1+a2+a3=6,a4+a5+a6=-3,则a7+a8+a9=(　　) A.24　　　　B. C.　　　　D.- 13.若{an}是无穷等比数列,则“0<a2<a1”是“{an}为递减数列”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 14.在等比数列{an}中,a1a2a3=2,an-2an-1an=4,且a1a2a3·…·an=64,则数列{an}有　　　　项.  15.在等比数列{an}中,a5,a21是方程x2+11x+5=0的两根,则的值为　　　　.  16.在等比数列{an}中,a1>1,公比q>0.设bn=log2an,且b1+b3+b5=6,b1b3b5=0. (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项公式. 能力提升练 题组一　等比数列的通项公式 1.(多选)设数列{an}为等比数列,则下列数列一定为等比数列的是(　　)　　　　　　　　　　　 A.{2an}　　　　B.{} C.{}　　　　D.{log2|an|} 2.已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=an+sin2(n∈N+),则a19·log2a20的值为　　　.  3.已知数列{an}中,a1=728,3an+1=an-1,则满足不等式ak-1·ak<0的k的值为　　　　.  4.从①前n项和Sn=n2+p(p∈R),②a6=11且2an+1=an+an+2这两个条件中任选一个,填在下面的横线上,并解答. 在数列{an}中,a1=1,　　　　,其中n∈N+.  (1)求数列{an}的通项公式; (2)若a1,an,am构成等比数列,其中m,n∈N+,且m>n>1,求m的最小值. 5.设关于x的一元二次方程anx2-an+1x+1=0(n=1,2,3,…)有两实数根α和β,且满足6α-2αβ+6β=3. (1)试用an表示an+1; (2)求证:是等比数列; (3)当a1=时,求数列{an}的通项公式. 题组二　等比数列的性质及综合应用 6.已知各项均为正数的等比数列{an}的公比为3,若aman=9,则+的最小值等于(　　) A.1　　B.　　C.　　D. 7.已知等比数列{an}满足an>0,n=1,2,…,且a5·a2n-5=22n(n≥3),则当n≥1时,log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=(　　) A.n(2n-1)　　　B.(n+1)2 C.n2　　　　 D.(n-1)2 8.2020年12月17日凌晨1时59分,嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆,这是我国首次实现地外天体采样返回,标志着中国航天向前又迈出了一大步.月球距离地球约38万千米,有人说:在理想状态下,若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次,其厚度就可以超过从地球到达月球的距离,那么至少对折的次数n是(lg 2≈0.3,lg 3.8≈0.6)(　　) A.40　　B.41　　C.42　　D.43 9.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的,它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代数学家、音乐理论家朱载堉创立了十二平均律,他是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例,把八度分成十二个半音,使相邻两个半音的频率的比值为常数,如下表所示,其中a1,a2,…,a13表示这些半音的频率,它们满足log2=1(i=1,2,…,12).若某一半音与D#的频率的比值为,则该半音为(　　) 频率 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 半音 C C# D D# E F F# 频率 a8 a9 a10 a11 a12 a13 半音 G G# A A# B C (八度) A.F#　　　　B.G C.G#　　　　D.A 10.已知{an}是各项均为正数的等比数列,则下列结论中正确的个数为(　　) ①a2a4=a1a5; ②a1+a5≥2a3; ③a1+a5≥a2+a4; ④若a5>a3,则a4>a2. A.1　　B.2　　C.3　　D.4 11.在等比数列{an}中,a1=-16,a4=-2.记Tn=a1a2·…·an(n=1,2,…,n),则数列{Tn}(　　) A.有最大项和最小项 B.有最大项,无最小项 C.无最大项,有最小项 D.无最大项和最小项 12.已知{an}是等差数列,满足a1=2,a4=14,数列{bn}满足b1=1,b4=6,且{an-bn}是等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)若对任意n∈N+,都有bn≤bk成立,求正整数k的值. 