2.7 用坐标方法解决几何问题(课件PPT)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（湘教版）

2.7　 用坐标方法解决几何问题 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 课时目标 1.体会坐标法在几何中的应用.会应用坐标法解决解析几何问题. 2.会用坐标法求点的轨迹方程.理解坐标法在解析几何中的应用. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一) 利用坐标法解决几何问题 题型(二)　求轨迹方程的方法 课时跟踪检测 题型(一) 利用坐标法解决几何问题 01 [例1]　如图所示,AB是☉O的直径,CD是☉O的一条弦, 且AB⊥CD,E为垂足.利用坐标法证明:E是CD的中点. 证明:如图所示,以O为坐标原点,直径AB所在的直线为 x轴建立平面直角坐标系.设☉O的半径为r,|OE|=m(m<r),则☉O的方程为x2+y2=r2, 设C(m,b1),D(m,b2),则m2+=r2,m2+=r2, 即b1,b2是关于b的方程m2+b2=r2的两根, 解方程得b=±, 不妨设b1=-,b2=, 则CD的中点坐标为,即(m,0). 故E(m,0)是CD的中点,即E是CD的中点. 用坐标法解决平面几何问题的“三步曲” |思|维|建|模| 第一步 建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何要素,如点、直线、圆等,把平面几何问题转化为代数问题 第二步 通过代数运算,解决代数问题 第三步 把代数运算结果“翻译”成几何结论 针对训练 1.如图所示,在圆O上任取一点C为圆心,作圆C与圆O的直径AB相切于点D,圆C与圆O交于点E,F,且EF与CD相交于点H,求证:EF平分CD. 证明:以AB所在直线为x轴,O为坐标原点,建立平面直角 坐标系,如图所示,设|AB|=2r,D(a,0),则|CD|=, ∴C(a, ), ∴圆O:x2+y2=r2,圆C:(x-a)2+=r2-a2. 两方程作差得直线EF的方程为2ax+2y=r2+a2. 令x=a,得y=,∴H a, ,即H为CD的中点, ∴EF平分CD. 题型(二)　求轨迹方程的方法 02 [例2]　若两定点A,B的距离为3,动点M满足|MA|=2|MB|,求点M的轨迹围成的区域的面积. 解:以点A为坐标原点,射线AB为x轴的非负半轴 建立平面直角坐标系,如图. 设点M(x,y), 则A(0,0),B(3,0), 由=2,化简并整理得(x-4)2+y2=4, 于是得点M的轨迹是以点(4,0)为圆心,2为半径的圆,其面积为4π, 所以点M的轨迹围成的区域的面积为4π. 　求轨迹方程的注意点 (1)求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中,发现动点P的运动规律, 即点P满足的等量关系,因此要学会动中求静,变中求不变. (2)轨迹方程既可用普通方程f(x,y)=0表示,又可用参数方程(t为参数) 来表示,若要判断轨迹方程表示何种曲线,则往往需将参数方程化为普通方程. (3)求出轨迹方程后,应注意检验其是否符合题意,既要检验是否增解(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上),又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示).出现增解则要舍去,出现丢解,则需补充.检验方法:研究运动中的特殊情形或极端情形. |思|维|建|模| 针对训练 2.已知△ABC的边AB的长为4,若BC边上的中线为定长3,则顶点C的轨迹方程为_________________________. 解析:以直线AB为x轴,AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(如图), 则A(-2,0),B(2,0),设C(x,y),BC的中点D(x0,y0). ∴ ① ∵|AD|=3,∴(x0+2)2+=9. ② 将①代入②,整理得(x+6)2+y2=36. ∵点C不能在x轴上,∴y≠0. 综上,点C的轨迹是以(-6,0)为圆心,6为半径的圆,去掉(-12,0)和(0,0)两点, 即轨迹方程为(x+6)2+y2=36(y≠0). (x+6)2+y2=36(y≠0) 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.平面上一动点P满足|PM|2+|PN|2=6且M(-1,0),N(1,0),则动点P的轨迹方程为 (　　) A.