1.3.1 等比数列及其通项公式（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

1．(多选题)下列说法中，错误的是(　　) A．等比数列中的某一项可以为0 B．等比数列中公比的取值范围是(－∞，＋∞) C．若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1 D．若数列{an}是等比数列，则{2an}也是等比数列 AB　解析：根据等比数列的定义可知，A，B错误，C，D正确． 2．在首项a1＝1，公比q＝2的等比数列{an}中，当an＝64时，项数n等于(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 D　解析：因为an＝a1qn－1，所以1×2n－1＝64，即2n－1＝26，得n－1＝6，解得n＝7. 3．等比数列{an}的各项均为正数，且a4a6＋a3a7＝18，则log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a9＝(　　) A．12 B．10 C．9 D．8 C　解析：由等比数列的性质得，a4a6＝a3a7，因为a4a6＋a3a7＝18，所以a4a6＝a＝9， 所以a5＝3或a5＝－3(舍去)，所以log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a9＝log3(a1·a2·a3…a9)＝log3(a5)9＝9log3a5＝9. 4．(多选题)下列选项中，不是{an}成等比数列的充要条件是(　　) A.an＋1＝an·q(q为常数) B．an＝a1qn－1(q为常数) C．a＝an·an＋2≠0 D．an＋1＝ ABD　解析：对于A.当q＝0，an＝0时，等式成立，此时不是等比数列，故错误； 对于B.当q＝0，a1＝0时，等式成立，此时不是等比数列，故错误； 对于C.根据等比数列等比中项可以判定此数列为等比数列，故正确； 对于D.当an＝0，an＋1＝0，an＋2＝0时，等式成立，此时不是等比数列，故错误． 5．在等比数列{an}中，各项均为正数，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝________． 　解析：因为a6a10＝a，a3a5＝a，所以a＋a＝41. 又因为a4a8＝5，an>0，所以a4＋a8＝＝＝. 6．已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则＝________． 3＋2　解析：设等比数列{an}的公比为q(q>0)，由题设a1，a3，2a2成等差数列可得a1＋2a2＝a3，即q2－2q－1＝0，所以q＝＋1，＝＝q2＝3＋2. 7．设x，y，z是实数，9x，12y，15z成等比数列，且，，成等差数列，则＋的值是________． 　解析：由题意可得所以y＝. 所以()2＝135xz.化简得15x2＋15z2＝34xz，两边同时除以15xz可得＋＝. 8．已知{an}为等比数列． (1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5； (2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． 解：(1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝25， ∵an>0，∴a3＋a5>0.∴a3＋a5＝5. (2)根据等比数列的性质a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， 所以a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95. 所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10 ＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10. 9．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式． 证明：∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1. ∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1) ＝2an＋1－2an. ∴an＋1＝2an. 又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0. 又由an＋1＝2an知an≠0，∴＝2. ∴{an}是首项为－1、公比为2的等比数列． ∴an＝－1×2n－1＝－2n－1. 10．(多选题)已知数列{an}是公比为q的等比数列，bn＝an＋4，若数列{bn}有连续四项在集合{－50，－20，22，40，85}中，则公比q的值可以是(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ BD　解析：∵bn＝an＋4，∴an＝bn－4，∵数列{bn}有连续四项在集合{－50，－20，22，40，85}中，∴数列{an}有连续四项在集合{－54，－24，18，36，81}中，又∵数列{an}是公比为q的等比数列，∴在集合{－54，－24，18，36，81}中，数列{an}的连续四项只能是：－24，36，－54，81或81，－54，36，－24.∴q＝＝－或q＝＝－. 11．若数列{an}满足－＝0，则称{an}为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且b1＋b2＋b3＝1，则b6＋b7＋b8＝________． 32　解析：由题意可知，若数列{an}为“梦想数列”，则－＝0，可得＝， 所以“梦想数列”{an}是公比为的等比数列，若正项数列为“梦想数列”， 则＝，所以＝2，即正项数列{bn}是公比为2的等比数列． 因为b1＋b2＋b3＝1， 所以b6＋b7＋b8＝25(b1＋b2＋b3)＝32. 12．等比数列{an}同时满足下列三个条件：①a1＋a6＝11，②a3a4＝，③a2，a，a4＋成等差数列．试求数列{an}的通项公式． 解：设等比数列{an}的公比为q，由等比数列的性质知 a1a6＝a3a4＝，所以 解得或 当时，q＝2， 所以an＝·2n－1. 此时a2＋a4＋＝，2a＝， 所以a2，a，a4＋成等差数列． 故an＝·2n－1. 当时，q＝，an＝·26－n， 此时a2＋a4＋≠2a，不符合题意． 综上，数列{an}的通项公式为 an＝·2n－1. 13．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“扩展”． 将数列1，2进行“扩展”，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2. 设第n次“扩展”后得到的数列为1，x1，x2，…，xt，2，并记an＝log2(1·x1·x2·…·xt·2)，其中t＝2n－1，n∈N＋，求数列{an}的通项公式． 解：an＝log2(1·x1·x2·…·xt·2)， 所以an＋1＝log2[1·(1·x1)·x1·(x1·x2)·…·xt·(xt·2)·2]＝log2(12·x·x·x·…·x·22)＝3an－1.所以an＋1－＝3(an－). 所以数列是首项为、公比为3的等比数列．所以an－＝×3n－1.所以an＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$