3.1.2 椭圆的几何性质（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（苏教版2019）

3.1.2　椭圆的几何性质 基础过关练 题组一　由椭圆的标准方程探究其几何性质 1.椭圆=1(m>0)的焦点为F1,F2,上顶点为A,若∠F1AF2=,则m=　　(　　) A.1　　　　B.　　　　D.2 2.椭圆=1和椭圆=1(0<k<9)有(　　) A.等长的长轴　　　　B.相等的焦距 C.相等的离心率　　　　D.等长的短轴 3.设AB是椭圆的长轴,点C在椭圆上,∠CBA=45°,AB=4,BC=,则椭圆的焦距为(　　) A. 4.(多选题)设椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的动点,则(　　) A.PF1+PF2=2 B.离心率e= C.短轴长为2,长轴长为2 D.∠F1PF2不可能是钝角 题组二　由椭圆的几何性质求标准方程 5.与椭圆=1有相同焦点,且满足短半轴长为2的椭圆方程是(　　) A.=1 C.=1 6.已知P是椭圆=1(a>b>0)上一点,F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,若△PF1F2的周长为6,且椭圆的离心率为,则椭圆的方程为(　　) A.+y2=1 C.=1 7.已知F,A分别为椭圆的一个焦点和短轴的一个端点,椭圆的长轴长是10,且cos∠OFA=,则椭圆的方程为(　　) A.=1或=1 C.=1或=1 8.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆C:=1(a>b>0)的面积是8π,长轴的一个端点与短轴的两个端点构成等边三角形,则椭圆的方程为(　　) A.=1 C.=1 题组三　求椭圆离心率的值(或范围) 9.已知椭圆=1(a>b>0)上存在点P,使得PF1=3PF2,其中F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则该椭圆的离心率的取值范围是(　　) A. 10.已知F1、F2是椭圆的两个焦点,满足=0的点M总在椭圆的内部,则椭圆离心率的取值范围是　　(　　) A. C. 11.已知椭圆C:=1(a>b>0),斜率为2的直线与椭圆交于M,N两点,且MN的中点坐标为(1,-1),则椭圆C的离心率是(　　) A. 12.在△ABC中,AC⊥BC,sin A=,以A,C为焦点且经过点B的椭圆的离心率记为e1,以B,C为焦点且经过点A的椭圆的离心率记为e2,则=　　　　.  题组四　椭圆几何性质的应用 13.如图,椭圆C:=1与x轴交于点A,B,把线段AB分成6等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P1,P2,P3,P4,P5,F是椭圆C的右焦点,则P1F+P2F+P3F+P4F+P5F=(　　) A.20　　　　B.15　　　　C.36　　　　D.30 14.(多选题)如图所示,用一个与圆柱底面所成的角θ=的平面截圆柱,所得截面是一个椭圆,已知圆柱底面圆的半径为2,则(　　) A.椭圆的长轴长等于4 B.椭圆的离心率为 C.椭圆的标准方程可以是=1 D.椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4-2 15.若F1,F2是椭圆C:=1的两个焦点,点P,Q为椭圆C上关于坐标原点对称的两点,且PQ=F1F2,则四边形PF1QF2的面积为　　　　.  16.(2024浙江嘉兴八校联盟期中)给定椭圆C:=1(a>b>0),称圆心在原点O,半径是的圆为椭圆C的准圆.已知椭圆C的一个焦点为F(,0),其短轴的一个端点到点F的距离为. (1)求椭圆C和其准圆的方程; (2)若点A,B是C的准圆与x轴的两个交点,P是C上的一个动点,求的取值范围. 能力提升练 题组　椭圆的几何性质及其应用 1.已知椭圆E:=1(a>b>0)的离心率是,左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上一点,且∠F1PF2=,△F1PF2的面积等于3,则椭圆E的方程为(　　) A.+y2=1 C.=1 2.已知椭圆C:=1(a>b>0)的上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,连接AF2并延长,交椭圆C于点B,若BF1∶BF2=7∶3,则椭圆C的离心率为(　　) A. 3.