(x+1)2+y2=3 B.(x-1)2+y2=3 C.x2+y2=2 D.x2+y2=3 解析:设P(x,y),因为|PM|2+|PN|2=6,所以(x+1)2+y2+(x-1)2+y2=6,整理得x2+y2=2,即动点P的轨迹方程为x2+y2=2. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.一辆货车宽1.6 m,若要经过一个半径为3.6 m的半圆形单行隧道,则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为 (　　) A.2.4 m B.3.5 m C.3.6 m D.2.0 m 解析:以圆心为坐标原点,半圆的直径所在的直线为x轴,过圆心且与x轴垂直的直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示.易知半圆所在的圆的方程为x2+y2=3.62(y≥0).由图可知,当货车恰好在隧道中间行走时车篷最高,此时x=0.8或x=-0.8,代入x2+y2=3.62,解得y≈3.5(m)(舍负). √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.设点A(1,0),动直线l:x+ay+2a-1=0,作AM⊥l于点M,则点M到坐标原点O距离的最小值为 (　　) A.1 B.+1 C.-1 D. 解析:由AM⊥l以及x+ay+2a-1=0可得直线AM的方程为y=a(x-1),联立消去a整理可得(x-1)2+(y+1)2=1, 所以点M的轨迹是以C(1,-1)为圆心,r=1为半径的圆. 因此|MO|min=|CO|-r=-1=-1. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.已知M是圆O:x2+y2=a2(a>0)上的动点,点N满足=(a,λa)(λ>0),记点N的轨迹为C,若圆O与轨迹C的公共弦方程为2x+y-5=0,则(　　) A.a=4,λ=1 B.a=2,λ=1 C.a=4,λ= D.a=2,λ= 解析:因为点M是圆O:x2+y2=a2上的动点,点N满足=(a,λa),设M(x1,y1), N(x,y),则=(x-x1,y-y1),所以即代入圆O的 方程,可得(x-a)2+(y-λa)2=a2,即x2+y2-2ax-2λay+λ2a2=0,可得两圆的公共弦的方程为2ax+2λay-a2-λ2a2=0,即2x+2λy-a-λ2a=0.又因为两圆的公共弦方程 为2x+y-5=0,可得解得 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.正方形ABCD与点P在同一平面内,已知该正方形的边长为1, 且|PA|2+|PB|2=|PC|2,则|PD|的可能取值为 (　　) A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6 解析:如图,以A为坐标原点,建立平面直角坐标系, 则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),设点P(x,y), 则由|PA|2+|PB|2=|PC|2,得x2+y2+(x-1)2+y2 =(x-1)2+(y-1)2,整理得x2+(y+1)2=2,即点P的轨迹是以点M(0,-1)为圆心,为半径的圆,圆心M到点D的距离为|DM|=2,所以|PD|min=2-,|PD|max=2+,所以|PD|的取值范围是[2-,2+]. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.在Rt△ABO中,∠BOA=90°,|OA|=8,|OB|=6,点P为Rt△ABO内切圆C上任一点,则点P到顶点A,B,O的距离的平方和的最小值为 (　　) A.68 B.70 C.72 D.74 解析:如图,△ABO是直角三角形,设△ABO的内切圆 圆心为O',切点分别为D,E,F,则|AD|+|DB|+|EO| =(10+8+6)=12.但上式中|AD|+|DB|==10, 所以内切圆半径r=|EO|=2,如图建立平面直角坐标系, 则内切圆方程为(x-2)2+(y-2)2=4,设圆上动点P的坐标为(x,y), 则S=|PA|2+|PB|2+|PO|2=(x-8)2+y2+x2+(y-6)2+x2+y2=3x2+3y2-16x-12y+100 =3[(x-2)2+(y-2)2]-4x+76=3×4-4x+76=88-4x.