第2章 第1课时 圆的标准方程（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（苏教版2019）

第2章　圆与方程 2.1　圆的方程 第1课时　圆的标准方程 基础过关练 题组一　对圆的标准方程的理解 1.若直线l:y=ax-b经过第二、三、四象限,则圆C:(x-a)2+(y-b)2=1的圆心位于(　　) A.第一象限　　　　B.第二象限 C.第三象限　　　　D.第四象限 2.方程y=-表示的曲线是(　　) A B C D 3.若直线l:2x+y-1=0是圆C:(x+a)2+y2=1的一条对称轴,则a=　　　　.  4.已知直线l过圆(x-2)2+(y+3)2=4的圆心,且与直线x+2y-4=0平行,则l的方程是　　　　　　.  题组二　求圆的标准方程 5.已知点A(-3,1),B(1,-3),则以线段AB为直径的圆的标准方程为(　　) A.(x-1)2+(y-1)2=8　　　　 B.(x+1)2+(y+1)2=8 C.(x-1)2+(y-1)2=32　　　　 D.(x+1)2+(y+1)2=32 6.已知圆C经过A(1,-5),B(0,2)两点,且点C在直线x-y+1=0上,则圆C的标准方程为　　　　　　　　.  7.圆心在直线x-y=0上,且与y轴相切于点(0,1)的圆的标准方程为　　　　　　　.  题组三　点与圆的位置关系 8.点(sin 30°,cos 30°)与圆x2+y2=的位置关系是　(　　) A.点在圆上　　　　B.点在圆内 C.点在圆外　　　　D.不能确定 9.若点A(a+1,3)在圆C:(x-a)2+(y-1)2=m外,则实数m的取值范围是(　　) A.(,+∞)　　　　B.(5,+∞) C.(0,5)　　　　D.(0,) 题组四　圆的标准方程的应用 10.阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内到两定点的距离之比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A、B间的距离为2,动点P与A、B的距离之比为,当P、A、B三点不共线时,△PAB面积的最大值是(　　) A. 11.苏州有很多圆拱形的悬索拱桥,经测得某圆拱索桥的跨度AB=100米,拱高OP=10米,在建造该桥时每隔5米需用一根支柱支撑,则与OP相距30米的支柱MN的长约为(≈3.162)(　) A.6.48米　　　　B.5.48米 C.4.48米　　　　D.3.48米 能力提升练 题组　圆的标准方程的求解及应用 1.若点A、B在圆C1:(x-2)2+y2=3上运动,AB=2,P为AB的中点,点Q在圆C2:(x+2)2+y2=1上运动,则PQ的最小值为(　　) A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4 2.已知点P(x,y)在圆x2+y2=2上运动,则|x-y+3|的取值范围为(　　) A.[0,1]　　　　B.[0,4]　　　　C.[1,5]　　　　D.[1,4] 3.几何学史上有一个著名的米勒问题:“设点M,N是∠AQB(锐角)的边QA上的两点,当点P为过M,N两点且和射线QB相切的圆的切点时,∠MPN最大.”根据以上结论解决以下问题:在平面直角坐标系xOy中,给定两点M(-1,2),N(1,4),点P在x轴上移动,当∠MPN取得最大值时,该圆的方程是(　　) A.(x-1)2+(y-2)2=2　　　　B.(x+7)2+(y-10)2=100 C.(x-1)2+(y-2)2=4　　　　D.(x+7)2+(y-10)2=10 4.在圆的方程的探究中,有四位同学分别给出了一个结论,甲:该圆的半径为,乙:该圆经过点(7,0),丙:该圆的圆心为(2,1),丁:该圆经过点(3,3),如果只有一位同学的结论是错误的,那么这位同学是(　　) A.甲　　　　B.乙　　　　C.丙　　　　D.丁 5.在平面内,一只蚂蚁从点A(-2,-3)出发,爬到y轴后又爬到圆C:(x+3)2+(y-2)2=2上,则它爬过的最短路程是　　　　.  6.已知圆M过点P(2,0),Q(-1,),且点P关于直线x+2y=0的对称点P'在圆M上,则圆M的标准方程为　　　　;设N(x,y)是圆M上的任意一点,A(-2,-2),B(-2,6),C(4,-2),则NA2+NB2+NC2的最小值为　　　　.  