已知椭圆C:=1(a>b>0)的长轴长为2,它与y轴的一个交点坐标是(0,-),过点P的直线与椭圆C交于A,B两点,且满足=0,若M为直线AB上任意一点,O为坐标原点,则OM的最小值为(　　) A.1　　　　B. 4.已知F1,F2是椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点,若E上存在不同的两点A,B,使得,则椭圆E的离心率的取值范围为(　　) A.(-1) C.(0,3-2,1) 5.(多选题)已知椭圆C:=1(a>b>0)与直线l:x-y-1=0交于A,B两点,记直线l与x轴的交点为E,点E,F关于原点对称,若∠AFB=90°,则(　　) A.2a2+b2=a2b2 B.椭圆C过四个定点 C.存在实数a,使得AB=3 D.AB< 6.(多选题)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,其中F1F2=2c,直线l:y=k(x+c)(k∈R)与椭圆交于A,B两点,则下列说法中正确的有(　　) A.若AB的中点为M,则kOM·k= B.△ABF2的周长为4a C.若AB的最小值为3c,则椭圆的离心率e= D.若=3c2,则椭圆的离心率的取值范围是 7.已知椭圆C:=1(a>0,b>0)的离心率为,点A1,A2为其长轴的两个端点,点P为椭圆C上异于A1,A2的一点,则直线PA1和PA2的斜率之积等于　　　　.  8.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,斜率为正的直线l与椭圆C交于A,B两点,与x轴、y轴分别交于P,Q两点,且,则直线l的斜率为　　　　.  9.已知椭圆C:=1(a>b>0)过点A(0,-2),且离心率为,右焦点为F. (1)求椭圆C的标准方程; (2)已知点M满足2(O为坐标原点),在椭圆C上是否存在点B(异于C的顶点),使得直线AB与以M为圆心的圆相切于点P,且P为线段AB的中点?若存在,求出直线AB的方程;若不存在,请说明理由. 10.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切. (1)求椭圆C的方程; (2)设A(-2,0),过点R(1,0)作与x轴不重合的直线l交椭圆C于M,N两点,连接AM,AN,分别交直线x=3于P,Q两点,若直线PR、QR的斜率分别为k1、k2,则k1·k2是不是定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由. 答案与分层梯度式解析 3.1.2　椭圆的几何性质 基础过关练 1.C　由题意得a=,b=m,c=1,∠F1AO=(O为坐标原点),则tan ,所以m=.故选C. 2.B　椭圆=1的焦点在y轴上,且a==4.椭圆=1的焦点在x轴上,且a=5,b=3,c=4,所以两个椭圆有相等的焦距.由于0<k<9,所以长轴长、短轴长和离心率均不相等.故选B. 3.A　不妨设椭圆的方程为=1(a>b>0),A,B分别为长轴的左、右端点,则2a=4,a=2.过C作CD⊥AB,垂足为D.由BC=,∠CBA=45°,可得CD=BD=1,则C(1,1)或C(1,-1),又C在椭圆上,所以=1,解得b2=,所以c=,所以焦距2c=.故选A. 4.ACD　由椭圆方程知a=,b=1. 对于A,PF1+PF2=2a=2,故A正确; 对于B,c==1,故离心率e=,故B错误; 对于C,短轴长为2b=2,长轴长为2a=2,故C正确; 对于D,PF1+PF2=2≥2,故PF1·PF2≤2, 当且仅当PF1=PF2=时等号成立, 故cos∠F1PF2=≥0,故D正确.故选ACD. 5.A　因为椭圆=1的焦点坐标为(±,0), 所以所求椭圆的焦点坐标为(±,0),即c=, 因为所求椭圆的短半轴长为2,所以b=2, 所以a2=b2+c2=20+5=25, 故所求椭圆的方程为=1.故选A. 6.C　设椭圆的半焦距为c,则c>0,由题意可得=1.故选C. 7.C　当焦点在x轴上时,cos∠OFA=, 因为2a=10,所以a=5,c=4,则b2=a2-c2=9,所以椭圆方程为=1; 同理,当焦点在y轴上时,椭圆方程为=1. 故选C. 8.A　由已知得=ab,则ab=8①, 由长轴的一个端点与短轴的两个端点构成等边三角形,得=2b②, 联立①②得b2=8,a2=24,故椭圆的方程为=1.