3.2.2 双曲线的几何性质（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（苏教版2019）

3.2.2　双曲线的几何性质 基础过关练 题组一　根据双曲线的标准方程研究其几何性质 1.双曲线4x2+ky2=4k的虚轴长是实轴长的2倍,则实数k的值是(　　) A.16　　　　B. 2.(多选题)已知双曲线C:=1,则下列说法正确的是(　　) A.C的实轴长为2 B.若C的两条渐近线相互垂直,则m=2 C.若C的一个焦点为(2,0),则m=2 D.若m=2,则C上的点到焦点距离的最小值为2 3.(多选题)设F1,F2分别是双曲线C:=1的左、右焦点,且F1F2=4,则下列结论正确的有(　　) A.m=2 B.存在实数t,使直线y=2x+t与双曲线的左、右两支各有一个交点 C.C的虚轴长是 D.C的离心率是 题组二　由双曲线的几何性质求其标准方程 4.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的斜率为-2,实轴长为4,则C的标准方程为(　　) A.y2-=1 C.=1 5.(教材习题改编)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的渐近线方程为x±2y=0,且C过点(4,1),则C的方程为(　　) A.=1 C.=1 6.与椭圆C:=1共焦点且过点P(2,)的双曲线的标准方程为(　　) A.=1 C.=1 7.已知双曲线E:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,斜率为2的直线l与E的一条渐近线垂直,且交E于A,B两点,|AF2-AF1|=4. (1)求E的方程; (2)设点P为线段AB的中点,求直线OP的方程. 题组三　双曲线的渐近线 8.若双曲线C:=1的一条渐近线与直线l:3x+2y-2=0相互垂直,则C的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积S=(　　) A.2　　　　D.8 9.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过F作C的一条渐近线l的垂线,垂足为A,且A在第一象限,并与C交于点B,若,则l的斜率为　　(　　) A.2　　　　B.1　　　　C. 10.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的虚轴的一个端点为D,F1,F2分别是C的左、右焦点,直线x=2a与C交于A,B两点.若△ABD的重心在以F1F2为直径的圆上,则C的渐近线方程为(　　) A.y=±x C.y=±x 11.(多选题)已知双曲线C过点(3,),且渐近线方程为y=±x,则下列结论正确的是(　　) A.双曲线C的方程为-y2=1 B.双曲线C的离心率为 C.曲线y=ex-2-1经过双曲线C的一个焦点 D.焦点到渐近线的距离为1 题组四　双曲线的离心率 12.过双曲线=1(a>0,b>0)的右顶点作x轴的垂线与两渐近线交于两点,这两个点与双曲线的左焦点恰好是一个正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为(　　) A.　　　　D.4 13.设F1,F2是椭圆C1:=1(a1>b1>0)与双曲线C2:=1(a2>0,b2>0)的公共焦点,曲线C1,C2在第一象限内交于点M,∠F1MF2=60°,若椭圆的离心率e1∈,则双曲线的离心率e2的取值范围是(　　) A.(1,] C.[,+∞) 14.已知F1,F2分别是双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F1且倾斜角为30°的直线与双曲线的左、右两支分别交于点A,B.若AF2=BF2,则双曲线C的离心率为(　　) A. 15.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0). (1)若双曲线C为等轴双曲线,且过点P(2,),求双曲线C的方程; (2)经过原点O且倾斜角为45°的直线l与C的右支交于点M,△OMF是以线段OF为底边的等腰三角形,求双曲线C的离心率. 能力提升练 题组　双曲线的几何性质及其应用 1.