3.3.1 抛物线的标准方程（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（苏教版2019）

3.3　抛物线 3.3.1　抛物线的标准方程 基础过关练 题组一　抛物线的定义及其应用 1.一个动圆P与定圆F:(x-3)2+y2=4相外切,且与直线l:x=-1相切,则动圆圆心P的轨迹方程为(　　) A.y2=12x　　　　B.y2=8x　　　　C.y2=6x　　　　D.y2=4x 2.已知抛物线D:y2=4x的焦点为F,准线为l,点P在D上,过点P作准线l的垂线,垂足为A,若PA=AF,则PF=(　　) A.2　　　　B.2　　　　D.4 3.已知过抛物线C:y2=2x的焦点F且倾斜角为60°的直线交C于A,B两点,Q为AB的中点,P为C上一点,则PF+PQ的最小值为(　　) A. 4.若点P(x,y)满足方程,则点P的轨迹是　　　　　.(填圆锥曲线的类型)  题组二　抛物线的标准方程和准线方程 5.已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点M(x0,3),且点M到C的焦点F的距离为3,则C的准线方程为　　(　　) A.x=-　　　　B.x=-3　　　　C.x=-1　　　　D.x=-2 6.(多选题)经过点P(4,-2)的抛物线的标准方程为(　　) A.y2=x　　　　B.x2=8y　　　　C.x2=-8y　　　　D.y2=-8x 7.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线上,且MF=3,FM的延长线交y轴于点N,若M为线段FN的中点,则p=(　　) A.2　　　　B.2　　　　C.4　　　　D.6 题组三　直线与抛物线的位置关系 8.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过F的直线l与抛物线交于A、B两点,若△AOF的面积是△BOF面积的2倍,则AB=(　　) A.4　　　　B. 9.设经过抛物线y2=8x的焦点F且斜率为1的直线l与抛物线交于A,B两点,抛物线的准线与x轴交于C点,则cos∠ACB=　　　　　 .  10.过抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点F,且斜率为-1的直线l与抛物线交于A、B两点,AB=8. (1)求抛物线E的方程; (2)过焦点F作直线l',交E于C、D两点,直线AC与BD的交点是否在一条直线上?若是,求出该直线的方程;若不是,说明理由. 能力提升练 题组一　抛物线的定义及标准方程的应用 1.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(3,1)在C的内部,点B是C上的一个动点,且△ABF周长的最小值为4+,则p=(　　) A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4 2.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,过点F且倾斜角为30°的直线交抛物线于点M(M在第一象限),MN⊥l,垂足为N,MN交x轴于点E,直线NF交x轴于点D,若MD=2,则抛物线的方程是(　　) A.x2=y　　　　B.x2=2y C.x2=4y　　　　D.x2=8y 3.(多选题)设抛物线y2=8x的顶点为O,焦点为F,点M是抛物线上异于O的一动点,直线OM交抛物线的准线于点N,下列结论正确的是(　　) A.若MF=4,则OM=2 B.若MF=4,则O为线段MN的中点 C.若MF=8,则OM=4 D.若MF=8,则OM=3ON 4.(多选题)抛物线E:y2=4x的焦点为F,点M,N为抛物线上两个位于第一象限的动点,且有=xF·xN(xM>1),直线MF,NF与准线分别交于A,B两点,则下列说法正确的是(　　) A.当xN=9时,MF=FA B.当xM=2时,S△MFN∶S△ABF=4∶5 C.当xM=2时,AF∶BF=9∶5 D.当xM=3时,延长NM交准线于C,S△CBM∶S△ANF=5∶6 题组二　直线与抛物线的位置关系 5.