7.已知圆C与x轴、y轴的正半轴分别交于A(2,0),B(0,6)两点,圆心C在第二象限. (1)若圆C与x轴的另一个交点坐标为(-12,0),求圆C的标准方程; (2)若OC=(O为坐标原点),求圆C的标准方程. 8.已知点B(6,5),点A在圆C1:(x-4)2+(y-3)2=4上运动,线段AB的中点P的轨迹为C2. (1)求曲线C2的方程; (2)若点C在曲线C2上运动,点Q在x轴上运动,求QA+QC的最小值. 答案与分层梯度式解析 第2章　圆与方程 2.1　圆的方程 第1课时　圆的标准方程 基础过关练 1.B　∵l经过第二、三、四象限,∴a<0,-b<0, 即b>0,故圆心C(a,b)位于第二象限.故选B. 2.A　对y=-两边平方,整理得x2+y2=4(y≤0), 故方程表示圆心为坐标原点,半径为2的圆在x轴及其下方的部分,故选A. 3.答案　- 解析　易知圆C的圆心C(-a,0).因为直线l是圆C的一条对称轴,所以点C(-a,0)在直线l上,所以2×(-a)-1=0,解得a=-. 4.答案　x+2y+4=0 解析　圆(x-2)2+(y+3)2=4的圆心为(2,-3),由题意可设l的方程为x+2y+m=0(m≠-4),把(2,-3)代入,得2+2×(-3)+m=0,解得m=4,所以l的方程是x+2y+4=0. 5.B　解法一:由题意得圆心为,即(-1,-1),半径r=, 所以圆的标准方程为(x+1)2+(y+1)2=8.故选B. 解法二:∵A(-3,1),B(1,-3), ∴以AB为直径的圆的方程为(x+3)(x-1)+(y-1)(y+3)=0,化简整理得(x+1)2+(y+1)2=8. 课外拓展　　　本题解法二用到结论:以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. 6.答案　(x+3)2+(y+2)2=25 解析　设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),则 所以圆C的标准方程为(x+3)2+(y+2)2=25. 7.答案　(x-1)2+(y-1)2=1 解析　由圆心在直线x-y=0上可设所求圆的圆心坐标为(m,m), 由所求圆与y轴相切于点(0,1),知m=1,故所求圆的半径r=1, 故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1. 8.C　因为sin230°+cos230°=,所以点在圆外.故选C. 9.C　由点A在圆C外,得(a+1-a)2+(3-1)2>m,解得m<5,又m>0,所以0<m<5.故选C. 10.D　以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建系,如图, 则A(-1,0),B(1,0),设P(x,y), ∵, 两边平方,并整理得x2+y2-6x+1=0,即(x-3)2+y2=8(y≠0),∴动点P的轨迹是以(3,0)为圆心,2为半径的圆(除去点(3±2,0)), ∴△PAB面积的最大值是. 故选D. 11.A　以O为原点,AB、OP所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图. 则P(0,10),A(-50,0). 设圆拱所在圆的方程为x2+(y-a)2=r2, 则 所以圆拱所在圆的方程为x2+(y+120)2=16 900. 将x=-30代入,得900+(y+120)2=16 900, 因为y>0,所以y=40-120≈40×3.162-120=6.48.故选A. 能力提升练 1.B　由题意得P到圆心C1(2,0)的距离为=1, 由圆的定义可知点P的运动轨迹是以C1(2,0)为圆心,1为半径的圆,其方程为(x-2)2+y2=1, ∵点Q在圆C2:(x+2)2+y2=1上运动,∴PQ的最小值为C1C2-1-1=2.故选B. 2.C　|x-y+3|=表示圆上的点P(x,y)到直线x-y+3=0的距离,设为d, 所以|x-y+3|=d, 又圆心(0,0)到直线x-y+3=0的距离d1=, 所以d1-≤d≤d1+,即≤d≤,故1≤d≤5,所以|x-y+3|的取值范围是[1,5].