若双曲线C:=1(a>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则双曲线C的焦距为(　　) A.8　　　　B.10　　　　C.12　　　　D.16 2.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为x-2y=0,左焦点在直线x+y+=0上,A,B分别是左、右顶点,点P为右支上位于第一象限的动点,直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,则k1+k2的取值范围为(　　) A.[2,+∞)　　　　B.(,+∞)　　　　C.(2,+∞)　　　　D.(1,+∞) 3.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过F作直线分别与双曲线的两条渐近线相交于A、B两点,且,则该双曲线的离心率为(　　) A. 4.已知F1,F2是椭圆与双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且PF1>PF2,线段PF1的垂直平分线过F2,若椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,则的最小值为(　　) A. 5.已知F1,F2分别是双曲线Γ:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线分别交双曲线左、右两支于A,B两点,点C在x轴上,,BF2平分∠F1BC,则双曲线Γ的渐近线方程为(　　) A.y=±x C.y=±x 6.已知圆C1:x2+y2=b2(b>0)与双曲线C2:=1(a>0,b>0),在C2上存在一点P,过点P作圆C1的两条切线,切点分别为A、B,且∠APB=,则双曲线C2的离心率的取值范围是(　　) A. B. C.(1,] D.[,+∞) 7.(多选题)过双曲线C:=1的右焦点作直线l与该双曲线交于A、B两点,则(　　) A.存在四条直线l,使AB=6 B.存在直线l,使弦AB的中点为(4,1) C.与该双曲线有相同渐近线且过点(8,10)的双曲线的标准方程为=1 D.若A,B都在该双曲线的右支上,则直线l斜率的取值范围是 8.(多选题)随着我国航天科技的快速发展,双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要的作用,双曲线的光学性质是:从双曲线的一个焦点发出的光线,经双曲线反射后,反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得,过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知F1,F2分别为双曲线C:-y2=1的左、右焦点,过C右支上一点A(x0,y0)(x0>2)作直线l交x轴于M,交y轴于点N,则(　　) A.C的渐近线方程为y=±x B.过点F1作F1H⊥AM于H,则OH=2 C.点N的坐标为 D.四边形AF1NF2的面积的最小值为2 9.已知双曲线C:x2-2y2=1的左、右顶点分别为A,B,点P(x,y)是双曲线C在第一象限内的点,则的取值范围为　　　　.  10.设双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点为F,a2+b2=1,O为坐标原点,过F的直线l与C的右支交于A,B两点. (1)若b<,求C的离心率e的取值范围; (2)若∠AOB恒为锐角,求C的实轴长的取值范围. 11.已知椭圆C1:+y2=1与双曲线C2:=1(a>0,b>0)有共同的左、右焦点F1,F2,且双曲线的实轴长为2. (1)求双曲线C2的标准方程; (2)若曲线C1与C2在第一象限内的交点为P,求证:∠F1PF2=90°; (3)过右焦点F2的直线l与双曲线C2的右支交于A,B两点,与椭圆C1交于C,D两点,记△AOB,△COD的面积分别为S1,S2,求的最小值. 答案与分层梯度式解析 3.2.2　双曲线的几何性质 基础过关练 1.C　双曲线方程可化为=1,易知k<0,所以双曲线的焦点在y轴上,且a2=4,b2=-k,所以2a=4,2b=2,又因为虚轴长是实轴长的2倍,所以2×4=2,解得k=-16.