3.1.2 椭圆的几何性质（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（苏教版2019）

知识点 椭圆的几何性质 必备知识 清单破 3.1.2 椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形     标准方程  + =1(a>b>0)  + =1(a>b>0) 范围 -a≤x≤a,-b≤y≤b -b≤x≤b,-a≤y≤a 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 对称性 对称轴为x轴、y轴,对称中心为原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0) 轴长 长轴长为2a,短轴长为2b 离心率 e= (0<e<1) 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 知识拓展 1.椭圆的通径:过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦叫作椭圆的通径,通径长为 . 2.焦半径:椭圆上的任一点P(x0,y0)与焦点F1 或F2之间的线段的长度叫作椭圆的焦半径.记r1= PF1,r2=PF2,则 ①当焦点在x轴上时,r1=a+ex0,r2=a-ex0; ②当焦点在y轴上时,r1=a+ey0,r2=a-ey0. 3.焦点弦:过焦点的直线与椭圆相交形成的弦.焦点弦中通径最短. 4.最大角:已知椭圆C: + =1(a>b>0),F1,F2分别为它的左、右焦点,A,B分别为它的左、右 顶点,P是椭圆上的动点,当P为C的上(下)顶点时,∠F1PF2最大且∠APB最大. 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.椭圆的顶点是椭圆与坐标轴的交点吗? 2.若椭圆的中心在原点,顶点在坐标轴上,则一定能根据椭圆顶点的坐标判断椭圆焦点的位置 吗? 3.椭圆的离心率e决定着椭圆的扁平程度,e越大,椭圆越扁;e越小,椭圆越圆,这种说法正确吗? 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.不一定是.椭圆的顶点是椭圆与其对称轴的交点.若椭圆的方程是标准方程,则此时椭圆的 对称轴是坐标轴,顶点可看作椭圆与坐标轴的交点. 2.不一定.当椭圆的中心在原点时,若只知道椭圆的一个顶点坐标,或一条坐标轴上的两个顶 点坐标,无法判断焦点的位置;若知道不在同一条坐标轴上的两个顶点的坐标,则可判断焦点 位置. 3.正确.由e= = 可知,e越大, 越小,椭圆越扁;e越小, 越大,椭圆越圆. 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 　 1.已知椭圆方程,确定椭圆的几何性质的步骤 (1)将所给方程化成标准形式; (2)判断焦点所在的坐标轴; (3)确定a,b,由a2=b2+c2求出c,从而确定相关性质. 2.利用椭圆的性质确定椭圆的标准方程 　　利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程,通常用待定系数法: (1)与椭圆 + =1(a>b>0)有相同离心率的椭圆的方程为 + =k1(k1>0,a>b>0)或 + = k2(k2>0,a>b>0). (2)与椭圆 + =1(a>b>0)有相同焦点的椭圆的方程为 + =1(a2>b2>k). 定点 1 椭圆的几何性质及其应用  关键能力 定点破 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)求两个顶点分别为(3,0),(-3,0),离心率为 的椭圆的标准方程; (2)过点( ,- ),且与椭圆 + =1有相同焦点的椭圆的标准方程. 解析    (1)若焦点在x轴上,则a=3,由 = ,得c=2 ,∴b2=a2-c2=1, ∴椭圆的标准方程为 +y2=1; 若焦点在y轴上,则b=3,将 = 代入b2=a2-c2中,得a2- a2=9,∴a2=81, ∴椭圆的标准方程为 + =1. 故椭圆的标准方程为 +y2=1或 + =1. 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 (2)解法一:设所求椭圆的标准方程为 + =1(a>b>0),由题意得c= =4, 又椭圆过点( ,- ),所以由椭圆的定义知2a= + =4  ,所以a=2 ,故b2=a2-c2=4. 所以所求椭圆的标准方程为 + =1. 解法二:设所求椭圆的方程为 + =1(k<9),把点( ,- )代入,得 + =1,解得k =5或k=21(舍). 所以所求椭圆的标准方程为 + =1. 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 　 求椭圆离心率的两种方法 (1)若已知a,c,则可直接利用e= 求解;若已知a,b(或b,c),可由a2=b2+c2求出c(或a),再代入e= 求 解; (2)若a,c的值不可求,则可根据条件建立a,b,c的关系式,由a2=b2+c2转化为关于a,c的齐次方程 或不等式,然后两边同时除以a的最高次幂,得到关于e的方程或不等式,解得e的值或范围,最 后结合0<e<1得出结果. 定点 2 椭圆离心率的求解 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)若椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,求椭圆的离心率; (2)已知椭圆C: + =1(a>b>0),点F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,在椭圆C上存在点P,且P 在以原点O为圆心, c为半径的圆上,求椭圆离心率的取值范围. 