3.1.1 椭圆的标准方程（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（苏教版2019）

第3章　圆锥曲线与方程 3.1　椭圆 3.1.1　椭圆的标准方程 基础过关练 题组一　椭圆的定义及其应用 1.(多选题)过已知圆内一个定点作圆C与已知圆相切,则圆心C的轨迹可能是(　　) A.圆　　　　B.椭圆 C.线段　　　　D.射线 2.已知点P为椭圆+y2=1上的一个动点,点F1,F2分别为该椭圆的左、右焦点,当∠F1PF2=时,△F1F2P的面积为(　　) A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4 3.已知椭圆=1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为4,N是MF的中点,O为坐标原点,则线段ON的长是　(　　) A.6　　　　B.5　　　　C.4　　　　D.3 4.已知F1,F2为椭圆的焦点,且F1F2=2,M,N是椭圆上两点,且,以F1F2为直径的圆经过M点,则△MNF2的周长为(　　) A.4　　　　B.6　　　　C.8　　　　D.12 题组二　椭圆的标准方程及其应用 5.已知椭圆C:=1的焦点在y轴上,则实数k的取值范围是(　　) A.(-1,3)　　　　B.(-5,-1) C.(-5,3)　　　　D.(-5,-1)∪(-1,3) 6.若动点P(x,y)满足,则动点P的轨迹方程为(　　) A.=1 C.=1 7.已知△ABC的周长为20,且顶点B(0,-4),C(0,4),则顶点A的轨迹方程是(　　) A.=1(x≠0)　　　　B.=1(x≠0) C.=1(x≠0)　　　　D.=1(x≠0) 8.已知椭圆=1(a>b>0)的焦点为F1,F2,P(3,4)为椭圆上的一点,且PF1⊥PF2,则椭圆的标准方程为　　　　　　　　.  9.求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)经过点(2,3),且与椭圆9x2+4y2=36有共同的焦点; (2)经过P(-2,-2)两点. 10.已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的两个焦点,F1F2=2,M为C上一点. (1)求椭圆C的标准方程; (2)若P为C上一点,且∠F2PF1=30°,求△F1PF2的面积. 题组三　直线与椭圆的位置关系 11.过椭圆x2+2y2=2的左焦点作斜率为1的直线交椭圆于A、B两点,则弦AB的长为(　　) A. 12.如图,已知F1,F2为椭圆=1的左、右焦点,椭圆上的点A在第一象限,且AF2⊥x轴,若线段BF1与x轴垂直,直线AB与椭圆只有一个交点,则BF1,AF1的大小关系是　(　　) A.BF1=AF1　　　　B.BF1>AF1 C.BF1<AF1　　　　D.不能确定 13.已知椭圆=1,过点E(0,1)且斜率为k的直线l与x轴交于点M,与椭圆交于A,B两点,若,则k的值为　　　　.  14.(2023江西南昌外国语学校月考)已知椭圆C:+y2=1,直线l与椭圆C相交于A,B两点,点P为线段AB的中点. (1)求直线l的方程; (2)若O为坐标原点,求△OAB的面积. 能力提升练 题组一　椭圆的定义、标准方程及其应用 1.已知椭圆C:=1的左焦点为F,P为C上一动点,定点A(-1,),则PF+PA的最大值为(　　) A.4 2.古希腊数学家阿波罗尼斯所著的八册《圆锥曲线论》中,首次提出了圆锥曲线的光学性质,其中之一的内容为:若点P为椭圆上的一点,F1、F2为椭圆的两个焦点,则点P处的切线平分∠F1PF2的外角.根据此信息回答下列问题:已知椭圆C:=1,O为坐标原点,l是点P(2,)处的切线,过左焦点F1作l的垂线,垂足为M,则OM=(　　) A.2 3.已知F1,F2分别是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,点A(0,b),点B在椭圆C上,且,D,E分别是AF2,BF2的中点,且△DEF2的周长为4,则椭圆C的方程为(　　) A.=1 C.=1 4.(多选题)已知椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,与x轴的负、正半轴的交点分别是A,B,点P是C上的一个动点,则下列结论正确的有(　　) A.不存在点P,使得∠F1PF2= B.cos∠APB的最小值为- C.若∠F1PF2=,则△F1PF2的面积为 D.点P到点(1,0)的距离的最小值为 题组二　直线与椭圆的位置关系 5.椭圆=1的一个焦点为F,过原点O作直线与椭圆交于A,B两点,若△ABF的面积是20,则直线AB的斜率为(　　) A.± 6.已知F1、F2分别是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,且PF1⊥x轴,点A、B分别是椭圆与x轴、y轴正半轴的交点,且AB∥OP,PF1+PF2=2. (1)求椭圆C的方程; (2)过椭圆C的左焦点F1作不与坐标轴垂直的直线,交椭圆于M,N两点,线段MN的垂直平分线与y轴负半轴交于点Q,若点Q的纵坐标的最大值是-,求MN的最大值. 