3.1.1 椭圆的标准方程（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（苏教版2019）

　　平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆,两个定点F1, F2叫作椭圆的焦点,两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距. 第3章 圆锥曲线与方程 3.1　椭圆 知识点 1 椭圆的定义 必备知识 清单破 3.1.1 椭圆的标准方程 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 2 椭圆的标准方程 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形     标准方程  + =1(a>b>0)  + =1(a>b>0) 焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) a,b,c的关系 a2=b2+c2 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 　 　　点P(x0,y0)与椭圆 + =1(a>b>0)的位置关系: (1)点P在椭圆上⇔ + =1; (2)点P在椭圆内部⇔ + <1; (3)点P在椭圆外部⇔ + >1. 知识点 3 点与椭圆的位置关系 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 　 1.直线与椭圆位置关系的判断 　　一般地,联立直线Ax+By+C=0(A,B不全为0)与椭圆 + =1(a>b>0)的方程,得  整理,得到一个关于x(或y)的一元二次方程. 知识点 4 直线与椭圆的位置关系 位置关系 Δ的取值 交点的个数 相交 Δ>0 2 相切 Δ=0 1 相离 Δ<0 0 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 2.弦长公式 　　设直线l:y=kx+b与椭圆交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则P1P2= |x1-x2|= ·  或P1P2= |y1-y2|= · (k≠0). 知识拓展 1.若动点M与定点F(c,0)之间的距离和它到定直线l:x= 的距离之比是常数 (0<c<a),则动点 M的轨迹叫作椭圆,定点为椭圆的一个焦点. 2.已知定点A(-a,0),B(a,0),若直线AM、BM相交于点M,且它们的斜率之积为- ,则点M的轨迹 是椭圆(不包含点A、B). 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.平面内到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆吗? 2.椭圆 + =1(a>b>0)和椭圆 + =1(a>b>0)的焦点虽然不同,但都满足a2=b2+c2,这种说 法正确吗? 3.椭圆的标准方程可以写成mx2+ny2=1(m>0,n>0)的形式,反过来,若一个方程是mx2+ny2=1(m>0, n>0)的形式,它一定表示椭圆吗? 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.不一定.当常数大于两定点之间的距离时,点的轨迹是椭圆;当常数等于两定点之间的距离 时,点的轨迹是线段;当常数小于两定点之间的距离时,点的轨迹不存在. 2.正确.焦点无论是落在x轴上还是y轴上,都满足a2=b2+c2,且a>b,a>c. 3.不一定.若m=n,则该方程表示的图形是圆. 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 　 1.定义法求椭圆的标准方程 　　根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置写出椭圆的标准方程. 2.待定系数法求椭圆的标准方程 (1)求椭圆的标准方程,一般是先“定性”,即判断焦点所在的坐标轴,再“定量”,即确定a,b 的值. (2)求a,b的值时可利用条件直接求出,也可用待定系数法设出相应的标准方程,然后计算. 如果明确椭圆的焦点在x轴或y轴上,那么设所求的椭圆方程为 + =1或 + =1(a>b>0). 如果中心在原点,但焦点的位置不能明确是在x轴上,还是在y轴上,那么方程可以设为mx2+ny2 =1(m>0,n>0,m≠n). 定点 1 椭圆标准方程的求解 关键能力 定点破 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例 求符合下列条件的椭圆的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别为(0,-2),(0,2),并且椭圆经过点 ; (2)焦点在坐标轴上,且经过A( ,-2)和B(-2 ,1)两点. 思路点拨    (1)定性:设椭圆的方程为 + =1(a>b>0) 定量:求a,b的值 求椭圆的标准 方程. (2)设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n) 待定系数法求椭圆的标准方程. 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意知,椭圆的焦点在y轴上, ∴设椭圆的标准方程为 + =1(a>b>0). 由椭圆的定义,知2a= + =2 ,即a= . 