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)不妨设该椭圆的焦点在x轴上,根据题意得椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成等 边三角形,如图, 则∠BF1F2=60°,tan∠BF1F2= = = , 所以b= c,由a2=b2+c2=3c2+c2=4c2,得e2= = ,因为0<e<1,所以e= . (2)因为P在以原点为圆心, c为半径的圆上,所以b≤ c≤a, 又 c≤a⇒e≤ ,b≤ c⇒ ≤3⇒ ≤3⇒ ≤2⇒e≥ ,所以 ≤e≤ . 故椭圆离心率的取值范围是 . 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 与椭圆有关的最值问题的常用解法 (1)利用定义将其转化为几何问题,解题时可结合椭圆的几何性质、平面几何中的定理、性 质等进行求解.特别地,椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点,距离的最大值 为a+c,最小值为a-c. (2)利用换元法将其转化为函数的最值问题来处理,此时,应注意椭圆中x,y的取值范围. 定点 3 与椭圆有关的最值问题 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知椭圆C: + =1(a>b>0)的右焦点为F,离心率e= ,长轴长为4,过点F的直线l与椭 圆交于M,N两点(非长轴端点). (1)求椭圆C的方程; (2)已知点Q(0,2),求线段MQ长度的取值范围; (3)延长MO交椭圆C于点P,求△MNP的面积的最大值. 思路点拨    (1)利用长轴长及离心率求出a,c,再利用b2=a2-c2求出b2,从而求得椭圆方程.(2)设点 M(x0,y0),利用两点间距离公式,结合点在椭圆上及变量的范围,即可求得MQ长度的范围.(3)设 直线l的方程为x=my+ ,M(x1,y1),N(x2,y2),联立直线l与椭圆的方程,利用根与系数的关系表示 出线段MN的长,结合点到直线的距离,表示出三角形的面积,最后根据基本不等式求面积的最 大值. 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意得2a=4,∴a=2. 又∵e= = ,∴c= ,∴b2=a2-c2=1. ∴椭圆C的方程为 +y2=1. (2)设M(x0,y0),则 + =1,y0∈[-1,0)∪(0,1], ∴MQ= = = ,y0∈[-1,0)∪(0,1]. 结合二次函数的性质可知,线段MQ长度的取值范围是[1,2 )∪ . (3)设直线l的方程为x=my+ ,M(x1,y1),N(x2,y2), 联立 消去x,得(4+m2)y2+2 my-1=0. 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 易知Δ>0,y1+y2= ,y1y2= , ∴MN=  = . 又原点O到直线l的距离d= , ∴P到直线l的距离为2d= , ∴S△MNP= MN·2d= . 令 =t,则m2=t2-1,t≥1,则S△MNP= = ≤ =2,当且仅当t= 时,取等号. 所以△MNP的面积的最大值是2. 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 1.解决定点问题,需要注意两个方面 (1)抓“特值”,涉及的定点多在两条坐标轴上,所以可以从斜率不存在或斜率为0的特殊情况 入手找出定点,为解题指明方向. (2)抓“参数之间的关系”,定点问题多是直线过定点,其实质就是求解直线方程中参数之间 的关系,所以要熟悉直线方程的特殊形式,若直线方程为y=kx+b,则直线恒过点(0,b),若直线方 程为y=k(x-a),则直线恒过点(a,0). 2.定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题,解决定值问题的常用方法: (1)从特殊情况入手,求出定值,再证明这个值与变量无关. (2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值. 定点 4 与椭圆有关的定点、定值问题 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知椭圆C: + =1(a>b>0)的右焦点和上顶点均在直线x+y- =0上. (1)求椭圆C的方程; (2)已知点A(2,1),若过点B(3,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点M,N,直线AM和直线AN的斜率 分别为k1和k2,求证:k1+k2为定值. 思路点拨    (1)求出直线与坐标轴的交点坐标,可得椭圆的右焦点和上顶点坐标,进而得c,b,再 由a2=b2+c2求出a2,从而得椭圆方程.(2)设直线方程为y=k(x-3),M(x1,y1),N(x2,y2),将直线方程与椭 圆方程联立,结合根与系数的关系计算k1+k2即可. 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)对于x+y- =0,当x=0时,y= ,当y=0时,x= , 因为椭圆的右焦点和上顶点均在直线x+y- =0上,所以b= ,c= ,所以a2=b2+c2=6, 所以椭圆的方程为 + =1. (2)证明:易知B(3,0)在椭圆外,因为过点B(3,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点, 所以直线l的斜率一定存在,设其方程为y=k(x-3),M(x1,y1),N(x2,y2), 由 得(1+2k2)x2-12k2x+18k2-6=0,则Δ=144k4-4(1+2k2)(18k2-6)>0,得-1<k<1,且x1+x2=  ,x1x2= , 所以k1+k2= +  第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 =  =  =  = =-2. 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 $$