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过点F,且与C交于A,B两点,以AB为直径的圆与y轴交于D,E两点,且DE=AB,则直线l的方程为(　　) A.=0　　　　B.x±y-1=0 C.2x±y-2=0　　　　D.x±2y-1=0 6.已知抛物线y2=4x的焦点为F,直线l过点F且与抛物线交于A,B两点,过点A作抛物线准线的垂线,垂足为M,∠MAF的平分线与抛物线的准线交于点P,线段AB的中点为Q.若AB=16,则PQ=(　　) A.2　　　　B.4 C.6　　　　D.8 7.(多选题)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,过点B(0,-1)的直线l交C于P,Q两点,则下列说法正确的是(　　) A.C的准线方程为y=- B.直线AB与C相交 C.OP·OQ≥OA2 D.BP·BQ>BA2 8.(多选题)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F与椭圆=1的右焦点重合,抛物线C的动弦AB过点F,过点F且垂直于弦AB的直线交C的准线于点M,则下列结论正确的是(　　) A.抛物线的标准方程为y2=4x B.的最小值为2 C.过A,B分别作AA',BB'与准线垂直,则△A'FB'为直角三角形 D.△ABM的面积为定值 9.已知动点P在抛物线y2=4x上,过点P引圆C:(x-3)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则AB的最小值为　　　　.  10.在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y2=ax(a>0)的焦点F到其准线的距离为2,直线l过点P(0,1)且与C交于A、B两点. (1)求a的值及直线l的斜率的取值范围; (2)若AF+BF=8,求直线l的方程. 11.已知拋物线C:y2=4x,过其焦点F作两条相互垂直且不平行于x轴的直线,分别交抛物线C于点A,B和点C,D,AB,CD的中点分别为M,N. (1)若直线AB的斜率为2,求直线MN的方程; (2)求线段MN的中点E的轨迹方程. 12.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线E:y2=2px(p>0),两定点P(1,1),Q(1,4),点R在E上,且满足,过Q作一斜率存在的直线交E于A、B两点,连接BP并延长,交E于点C. (1)求抛物线E的标准方程; (2)判断直线AC是否恒过定点,若是,求出该定点坐标;若不是,请说明理由. 答案与分层梯度式解析 3.3　抛物线 3.3.1　抛物线的标准方程 基础过关练 1.A　圆F的圆心为F(3,0),半径为2,设动圆圆心P(x,y),半径为r,P到直线x=-1的距离为d, 则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得PF-2=r,d=r, ∴PF-d=2,∴PF=d+2,即P到F(3,0)的距离与P到直线x=-3的距离相等, ∴动圆圆心P的轨迹为以(3,0)为焦点的抛物线, ∴所求轨迹方程为y2=12x.故选A. 2.D　由题知F(1,0),准线l:x=-1,设准线与x轴的交点为C,则由抛物线的定义及已知得PA=AF=PF,则△PAF为等边三角形. 解法一:在Rt△ACF中,CF=2,∠AFC=60°,则AF=4,故PF=AF=4. 解法二:过F作FB⊥AP于点B,则B为AP的中点,因为AB=2,所以AP=4,所以PF=AP=4. 3.B　由题意得焦点F,准线方程为x=-,直线AB:y=, 由,消去y并整理得12x2-20x+3=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,线段AB的中点Q的横坐标xQ=, 过Q作准线的垂线,垂足为点D,交抛物线于点P, 则PF+PQ=PD+PQ=QD=, 在抛物线C上任取点P',过P'作准线的垂线,垂足为D',连接P'F,P'Q,D'Q, 则P'F+P'Q=P'D'+P'Q≥D'Q≥QD,当且仅当点P'与点P重合时取等号,所以PF+PQ的最小值为.故选B. 4.