3.2.1 双曲线的标准方程（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（苏教版2019）

3.2　双曲线 3.2.1　双曲线的标准方程 基础过关练 题组一　双曲线的定义及其应用 1.(多选题)设P为双曲线=1上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,若PF1=10,则PF2=(　　) A.2　　　　B.4　　　　C.18　　　　D.16 2.已知动圆C与圆C1:(x-3)2+y2=4外切,与圆C2:(x+3)2+y2=4内切,则动圆圆心C的轨迹方程为(　　) A.圆　　　　B.椭圆 C.双曲线　　　　D.双曲线的一支 3.已知F1,F2为椭圆=1(b1>0)和双曲线x2-=1(b2>0)的公共焦点,P为它们的一个公共点,且∠F1PF2=,则△PF1F2的面积为(　　) A. 4.已知双曲线C:=1的左焦点为F,点P是C右支上的一点,点M是圆E:x2+(y-2)2=1上的一点,则PF+PM的最小值为(　　) A.5　　　　B.5+2　　　　C.7　　　　D.8 题组二　双曲线的标准方程及其应用 5.(多选题)已知方程=1表示曲线C,则下列结论 正确的是(　　) A.当1<t<4时,曲线C是椭圆 B.当t>4或t<1时,曲线C是双曲线 C.若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,则1<t< D.若曲线C是焦点在y轴上的双曲线,则t>4 6.已知F1,F2分别是双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,且F1(-,0),过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A,B.若△ABF2为等边三角形,则双曲线的方程为(　　) A.-y2=1 C.x2-=1 7.已知m,b为实数,经过点P=1与双曲线x2-=1有相同的焦点,则b=　　　　.  8.求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)c=6,焦点在x轴上,且过点(-5,2); (2)与椭圆=1有公共焦点,且满足; (3)经过两点(-7,-6,-3). 题组三　直线与双曲线的位置关系 9.已知双曲线E:-y2=1,直线l:y=kx+1,若直线l与双曲线E的两个交点分别在双曲线的两支上,则k的取值范围是(　　) A.k<-或k> C.k<-或k> 10.直线l与双曲线x2-=1交于A、B两点,线段AB的中点为M(3,2),则直线l的斜率为(　　) A.3　　　　B.6　　　　C.8　　　　D.12 11.写出满足下列两个条件的一个双曲线C的方程:　　　　　　.  ①焦距为4;②直线y=x-3与C的一支有2个公共点. 12.已知O为坐标原点,A(1,0),B(-1,0),直线AM,BM的斜率之积为4,记动点M的轨迹为E. (1)求E的方程; (2)直线l经过点(0,-3),与E交于P,Q两点,线段PQ的中点D在第一象限,且纵坐标为,求△OPQ的面积. 题组四　双曲线方程在实际生活中的应用 13.单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一.如图1,俗称小蛮腰的广州塔的外形就是单叶双曲面,可看成是双曲线的一部分绕其虚轴在标准方程=1中,令x=0,得y2=-b2,在y轴上画出B1(0,b),B2(0,-b),则B1B2为虚轴所在直线旋转所形成的曲面.某市计划建造类似于广州塔的地标建筑,如图2,已知该建筑最细处的直径为100 m,下底面的直径为50 m,上底面的直径为50 m,最细处距下底面300 m,则该地标建筑的高为(　　) 图1　　图2 A.350 m　　　　B.375 m　　　　C.400 m　　　　D.450 m 14.