2.3 圆与圆的位置关系（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（苏教版2019）

2.3　圆与圆的位置关系 基础过关练 题组一　圆与圆的位置关系 1.若圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-4)2+(y-a)2=16有3条公切线,则a=(　　) A.-3　　　　B.3　　　　C.3或-3　　　　D.5 2.(教材习题改编)已知圆C1:x2+y2=r2(r>0),圆C2:(x+3)2+(y-4)2=4,若C1与C2有公共点,则r的最小值为(　　) A.1　　　　B.3　　　　C.5　　　　D.7 3.在坐标平面内,与点A(1,2)的距离为3,且与点B(3,8)的距离为1的直线共有(　　) A.1条　　　　B.2条　　　　C.3条　　　　D.4条 4.已知点A(0,0),B(2,0),圆M:(x-4)2+(y-4)2=r2(r>0)上恰有两点Pi(i=1,2)满足=3,则r的取值范围是　　　　.  题组二　两圆的公共弦与公切线 5.(教材习题改编)(多选题)圆O1:x2+y2-2x+2y-2=0与圆O2:x2+y2-2ax-2ay+2a2-9=0的公共弦的长为,则a的值可以为　(　　) A.±2　　　　B.± 6.(多选题)已知两圆C1:x2+y2=4与C2:(x-3)2+(y+4)2=r2(r>0),则下列说法不正确的是(　　) A.若两圆相切,则r=3 B.若两圆的公共弦所在直线的方程为3x-4y-2=0,则r=5 C.若两圆的公共弦长为2,则r= D.若两圆在交点处的切线互相垂直,则r=4 7.已知圆C1:x2+y2-4x-16=0与圆C2:x2+y2+2y-4=0,则圆C1与圆C2的公切线方程是　　　　.  8.已知圆C:(x-2)2+y2=4,点P在直线x-y-1=0上运动,过点P作圆C的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,若直线AB过定点M,则点M的坐标为　　　　　.  9.已知圆M:x2+y2-2x-6y-1=0和圆N:x2+y2-10x-12y+m=0. (1)当m取何值时,两圆外切? (2)当m=45时,求两圆的公共弦所在的直线方程和公共弦的长. 题组三　圆与圆的位置关系的综合运用 10.(多选题)已知圆C1:x2+y2-3x-3y+3=0与圆C2:x2+y2-2x-2y=0交于A,B两点,则(　　) A.线段AB的中垂线方程为x+y=0 B.直线AB的方程为x+y-3=0 C.公共弦AB的长为2 D.所有经过A,B两点的圆中,面积最小的圆是圆C1 11.已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=4和两点A(a,0),B(-a,0)(a>0),若圆C上有且仅有一点P,使得∠APB=90°,则实数a的值是(　　) A.2- C.2-或2+ 能力提升练 题组一　圆与圆的位置关系 1.(多选题)已知圆C1:x2+y2=1,C2:(x-3)2+(y-3)2=r2(r>0),则下列说法正确的是(　　) A.当r=1时,圆C1与圆C2有4条公切线 B.当r=2时,直线y=1是圆C1与圆C2的一条公切线 C.当r=3时,圆C1与圆C2相交 D.当r=4时,圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为y=-x+ 2.已知直线l:x-2y-1=0与圆C:x2+y2+2ax+2y+a2+1=0始终有公共点,则圆C与圆M:x2+y2-ax+a2=0的位置关系为(　　) A.相交　　　　B.外离　　　　C.外切　　　　D.内切 3.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=9和两点 A(t,0),B(-t,0)(t>0),若圆C上至少存在一点P,使得<0,则实数t的 取值范围是(　　) A.(2,8)　　　　B.(2,+∞)　　　　C.(3,+∞)　　　　D.(1,3) 4.若直线l:mx+y-3m-2=0与圆M:(x-5)2+(y-4)2=25交于A,B两点,则当弦AB最短时,圆M与圆N:(x+2m)2+y2=9的位置关系是　(　　) A.内切　　　　B.外离　　　　C.外切　　　　D.相交 5.