答案　抛物线 解析　由, 得, 易知等式左边表示点P(x,y)到点(1,2)的距离,右边表示点P(x,y)到直线3x+4y+12=0的距离,即点P(x,y)到点(1,2)的距离与到直线3x+4y+12=0的距离相等, 又因为点(1,2)不在直线3x+4y+12=0上,所以由抛物线的定义知,点P的轨迹是以(1,2)为焦点,直线3x+4y+12=0为准线的抛物线. 5.A　由已知得故抛物线C的准线方程为x=-,故选A. 6.AC　∵点P(4,-2)位于第四象限,∴设所求的抛物线方程为y2=2px(p>0)或x2=-2py(p>0), ∴4=2p·4或16=-2p·(-2),∴p=或p=4. 故所求的抛物线方程为y2=x或x2=-8y.故选AC. 7.C　过点M作MA⊥y轴于点A,交抛物线的准线于点B(图略), 由题意得F,设M, 由抛物线定义可知MF=MB==3,① 因为M为FN的中点,所以AM=OF,所以,② 由①②得p=4,故选C. 8.B　由题意得F(1,0),当直线l的斜率为0时,此时与抛物线只有1个交点,不合要求,舍去; 设l:x=1+my,与y2=4x联立,得y2-4my-4=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2<0,则y1+y2=4m,y1y2=-4, 因为△AOF的面积是△BOF面积的2倍,所以y1=-2y2, 则y1y2=-2=-4,所以y2=-,则y1=-2y2=2, 则4m=y1+y2=,解得m=,故x1+x2=,则AB=x1+x2+2=.故选B. 9.答案　 解析　由题意得F(2,0),C(-2,0),直线l的方程为y=x-2, 设A(x1,y1)(y1>0),B(x2,y2)(y2<0), 联立得y2-8y-16=0. 故y1=4+4,则x1=6+4, 故A(6+4),故AC=, BC=,AB=x1+x2+4=16, 由余弦定理得cos∠ACB=. 10.解析　(1)由已知得直线l:y=-x+,设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立消去y得x2-3px+=0, 所以x1+x2=3p,AB=x1+x2+p=4p=8,解得p=2,故抛物线E的方程为y2=4x. (2)由(1)可知y1+y2=-4,y1·y2=-4,F(1,0). 设l'的方程为x=my+1,C(x3,y3),D(x4,y4), 联立消去x得y2-4my-4=0,所以y3+y4=4m,y3·y4=-4. 直线AC的斜率为, 所以直线AC的方程为y-y3=(x-x3),即y=,① 同理可得直线BD的方程为y=②, 由①②得4(y1-y2+y3-y4)x=y1y2(y3-y4)+y3y4(y1-y2)=-4(y1-y2+y3-y4), 解得x=-1,所以直线AC与直线BD的交点都在x=-1上. 能力提升练 1.B　由已知得抛物线的准线方程为x=-,设为l,过点B作BM⊥l于M,过A作AH⊥l于H(图略). 由抛物线的定义可知BF=BM, ∴△ABF的周长为AB+AF+BF=AB+BM+AF≥AH+AF=4+, 易得AH=3+, ∴3+,∴p=2.故选B. 2.C　如图所示,过点F作FA⊥MN,垂足为A. 由题得∠AFM=30°,所以∠NMF=60°. 因为MF=MN,所以△MNF是等边三角形. 因为O是FB的中点,所以DF=DN, 所以MD⊥DF,所以FM==4. 所以MN=4,则AN=2. 所以AE=EN=1,则AE=OF=1,∴=1,∴p=2. 所以抛物线的方程是x2=4y.故选C. 3.ABD　由已知可得F(2,0),准线方程为x=-2. 对于A,设M(x1,y1),根据抛物线的定义得MF=x1+2=4,解得x1=2,可得=16,可得OM=,A正确; 对于B,由=16,得y1=±4,不妨设M(2,4),则直线OM的方程为y=2x, 令x=-2,可得y=-4,即N(-2,-4),所以O为线段MN的中点,B正确; 对于C,设M(x2,y2),根据抛物线的定义得MF=x2+2=8, 解得x2=6,则=48,可得OM=,C不正确; 对于D,由=48,可得y2=±4,不妨设M(6,4), 则直线OM的方程为y=x,令x=-2,得y=-,即N, 则ON=,所以OM=3ON,D正确.故选ABD. 