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.AC　 2.A　 3.答案　② 解析　①中, f(an)=2n,即logkan=2n,得an=, ∵==≠常数,∴数列{an}不是等比数列; ②中, f(an)=4+(n-1)×2=2n+2,即logkan=2n+2,得an=k2n+2,且a1=k4≠0, ∵==k2 ,且k2为非零常数,∴数列{an}是以k4为首项、k2为公比的等比数列; ③中, f(an)=2n+×2=n2+n,即logkan=n2+n,得an=kn(n+1), ∵==k2(n+1)≠常数,∴数列{an}不是等比数列. 4.B　∵q>0,a3a9=2=,∴a6=a5,∴q=.∵a2=a1q=1,∴a1=. 5.B　由题意得=2,所以数列{an}是以1为首项、2为公比的等比数列,所以an=a1qn-1=2n-1. 若am≤128,则2m-1≤128,所以m-1≤7,解得m≤8, 故正整数m的最大值是8. 6. A　由题设知a2a3=q3=8,又∵a1=1,∴q=2,∴===8, 故选A. 7.C　∵an+1+an=2n+1,∴an+1-(n+1)=-(an-n),又∵a1-1=1≠0, ∴数列{an-n}是以1为首项、-1为公比的等比数列,∴an-n=(-1)n-1, ∴an=n+(-1)n-1,∴a2 020=2 020-1=2 019. 8.解析　(1)由条件可得an+1=an. 令n=1,得a2=4a1=4. 令n=2,得a3=3a2=12. 从而b1=1,b2=2,b3=4. (2){bn}是等比数列.理由如下: 由条件可得=,即bn+1=2bn, 又因为b1=1≠0, 所以{bn}是首项为1、公比为2的等比数列. (3)由(2)可得=bn=1×2n-1=2n-1, 所以an=n·2n-1. 9.C　由题意得a4=a1q3=×23=1,a8=a1q7=×27=16,∴a4与a8的等比中项为±=±4. 10.B　令n=1,则a2=a1a2,∵a2≠0,∴a1=1.由an+1=an·a2得=a2,即{an}是首项为1、公比为a2的等比数列,故=a1a3=3,解得a2=±.故选B. 11.D　由题意得2b=a+c,b2=(a+1)·c,b2=a·(c+2),联立可得b=12. 12.B　设等比数列{an}的公比为q,则a4+a5+a6=q3·(a1+a2+a3),即6q3=-3,可得q3=-,因此,a7+a8+a9=q3(a4+a5+a6)=×(-3)=.故选B. 13.A　充分性:因为{an}为无穷等比数列,0<a2<a1,所以公比q满足0<q=<1,所以an>an+1=anq,即{an}为递减数列.必要性:若无穷等比数列{an}是递减数列,则它的第一项和第二项可以为负,如-,-,-,-1,-2,…,所以不一定得到0<a2<a1.所以“0<a2<a1”是“{an}为递减数列”的充分不必要条件,故选A. 14.答案　12 解析　由题意及等比数列的性质得a1a2a3an-2·an-1an=(a1an)3=8,即a1an=2,则a1a2a3·…·an=64=26=(a1an)6,故{an}有12项. 15.答案　- 解析　由根与系数的关系得a5+a21=-11,a5a21=5,则a7a19==a5a21=5,且a5,a21同为负值,∴a13=-,故=-. 16.解析　(1)证明:因为bn=log2an, 所以bn+1-bn=log2an+1-log2an=log2=log2q为常数, 所以数列{bn}是公差为log2q的等差数列. (2)设等差数列{bn}的公差为d, 因为b1+b3+b5=6,所以3b3=6,所以b3=2. 因为a1>1, 所以b1=log2a1>0, 又因为b1b3b5=0,所以b5=0, 所以解得 因此Sn=4n+×(-1)=, 由(1)可知d=log2q=-1,解得q=, 由b1=log2a1=4,解得a1=16, 所以an=a1qn-1=25-n(n∈N+). 能力提升练 1.AB　设数列{an}的首项为a1,公比为q. 对于A,2an=2a1qn-1,所以数列{2an}是公比为q的等比数列; 对于B,=q2n-2=(q2)n-1,所以数列{}是公比为q2的等比数列; 对于C,=,所以当n≥2时,==,不是一个非零常数,所以数列{}不是等比数列; 对于D,当n≥2时,=,不是一个非零常数,所以数列{log2|an|}不是等比数列. 故选AB. 2.答案　100 解析　当n为奇数时,an+2=an+1,数列{an}隔项成等差数列.设n=2k-1,则a2k-1=k,故a19=10.当n为偶数时,an+2=2an,数列{an}隔项成等比数列.设n=2k,则a2k=2k,故a20=210.故a19·log2a20=10×10=100. 3.答案　8 解析　由3an+1=an-1得an+1+=,因为a1+=729,所以数列是首项为729、公比为的等比数列,所以an+=729×,所以an=37-n-. 