故选C. 2.BC　由题意知a=,则实轴长为2a=2,A错误; 渐近线方程为y=±x,若两条渐近线相互垂直,则-=-1,∴m=2,B正确; 由(2,0)为焦点,知c=2,则2+m=c2=4,得m=2,C正确; 若m=2,则双曲线C:=1,故C上的点到焦点距离的最小值为c-a=2-,D错误. 故选BC. 3.AD　由于双曲线的焦点在x轴上,所以m>0, 由于F1F2=4,所以2c=4,c=2,则m+m=c2=4,故m=2,A正确; 由m=2得双曲线的方程为=1,则a=b=,所以虚轴长为2,离心率为,故C错误,D正确; 易得渐近线的方程为y=±x,斜率为±1,由于直线y=2x+t的斜率为2>1,所以不存在实数t,使直线y=2x+t与双曲线的左、右两支各有一个交点,B错误. 故选AD. 4.C　由题意知双曲线的焦点在y轴上,2a=4,-=-2,即a=2,b=1,故C的标准方程为-x2=1.故选C. 5.B　因为双曲线C的渐近线方程为x±2y=0, 所以可设C的方程为x2-4y2=λ(λ≠0),把点(4,1)代入得λ=42-4×1=12, 所以C的方程为x2-4y2=12,即=1.故选B. 方法技巧　　　若题目中已知双曲线的渐近线方程为Ax±By=0,求双曲线的标准方程时,标准方程可设为A2x2-B2y2=m(m≠0,A>0,B>0),再代入某点坐标求解. 6.C　解法一:易得椭圆C中c=3,记F1(-3,0),F2(3,0),所以|PF1-PF2|=|=2a, 所以a=,所以b=,所以双曲线的标准方程为=1,故选C. 解法二:由题意可设双曲线的标准方程为=1(16<λ<25), 把点P(2,)代入,得=1,解得λ=22或λ=13(舍去), ∴双曲线的标准方程为=1. 方法技巧　　　与椭圆=1(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可设为=1(b2<λ<a2),再代入某点坐标可确定双曲线的标准方程. 7.解析　(1)因为|AF2-AF1|=4,所以2a=4,即a=2. 因为斜率为2的直线l与E的一条渐近线垂直, 所以-,所以b=1, 所以E的方程为-y2=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则P=2,则kOP=, 又点A,B在双曲线E上,所以 两式相减得=0, 两边同时除以(x2-x1)(x2+x1),并整理得kOP·kAB=. 又kAB=2,a=2,b=1,所以kOP=,所以直线OP的方程为y=x. 8.C　由题意得双曲线的这条渐近线方程为2x-ay=0,由两直线垂直得2×3-2a=0,解得a=3,∴c2=a2+b2=13,∴双曲线的焦点坐标为(,0),易知虚轴的一个顶点坐标为(0,2),∴S=.故选C. 9.B　由题意得渐近线l的方程为y=x,即bx-ay=0,点F(c,0),则FA==b, 因为,所以B为线段AF的中点,则BF=, 设双曲线C的左焦点为F1,则BF1=2a+, 在△BFF1中,cos∠BFF1=, 又AF⊥OA,所以cos∠BFF1=,所以a=b,故l的斜率为1,故选B. 10.D　由题意知虚轴的端点为(0,±b),不妨取D(0,b),A在x轴上方, 联立则A(2a,b), 所以△ABD重心的坐标为,即, 易得以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2, 因为△ABD的重心在以F1F2为直径的圆上,所以=c2=a2+b2,所以,所以C的渐近线方程为y=±x.故选D. 11.ACD　设双曲线C的方程为Ax2+By2=1(AB<0),将点(3,)代入可得9A+2B=1①, 因为渐近线方程为y=±x,所以±,所以②. 由①②解得A=,B=-1,故双曲线的方程为-y2=1,A正确. 由A可知a=,b=1,c=2,所以离心率e=,B错误. 双曲线的焦点坐标为(±2,0),其中(2,0)在双曲线y=ex-2-1上,C正确. 焦点(2,0)到渐近线x±3y=0的距离为=1,D正确.故选ACD. 12.B　双曲线的渐近线方程为y=±x,令x=a,得y=±b, 不妨取A(a,-b),B(a,b),左焦点为F1(-c,0), ∵△ABF1为正三角形, ∴,即=3,即=3,∴4a=2c,∴e=2.