如图,某野生保护区监测中心设置在点O处,正西、正东、正北处有3个监测点A,B,C,且OA=OB=OC=30 km,一名野生动物观察员在保护区遇险,发出求救信号,3个监测点均收到求救信号,A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早 s(注:信号每秒传播v0 km). (1)求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程; (2)若C点信号失灵,现立即以C为圆心进行“圆形”红外扫描,为保证有救援希望,扫描半径r至少是多少千米? 能力提升练 题组一　双曲线的定义、标准方程及应用 1.已知等轴双曲线的焦距为8,左、右焦点分别为F1,F2,中心在坐标原点,点A的坐标为(5,),P为双曲线右支上一动点,则PF1-PA的最大值为注:若双曲线=1(a>0,b>0)为等轴双曲线,则a=b(　　) A.2+4 2.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,点P是双曲线C上的一点,OP=OF2,且△POF1的面积为4,则实数b=(　　) A.　　　　D.4 3.已知双曲线C:=1(a>0,b>0),O为坐标原点,F1,F2为C的两个焦点,点P为双曲线上一点,若PF1=3PF2,OP=b,则双曲线C的方程可以为(　　) A.=1 C.=1 4.已知F1,F2分别是双曲线-y2=1的左、右焦点,P为双曲线右支上任意一点(不在x轴上),若△PF1F2的内切圆的圆心为I,则圆心I到圆x2+(y-1)2=1上任意一点的距离的最小值为(　　) A.2　　　　B.-2 5.已知F1,F2是双曲线E:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P在E上,且∠F1PF2=,D是线段F1F2上的点,且F1D∶F2D=1∶2,PD=4,则当△PF1F2的面积最大时,双曲线E的方程是(　　) A.=1 C.=1 6.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的焦距为10,左、右焦点分别为F1,F2,点A在C上且AF2⊥x轴,△AF1F2的面积为,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围是　　　　.  题组二　直线与双曲线的位置关系 7.若方程=2x+m有实数解,则实数m的取值范围是(　　) A.[-3,0)∪[2,+∞)　　　　 B.[-3,0)∪(0,3] C.(-∞,-]∪[2,+∞)　　　　 D.(-∞,-2]∪[2,+∞) 8.(多选题)已知曲线C:=1(m≠0),则下列说法正确的是(　　) A.若曲线C为椭圆,则m<0且m≠-4 B.若m=5,则以(1,1)为中点的弦AB所在直线的方程为5x-4y-1=0 C.当m<-4时,F1,F2为曲线C的焦点,P为曲线C上一点,且PF1⊥PF2,则=4 D.若m>0,直线l过曲线C的焦点F且与曲线相交于A,B两点,则 9.已知直线2x-y-2=0与双曲线C:x2-y2=1交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,P(x3,y3)为C上一点,且x1<x3<x2,y1<y3<y2,则△PAB面积的最大值为　　　　.  10.已知双曲线C:x2-=1. (1)若C与直线l:y=kx+m(k≠±)有唯一的公共点,点Q(2,3)在l上,求l的方程; (2)设点F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,E为双曲线右支与x轴的交点,过点F2的直线与双曲线C的右支交于A,B两点(其中点A在第一象限),设M,N分别为△AF1F2,△BF1F2的内心. ①点M,N的横坐标是不是定值?若是,求出横坐标的值;若不是,请说明理由; ②求的取值范围. 