答案与分层梯度式解析 第3章　圆锥曲线与方程 3.1　椭圆 3.1.1　椭圆的标准方程 基础过关练 1.AB　设已知圆的圆心为A,半径为R,圆内的定点为B,动圆C的半径为r,则r=BC, 若点A与点B不重合,由题意知圆A与圆C内切,则AC=R-r=R-BC,即CA+CB=R, ∴动点C到两个定点A,B的距离之和为常数R. ∵B为圆A内的定点,∴AB<R,∴动点C的轨迹为椭圆. 若A,B重合,则动点C的轨迹是以R为直径的圆.故选AB. 2.A　由题意可得a=2,b=1,c=,设PF1=m,PF2=n, 则所以(m+n)2-2mn=12,解得mn=2,所以mn=1.故选A. 3.C　不妨设左焦点为F,右焦点为F1,连接MF1,因为N是MF的中点,O是FF1的中点,故ON是△MFF1的中位线,故ON=MF1, 由椭圆方程得a=6,由椭圆的定义可知MF+MF1=2a=12,因为MF=4,所以MF1=8,故ON=MF1=4,故选C. 4.D　由于以F1F2为直径的圆经过M点,所以MF1⊥MF2, 不妨设NF1=x,则MF1=2x,MN=3x. 由椭圆的定义可得MF2=2a-2x,NF2=2a-x, 由勾股定理可得 即所以a=3,x=1, 故△MNF2的周长为4a=12,故选D. 5.A　因为椭圆的焦点在y轴上,所以5+k>3-k>0,解得-1<k<3.故选A. 6.B　设F1(-2,0),F2(2,0),故原式表示点P到F1,F2的距离之和为4, 又F1F2=4,所以PF1+PF2=4>F1F2, 故点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,且2a=4,2c=4,所以b2=a2-c2=8-4=4, 故点P的轨迹方程为=1.故选B. 7.B　由题意得BC=8,故AB+AC=12>BC, 所以顶点A的轨迹是以B(0,-4),C(0,4)为焦点的椭圆(去掉点(0,-6),(0,6)). 设椭圆的方程为=1(a>b>0),则a=6,c=4, 所以b2=a2-c2=20. 故顶点A的轨迹方程为=1(x≠0). 易错警示　　　本题隐含A,B,C三点不共线,因此在求轨迹方程时,要去掉y轴上的两点,防止漏掉x≠0导致错误. 8.答案　=1 解析　设F1(c,0),F2(-c,0),则b2=a2-c2, 由PF1⊥PF2,可得=-1,解得c=5,∴椭圆方程为=1, ∵点P(3,4)在椭圆上,∴=1,解得a2=45或a2=5,又a>c,故a2=45,b2=20, 故所求椭圆的标准方程为=1. 9.解析　(1)椭圆方程可变形为=1, 故椭圆的焦点在y轴上,且c=, 设所求椭圆的标准方程为=1(a>b>0), 所以 所以所求椭圆的标准方程为=1. (2)设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0), 把P(-2,-2)代入,得 解得=1. 方法技巧　　　在不确定椭圆焦点位置时,经过两点的椭圆方程可设为mx2+ny2=1(m>0,n>0),这样能避免对焦点所在位置的讨论. 10.解析　(1)由F1F2=2,可得c=1,设F1(-1,0),F2(1,0),则MF1=, 由椭圆的定义可得a=,所以b==2, 故椭圆C的标准方程为=1. (2)在△PF1F2中,由余弦定理得F1PF1·PF2,① 由椭圆的定义可得PF1+PF2=2a=2, 平方得P+2PF1·PF2=20,结合①得F1PF1·PF2+2PF1·PF2=20,解得PF1·PF2=16(2-), 所以△F1PF2的面积S=PF1·PF2sin 30°=4(2-). 11.D　椭圆方程可变形为+y2=1,∴a2=2,b2=1,c2=1,∴c=1, 若设左焦点为F(-1,0),则过F且斜率为1的直线为y=x+1,代入椭圆方程得3x2+4x=0.① 解法一:由①解得x=0或x=-,则y=1或y=-. ∴AB=. 解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=0, 所以AB=, 故选D. 12.A　由已知得a=2,b=,则c=1,F1(-1,0),F2(1,0),将x=1代入椭圆方程,可得y=±,又A在第一象限,∴A,故AF1=. 设直线AB的方程为y-=k(x-1), 由得(3+4k2)x2+(12k-8k2)x+(4k2-12k-3)=0, ∴Δ=(12k-8k2)2-4(3+4k2)(4k2-12k-3)=0,整理得4k2+4k+1=0,∴k=-, 则直线AB的方程为y-(x-1),即y=-x+2, 直线BF1的方程为x=-1, 由即B, 故BF1==AF1,故选A. 13.答案　±　　 解析　由已知得直线l的方程为y=kx+1,k≠0,则M,设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立消去y得(2+3k2)x2+6kx-9=0, ∴Δ=36k2+36(2+3k2)>0,x1+x2=, 又, ∴x1+=-x2,y1=1-y2,即x1+x2=-,解得k=±. 