故选A. 9.D　由椭圆的定义得PF1+PF2=2a, 因为PF1=3PF2,所以PF1=a, 而PF1-PF2≤F1F2=2c,当且仅当点P在椭圆右顶点时等号成立, 即a≤2c,即a≤2c,则e=,又0<e<1,所以≤e<1.故选D. 10.B　根据椭圆的对称性,不妨设焦点在x轴上的椭圆的标准方程为=1(a>b>0),F1(-c,0),F2(c,0),M(x0,y0), 由=0得(-c-x0,-y0)·(c-x0,-y0)=0,即=0,即, ∵点M(x0,y0)在椭圆内部,∴<1,则b2)-a2b2<0,即, 要想该不等式恒成立,只需2a2-<0,即2a2c2<a4,即2c2<a2,∴e=, 又0<e<1,∴0<e<,故选B. 11.B　设M(x1,y1),N(x2,y2),因为M,N在椭圆C上, 所以两式相减得b2(y1+y2)(y1-y2)+a2(x1+x2)(x1-x2)=0,① 因为MN的中点坐标为(1,-1),直线MN的斜率为2,所以x1+x2=2,y1+y2=-2,=2,则①式为-4b2+2a2=0,即-4(a2-c2)+2a2=0,即2c2=a2, 所以e=.故选B. 12.答案　 解析　由题意可设BC=3,AC=4,则AB=5,以线段AC的中点为原点,以AC所在直线为x轴,过线段AC的中点且垂直于AC的直线为y轴建系,则以A,C为焦点且经过点B的椭圆方程为=1(a1>b1>0),以线段BC的中点为原点,以BC所在直线为x轴,过线段BC的中点且垂直于BC的直线为y轴建系,则以B,C为焦点且经过点A的椭圆方程为=1(a2>b2>0), 由椭圆定义可得2a1=AB+BC=5+3=8,2c1=AC=4,则a1=4,c1=2,故e1=. 同理可知2a2=AB+AC=5+4=9,2c2=BC=3,则a2=,故e2=,所以. 13.D　由题意知P1与P5,P2与P4分别关于y轴对称. 设椭圆的左焦点为F1,连接P1F1,由已知得a=6, 则P1F+P5F=P1F+P1F1=2a,同时P2F+P4F=2a,P3F=a,∴P1F+P2F+P3F+P4F+P5F=5a=30. 故选D. 14.BCD　设椭圆的长半轴长为a,短半轴长为b,半焦距为c,椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆的直径, 由cos,得a=4,A不正确; 显然b=2,则c=,离心率e=,B正确; 当以椭圆长轴所在直线为x轴,短轴所在直线为y轴建立平面直角坐标系时,椭圆的标准方程为=1,C正确; 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a-c=4-2,D正确.故选BCD. 15.答案　8 解析　由已知及对称性得四边形PF1QF2为矩形,即PF1⊥PF2,所以=PF1·PF2, 由椭圆定义与勾股定理知 可得PF1·PF2=8.所以四边形PF1QF2的面积为8. 16.解析　(1)由题意知c=,且a=,可得b=1, 故椭圆C的方程为+y2=1,其准圆方程为x2+y2=4. (2)设P(m,n)(-≤m≤),则+n2=1, 不妨设A(2,0),B(-2,0),所以=(m+2,n), 所以-3, 又-≤m≤,所以-3∈[-3,-1], 所以的取值范围是[-3,-1]. 能力提升练 1.D　由题意知,即3a2=4c2,根据椭圆的定义,可得PF1+PF2=2a,又因为∠F1PF2=,且△F1PF2的面积等于3,所以P=4c2,且PF1·PF2=6,则P=(PF1+PF2)2-2PF1·PF2=4a2-12=4c2,即4a2-12=3a2,解得a2=12,所以c2=9,所以b2=a2-c2=3,所以椭圆的方程为=1.故选D. 2.C　由椭圆定义可得BF1+BF2=2a, 又BF1∶BF2=7∶3,所以BF2=, 因为A为椭圆的上顶点,所以AF1=AF2=a,所以AB=AF2+BF2=a, 在△ABF1中,由余弦定理得cos∠F1AB=, 在△AF1F2中,由余弦定理得F1-2AF1·AF2·cos∠F1AF2, 即4c2=a2+a2-a2=a2,所以, 故椭圆C的离心率为.故选C. 3.B　由题意得2a=2,则a==2,∴椭圆C的标准方程为=1, ∵在椭圆内,可知直线AB与椭圆总有两个交点, ∵=0,∴点P为线段AB的中点, 设A(x1,y1),B(x2,y2),显然x1≠x2,则x1+x2=3,y1+y2=1, 由=0, 则(x2+x1)(x2-x1)+3(y2+y1)(y2-y1)=0, 即3(x2-x1)+3(y2-y1)=0, 故=-1,即直线AB的斜率为-1, ∴直线AB的方程为y-,即x+y-2=0, ∵M为直线AB上任意一点, ∴OM的最小值为点O到直线AB的距离, ∴(OM)min=.