在平面直角坐标系xOy中,若圆C1:(x-2)2+(y-1)2=4上存在点M,且点M关于直线x+y+1=0的对称点N在圆C2:(x+1)2+(y+1)2=r2(r>0)上,则r的取值范围是(　　) A.[+2] C.[+2] 6.已知圆C:x2+y2-2x+m=0与圆(x+3)2+(y+3)2=4外切,点P是圆C上一动点,则点P到直线5x+12y+8=0的距离的最大值为　　　　　.  7.在平面直角坐标系xOy中,点A(3,0),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心C在直线l上. (1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程; (2)若圆C上存在点M,使得MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围. 题组二　两圆的公共弦与公切线 8.已知圆C1:x2+y2-kx+2y=0与圆C2:x2+y2+ky-4=0的公共弦所在直线恒过点P,且点P在直线mx-ny-2=0上(m>0,n>0),则mn的最大值是(　　) A. 9.(多选题)如图,点A(2,0),B(1,1),C(-1,1),D(-2,0),是以OD为直径的圆上的一段圆弧,是以BC为直径的圆上的一段圆弧,是以OA为直径的圆上的一段圆弧,三段弧构成曲线Ω,则下列结论正确的是(　　) A.曲线Ω与x轴围成的图形的面积为 B.的公切线的方程为x+y-1-=0 C.所在圆的公共弦所在直线的方程为x-y=0 D.所在圆截直线y=x所得弦的长为 10.已知圆C1:x2+y2+4x-4y-5=0与圆C2:x2+y2-8x+4y+7=0. (1)证明圆C1与圆C2外切,并求过切点的两圆公切线的方程; (2)求过点(2,3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程. 题组三　圆与圆的位置关系的综合应用 11.已知M,N分别是圆C1:x2+y2-4x-4y+7=0,圆C2:x2+y2-2x=0上的两个动点,P为直线x+y+1=0上的一个动点,则PM+PN的最小值为(　　) A.　　　　C.2　　　　D.3 12.设点A(1,0),B(4,0),动点P满足2PA=PB,设点P的轨迹为C1,圆C2:(x+)2+(y-3)2=4,C1与C2交于点M,N,Q为直线OC2上一点(O为坐标原点),则=(　　) A.4　　　　B.2 13.设点P为直线2x+y-2=0上的点,过点P作圆C:x2+y2+2x+2y-2=0的两条切线,切点分别为A,B,当四边形PACB的面积取得最小值时,直线AB的方程为　　　　　　.  14.定义圆的反演点:若点M在圆O外,过M作圆O的两条切线,两切点的连线与OM的交点就是M的反演点;若点M在圆O内,则连接OM,过点M作OM的垂线,在该垂线与圆O的两个交点处分别作圆O的切线,切线的交点即为M的反演点.已知圆O:x2+y2=4,点M(1,3),则M的反演点的坐标为　　　　.  15.已知圆C1:x2+y2+6x-2y+6=0和圆C2:x2+y2-8x-10y+41-r2=0(r>0). (1)若圆C1与圆C2相交,求r的取值范围; (2)若直线l:y=kx+1与圆C1交于P,Q两点,且=4,求实数k的值; (3)若r=2,设M为平面上的点,且满足:存在过点M的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点M的坐标. 答案与分层梯度式解析 2.3　圆与圆的位置关系 基础过关练 1.C　由题意得,圆C1:x2+y2=1的圆心为C1(0,0),半径r1=1,圆C2:(x-4)2+(y-a)2=16的圆心为C2(4,a),半径r2=4,因为两圆有3条公切线,所以两圆外切,则C1C2=r1+r2,即=5,解得a=±3.故选C. 规律总结　圆与圆的位置关系与公切线条数 位置关系 内含 内切 相交 外切 外离 公切线条数 0 1 2 3 4 2.B　由题意得圆C1的圆心为C1(0,0),半径为r,圆C2的圆心为C2(-3,4),半径为2,则C1C2==5, ∵C1与C2有公共点, ∴|r-2|≤C1C2≤r+2, 又r>0,∴3≤r≤7,故r的最小值为3.故选B. 3.D　与点A(1,2)距离为3的点的轨迹是以A(1,2)为圆心,3为半径的圆,与点B(3,8)距离为1的点的轨迹是以B(3,8)为圆心,1为半径的圆, 则所求直线即为两圆的公切线, 因为AB=>1+3=4, 所以两圆外离,有4条公切线,所以符合题意的直线有4条.