4.ACD　抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,则xA=xB=-1, 由=xF·xN(xM>1),得=xN(xM>1). 对于A,当xN=9时,xM=3,则=1, ∴MF=AF,故A正确; 对于B,当xM=2时,M(2,2),N(4,4),则FM==5, 设直线MF:x=my+1,把M(2,2)代入,可得m=y+1, 令x=-1,得y=-4),同理B, 则FA=, 因为∠AFB=∠MFN,所以sin∠AFB=sin∠MFN, 所以,故B错误; 对于C,由B知AF∶BF=6∶=9∶5,故C正确; 对于D,当xM=3时,xN=9,则N(9,6),∴MC∶NC=(3+1)∶(9+1)=2∶5, ∴S△CBM=S△CBN,∴S△CBM=S△NBM,由A知MF=AF,∴S△MFN=S△NFA, NF∶FB=(9-1)∶[1-(-1)]=4∶1,∴S△MFN=S△NBM,∴S△NFA=S△NBM, ∴S△CBM∶S△NFA=S△NBM∶S△NBM=5∶6,故D正确.故选ACD. 5.A　分别过A,B向准线x=-1作垂线,垂足分别为A1,B1,取AB的中点M,作MN⊥y轴于点N(图略). 设AB=2r(2r≥4), 则2(MN+1)=AA1+BB1=AF+BF=AB=2r,所以MN=r-1, 则DE=2r,即9r2-50r+25=0, 解得r=5或r=(舍去),则xM=4, 设直线l的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得k2x2-(2k2+4)x+k2=0, 则x1+x2==8,解得k=±, 所以直线方程为y=±(x-1),即=0, 故选A. 6.D　易得焦点为F(1,0),准线方程为x=-1. 若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=1, 由解得y=±2,则AB=4,不符合题意, 所以直线l的斜率存在,设l的方程为y=k(x-1). 由消去y,化简得k2x2-(2k2+4)x+k2=0①, Δ=[-(2k2+4)]2-4k4=16k2+16>0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=, 则AB=x1+x2+2=4+=16,故k2=,解得k=±, 不妨取k=,A在第一象限,则直线l:y=(x-1),倾斜角为,所以∠MAF=,∠MAP=, ①式为=0,即x2-14x+1=0,解得x1=, y1=, tan, 所以MP=MA·tan)=4, 则yP=y1-4=2,所以P(-1,2). 由于x1+x2=14,y1+y2=4,故,所以Q(7,2),所以PQ=8.故选D. 方法技巧　　　求解直线和抛物线相交所得弦长问题,一定要注意的是判断直线的斜率是否存在.如果直线过抛物线的焦点,则可用AB=x1+x2+p来进行求解,其他情况用AB=来进行求解. 7.ACD　将点A(1,1)代入x2=2py,得p=,所以抛物线的方程为x2=y,故准线方程为y=-,故A正确. kAB==2,所以直线AB的方程为y=2x-1,联立可得x2-2x+1=0,Δ=0,故直线AB与C相切,故B错误. 若l与y轴重合,则l与C只有一个交点,不合题意,舍去, 所以l的斜率存在,设其方程为y=kx-1,P(x1,y1),Q(x2,y2), 联立得x2-kx+1=0,所以 所以k>2或k<-2,y1y2=(x1x2)2=1, 又OP=, 所以OP·OQ==|k|>2=OA2,故C正确. 因为BP=|x2|, 所以BP·BQ=(1+k2)|x1x2|=1+k2>5, 又BA2=12+[1-(-1)]2=5,故D正确.故选ACD. 8.ABC　对于A,易知椭圆的右焦点为(1,0),即抛物线C的焦点F(1,0),可得p=2,所以抛物线的标准方程为y2=4x,故A正确. 对于B,当直线AB的斜率不存在时,易得AB=2p=4,MF=2,所以=2; 当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2), 由消去y得k2x2-2(k2+2)x+k2=0, 则Δ=16(k2+1)>0,x1+x2=,x1x2=1, 可得AB=x1+x2+2=, 易知直线FM的方程为y=-(x-1), 由可得M, 则MF=,可得>2,故的最小值为2,故B正确. 