因为点P在内切圆上,所以0≤x≤4,所以Smin=88-16=72. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.[多选]已知△ABC的三个顶点为A(-1,2),B(2,1),C(3,4),则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是 (　　) A.圆M的圆心坐标为(1,3) B.圆M的半径为 C.圆M关于直线x+y=0对称 D.点(2,3)在圆M内 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:设△ABC的外接圆圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0), 则解得所以△ABC的外接圆圆M的 方程为x2+y2-2x-6y+5=0,即(x-1)2+(y-3)2=5.故圆M的圆心坐标为(1,3),圆M的半径为,因为直线x+y=0不经过圆M的圆心(1,3),所以圆M不关于直线x+y=0对称.因为(2-1)2+(3-3)2=1<5,故点(2,3)在圆M内. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)已知圆C:x2+y2-8x-6y+16=0,过点P(4,1)的直线与圆C交于点M,N,线段MN的中点为Q,则点Q的轨迹方程为__________________. (x-4)2+(y-2)2=1 解析:由圆C:x2+y2-8x-6y+16=0方程变形为标准 方程(x-4)2+(y-3)2=9,因为(4-4)2+(1-3)2=4<9, 所以点P(4,1)在圆C内部.又因为Q为线段MN的 中点,连接CQ,由垂径定理得CQ⊥MN,设点Q的 坐标为(x,y),得=(x-4,y-3),=(x-4,y-1), 所以·=0,得(x-4)2+(y-3)(y-1)=0, 整理得(x-4)2+(y-2)2=1, 所以点Q的轨迹方程为(x-4)2+(y-2)2=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)已知正△ABC的边长为1,P是平面ABC上一点,若|PA|2+|PB|2+ |PC|2=5,则|PA|的最大值为____________. 解析:以BC所在直线为x轴,BC中点为原点,建立平面 直角坐标系,则A,B,C,设P(x,y), 由|PA|2+|PB|2+|PC|2=5,得x2+++ y2++y2=5,整理得x2+y2-y-=0,即x2+ =,因此,点P的轨迹是以M为圆心,r=为半径的圆,|PA|的最大值等于|MA|+r=+=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)树林的边界是直线l(如图CD所在的直线), 一只兔子在河边喝水时发现了一只狼,兔子和狼 分别位于l的垂线AC上的A点和B点处,|AB|=|BC| =a(a为正常数),若兔子沿AD方向以速度2μ 向树林逃跑,同时狼沿线段BM(M∈AD)方向以速度μ进行追击,若狼到达M处的时间不多于兔子到达M处的时间,狼就会吃掉兔子,则兔子的所有不幸点(即可能被狼吃掉的点)的区域面积S(a)=____________. (a>0) (μ为正常数) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:建立如图所示的平面直角坐标系,设A(0,2a), B(0,a)(a>0),M(x,y),由≤,即2 ≤,则4x2+4(y-a)2≤x2+(y-2a)2,整理得x2+≤,所以点M在以为圆心,为 半径的圆上及圆的内部,所以S(a)=π×=(a>0). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知△ABC的顶点B,C的坐标分别是(-3,-1),(2,1),顶点A在圆x2+y2+4x-8y+16=0上运动,则△ABC的重心G的轨迹方程为_________________________. (x+1)2+= 解析:设△ABC的重心G的坐标是(x,y),点A的坐标是(x0,y0). 已知点B,C的坐标分别是(-3,-1),(2,1), 则△ABC的重心G的坐标满足x=, y=. 因此有x0=3x+1,y0=3y.　① 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 因为点A在圆x2+y2+4x-8y+16=0上运动, 所以点A的坐标(x0,y0)满足方程x2+y2+4x-8y+16=0, 即满足方程(x+2)2+(y-4)2=4.　