故选D. 4.答案　(3,7) 解析　设P(x,y),则=(-x,-y)·(2-x,-y)=x2-2x+y2=3,变形得(x-1)2+y2=4, 故点P在以点(1,0)为圆心,2为半径的圆上, 要使圆M上恰有两点Pi(i=1,2)满足=3, 则圆(x-1)2+y2=4与圆M有两个交点,故|r-2|<<r+2,解得3<r<7. 5.CD　两圆方程相减,得两圆公共弦所在直线的方程为(2a-2)x+(2a+2)y+7-2a2=0, 易得圆O1的圆心为O1(1,-1),半径为2, 因为点O1到直线(2a-2)x+(2a+2)y+7-2a2=0的距离d=, 所以d=, 解得a=±1或a=±.故选CD. 6.ACD　由题意得圆C1的圆心为C1(0,0),半径r1=2,圆C2的圆心为C2(3,-4),半径为r,则C1C2=5, 对于A,当两圆外切时,C1C2=r1+r,即5=2+r,解得r=3;当两圆内切时,C1C2=r-r1,即5=r-2,解得r=7,故两圆相切时,r=3或r=7,故A中说法错误; 对于B,两圆方程相减,得公共弦所在直线的方程为6x-8y+r2-29=0, 又因为公共弦所在直线的方程为3x-4y-2=0,所以r2-29=-4,所以r=5,故B中说法正确; 对于C,圆心C1(0,0)到直线6x-8y+r2-29=0的距离d=, 因为两圆的公共弦长为2,所以2,所以d=1, 所以=1,解得r2=19或r2=39,即r=或r=,故C中说法错误; 对于D,若两圆在交点处的切线互相垂直,则满足r2+,即r2+4=25,所以r=,故D中说法错误.故选ACD. 易错警示　　　本题A选项容易出错,当已知两圆相切时,要分内切和外切两种情况讨论. 7.答案　2x+y+6=0 解析　圆C1:x2+y2-4x-16=0,即(x-2)2+y2=20,圆心为C1(2,0),半径r1=2, 圆C2:x2+y2+2y-4=0,即x2+(y+1)2=5,圆心为C2(0,-1),半径r2=. 因为圆心距C1C2==r1-r2,所以两圆内切. 联立所以两圆切点的坐标为(-2,-2), 又,所以公切线的斜率为-2, 所以公切线的方程为y-(-2)=-2(x+2),即2x+y+6=0. 解题模板　　　当两圆外切时,有一条内公切线,且垂直于两圆的连心线;当两圆内切时,有一条外公切线,且垂直于两圆的连心线.求切线方程时,可先联立两圆方程求出切点坐标,再利用垂直关系求出公切线的斜率,进而得到方程. 8.答案　(-2,4) 解析　由题意得圆C的圆心为C(2,0),半径r=2,设P(t,t-1), 由题意知A,B在以PC为直径的圆上,该圆的方程为, 化简得x2+y2-(t+2)x-(t-1)y+2t=0, 与圆C的方程(x-2)2+y2=4相减,得直线AB的方程为(2-t)x-(t-1)y+2t=0,即t(-x-y+2)+2x+y=0, 由 所以直线AB过定点M(-2,4). 9.解析　设圆M的半径为r1,圆N的半径为r2.将两圆的方程化为标准形式,分别为M:(x-1)2+(y-3)2=11,N:(x-5)2+(y-6)2=61-m(m<61), 则圆心分别为M(1,3),N(5,6),半径分别为r1=. (1)当两圆外切时,满足MN=r1+r2,即,解得m=25+10. (2)当m=45时,=4,则4-,所以两圆相交, 则两圆的公共弦所在直线的方程为x2+y2-2x-6y-1-(x2+y2-10x-12y+45)=0,即4x+3y-23=0, 圆心M(1,3)到直线4x+3y-23=0的距离d==2,所以公共弦的长为2. 10.BD　设圆C1的半径为r1,圆C2的半径为r2.将两圆方程化为标准形式为C1:,C2:(x-1)2+(y-1)2=2, 圆心分别为C1,C2(1,1),半径分别为r1=. 由圆的性质可知,线段AB的中垂线过圆心C1,C2,则线段AB的中垂线的斜率为=1,方程为y-1=x-1,即x-y=0,A错误; 将两圆方程相减得直线AB的方程为x+y-3=0,B正确; 圆心C2到直线AB的距离d=, 所以AB=2,C错误; 易知经过A,B两点的圆中,以AB为直径的圆的面积最小, 因为AB=2r1,所以圆C1即是以AB为直径的圆,故D正确. 11.C　圆C的圆心为C(1,1),半径r=2, 由点A(a,0),B(-a,0)(a>0)可得以AB为直径的圆的方程为x2+y2=a2, 设该圆为圆O,则圆心为O(0,0),半径R=a, 若点P满足∠APB=90°,则P在圆O上, 由圆C上有且仅有一点P使得∠APB=90°,得圆C与圆O相切, 则两圆内切或两圆外切易错点,即OC2=(0-1)2+(0-1)2=(2-a)2或OC2=(0-1)2+(0-1)2=(2+a)2,又a>0,所以a=2-或a=2+.