2.7 用坐标法解决几何问题课件-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

2.7 用坐标方法解决几何问题 第2章 作者编号：32200 1.理解并掌握用坐标法解决几何问题的基本过程. 2.能根据曲线的几何特征求曲线的方程. 学习目标 作者编号：32200 平面解析几何的基本思想方法就是在平面直角坐标系中，把点用坐标表示，将直线与圆等曲线用方程表示，通过研究方程来研究图形的性质，这种代数研究方法被称为坐标法. 知识梳理 作者编号：32200 用坐标法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将几何问题转化为代数问题； 第二步：实施代数运算，求解代数问题； 第三步：将代数解转化为几何结论并作答. 作者编号：32200 例1 证明：圆的直径所对的圆周角是直角． 证：如图，以已知圆的圆心O为原点，给定的直径AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则圆的方程为x2＋y2= r2，其中r是圆的半径． 直径两端点的坐标分别为 A(r，0)，B(－r，0)． 设P(x，y)是圆上异于A，B任意一点，则x2＋y2= r2 ． ∵ ∴， 因此当P与A，B都不重合时，直径AB所对的圆周角∠APB是直角． ＝0 新知探究 … … … 作者编号：32200 例2 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，满足条件PA⊥PB的所有点P(x，y)组成一条曲线，求这条曲线的方程并指出曲线的形状． 动点 P 的轨迹方程是指点 P 的坐标 (x ，y) 满足的关系式. 轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形. 新知探究 … … … 作者编号：32200 例2 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，满足条件PA⊥PB的所有点P(x，y)组成一条曲线，求这条曲线的方程并指出曲线的形状． 解：PA⊥PB⇔＝0 ⇔(x1－x，y1－y)·(x2－x，y2－y)＝0 ⇔(x1－x)(x2－x)＋(y1－y)(y2－y)＝0① 即x2－(x1＋x2)x＋y2－(y1＋y2)y＋x1x2＋y1y2＝0， 配方整理得， 新知探究 … … … 作者编号：32200 又P与A，B都不重合，因此动点P的轨迹方程是 ， 其中，， 该轨迹的形状是以AB的中点(，)为圆心，为半径的圆(除去A，B两点)， 也就是以AB为直径的圆(除去A，B两点)，如图所示 作者编号：32200 例2 点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点. (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程. 解：(1)设线段AP的中点M(x，y)， 由中点坐标公式，得点P的坐标为(2x－2，2y). ∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4， 故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1. 新知探究 … … … 作者编号：32200 例2 点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点. (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程. (2)设线段PQ的中点N(x，y)， 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|. 设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ， ∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， ∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4， 故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. 新知探究 … … … 作者编号：32200 归纳总结 (1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明. (2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程. (3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将点Q的坐标代入到已知圆的方程中，得点P的轨迹方程. 求轨迹方程的常用方法 作者编号：32200 回顾：结合本节课所学，用流程图表示坐标法解决几何问题的思路. 课堂总结 … … … 作者编号：32200 1.方程x2＋xy＝x的曲线是( ) A.一个点 B.一个点和一条直线 C.一条直线 D.两条直线 2.已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1，0)，则圆C的圆心的轨迹是( ) A.点 B.直线 C.线段 D.圆 D D 当堂检测 … … … 作者编号：32200 3.(多选)古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个命题：平面内与两定点的距离的比为常数k(k>0)的点的轨迹为圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知O(0，0)，A(3，0)，圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r>0)上有且只有一个点P满足|PA|＝2|PO|，则r的取值可以是( ) A.1 B.4 C.3 D.5 AD 当堂检测 … … … 作者编号：32200 $$