2.7 用坐标方法解决几何问题（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册（湘教版2019）

1.用坐标法解决平面几何问题的三个步骤 　　第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素, 将平面几何问题转化为代数问题. 　　第二步:实施代数运算,求解代数问题. 　　第三步:把代数解转化为几何结论. 2.建立平面直角坐标系应坚持的原则 (1)若有两条相互垂直的直线,一般以它们分别为x轴和y轴. (2)充分利用图形的对称性. 2.7 用坐标方法解决几何问题 利用坐标法解决几何问题的基本过程 (3)让尽可能多的点落在坐标轴上,或关于坐标轴对称. (4)关键点的坐标易于求得. 第2章　平面解析几何初步 求与圆有关的轨迹问题的方法 (1)直接法:根据已知条件,直译为关于动点间的几何关系,再利用解析几何有关公 式(两点间的距离公式、点到直线的距离公式等)进行整理、化简,即把这种关系 “翻译”成含x,y的等式. (2)定义法:若动点轨迹满足已知曲线的定义,可先设方程,再确定其中的基本量,求 出动点的轨迹方程. (3)相关点法:有些问题中,动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动 求解与圆有关的轨迹问题   点(称之为相关点)而运动的,如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的, 这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求得动 点的轨迹方程. 第2章　平面解析几何初步  典例　已知直角三角形ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0),求: (1)直角顶点C的轨迹方程; (2)直角边BC中点M的轨迹方程. 第2章　平面解析几何初步 解析    (1)解法一:设C(x,y),由题意可知AC⊥BC,且A,B,C三点不共线,所以AC,BC 所在直线的斜率存在,且y≠0, 又kAC= ,kBC= , 所以 · =-1(y≠0),化简得x2+y2-2x-3=0(x≠3,且x≠-1). 因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(x≠3,且x≠-1). 解法二:设C(x,y),由勾股定理得|AC|2+|BC|2=|AB|2,即(x+1)2+y2+(x-3)2+y2=16,化简得x2 +y2-2x-3=0, 又A,B,C三点不共线,所以y≠0,即x≠3且x≠-1. 因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(x≠3,且x≠-1). 解法三:设AB的中点为D,由中点坐标公式得D(1,0). 由直角三角形的性质知,|CD|= |AB|=2. 第2章　平面解析几何初步 由圆的定义知,动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心,2为半径的圆(由于A,B,C三点不共 线,所以应除去与x轴的交点). 设C(x,y),则直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(x≠3,且x≠-1). (2)设点M(x,y),点C(x0,y0), 因为B(3,0),M是线段BC的中点, 所以由中点坐标公式得x= ,y= ,于是有x0=2x-3,y0=2y. 由(1)知点C在圆(x-1)2+y2=4(x≠3,且x≠-1)上, 将C(x0,y0)代入该方程得(2x-4)2+(2y)2=4,即(x-2)2+y2=1(x≠3,且x≠1). 因此,动点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(x≠3,且x≠1). 第2章　平面解析几何初步    　通过直线与圆的方程和位置关系在实际问题中的应用培养数学运 算和数学建模的核心素养 　　通过建立平面直角坐标系写出直线和圆的方程,将实际问题转化为坐标运 算,体现了数学建模的核心素养.通过代数式的变形研究不等式或最值问题,体现 了数学运算的核心素养. 素养解读 第2章　平面解析几何初步  例题　如图1,某十字路口的花圃中央有一个底面半径为2 m的圆柱形花柱,四周 斑马线的内侧连线构成边长为20 m的正方形.因工程需要,测量员将使用仪器沿 斑马线的内侧进行测量,其中仪器P的移动速度为1.5 m/s,仪器Q的移动速度为1 m /s.若仪器P与仪器Q的对视光线被花柱阻挡,则称仪器Q在仪器P的“盲区”中.   (1)如图2,斑马线的内侧连线构成正方形ABCD,仪器P在点A处,仪器Q在BC上且距 离点C 4 m处,试判断仪器Q是否在仪器P的“盲区”中,并说明理由; (2)如图3,斑马线的内侧连线构成正方形ABCD,仪器P从点A出发向点D移动,同时 典例呈现 第2章　平面解析几何初步 仪器Q从点C出发向点B移动,在这个移动过程中,仪器Q在仪器P的“盲区”中的 时长为多少?   信息提取    仪器Q在仪器P的“盲区”中要满足P,Q的连线与圆有公共点,即相交或相切. 第2章　平面解析几何初步 解题思路    (1)仪器Q在仪器P的“盲区”中,理由如下: 建立平面直角坐标系,求得点P,Q的坐标,进而求出直线PQ的方程. 建立如图1所示的平面直角坐标系,则Q(10,6),P(-10,-10),所以kPQ= ,所以直线PQ 的方程为4x-5y-10=0. 通过判断直线PQ与圆的位置关系即可得出结论. 圆心O到直线PQ的距离d= = <2,所以圆O与直线PQ相交,故仪器Q在仪 器P的“盲区”中. 第2章　平面解析几何初步   (2)建立如图2所示的平面直角坐标系, 则A(-10,-10),B(10,-10),C(10,10),D(-10,10). 依题意知起始时刻仪器Q在仪器P的“盲区”中. 假设仪器Q在仪器P的“盲区”中的时长为t s,用t表示P,Q的坐标,并求出PQ的方 第2章　平面解析几何初步 程. 假设仪器Q在仪器P的“盲区”中的时长为t(t≥0)s,则P ,Q(10,10-t), 所以kPQ= = = , 利用圆心O到直线PQ的距离d≤2可得关于t的不等式,求出t的取值范围即可得解. 故直线PQ的方程是y-(10-t)= (x-10),即(t-8)x+8y-2t=0, 从而圆心O到直线PQ的距离d= = ≤2, 整理得t2≤t2-16t+128,解得t≤8, 又因为t≥0,所以0≤t≤8. 故仪器Q在仪器P的“盲区”中的时长为8 s.  第2章　平面解析几何初步 解决直线与圆的实际应用题的步骤 (1)审题:从题目中抽象出几何模型,明确已知和未知. (2)建系:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示几何模型中的基本元素. (3)求解:利用直线与圆的有关知识求出未知. (4)还原:将运算结果还原到实际问题中去. 思维升华 第2章　平面解析几何初步 $$