故选C. 能力提升练 1.ABD　由题意得圆C1的圆心为C1(0,0),半径r1=1,圆C2的圆心为C2(3,3),半径为r,故C1C2=3. 当r=1时,C1C2>2=r1+r,所以两圆外离,故有4条公切线,A正确; 直线y=1是圆C1的切线,当r=2时,圆心C2到直线y=1的距离d=2=r,即直线y=1是圆C2的切线,B正确; 当r=3时,C1C2>4=r1+r,即两圆外离,C错误; 当r=4时,r-r1=3<C1C2<r1+r=5,即两圆相交,故两圆有公共弦, 将两圆方程作差得(x-3)2+(y-3)2-(x2+y2)=15,整理得2x+2y-1=0,即y=-x+,D正确. 2.B　由题意得圆C的圆心为C(-a,-1),半径r1=|a|(a≠0),圆M的圆心为M,半径r2=|a|. 因为直线l与圆C始终有公共点,所以|a|,解得a≥, 因此CM=a, 所以圆C与圆M外离.故选B. 3.B　由题得圆C的圆心为C(3,4),半径r=3, 因为圆C上至少存在一点P,使得<0, 所以∠APB>90°, 所以圆C与圆O:x2+y2=t2(t>0,O为坐标原点)相交、内切或内含,则OC<3+t, 又因为OC==5,所以5<3+t,解得t>2. 所以实数t的取值范围是(2,+∞).故选B. 4.B　直线l的方程可变形为m(x-3)+y-2=0,所以直线l过定点(3,2),记为P,圆M的圆心M(5,4),半径为5. 因为(3-5)2+(2-4)2<25,所以P(3,2)在圆M内. 当弦AB最短时,l⊥PM, 又kPM==1,所以-m=-1,解得m=1, 此时圆N的方程是(x+2)2+y2=9,圆心为N(-2,0),半径为3. 则MN=, 因为>5+3=8,所以圆M与圆N外离.故选B. 5.D　设圆C1:(x-2)2+(y-1)2=4关于直线x+y+1=0对称的圆为C0:(x-a)2+(y-b)2=4, 则 故C0:(x+2)2+(y+3)2=4. 由题意可知,圆C0:(x+2)2+(y+3)2=4与圆C2:(x+1)2+(y+1)2=r2(r>0)有交点, 圆C0与圆C2的圆心分别为C0(-2,-3),C2(-1,-1),半径分别为2,r, 则C0C2=, 则满足|r-2|≤≤r+2,解得-2≤r≤+2. ∴r的取值范围是[+2].故选D. 6.答案　4 解析　将圆C的方程化为标准方程为(x-1)2+y2=1-m,圆心为C(1,0),半径为(m<1), 圆(x+3)2+(y+3)2=4的圆心为(-3,-3),半径为2, 因为两圆外切,所以,解得m=-8, 所以圆C的半径为3, 因为圆心C(1,0)到直线5x+12y+8=0的距离为=1, 所以点P到直线5x+12y+8=0的距离的最大值为3+1=4. 7.解析　(1)联立即两直线的交点C的坐标为(3,2), 则圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=1, 当过点A的直线的斜率不存在时,直线方程为x=3,不是圆C的切线; 当过点A的直线的斜率存在时,设其方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0, 要想该直线为圆C的切线,则=1,解得k=±, 所以切线方程为=0或=0. (2)由题可得点C(a,2a-4),则圆C的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1, 设点M(x,y),因为MA=2MO,所以,化简得x2+y2+2x-3=0,即(x+1)2+y2=4, 所以点M在以点(-1,0)为圆心,2为半径的圆上,设D(-1,0). 因为点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点, 所以|2-1|≤CD≤2+1,即1≤≤3,解得≤a≤2, 所以圆心C的横坐标a的取值范围为. 8.D　将两圆方程相减,得公共弦所在直线的方程为kx+(k-2)y-4=0,整理得k(x+y)-2y-4=0,令所以点P(2,-2),代入mx-ny-2=0,得m+n=1,所以mn≤,当且仅当m=n=时等号成立,所以mn的最大值为.