② 将①代入②,得(3x+1+2)2+(3y-4)2=4. 即所求轨迹方程为(x+1)2+=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)如图,过半径为2的圆M上两点P,Q的切线相交于点T,自点P向平行于PQ的直径AB的两端各作一直线,这两条直线分别交垂直于PQ的直径所在直线于点R,S.试建立适当的平面直角坐标系用解析法证明:|RT|=|ST|. 证明:如图,以圆心M为原点,平行于PQ的直径AB所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系, 则圆M的方程为x2+y2=4,A(0,2),B(0,-2), 设P(x0,y0),x0y0≠0,则+=4, 直线AP的方程为y=x+2,令y=0,得点R的横坐标xR=, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 直线BP的方程为y=x-2,令y=0,得点S的横坐标xS=, 切线PT的斜率为-,方程为y-y0=-(x-x0),整理得x0x+y0y=4. 由对称性知点T在x轴上,令y=0,得点T的横坐标xT=, |RT|=|xR-xT|===2,|ST|=|xS-xT|= ==2,所以|RT|=|ST|. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(15分)已知圆心为C的圆经过A(1,1)和B(2,-2), 且圆心C在直线l:x-y+1=0上. (1)求圆心为C的圆的标准方程;(7分) 解:因为A(1,1),B(2,-2),所以kAB==-3, 所以弦AB的垂直平分线的斜率为, 又弦AB的中点坐标为, 所以弦AB的垂直平分线的方程为y+=,即x-3y-3=0, 与直线l:x-y+1=0联立,解得x=-3,y=-2, 所以圆心C的坐标为(-3,-2), 所以圆的半径r=|AC|=5, 则圆C的方程为(x+3)2+(y+2)2=25. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)线段PQ的端点P的坐标是(5,0),端点Q在圆C上运动,求线段PQ中点M的轨迹方程.(8分) 解:设Q(x1,y1),线段PQ的中点M为(x,y),P(5,0),所以x=,y=, 则x1=2x-5,y1=2y　①. 因为端点Q在圆(x+3)2+(y+2)2=25上运动,所以+(y1+2)2=25, 把①代入得(2x-5+3)2+(2y+2)2=25, 所以线段PQ的中点M的轨迹方程是(x-1)2+(y+1)2=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)已知圆C过点A(2,6),B(-1,3),且圆心在直线y=x+1上. (1)求圆C的方程;(4分) 解:∵圆心在y=x+1上,∴可设圆心C(a,a+1),∵|AC|=|BC|, ∴=,解得a=2,∴C(2,3),r=|AC|=3, 故圆C的方程为(x-2)2+(y-3)2=9. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)设点D在圆C上运动,点E(3,2),记M为过D,E两点的弦的中点,求M的轨迹方程;(5分) 解:法一　由圆的几何性质得CM⊥ED即CM⊥EM,所以·=0, 设M(x,y),则=(x-2,y-3),=(x-3,y-2), 所以(x-2)(x-3)+(y-3)(y-2)=0,即M的轨迹方程是+=. 法二　设过E(3,2)且斜率为k的直线为y=k(x-3)+2,与圆C的方程联立, 消去y得(1+k2)x2-(6k2+2k+4)x+9k2+6k-4=0, 因为E在圆C的内部,故此二次方程必有两不等实根x1,x2, 故弦的中点的横坐标xM==,代入y=k(x-3)+2,得yM=,消去k, 可得+-5xM-5yM+12=0, 即M的轨迹方程为x2+y2-5x-5y+12=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)在(2)的条件下,若直线DE与直线l:y=x-2交于点N,证明:|EM|·|EN|恒为定值.(6分) 解:证明:设直线CE与直线l交于点F,由C(2,3),E(3,2)可知直线CE的斜率是-1, ∵直线l的斜率为-1,∴lCE⊥l,∴∠CME=∠EFN=90°,∠CEM=∠NEF, ∴△CEM∽△NEF, ∴|EM|·|EN|=|EC|·|EF|, 又E到l的距离|EF|==,|EC|==, ∴|EM|·|EN|=×=1, 故|EM|·|EN|恒为定值1. $$