故选C. 3.C　由题意可知,点P为过M,N两点且和x轴相切的圆的切点,易得线段MN的中点坐标为(0,3),kMN==1, 所以线段MN的垂直平分线的方程为y-3=-x, 所以以MN为弦的圆的圆心在直线y-3=-x上, 设该圆圆心为C(a,3-a),又因为圆C与x轴相切,所以圆的半径r=|3-a|, 又CN=r,所以(a-1)2+(3-a-4)2=(3-a)2,解得a=1或a=-7, 当a=-7时,∠MQP是钝角,故舍去. 所以a=1,此时圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=4. 故选C. 4.B　设A(3,3),B(2,1),C(7,0), 假设甲的结论错误,则此圆的圆心为B(2,1),且过点A(3,3),C(7,0),此时BA=≠BA,故假设错误,所以甲的结论正确; 假设乙的结论错误,则此圆的圆心为B(2,1),半径为,所以该圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5,把点(3,3)代入,等式成立,故该圆经过点A(3,3),故假设正确,所以乙的结论错误; 假设丙的结论错误,则此圆的半径为,且经过点C(7,0),A(3,3),则AC=,故假设错误,所以丙的结论正确; 假设丁的结论错误,则该圆的圆心为B(2,1),半径为,且经过点C(7,0),则BC=,故假设错误,所以丁的结论正确. 综上所述,结论错误的是乙同学.故选B. 5.答案　4 解析　由圆的方程得圆心为C(-3,2),半径为, 设点A(-2,-3)关于y轴的对称点为A',则A'(2,-3),设A'C与圆C交于点P,易知蚂蚁爬过的最短路程为A'P的长, 可得A'P=A'C-. 故蚂蚁爬过的最短路程为4. 6.答案　x2+y2=4;72 解析　由P(2,0),Q(-1,),得线段PQ的中点坐标为,直线PQ的斜率kPQ=, 则线段PQ的垂直平分线的斜率为,方程为y-,整理可得x-y=0,易知圆心M在直线x-y=0上, 由题意可知圆心M也在直线x+2y=0上,联立即M(0,0), 又圆M的半径为MP=2,所以圆M的标准方程为x2+y2=4. 由N(x,y)在圆M上,得x2+y2=4, 易知 整理可得NA2+NB2+NC2=3(x2+y2)-4y+68=80-4y,-2≤y≤2, 易知当y=2时取最小值,为72. 7. 思路分析　(1) (2)A(2,0),B(0,6)设C圆心C(-5,1)圆的方程 解析　(1)由题意知A(2,0),(-12,0)在圆上,故圆心在直线x==-5上, 又直线AB的斜率为=-3,线段AB的中点坐标为(1,3), 故线段AB的垂直平分线的方程为y-3=(x-1), 令x=-5,得y=1,即圆心C(-5,1), 又半径r=, 所以圆C的标准方程为(x+5)2+(y-1)2=50. (2)由(1)可知,圆心C在线段AB的垂直平分线y-3=(x-1),即y=上,设圆心C, 又OC=,所以, 解得x=-5或x=. 由于圆心C在第二象限,所以x=-5,故圆心C(-5,1),半径r=, 故圆C的标准方程为(x+5)2+(y-1)2=50. 8.解析　(1)设P(x,y),A(x0,y0), 由于B(6,5),且P是线段AB的中点, 所以x=,故x0=2x-6,y0=2y-5. 所以A(2x-6,2y-5). 因为A在圆C1:(x-4)2+(y-3)2=4上运动, 所以(2x-6-4)2+(2y-5-3)2=4, 整理,得(x-5)2+(y-4)2=1, 所以点P的轨迹C2的方程为(x-5)2+(y-4)2=1. (2)圆C1的圆心为(4,3),半径r1=2,圆C2的圆心为(5,4),半径r2=1, 所以QA+QC≥QC1-r1+QC2-r2=QC1+QC2-3,当且仅当A在线段QC1上且C在线段QC2上时,取等号. 作圆C1关于x轴的对称圆C3,易知圆C3的圆心为(4,-3),当点Q为直线C2C3与x轴的交点时,QC1+QC2取得最小值,且(QC1+QC2)min=C2C3=5, 所以QA+QC的最小值为5-3. 方法技巧　　　与圆有关的形如QA+QC的折线段问题,要立足两点:(1)减少动点的个数;(2)化曲为直,即将折线段转化为同一直线上的两线段之和. 13 学科网（北京）股份有限公司 $$