11.已知双曲线Γ:=1(a>0,b>0)的焦距为4,且过点P. (1)求双曲线Γ的方程; (2)过双曲线Γ的左焦点F分别作斜率为k1,k2的直线l1与l2,直线l1交双曲线Γ于A,B两点,直线l2交双曲线Γ于C,D两点,设M,N分别为AB与CD的中点,若k1·k2=-1,试求△OMN与△FMN的面积之比. 答案与分层梯度式解析 3.2　双曲线 3.2.1　双曲线的标准方程 基础过关练 1.AC　由双曲线的方程知a2=16,即a=4, 由双曲线的定义可得|PF2-PF1|=2a=8, 所以|PF2-10|=8,即PF2-10=±8, 当PF2-10=8时,PF2=18, 当PF2-10=-8时,PF2=2, 所以PF2的长为2或18.故选AC. 2.D　设动圆C的圆心C(x,y),半径为r,圆C1的圆心为C1(3,0),半径为2,圆C2的圆心为C2(-3,0),半径为2, 由题意可得所以CC1-CC2=4或CC1+CC2=4, 由CC1+CC2≥C1C2=6,知CC1+CC2=4不合题意, 所以CC1-CC2=4<6=C1C2, 根据双曲线的定义知点C的轨迹是以C1,C2为焦点的靠近C2的双曲线的一支.故选D. 3.C　由已知得焦点在x轴上,不妨设F1,F2分别为左、右焦点,点P在第一象限,则由椭圆的定义可知PF1+PF2=2①,由双曲线的定义可知PF1-PF2=2②, 由①②得PF1=-1, 故PF1·PF2sin,故选C. 4.C　由已知得F(-2),记双曲线C的右焦点为F1,则F1(2,0),所以PF+PM=PF1+PM+4≥PF1+PE+4-1≥EF1+3=+3=7,当且仅当点P为线段EF1与双曲线C的交点时,取到最小值.故选C. 5.BCD　对于A,由于曲线C是椭圆,所以解得1<t<4且t≠,故A错误; 对于B,由于曲线C是双曲线,所以(4-t)(t-1)<0,解得t>4或t<1,故B正确; 对于C,由于曲线C是焦点在x轴上的椭圆,所以4-t>t-1>0,解得1<t<,故C正确; 对于D,由于曲线C是焦点在y轴上的双曲线,所以解得t>4,故D正确.故选BCD. 6.C　根据双曲线的定义,有AF2-AF1=2a①,BF1-BF2=2a②, 由于△ABF2为等边三角形,因此AF2=AB=BF2,由①+②,得BF1-AF1=4a,则AB=AF2=BF2=4a,BF1=6a, 又因为∠F1BF2=60°,所以(2c)2=(6a)2+(4a)2-2×6a×4a×,即7a2=c2=7,解得a2=1, 则b2=c2-a2=6,所以双曲线的方程为x2-=1. 故选C. 7.答案　1 解析　因为点P=1上, 所以=1,解得m=8, 所以椭圆方程为=1, 又椭圆=1与双曲线x2-=1有相同的焦点, 所以10-8=1+b,解得b=1. 8.解析　(1)由题意可设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0). 因为双曲线过点(-5,2),所以=1, 又c2=a2+b2=36,所以a2=20,b2=16, 故所求双曲线的标准方程为=1. (2)解法一:由椭圆的标准方程知c2=12-3=9, ∴c=3, ∵双曲线与椭圆共焦点,∴双曲线中c=3, 由题意知双曲线中b=a,结合a2+b2=c2,得a2+=9,解得a2=4,b2=5. 所以双曲线的方程为=1. 解法二:设双曲线的方程为=1(3<λ<12),则,解得λ=8. 所以双曲线的方程为=1. (3)设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0), 把点(-7,-6,-3)代入,得所以双曲线的方程为x2-=1. 方法技巧　　　1.与椭圆=1(a>b>0)有公共焦点的双曲线方程可设为=1(b2<λ<a2);与双曲线=1(a>0,b>0)有公共焦点的双曲线方程可设为=1(-b2<λ<a2). 2.