故选B. 13.B　不妨设F1(-c,0),F2(c,0),由椭圆及双曲线的定义得 在△MF1F2中,由余弦定理得4c2=(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)(a1-a2)cos 60°=, 两边同时除以c2得=4, 因为e1∈,所以,所以∈(1,3],所以∈[1,3),则e2∈(1,]. 故选B. 14.A　过F2作F2N⊥AB于点N(图略), 设AF2=BF2=m,则AF1=m-2a,BF1=2a+m, ∴AB=BF1-AF1=4a,AN=2a,F1N=m, 由题意知∠BF1F2=30°,∴在Rt△F1NF2中,F2N=F1F2sin 30°=c,F1N=F1F2cos 30°=c, 在Rt△ANF2中,AN2+N, 即(2a)2+c2=(c)2,即2c2=4a2,∴e=.故选A. 15.解析　(1)由题意可知a=b, 把点P(2,)代入方程得=1,解得a2=1,故双曲线C的方程为x2-y2=1. (2)解法一: 易知△OMF是等腰直角三角形,OF=c, 过M作MA⊥x轴于点A,则A, 设左焦点F1(-c,0),由双曲线的定义知MF1-MF=2a, ∴2a=c,故e=. 解法二:同解法一得M, ∵点M在C上, ∴=1,即=4,整理得e4-6e2+4=0,解得e2=3±, ∵e>1,∴e=. 能力提升练 1.A　易知双曲线的渐近线方程为y=±x,不妨设直线y=x,即ax-2y=0被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,所以圆心(2,0)到直线ax-2y=0的距离为,解得a2=12,又a2+4=c2,所以c2=16,c=4,故该双曲线的焦距为2c=8.故选A. 2.D　由双曲线的一条渐近线方程为x-2y=0,得a=2b, 在x+y+=0中,令y=0,得x=-,故左焦点为(-,0),则c=,结合c2=a2+b2得a=2,b=1, 故A(-2,0),B(2,0),设P(x,y),x>2,y>0,则k1·k2=, 因为P在第一象限内,所以k1>0,k2>0,则k1+k2≥2=1,显然k1≠k2,故等号不成立,即k1+k2>1.故选D. 3.B　由题意得双曲线的右焦点为F(c,0),渐近线方程为bx±ay=0, ∵=0,∴OB⊥BF,故F到渐近线的距离为BF==b, ∴OB==a,AB=2BF=2b, 则tan∠AOB=,tan∠FOB=,tan 2∠FOB=, 由∠AOB=π-2∠FOB,得tan∠AOB+tan 2∠FOB=0,即=0,解得=2, 则=3,∴离心率e=.故选B. 4.C　设椭圆的长轴长为2a1(a1>0),双曲线的实轴长为2a2(a2>0),由题意可知F1F2=F2P=2c,不妨设点P在第一象限内, 由椭圆及双曲线的定义得F1P+F2P=2a1,F1P-F2P=2a2,∴F1P+2c=2a1,F1P-2c=2a2,两式相减,可得4c=2a1-2a2,即a1-a2=2c, 则≥4+2=6,当且仅当,即c=2a2时取等号,∴的最小值为6,故选C. 5.D　因为,所以△F1AF2∽△F1BC. 在双曲线中,易知F1F2=2c,则F2C=6c,设AF1=t,则BF1=4t,AB=3t. 由BF2平分∠F1BC及角平分线定理可知, 所以BC=3BF1=12t,所以AF2=BC=3t. 由双曲线定义知AF2-AF1=2a,即3t-t=2a,解得t=a. 由BF1-BF2=2a,得BF2=4t-2a=2t=2a, 所以AB=AF2=3a,即△ABF2是等腰三角形. 由余弦定理知cos∠F1BF2=, 即,化简得11a2=3c2,所以8a2=3b2,则双曲线Γ的渐近线方程为y=±x.故选D. 6.B　连接OB,OA,OP,则OA⊥AP,由切线长定理可知PA=PB,易证得△AOP≌△BOP, 所以∠APO=∠BPO=∠APB=,则OP=2OA=2b, 设P(x,y),且|x|≥a,则y2=-b2, OP=2b==a, 所以,故e=, 故选B. 7.ACD　由已知得a=2,b=,c=3,对于A,双曲线的通径为=5<6,实轴长为2a=4<6,故有四条直线l满足题意,故A正确. 对于B,假设存在满足题意的直线l,设其方程为y-1=k(x-4),与=1联立,得(5-4k2)x2+(32k2-8k)x-64k2+32k-24=0,易知Δ>0恒成立. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,y1+y2=k(x1-4)+1+k(x2-4)+1=k·,又AB的中点为(4,1), 所以所以k=5,所以l的方程为y-1=5(x-4),由于右焦点(3,0)不在该直线上,故不存在这样的直线l,故B错误. 对于C,设与该双曲线有相同渐近线的双曲线的方程为=λ(λ≠0), 把点(8,10)代入得λ=-4,所以该双曲线的标准方程为=1,故C正确. 对于D,设直线l的方程为x=my+3. 联立得(5m2-4)y2+30my+25=0,易知Δ>0恒成立. 设A(xA,yA),B(xB,yB),则yA+yB=. 若A、B都在该双曲线的右支上,则yAyB=<0, 即5m2-4<0,解得,即直线l的斜率的取值范围是,故D正确.故选ACD. 解后反思　　　求解本题要熟记两个结论:一是双曲线的通径,即过双曲线的焦点作垂直于实轴的直线,该直线被双曲线截得的弦叫通径,其长为,它是过双曲线焦点的弦中最短的一条;二是与双曲线=1(a>0,b>0)共渐近线的双曲线方程可设为=λ(λ≠0,a>0,b>0). 8.ABD　对于A,由已知可得a=2,b=1,所以双曲线的渐近线方程为y=±x,故A正确. 对于B,易得kAM=, 所以直线AM的方程为y=, 联立化简得x2-2x0x+=0,由于Δ=4=0,所以直线AM为双曲线的切线. 由双曲线的光学性质可知AM平分∠F1AF2, 延长F1H与AF2交于点E(图略),则AH垂直平分F1E,即H为F1E的中点. 又O是F1F2的中点,所以OH=(AF1-AF2)=a=2,故B正确. 对于C,设N(0,yN),则, 整理可得-yN+4yN=4y0. 又=1,所以,所以-(4+4)yN+4yN=4y0,解得yN=-,所以N,故C错误. 对于D,, 当且仅当|y0|=,即y0=±1时,等号成立. 所以四边形AF1NF2的面积的最小值为2,故D正确. 故选ABD. 9.答案　(,+∞) 解析　由双曲线方程可知A(-1,0),B(1,0), 则kPB=, ∵点P(x,y)在双曲线上, ∴x2-2y2=1, ∴kPA·kPB=,且有kPA>0,kPB>0, 令kPA=m,则kPB=(m>0), 则+m≥2,当且仅当m=,即m=时等号成立, ∵双曲线渐近线的斜率为±,∴m≠, ∴的取值范围为(,+∞). 10.解析　(1)因为b<,所以b2<,因为a2+b2=1,所以c=1,a2=1-b2>,所以a>, 则e=,又e>1, 所以C的离心率e的取值范围是(1,). (2)易知F(1,0),直线l的斜率不为0,所以可设其方程为x=my+1. 联立得[a2(m2+1)-m2]y2+2m(a2-1)·y-(a2-1)2=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=, 由于A,B两点均在C的右支上,故y1y2<0,即a2(m2+1)-m2>0,即m2<. 则=x1x2+y1y2=(my1+1)(my2+1)+y1y2 =(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+1=(m2+1)·+m·+1 =. 由∠AOB恒为锐角,得>0,即m2a2(1-a2)-a4+3a2-1>0恒成立. 由于a2(1-a2)>0,所以只需-a4+3a2-1>0成立即可, 解得, 结合0<a<1,可知a的取值范围是. 所以C的实轴长的取值范围是(-1,2). 11.解析　(1)因为椭圆C1:+y2=1与双曲线C2:=1(a>0,b>0)有共同的左、右焦点F1,F2,且双曲线的实轴长为2, 所以 故双曲线C2的标准方程为-y2=1. (2)证明:联立所以点P,易知F1(-,0), 则,则=0,∴∠F1PF2=90°. (3)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).当直线l的斜率不存在时,易得AB=,CD=1,此时. 当直线l的斜率存在时,设其方程为y=k(x-),与椭圆方程联立,消去y,得(1+4k2)x2-8k2x+12k2-4=0, 则x3+x4=, 由弦长公式得CD=.把直线方程y=k(x-)与双曲线方程联立,消去y,得(1-2k2)x2+4k2x-6k2-2=0, 则x1+x2=, 由弦长公式得AB=.因为直线l与双曲线C2的右支交于A,B两点,所以解得k2>,故AB=. 设原点到直线l的距离为d, ∴∈(,+∞). 综上可知,. 21 学科网（北京）股份有限公司 $$