1.4 两条直线的交点（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（苏教版2019）

1.4　两条直线的交点 基础过关练 题组一　两直线的交点及其应用 1.(多选题)与直线2x-y-3=0相交的直线方程是(　　) A.y=2x+3　　　　B.y=-2x+3 C.4x-2y-6=0　　　　D.4x+2y-3=0 2.若直线y=x+2k+1与直线y=-x+2的交点在第一象限,则实数k的取值范围是(　　) A. C. 3.(教材习题改编)(多选题)若三条直线(a2-3a+1)x-2y+5=0,y=2x,x+2y=5交于一点,则a=(　　) A.-2　　　　B.3　　　　C.1　　　　D.2 4.已知△ABC三边所在直线的方程分别为AB:3x+4y+12=0,BC:4x-3y+16=0,CA:2x+y-2=0,则AC边上的高所在直线的方程是(　　) A.x-2y+4=0　　　　B.x-7y+4=0 C.4x-3y-9=0　　　　D.7x+y+28=0 5.(多选题)若三条不同的直线l1:mx+2y+m+4=0,l2:x-y+1=0,l3:3x-y-5=0能围成一个三角形,则m的取值不可能为(　　) A.-2　　　　B.-6　　　　C.-3　　　　D.1 题组二　过两直线交点的直线方程 6.无论k为何值,直线(k+2)x+(1-k)y-4k-5=0都过一个定点,则该定点为(　　) A.(1,3)　　　　B.(-1,3) C.(3,1)　　　　D.(3,-1) 7.平面直角坐标系xOy中,过直线l1:7x-3y+1=0与l2:x+4y-3=0的交点,且在y轴上截距为1的直线l的一般式方程为　　　　　　.  8.已知直线x+ky+2=0经过两直线3x+2y-9=0和x-1=0的交点,则k的值等于　　　　.  9.已知直线l经过两条直线x+2y-5=0和3x-y-1=0的交点. (1)若直线l与直线x-2y-1=0垂直,求l的方程; (2)若直线l在两个坐标轴上的截距相同,求l的方程. 能力提升练 题组　两条直线交点问题的应用 1.(多选题))已知直线l1:ax-y+2=0,直线l2:x-ay+2=0,则(　　) A.当a=0时,两直线的交点为(-2,2) B.直线l1恒过点(0,2) C.若l1⊥l2,则a=0 D.若l1∥l2,则a=1或a=-1 2.经过直线x+y+1=0和2x+y+5=0的交点,且在两坐标轴上的截距之和为0的直线方程为(　　) A.x+y+7=0 B.x-y+7=0 C.x-y+7=0或3x+4y=0 D.x+y+7=0或3x+4y=0 3.(多选题)已知平面上三条直线x-2y+1=0,2x+y-1=0,x+ky=0,如果这三条直线将平面划分成六部分,则实数k的可能取值为(　　) A. 4.如图,在△ABC中,BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,∠BAC的平分线所在直线的方程为y=0,若点B的坐标为(1,2),则点A的坐标为　　　　,点C的坐标为　　　　.  5.经过点P(0,1)的直线l与直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0分别交于P1,P2两点,且满足,则直线l的方程为　　　　.  6.已知定点P(6,4)与定直线l1:y=4x,过P点的直线l与l1交于第一象限的Q点,与x轴正半轴交于点M,则使△OQM(O为坐标原点)面积最小的直线l的方程为　　　　　　.  7.已知△ABC的顶点A(3,3),AB边上的中线CM所在直线的方程为x+y-1=0,AC边上的高BN所在直线的方程为6x-y+3=0. (1)求顶点B的坐标; (2)求直线BC的方程. 答案与分层梯度式解析 1.4　两条直线的交点 基础过关练 1.BD　对于A,联立无解,两直线平行; 对于B,联立有唯一解,两直线相交; 对于C,联立有无数组解,两直线重合; 对于D,联立有唯一解,两直线相交. 故选BD. 2.A　联立. 因为交点在第一象限,所以解得-.故选A. 3.CD　联立故直线y=2x与x+2y=5的交点为(1,2), 将(1,2)代入方程(a2-3a+1)x-2y+5=0中,解得a=1或a=2.故选CD. 方法点拨　若三条直线交于同一个点,求直线方程中的参数时,只需求出其中两条直线的交点,利用该交点也在第三条直线上即可求解.若三条直线有三个不同的交点,则需满足其中两条直线的交点不在第三条直线上,且三条直线两两互不平行. 4.A　易知AC边上的高所在直线的斜率存在,设为k,易求得kAC=-2,∴k=, 联立得x=-4,y=0,即B(-4,0), ∴AC边上的高所在直线的方程为y=(x+4),整理得x-2y+4=0.故选A. 5.ABC　易知直线l1过定点(-1,-2),且该点不在直线l2,l3上.若l1∥l2,则,解得m=-2; 若l1∥l3,则,解得m=-6; 若l1经过直线l2与l3的交点,此时三条直线不能围成一个三角形, 联立即交点坐标为(3,4), 将(3,4)代入直线l1的方程,可得3m+2×4+m+4=0,解得m=-3. 故选ABC. 归纳总结　本题求三条直线能围成三角形时m的值不可能是多少,也就是求三条直线不能围成三角形时m的值,要注意理清逻辑关系,三条直线不能围成三角形有两种情况,一是其中两条直线平行或重合,二是三条直线交于一点. 6.D　直线方程可化为(2x+y-5)+k(x-y-4)=0,则此直线过直线2x+y-5=0和x-y-4=0的交点.由因此所求定点为(3,-1). 故选D. 7.