当n≥2时,an-an-1=-=-2·37-n<0,所以数列{an}为递减数列. 若ak-1·ak<0,则有 即得2·37<3k<2·38,又因为k∈N+,所以k=8. 4.解析　(1)选择条件①. 当n=1时,由S1=a1=1,得p=0,故Sn=n2. 当n≥2时,有Sn-1=(n-1)2, 所以an=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2). 经检验,a1=1符合上式,所以an=2n-1(n∈N+). 选择条件②. 由2an+1=an+an+2,得an+1-an=an+2-an+1, 所以数列{an}是等差数列,设其公差为d. 因为a1=1,a6=a1+5d=11,所以d=2. 所以an=a1+(n-1)d=2n-1(n∈N+). (2)因为a1,an,am构成等比数列, 所以=a1am,即(2n-1)2=1×(2m-1), 化简,得m=2n2-2n+1=2+. 因为m,n∈N+,且m>n>1,所以当n=2时,m取得最小值,最小值为5. 5.解析　(1)根据根与系数的关系,得 代入6α-2αβ+6β=3, 得-=3,所以an+1=an+. (2)证明:因为an+1=an+, 所以an+1-=. 若an=,则方程anx2-an+1x+1=0可化为x2-x+1=0,即2x2-2x+3=0, 此时Δ=(-2)2-4×2×3=-20<0, 所以an≠,即an-≠0. 所以数列是以为公比的等比数列. (3)当a1=时,a1-=, 所以an-=×=, 所以an=+,n=1,2,3,…. 6.C　由题意得a2·3m-2·a2·3n-2=·3m+n-4=9, ∴m+n=6, ∴+=(m+n)=2+++≥×=,当且仅当m=2n=4时取等号. ∴+的最小值为. 7.C　因为{an}为等比数列,所以a1·a2n-1=a3·a2n-3=…=a5·a2n-5=22n,所以log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=log2(a1a2n-1==log2=n2.故选C. 8.C　设对折n次时,纸的厚度为an毫米, 由题意知,每次对折后,纸的厚度变为原来的2倍,则{an}是首项为0.1×2=0.2,公比为2的等比数列, 所以an=0.2×2n-1=0.1×2n, 令an=0.1×2n≥38×104×106, 即2n≥3.8×1012,所以lg 2n≥lg 3.8+12, 即0.3n≥0.6+12,解得n≥=42, 所以至少对折的次数n是42,故选C. 9.B　依题意可知an>0(n=1,2,…,12,13).由于a1,a2,…,a13满足log2=1(i=1,2,…,12),则=2⇒=,所以数列{an}(n=1,2,…,12,13)为等比数列,设其公比为q,则q=,D#对应的频率为a4,又因为所求半音与D#的频率的比值为==()4,故所求半音对应的频率为a4·()4=a8.故选B. 10.D　设{an}的公比为q(q>0). 对于①,根据等比数列的性质可知a2a4=a1a5,①正确; 对于②,a1+a5=a3≥a3×2=2a3,当且仅当q=1时,等号成立,②正确; 对于③,因为a1+a5-(a2+a4)=a3=(1-q)(1-q3)=(1-q)2(1+q+q2)≥0,所以a1+a5≥a2+a4,③正确; 对于④,因为{an}的各项均为正数,所以a5>a3⇒a3q2>a3,所以q2>1,又因为q>0,所以q>1,所以a4=a2q2>a2,④正确. 综上,正确结论的个数为4.故选D. 11.A　设等比数列{an}的公比为q,则q3==,所以q=,则an=-25-n,所以Tn=a1a2·…·an=(-1)n×24×23×…×25-n=(-1)n×=(-1)n×, 令t=n(9-n),所以当n=4或n=5时,t有最大值,无最小值.当n为偶数时,Tn为正数;当n为奇数时,Tn为负数.故n=4时,Tn取得最大值,当n=5时,Tn取得最小值,所以数列{Tn}有最大项和最小项.故选A. 12.解析　(1)设{an}的公差为d,则d==4, 所以an=2+(n-1)×4=4n-2(n∈N+). 设cn=an-bn,则{cn}为等比数列. c1=a1-b1=2-1=1, c4=a4-b4=14-6=8, 设{cn}的公比为q,则q3==8,故q=2. 则cn=2n-1,即an-bn=2n-1, 所以bn=4n-2-2n-1(n∈N+). (2)由题意得,bk应为数列{bn}的最大项. 由bn+1-bn=4(n+1)-2-2n-4n+2+2n-1=4-2n-1(n∈N+). 易得当n<3时,bn+1-bn>0,即bn<bn+1,即b1<b2<b3; 当n=3时,bn+1-bn=0,即b3=b4; 当n>3时,bn+1-bn<0,即bn>bn+1,即b4>b5>b6>…, 所以k=3或k=4. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$