当不能确定双曲线的焦点位置时,可设其方程为mx2+ny2=1(mn<0),这种设法可避免对焦点位置的讨论. 9.B　由消去y并整理得(1-3k2)x2-6kx-6=0, 由直线l与双曲线E的两个交点分别在双曲线的两支上, 得解得-, 所以k的取值范围是-. 故选B. 10.B　设A(x1,y1),B(x2,y2), 则两式相减可得(x1+x2)(x1-x2)-=0,化简得=4①, ∵AB的中点为M(3,2),∴x1+x2=6,y1+y2=4,故①式可变为=6,即kAB=6. 检验:当kAB=6时,直线l:y-2=6(x-3),即y=6x-16,联立消去y,得8x2-48x+65=0,此时Δ=(-48)2-4×8×65>0,l与双曲线有2个交点,满足题意.故选B. 易错警示　　　使用点差法求解直线与圆锥曲线的中点弦问题时,要记得检验,通常用判别式对根的情况进行判断. 11.答案　=1或=1(答案不唯一) 解析　当双曲线的焦点在x轴上时,设其方程为=1(m>0,n>0), 因为焦距为4,所以m+n=(2)2=12,则=1,0<m<12, 要使直线y=x-3与C的一支有2个公共点,则直线y=x-3与C的右支有2个公共点,设2个公共点为A(x1,y1),B(x2,y2). 联立消去y得(12-2m)x2+6mx+m2-21m=0, 则 即解得6<m<或12<m<21(舍去); 当双曲线的焦点在y轴上时,设其方程为=1(m>0,n>0), 因为焦距为4,所以m+n=(2)2=12,则=1,0<m<12, 要使直线y=x-3与C的一支有2个公共点,则直线y=x-3与C的下支有2个公共点,设2个公共点为A(x1,y1),B(x2,y2). 联立消去x得(12-2m)y2-6my+m2-21m=0, 则 即解得6<m<或12<m<21(舍去). 综上,满足题意的双曲线C的方程为,其中6<m<. 12.解析　(1)设M(x,y),则kAM=,所以kAM·kBM==4,化简得x2-=1, 所以E的方程为x2-=1(x≠±1). (2)当直线PQ的斜率不存在时,显然不符合题意; 设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线PQ的方程为y=kx-3, 由得(4-k2)x2+6kx-13=0, 则Δ=36k2+52(4-k2)>0且4-k2≠0,解得k2<13且k2≠4, 由根与系数的关系得x1+x2=, 因为线段PQ的中点D在第一象限,且纵坐标为, 所以x1+x2==3,解得k=2或k=-2(舍去), 所以直线PQ的方程为y=2, 所以PQ=·|x1-x2| =, 又点O到直线PQ的距离d=, 所以△OPQ的面积S=. 解题模板　解决直线与双曲线相交问题的常用步骤 (1)设出直线方程和交点坐标,假设交点为A(x1,y1),B(x2,y2); (2)联立直线与双曲线方程,得到关于x(或y)的一元二次方程; (3)由根与系数的关系写出x1+x2,x1x2(或y1+y2,y1y2); (4)将所求问题或题中关系转化为含x1+x2,x1x2(或y1+y2,y1y2)的式子; (5)代入求解. 13.C　画出该地标建筑的轴截面,建立如图所示的直角坐标系, 由题意可得A(50,0),C(25,-300), 设B(25,y0)(y0>0),双曲线的方程是=1(a>0,b>0), 则a=50,=1,解得b2=20 000,所以双曲线的方程为=1, 将点B(25,y0)代入得=1,所以y0=100, 所以该地标建筑的高为300+100=400(m).故选C. 14.解析　(1)设观察员可能出现的位置为点P(x,y), 由题意得PB-PA=×v0=40<AB=60, 故点P的轨迹为双曲线的左支, 设双曲线方程为=1(a>0,b>0,x≤-a), 又2a=40,2c=60,所以b2=c2-a2=500, 故点P的轨迹方程为=1(x≤-20). (2)设轨迹上一点为M(x,y), 则MC=, 因为=1,所以x2=y2+400, 则MC=≥20,当且仅当y=时,MC取得最小值20, 故扫描半径r至少是20 km. 