又c=2,∴b2=a2-c2=6. ∴所求椭圆的标准方程为 + =1. (2)设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n). ∵A( ,-2)和B(-2 ,1)两点在椭圆上, ∴  第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 即 解得  ∴所求椭圆的标准方程为 + =1. 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 　 1.椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成的△PF1F2称为焦点三角形.关于椭圆的焦点三角 形问题,通常利用椭圆的定义,并结合勾股定理、正弦定理、余弦定理等知识求解. 2.焦点三角形的常用结论 (1)焦点三角形的周长L=2a+2c. (2)在△PF1F2中,由余弦定理可知F1 =P +P -2PF1·PF2·cos∠F1PF2. (3)设P(xP,yP),则焦点三角形F1PF2的面积为c·|yP|= PF1·PF2·sin∠F1PF2=b2tan . 定点 2 椭圆的焦点三角形问题 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知点P是椭圆 + =1上的点,点F1,F2是椭圆的两个焦点,若△F1PF2中有一个角的大 小为 ,则△F1PF2的面积为　　 　    .    3 或6  解析    由椭圆方程知a=5,b=3,则c= =4. 若∠F1PF2= ,则 =b2tan =9tan =3 ; 若∠PF1F2= ,设PF1=m,则PF2=2a-m=10-m, 由余弦定理得P =P +F1 -2PF1·F1F2cos∠PF1F2,即(10-m)2=m2+64-8m,解得m=3, ∴ = PF1·F1F2·sin∠PF1F2= ×3×8× =6 ; 同理可得,当∠PF2F1= 时, =6 . 综上所述,△F1PF2的面积为3 或6 . 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 　  1.求相交弦的长的两种方法 (1)求出直线与椭圆的两交点的坐标,用两点间的距离公式求弦长. (2)联立直线与椭圆的方程,消元,得到一个关于x(或y)的一元二次方程,设两个交点分别为A(x1, y1),B(x2,y2),根据弦长公式AB= |x1-x2| ,结合根与系数的关 系求弦长. 2.与椭圆中点弦有关的三种题型及解法 (1)利用根与系数的关系求中点坐标:联立直线和椭圆方程构成方程组,消去x(或y)得到一元二 次方程,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. (2)利用点差法求直线斜率或方程:利用弦的端点在椭圆上,将端点坐标分别代入椭圆方程,然 定点 3 直线与椭圆的相交弦问题 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 后作差,得到中点坐标和直线斜率的关系,即若椭圆方程为 + =1(a>b>0),直线与椭圆相交 于点A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,且弦AB的中点为M(x,y),则 ①-②,整理得a2( - )+ b2( - )=0,所以 =- · =- · . 　　这样就建立了中点坐标与直线斜率之间的关系,从而使问题得以解决. (3)利用共线法求直线方程:设椭圆 + =1(a>b>0)与直线AB的一个交点为A(x,y),另一个交 点为B,如果弦AB的中点为P(x0,y0),那么利用中点坐标公式可得B(2x0-x,2y0-y),则有 + =1,  + =1,两式作差即可得所求直线的方程. 　　其中点差法是解决中点弦问题最常用的方法,点差法中体现的设而不求思想还可以用于 解决对称问题. 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知椭圆 + =1和点P(4,2),直线l经过点P且与椭圆交于A,B两点. (1)当直线l的斜率为 时,求线段AB的长度; (2)当P恰好为线段AB的中点时,求l的方程. 思路点拨    (1)求出直线方程 联立直线与椭圆的方程,得方程组 解方程组得交点坐 标 由两点间距离公式求得弦长. (2)设A,B的坐标 利用“点差法”求出kAB 得出直线l的方程. 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由已知可得直线l的方程为y-2= (x-4),即y= x. 由 得x2-18=0,解得x=±3 . 设A(xA,yA),B(xB,yB), 不妨令xA=3 ,xB=-3 , 则A ,B , 所以AB= =3 , 所以线段AB的长度为3 . 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则有  两式相减, 得 + =0, 整理,得kAB= =- . 又P(4,2)是线段AB的中点,所以x1+x2=8,y1+y2=4,于是kAB=- =- , 于是直线l的方程为y-2=- (x-4). 即x+2y-8=0. 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 方法技巧    (1)解答直线与椭圆的综合题目时,常把直线与椭圆的方程联立,消去x(或y)建立一 元二次方程,然后借助根与系数的关系,并结合题设条件建立有关参变量的等量关系. (2)涉及求解直线方程的问题,务必考虑全面,不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形. 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 $$