对于C,由抛物线定义知AA'=AF,BB'=BF,则∠AA'F=∠AFA',∠BB'F=∠BFB', 又因为AA'∥OF∥BB',所以∠AA'F=∠A'FO,∠BB'F=∠B'FO, 可得∠A'FB'=(∠AFA'+∠A'FO+∠BFB'+∠B'FO)=90°,　　 故△A'FB'为直角三角形,故C正确. 对于D,当直线AB的斜率不存在时,AB=2p=4,MF=2,可得S△ABM=AB·MF=4; 当直线AB的斜率存在时,由B知AB=, 可得S△ABM=AB·MF=,显然不为定值,故△ABM的面积不为定值,故D错误. 故选ABC. 9.答案　 解析　易得圆C的圆心为C(3,0),半径为1, 则四边形APBC的面积S=AB·PC=2S△APC=2××AP·AC=AP,所以AB=, 在Rt△PAC中,AP=, 所以AB=, 设P(x0,y0),由点P在抛物线上,可得=4x0,则PC2=(x0-3)2+-2x0+9=(x0-1)2+8, 当x0=1时,PC2取得最小值,最小值为8,所以AB的最小值为2. 10.解析　(1)因为抛物线C:y2=ax(a>0)的焦点F到其准线的距离为2,所以=2,解得a=4. 所以抛物线方程为y2=4x, 设直线l的方程为y=kx+1, 联立消y得k2x2+(2k-4)x+1=0,由已知得方程有两个不等的实数解, 故k2≠0,且Δ=(2k-4)2-4k2>0,解得k<1且k≠0. 所以直线l的斜率的取值范围为(-∞,0)∪(0,1). (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)知x1+x2=, 易知AF+BF=x1+x2+2=8, 所以+2=8,即3k2+k-2=0,解得k=-1或k=,所以直线l的方程为y=-x+1或y=x+1. 11.解析　(1)由已知得抛物线的焦点F(1,0),直线AB的方程为y=2(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得x2-3x+1=0,则x1+x2=3, 所以AB中点M的横坐标为,纵坐标为2×=1,即M, 直线CD的方程为y=-(x-1),设C(x3,y3),D(x4,y4), 联立得x2-18x+1=0,则x3+x4=18, 所以CD中点N的横坐标为9,纵坐标为-×(9-1)=-4,即N(9,-4), 所以kMN=-,直线MN的方程为y+4=-(x-9), 化简得直线MN的方程为2x+3y-6=0. (2)设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),E(x,y), 联立得k2x2-(2k2+4)x+k2=0, 得x1+x2=, 所以AB中点M的横坐标为1+,纵坐标为k1+-1=,即M, 将k换成-得N(1+2k2,-2k), 则MN的中点E的坐标为, 即x=1+-k,得y2=x-3, 所以线段MN的中点E的轨迹方程为y2=x-3. 12.解析　(1)(1,1)=(1,2),即R(1,2), 把R(1,2)代入y2=2px中,解得p=2. 所以抛物线E的标准方程为y2=4x. (2)设过Q且斜率存在的直线方程为y-4=k(x-1),联立消去x,得ky2-4y+16-4k=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=, 易得直线BP的方程为,与y2=4x联立,消去x,得(y2-1)y2-(-4y2=0, 设C(x3,y3),则有y2y3=,得y3=, 则直线AC的方程为,即,得(y-y1), 则=4x+4,所以直线AC恒过定点(-1,0). 方法总结　　　解答直线与抛物线的题目时,时常把两个曲线的方程联立,消去x(或y)建立一元二次方程,然后借助根与系数的关系,并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.涉及直线方程的设法时,务必考虑全面,不要忽略直线斜率为0或不存在的特殊情形.强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力,重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题. 21 学科网（北京）股份有限公司 $$