能力提升练 1.B　设等轴双曲线的方程为x2-y2=a2(a>0),因为焦距为8,所以c=4,故F2(4,0).而2a2=c2,所以a2=8, 故双曲线的标准方程为=1, 由双曲线的定义可知PF1-PA=PF2-PA+2a≤AF2+2a, 又AF2=, 故PF1-PA的最大值为AF2+2a=2+4,当且仅当P、A、F2三点共线且点P位于第一象限时取得最大值.故选B. 2.C　因为=4,所以=8. 又OP=OF2,所以OP=OF2=OF1=F1F2,所以△PF1F2为直角三角形,且PF1⊥PF2. 设PF1=m,PF2=n,所以|m-n|=2a,m2+n2=4c2, 所以mn==2b2, 所以mn=b2=8,又b>0,所以b=2.故选C. 3.B　设F1,F2分别为双曲线的下、上焦点, 过点P作PH⊥F1F2于点H(图略). 因为PF1=3PF2,PF1-PF2=2a,所以PF2=a, 因为OP=b,OF2=c,所以P,所以∠OPF2=90°,故OP·PF2=OF2·HP, 即HP·c,得HP=. 因为OH2+HP2=OP2,即OH2+=b2,所以OH=,故点P, 将P的坐标代入双曲线方程中,得=1,化简得b4-a4=a2c2,即b4-a4=a2(a2+b2), 所以b4-a2b2-2a4=0,则-2=0, 则=0, 解得=2或=-1(舍去),结合选项可知,选B. 4.C　设△PF1F2的内切圆分别与PF1,PF2,F1F2切于点A,B,M,则PA=PB,F1A=F1M,F2B=F2M.又点P在双曲线的右支上,∴PF1-PF2=2a,即(PA+F1A)-(PB+F2B)=2a, ∴F1M-F2M=2a①,又F1M+F2M=2c②, ∴由①+②,可得F1M=a+c,又OF1=c,故OM=a,则M(a,0),由双曲线的方程-y2=1知a=2, ∴内切圆圆心I在直线x=2上. 设I(2,y0),圆x2+(y-1)2=1的圆心为C,则C(0,1),∴CI=,当y0=1时,CI最小,且(CI)min=2, 此时圆心I到圆x2+(y-1)2=1上任意一点的距离的最小值为(CI)min-1=2-1=1.故选C. 5.C　(已知条件集中在△PDF1和△PDF2中,且∠PDF1和∠PDF2互补,考虑在两个三角形中用余弦定理求解) 设PF1=n,PF2=m,∠PDF1=α,F1D=x,则∠PDF2=π-α,F2D=2x, 在△PF1D中,由余弦定理得n2=x2+16-8xcos α①, 在△PF2D中,由余弦定理得m2=4x2+16-16xcos(π-α)=4x2+16+16xcos α②, ①×2+②得2n2+m2=6x2+48③,(两角互补,余弦值互为相反数,通过两式相加化简) 在△PF1F2中,由余弦定理得9x2=n2+m2-2mn·cos=n2+m2-mn④, ③④联立消去x得2n2+m2+mn=72, 因为mn,所以当△PF1F2的面积最大时,mn最大, 由基本不等式可得72=2n2+m2+mn≥2+mn=3mn, 当且仅当2n2=m2,即m=4时等号成立,此时mn取得最大值,为24. 将m=4代入④,得x=2(舍负),所以F1F2=6, 在双曲线中,有 所以双曲线E的方程为=1.故选C. 6.答案　 解析　由题意可知2c=10,则c=5,F1(-5,0),F2(5,0),设A(5,yA),把A的坐标代入双曲线方程得,所以yA=±, 则,得,又a2+b2=25,所以a2=16,b2=9, 故双曲线C的方程为=1, 设P(x0,y0),则=1(x0≥4), 所以PF1=x0+4,同理PF2=x0-4, 因为x0≥4,所以. 7.C　设y=,则x2-y2=1(y≥0),故y=表示双曲线x2-y2=1在y≥0的部分,如图, 方程=2x+m有实数解,可转化为曲线x2-y2=1(y≥0)与直线l:y=2x+m有交点, 当l过点(-1,0)或向上平移时,与曲线有交点, 当l过点(-1,0)时,0=-2+m,得m=2,当l向上平移时,有m>2,故m≥2; 当l和曲线位于y轴右侧部分相切或向下平移时,与曲线有交点, 当l与曲线位于y轴右侧部分相切时,联立得3x2+4mx+m2+1=0, 令Δ=16m2-12(m2+1)=0,得m=±,结合图形可知m=-, 当l向下平移时,有m<-,故m≤-. 