3.3.1 抛物线的标准方程（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（苏教版2019）

　　平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线,定点 F叫作抛物线的焦点,定直线l叫作抛物线的准线. 3.3 抛物线 知识点 1 抛物线的定义 知识 清单破 3.3.1 抛物线的标准方程 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 2 抛物线的标准方程 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形         焦点坐标         准线方程 x=-  x=  y=-  y=  开口方向 向右 向左 向上 向下 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 　　特别说明: (1)p的几何意义是焦点到准线的距离. (2)准线与焦点所在坐标轴垂直,垂足与焦点关于原点对称,它们到原点的距离都等于一次项 系数的绝对值的 ,即 = . (3)抛物线的开口方向与x轴(或y轴)的正半轴方向相同,即焦点在x轴(或y轴)的正半轴上,标准 方程的右端系数为正;开口方向与x轴(或y轴)的正半轴方向相反,即焦点在x轴(或y轴)的负半 轴上,标准方程的右端系数为负. 知识拓展 　　已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两个点,若OA⊥OB,则直线AB过定点(2p,0),反之也成立. 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.在抛物线的定义中,若去掉“F不在l上”,则点的轨迹还是抛物线吗? 2.有人说:若抛物线的方程为y2=2ax(a≠0),则抛物线的焦点坐标为 ,对吗? 3.抛物线的标准方程中,p的几何意义是焦点到准线的距离,它的大小与抛物线的开口大小有 关吗? 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.不是.若去掉该条件,则动点的轨迹是过定点F且垂直于直线l的一条直线. 2.不对.抛物线的焦点坐标是 . 3.有关.对于方程y2=2px(p>0),当x的值确定后,p值越大,|y|也越大,所以抛物线的开口也越大. 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 抛物线的标准方程的求解 关键能力 定点破   1.定义法 　　根据抛物线的定义确定p的值,再结合焦点位置求出抛物线的方程. 2.待定系数法 (1)设方程:根据焦点位置(或开口方向),设出标准方程; (2)列方程:根据条件建立关于参数p的方程; (3)解方程:解关于参数p的方程,求出p的值; (4)得方程:根据参数p的值,写出所求的标准方程. 　　若焦点位置不明确,一般需分四种情况讨论,若焦点在x轴上,可设其方程为y2=mx(m≠0), 若焦点在y轴上,可设其方程为x2=my(m≠0). 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例 根据下列条件确定抛物线的标准方程. (1)焦点在y轴上且过点(-1,-3); (2)过点(4,-8); (3)焦点在直线x-2y-4=0上. 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由已知可设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),把(-1,-3)代入得1=6p,故p= ,所以抛物线 方程为x2=- y. (2)由已知可设抛物线的方程为y2=2p1x(p1>0)或x2=-2p2y(p2>0),分别把点(4,-8)代入得64=8p1,16 =16p2,所以p1=8,p2=1, 所以抛物线的方程为y2=16x或x2=-2y. (3)易知点(0,-2)和(4,0)在直线x-2y-4=0上,设抛物线方程为x2=-2p1y(p1>0)或y2=2p2x(p2>0),则  =2, =4,得p1=4,p2=8, 所以抛物线的方程为x2=-8y或y2=16x. 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 1.判断轨迹问题 　　用抛物线的定义可以判断与定点、定直线的距离有关的动点的轨迹是不是抛物线. 2.实现距离转化 　　利用抛物线的定义可以实现抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离的等价转化.“看 到准线想焦点,看到焦点想准线”是解决抛物线距离问题的有效途径. 3.解决最值问题 　　求解抛物线上一点P到焦点F的距离和到已知点M(M在抛物线内部)的距离之和的最小 值问题,通常利用抛物线的定义将点P到F的距离转化为点P到准线的距离,再利用三点共线 知识求解. 定点 2 抛物线定义的应用 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 　　已知抛物线上一点(x0,y0). 4.焦半径公式 标准方程 焦半径 y2=2px(p>0) x0+  y2=-2px(p>0)  -x0 x2=2py(p>0) y0+  x2=-2py(p>0)  -y0 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)已知动圆M与直线y=-2相切,且与定圆C:x2+(y-3)2=1外切,那么动圆圆心M的轨迹方程 为　　　　　    ; (2)已知M为抛物线y2=4x上的动点,F为抛物线的焦点,P(3,1),则MP+MF的最小值为　　　    ; (3)已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(位于第一象限)到焦点F的距离等于2p,则直线MF的斜率 为　　　    . x2=12y     4 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)解法一:由题意知,动点M到C(0,3)的距离比到直线y=-2的距离大1, 则动点M到C(0,3)的距离与到直线y=-3的距离相等, 根据抛物线的定义知M的轨迹是以直线y=-3为准线,点(0,3)为焦点的抛物线, 设抛物线方程为x2=2py(p>0),则 =3,解得p=6,故圆心M的轨迹方程为x2=12y. 解法二:设M(x,y),则 =|y+2+1|,变形为x2+y2-6y+9=y2+6y+9,则x2=12y, 故圆心M的轨迹方程为x2=12y. (2)如图所示:   第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 设点M在准线上的射影为D,由抛物线的定义知MF=MD, 要求MP+MF的最小值,即求MP+MD的最小值,当D,M,P三点共线时,MP+MD最小,且(MP+MD) min=D'P=3-(-1)=4. (3)因为抛物线y2=2px(p>0)上一点M与焦点F间的距离MF=2p, 所以xM+ =2p,得xM= ,将xM= 代入y2=2px,得yM= p或yM=- p(舍去). 所以点M的坐标为 ,所以直线MF的斜率为 = . 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 1.判断直线与抛物线的位置关系与椭圆、双曲线一样,通常使用代数法,即将直线与抛物线的 方程联立,整理成关于x(或y)的方程ax2+bx+c=0(ay2+by+c=0). (1)当a≠0时,利用判别式解决: Δ>0⇒相交;Δ=0⇒相切;Δ<0⇒相离. (2)当a=0时,方程只有一个解x=-  ,这时直线与抛物线的对称轴平行或重合. 　　注:若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线相切或直线与抛物线相交(此时直 线与抛物线的对称轴平行或重合). 2.直线与抛物线相交的弦长问题 　　若直线(斜率为k)与抛物线y2=2px(p>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则AB= |x1-x2|= 定点 3 直线与抛物线的位置关系  |y1-y2|(k≠0). 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知抛物线C:y2=2px(p>0),直线l:2x-3y+4=0与抛物线C交于M,N两点. (1)若线段MN中点的纵坐标为3,求p的值; (2)若MN= ,求p的值. 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 解析    设M(x1,y1),N(x2,y2). (1)联立 两式相减可得(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2),即p= · = ×3=2. (2)联立 消去x,得y2-3py+4p=0,则Δ=9p2-16p>0,解得p> 或p<0(舍去), 由根与系数的关系得y1+y2=3p,y1y2=4p, 又直线l的斜率k= , 所以MN= ·|y1-y2|= · = · = · = , 故9p2-16p=4,解得p=2或p=- (舍去). 故p的值为2. 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 $$