故选D. 9.BC　所在圆的方程分别为(x+1)2+y2=1,x2+(y-1)2=1,(x-1)2+y2=1. 由题意得曲线Ω与x轴围成的图形的面积为=π+2,故A中结论错误; 设的公切线的方程为y=kx+b(k<0,b>0),则=1,所以k=-1,b=1+, 所以的公切线的方程为y=-x+1+,即x+y-1-=0,故B中结论正确; 由x2+(y-1)2=1与(x-1)2+y2=1作差得x-y=0,即公共弦所在直线的方程为x-y=0,故C中结论正确; 所在圆的方程为(x+1)2+y2=1,圆心为(-1,0), 圆心(-1,0)到直线y=x的距离d=, 则所求弦长为2×,故D中结论错误. 故选BC. 10.解析　(1)由圆C1:x2+y2+4x-4y-5=0可得(x+2)2+(y-2)2=13, 由圆C2:x2+y2-8x+4y+7=0可得(x-4)2+(y+2)2=13, 因此两圆的圆心分别为C1(-2,2),C2(4,-2), 两圆的半径r1=r2=, 因为C1C2==r1+r2,所以两圆外切. 由两式相减得3x-2y-3=0,故过切点的两圆公切线的方程为3x-2y-3=0. (2)易知直线C1C2经过切点,且直线C1C2的方程为,即2x+3y-2=0. 由故切点为(1,0),设为M. 与两圆相切于点M(1,0)的圆的圆心必在已知两圆的圆心连线C1C2:2x+3y-2=0上, 设圆心为P(a,b),半径为r, 则 所以r2=PM2=, 故所求圆的方程为(x+4)2+. 11.D　将两圆的方程化为标准形式,分别为C1:(x-2)2+(y-2)2=1,C2:(x-1)2+y2=1. 设圆C2关于直线x+y+1=0对称的圆为C'2,其圆心为C'2(a,b). 依题意得解得 因此,圆C'2:(x+1)2+(y+2)2=1.如图所示. ∵C1C'2==5, ∴(PM+PN)min=C1C'2-2=3,故选D. 12.C　设点P(x,y),则2, 化简得动点P的轨迹C1的方程为x2+y2=4, 联立 解得不妨设M(-,1),N(0,2), 如图所示,由平面几何知识可得||cos∠QMN=|,故|·||cos∠QMN=||·)2+(2-1)2]=2.故选C. 13.答案　2x+y-1=0 解析　由题意得圆心C(-1,-1),半径r=2, 易知S四边形PACB=2S△PCA,又AC⊥AP,∴S四边形PACB=2×·AC·AP=AC·AP=2AP=2, ∴要想S四边形PACB取得最小值,只需CP取得最小值.当CP的长为圆心C到直线2x+y-2=0的距离,即CP与直线2x+y-2=0垂直时,CP取得最小值, 此时kCP=,又C(-1,-1), ∴直线CP:y+1=(x+1),即x-2y-1=0, 由即P(1,0), ∴线段CP的中点为, 又, ∴以CP为直径的圆的方程为x2+, 由得2x+y-1=0,故直线AB的方程为2x+y-1=0. 14.答案　 解析　圆O的圆心为O(0,0),半径r=2. 因为OM=>2,所以点M在圆O外, 过M作圆O的两条切线,设两切点分别为A,B,则A,B在以OM为直径的圆上, 易得该圆方程为, 与圆O的方程相减,得公共弦AB所在直线的方程为x+3y-4=0, 易得直线OM的方程为y=3x,由所以M的反演点的坐标为. 15.解析　(1)圆C1的标准方程为(x+3)2+(y-1)2=4,则圆心C1(-3,1),半径r1=2,圆C2的标准方程为(x-4)2+(y-5)2=r2(r>0),则圆心C2(4,5),半径为r, ∴C1C2=, ∵圆C1与圆C2相交,∴|r-2|<<r+2,解得+2, ∴r的取值范围为(+2). (2)设P(x1,y1),Q(x2,y2), 联立消去y,整理得(1+k2)x2+6x+5=0, 由题意得Δ=36-20(1+k2)>0,得k∈, 又x1+x2=-,所以+6=4,解得k=, 因为k∈,所以k=. (3)由已知得直线l1与l2的斜率均存在且不为0. 设M(m,n),直线l1:y-n=k1(x-m),则直线l2:y-n=-(x-m), 即l1:k1x-y+n-k1m=0,l2:-m=0, 因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,且两圆的半径相等, 所以圆心C1到直线l1的距离与圆心C2到直线l2的距离相等, 则, 化简得(2-m-n)k1=m-n-3或(m-n+8)k1=m+n-5, 关于k1的方程有无穷多解, 则 解得所以点M的坐标为. 22 学科网（北京）股份有限公司 $$