综上,m∈(-∞,-]∪[2,+∞),故选C. 8.AC　易知A中说法正确; 对于B,当m=5时,方程为=1,与5x-4y-1=0联立,消去x可得4y2-8y+99=0,则Δ<0,可得直线AB与双曲线无交点,故B中说法错误; 对于C,当m<-4时,曲线C为焦点在y轴上的椭圆,a2=-m,b2=4,c2=-m-4, 由PF1⊥PF2,可得P=4c2, 又PF1+PF2=2a, 所以PF1·PF2==2b2,故×2b2=4,故C中说法正确; 对于D,当m>0时,曲线C为焦点在x轴上的双曲线,则a=2,b=, 当直线l的斜率为0时,设F(c,0),A(-a,0),B(a,0),故,故D中说法错误.故选AC. 9.答案　 解析　联立 ∵x1<x3<x2,y1<y3<y2,∴A(1,0),B, 此时AB=,为定值, 要使△PAB的面积最大,只需使点P到直线AB的距离最大. 设直线2x-y+t=0(t≠-2)与双曲线C相切于P点, 由消去y,化简得3x2+4tx+t2+1=0, 由Δ=16t2-12(t2+1)=4t2-12=0,解得t=-(正根舍去), 故切线方程为2x-y-=0, 直线2x-y-2=0与2x-y-=0之间的距离为, 所以△PAB面积的最大值为. 10.解析　(1)联立消去y,得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0(*), ∵直线与双曲线有唯一公共点,∴Δ=4k2m2+4(3-k2)(m2+3)=4(3m2+9-3k2)=0,∴k2=m2+3①, 又∵点Q(2,3)在直线l上,∴3=2k+m②, 由①②得k=2,m=-1,故直线l的方程为y=2x-1. (2)①设P为△AF1F2的内切圆与x轴的切点,由切线长性质知F1A-F2A=F1P-F2P=c+xP-(c-xP)=2xP=2a, ∴xP=a,∴P与E重合,∴xM=xP=a=1, 同理xN=xP=a=1,即M,N的横坐标是定值1. ②设∠MF2E=θ,则∠NF2E=-θ, ∴=-tan θ+. 当直线AB的斜率不存在时,满足题意,此时θ=. 当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=k'(x-2), 与x2-=1联立,得(3-k'2)x2+4k'2x-4k'2-3=0, ∴ ∴k'2>3,∴k'>或k'<-, 设直线AB的倾斜角为α,则α∈,此时θ∈. 综上,θ∈,tan θ∈. ∴=-tan θ+. 11. 思路分析　(1) a2,b2→双曲线方程 (2) 点M 点N→直线MN 面积比 解析　(1)由题意得2c=4,故c=2,所以a2+b2=4,① 因为点P在双曲线上,所以=1,② 由①②得a2=3,b2=1,所以双曲线的方程为-y2=1. (2)易知F(-2,0),则直线l1的方程为y=k1(x+2),A(x1,y1),B(x2,y2), 由得(1-3-3=0, 则x1+x2=,所以, 所以AB的中点M, 因为k1·k2=-1,所以可用-代替k1,得N, 当,即k1=±1时,直线MN的方程为x=-3,过点(-3,0),设为E. 当k1≠±1时,kMN=, 直线MN的方程为y-, 令y=0,得x==-3, 所以直线MN也过定点E(-3,0), 所以=3. 方法技巧　　　斜率之间存在特殊关系的两条直线与圆锥曲线相交,若已求得一条直线上具有某个特征的点的坐标,则另一条直线上具有相同特征的点的坐标可由已求得点的坐标进行斜率关系代换后得到,如本题中用-代换k1得到N的坐标. 26 学科网（北京）股份有限公司 $$