答案　9x+5y-5=0 解析　解法一:由即直线l1与l2的交点为,又l过点(0,1),所以由直线的两点式方程得,化简得9x+5y-5=0. 解法二:设l的方程为7x-3y+1+λ(x+4y-3)=0,由已知得l过点(0,1), 所以0-3+1+λ(0+4-3)=0⇒λ=2,故直线l的方程为9x+5y-5=0. 方法技巧　求过两条直线交点的直线方程一般有两种方法,一是直接求出交点坐标,再结合已知条件求直线方程,二是待定系数法,即设过直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0,求出λ即可. 8.答案　-1 解析　解法一:联立即两直线的交点为(1,3),将点(1,3)代入方程x+ky+2=0,可得1+3k+2=0,解得k=-1. 解法二:设直线方程为3x+2y-9+λ(x-1)=0,即(3+λ)x+2y-9-λ=0, 所以,解得λ=-5,k=-1. 9.解析　解法一:由 即直线x+2y-5=0和3x-y-1=0的交点为(1,2). (1)因为l垂直于直线x-2y-1=0,所以l的斜率为-2. 由点斜式可得直线l的方程为y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0. (2)①当截距为0时,设l的方程为y=kx, 把点(1,2)代入得k=2,所以l的方程为2x-y=0; ②当截距不为0时,设l的方程为=1, 把点(1,2)代入得=1,解得a=3,所以l的方程为x+y-3=0, 所以l的方程为2x-y=0或x+y-3=0. 解法二:设l的方程为x+2y-5+λ(3x-y-1)=0,即(1+3λ)x+(2-λ)y-5-λ=0. (1)因为l垂直于直线x-2y-1=0,所以1×(1+3λ)+(-2)×(2-λ)=0,解得λ=, 所以l的方程为=0,即2x+y-4=0. (2)若截距为0,则-5-λ=0,解得λ=-5,此时l的方程为2x-y=0; 若截距不为0,则1+3λ=2-λ,解得λ=,此时l的方程为x+y-3=0, 所以l的方程为2x-y=0或x+y-3=0. 能力提升练 1.ABC　对于A,当a=0时,l1:2-y=0,l2:x+2=0,由所以两直线的交点为(-2,2),故A正确; 对于B,令即l1恒过点(0,2),故B正确; 对于C,若l1⊥l2,则a×1+(-1)×(-a)=0,解得a=0,故C正确; 对于D,若l1∥l2,则a×(-a)-1×(-1)=0,解得a=1或a=-1, 当a=1时,l1:x-y+2=0,l2:x-y+2=0,两直线重合,故舍去, 当a=-1时,l1:x+y-2=0,l2:x+y+2=0,两直线平行,所以a=-1,故D错误. 故选ABC. 2.C　由 所以直线x+y+1=0和2x+y+5=0的交点为(-4,3), 由题意可知所求直线的斜率存在且不为0,设为k(k≠0),则所求直线的方程为y-3=k(x+4), 令x=0,可得y=4k+3,令y=0,可得x=-4-, 则-4-+4k+3=0,整理得4k2-k-3=0,解得k=1或k=-,所以所求直线的方程为x-y+7=0或3x+4y=0. 故选C. 3.ABD　三条直线将平面划分成六部分有以下两种情况: ①三条直线交于同一点,解方程组,直线x+ky=0也过该点,故k=0⇒k=-. ②直线x+ky=0与已知两条直线中的一条平行, 当直线x+ky=0与x-2y+1=0平行时,易得k=-2; 当直线x+ky=0与2x+y-1=0平行时,易得k=. 综上所述,k的取值集合为. 故选ABD. 4.答案　(-1,0);(5,-6) 解析　由方程组 故点A(-1,0). ∵∠BAC的平分线所在直线的方程为y=0, ∴kAC=-kAB=-1,∴边AC所在直线的方程为y=-(x+1). ∵BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0, ∴kBC=-2. 又B(1,2),∴边BC所在直线的方程为y-2=-2(x-1). 由故点C(5,-6). 5.答案　y=1 解析　当直线l的斜率不存在时,方程为x=0, 此时直线l与两直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0的交点P1,P2的坐标分别为,(0,8),则=(0,7),不满足, 故直线l的斜率存在,设为k,则l的方程为y=kx+1, 则直线l与两直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0的交点P1,P2的横坐标分别为, ∵,解得k=0, 故直线l的方程为y=1. 6.答案　x+y-10=0 解析　当直线l的斜率不存在时,其方程为x=6,由即Q(6,24),易知M(6,0), 所以△OQM的面积S=×6×24=72. 当直线l的斜率存在时,不妨设其方程为y-4=k(x-6),令y=0,得x=6-,即M,易知6->0,① 由即Q,则>0,② 由①②得k<0或k>4, 此时,△OQM的面积S=, 令3k-2=t(t<-2或t>10),得k=, 则S=,由t<-2或t>10,得-<0或0<, 又1-, 所以0<-20,故S==40,此时t=-5,k=-1, 因为40<72,所以使△OQM面积最小的直线l的方程为y-4=-(x-6),即x+y-10=0. 7.解析　(1)设B(x0,y0),则M, 由已知可得 所以点B的坐标为(-1,-3). (2)由已知可设直线AC的方程为x+6y+m=0, 又点A在直线上,所以3+18+m=0,解得m=-21, 所以直线AC的方程为x+6y-21=0. 联立则C(-3,4). 由两点式方程得,整理可得7x+2y+13=0. 12 学科网（北京）股份有限公司 $$