14.解析　(1)由题意知直线l的斜率存在,设其方程为y-=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2). 解法一:由得(4k2+2)x2+(4k-8k2)x+4k2-4k-3=0, 因为点P为线段AB的中点,所以x1+x2==2×1,解得k=-1, 故直线l的方程为y-=(-1)×(x-1),即2x+2y-3=0. 解法二:由题意得=1②, ①-②整理得,因为点P为线段AB的中点,所以x1+x2=2,y1+y2=1, 所以直线l的斜率k==-1, 所以直线l的方程为y-=(-1)×(x-1),即2x+2y-3=0. (2)由(1)知x1+x2=2,x1x2=, 所以AB= =, O到直线l的距离d=, 所以S△OAB=AB·d=. 能力提升练 1.B　由已知得a=2,c=2,由<1,知A在椭圆内部,记椭圆的右焦点为E,则E(2,0),由椭圆的定义得PF+PE=2a=4,则PF=4-PE, 故PF+PA=4-PE+PA≤4+AE,当且仅当P是AE的延长线与椭圆的交点时,取等号, 所以PF+PA的最大值为4,故选B. 解题模板　　　求椭圆内一点,椭圆上一点与焦点间的距离的最值问题,一般利用平面几何知识,转化为三点共线问题解决.设椭圆方程为=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,Q(x0,y0)为椭圆内一定点,M为椭圆上任意一点,则 (1)-QF1≤MQ-MF1≤QF1; (2)2a-QF1≤MF2+MQ≤2a+QF1. 2.A　不妨设右焦点为F2,延长F1M、F2P交于点N, 由题意可知∠F1PM=∠NPM, 又因为PM⊥F1N,所以M为F1N的中点,且PF1=PN,所以F2N=PN+PF2=PF1+PF2=2a=4, 又因为O为F1F2的中点, 所以OM=.故选A. 3.B　因为,所以A,F1,B三点共线,且AF1=2F1B, 因为D,E分别为AF2和BF2的中点, 所以4a=AB+AF2+BF2=2(DE+DF2+EF2)=8,解得a=2,设B(x0,y0),F1(-c,0),A(0,b), 由,可得(-c,-b)=2(x0+c,y0), 则x0=-,所以B, 把B的坐标代入椭圆方程得=1,故c2=,所以椭圆C的方程为=1.故选B. 4.BCD　设椭圆与y轴的正、负半轴的交点分别为D,E,由椭圆方程知a=2,b=1,c=, 所以F1(-,0),A(-2,0),B(2,0),D(0,1),E(0,-1), 则,-1),所以=-3+1=-2<0, 则∠F1PF2的最大角为钝角,即存在点P,使得∠F1PF2=,故A错误; 当点P运动到D或E的位置时,∠APB最大,则cos∠APB最小, 此时AD=BD=,且AB=4, 在△ABD中,由余弦定理得cos∠ADB=, 所以cos∠APB的最小值为-,故B正确; 设PF1=m,PF2=n,由椭圆定义可得m+n=2a=4,即m2+n2+2mn=16①, 由余弦定理可得F1-2PF1·PF2cos, 即m2+n2-mn=12②,①-②可得3mn=4,即mn=, 所以,故C正确; 设P(x0,y0),-2≤x0≤2,则=1, 则点P到点(1,0)的距离为, 当x0=时,[,故D正确.故选BCD. 5.A　由椭圆方程得c==5,不妨取F(5,0). ①当直线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为x=0,此时AB=4, S△ABF=AB·5=,不符合题意; ②当直线AB的斜率存在时,可设其方程为y=kx, 由可得(4+9k2)x2=180,得x=±6, 不妨设xA=6,则yA=, ∴S△ABF=2S△AOF=2×=20,解得k=±.故选A. 6.解析　(1)由题可知F1(-c,0),A(a,0),B(0,b), 因为PF1⊥x轴,所以可以把x=-c代入=1,可得|y|=,所以P或P, 又AB∥OP,所以kOP=kAB,所以-(舍去),得b=c, 又由椭圆定义知PF1+PF2=2a=2,所以a=,所以b=c=1, 所以椭圆的标准方程为+y2=1. (2)由(1)知F1(-1,0),易知直线MN的斜率存在.设直线MN的方程为x=my-1,联立得(m2+2)y2-2my-1=0, 设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=, 所以x1+x2=m(y1+y2)-2=,所以MN中点的坐标为, 故线段MN的垂直平分线的方程为y-,令x=0,得y=-, 因为点Q的纵坐标的最大值为-, 所以-≤-,解得1≤m≤2, 所以MN=, 1≤m≤2, 当m=2时,MN取得最大值,为. 技巧点拨　　　直线与椭圆的位置关系的问题中,设直线方程时有以下技巧:直线过x轴上的定点M(x0,0)时,常设m型直线,即x-x0=my(不含斜率为0的直线),消元常常消去x,保留y;直线过y轴上的定点N(0,y0)时,常设k型直线,即y-y0=kx(不含斜率不存在的直线),消元常常消去y,保留x. 17 学科网（北京）股份有限公司 $$