故选B. 4.D　延长AF1交椭圆于A1,根据椭圆的对称性,得,则, 设直线AA1的方程为x=my-c,A(x1,y1),A1(x2,y2), 联立消去x,整理得(b2m2+a2)y2-2b2mcy-b4=0, 则y1+y2=, 由,得y1=-y2,所以-,得y2=, 则y1=-, 由y1y2=-, 可得, 整理得m2=>0, 则(3+2)a2>0,即)2,∴椭圆的离心率e=, 又0<e<1, ∴椭圆的离心率的取值范围是(3-2,1).故选D. 5.ABC　设A(x1,y1),B(x2,y2).由消去y,得(a2+b2)x2-2a2x+a2-a2b2=0,故Δ=4a4-4(a2+b2)·(a2-a2b2)=4a2b2(a2+b2-1)>0,则a2+b2>1, 由根与系数的关系得易得E(1,0),所以F(-1,0),又∠AFB=90°,所以=0,即(x1+1)(x2+1)+y1y2=(x1+1)(x2+1)+(x1-1)(x2-1)=2x1x2+2=0,所以x1x2==-1,即2a2+b2=a2b2,所以=1,即椭圆过定点(1,),故A正确,B正确; 由弦长公式得AB=·|x1-x2|=,由2a2+b2=a2b2得b2=>0,则a2>1,所以,则有AB=2,因为a2>1,所以AB的取值范围为(2,4),故C正确,D错误.故选ABC. 6.BD　对于A,设A(x1,y1),B(x2,y2),则k=,可得kOM=, 由A,B在C上,得,即,所以kOM·k=,故A错误; 对于B,直线l恒过点(-c,0),即左焦点F1, 所以△ABF2的周长为AB+AF2+BF2=AF1+BF1+AF2+BF2=AF1+AF2+BF1+BF2=2a+2a=4a,故B正确; 对于C,直线l所过的定点F1(-c,0)在椭圆内部,故l与椭圆相交, 联立消去y可得(a2k2+b2)x2+2a2k2cx+a2k2c2-a2b2=0, 则x1+x2=-, 则AB= =2 = = = =, 令t=k2≥0,可知f(t)=在[0,+∞)上单调递减,无最小值,故C错误; 对于D,=(c-x1,-y1),则-c2=3c2,可得=4c2, 由=1,可得,则=4c2,整理得,又-a≤x1≤a, 所以0≤≤a2,即0≤4c2-b2≤c2,则0≤4c2-(a2-c2)≤c2, 所以0≤5c2-a2≤c2,即4c2≤a2≤5c2,即4e2≤1≤5e2,解得≤e≤,故D正确.故选BD. 7.答案　-3或- 解析　若a>b>0,则不妨取A1(0,-a),A2(0,a), 设P(x0,y0)(x0≠0),由P在椭圆C上,得=1,即), 所以, ∵,即, 故=-3; 若b>a>0,则不妨取A1(-b,0),A2(b,0), 设P(x1,y1)(x1≠±b),由点P在椭圆C上,得=1,则), 则, ∵,即, 故, 故直线PA1和PA2的斜率之积为-3或-. 8.答案　 解析　设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的斜率为k(k>0),点A在第一象限, ∵,∴AP=PQ=QB,且A,B,P,Q四点共线, ∴xP-x1=xQ-xP=x2-xQ,yP-y1=yQ-yP=y2-yQ, 又∵xQ=0,yP=0,∴x1=-2x2,y1=-y2, ∵A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上, ∴=1, 两式相减可得=0,即, ∴, 又k=, ∴=-k, ∴-k2=-,又k>0,∴k=. 9.解析　(1)由题意可知 故椭圆C的标准方程为=1. (2)假设存在满足题意的点B,则由题意可得直线AB和直线MP的斜率均存在. 设直线AB的方程为y=kx-2,k≠0, 联立消去y可得(2k2+1)x2-8kx=0, 解得x=0或x=,则点B. 因为P为AB的中点,A(0,-2),所以P. 由2,F(2,0)可得M(1,0), 所以直线MP的斜率为. 因为直线AB与以M为圆心的圆相切于点P,所以AB⊥MP, 所以k·=-1,整理得2k2-2k+1=0,方程无实数解.所以不存在满足题意的点B. 10.解析　(1)由题意得 故椭圆C的方程为=1. (2)设l的方程为x=my+1,M(x1,y1),N(x2,y2), 由消去x,得(m2+2)y2+2my-3=0, 所以y1+y2=, 由A、M、P三点共线可知kAM=kAP,即,所以yP=,同理可得yQ=, 故k1k2= = =, 因此k1·k2为定值-. 20 学科网（北京）股份有限公司 $$