2.3 圆与圆的位置关系（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（苏教版2019）

　 1.代数法:设两圆的方程分别为C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0( + -4F1>0),C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 ( + -4F2>0),联立得方程组 消元后得到一元二次方程(若得到的 是一元一次方程,则要求出方程组的解进行判断),计算判别式Δ的值,按下列表中的标准进行 判断. 2.几何法:设两圆的半径分别为r1,r2,圆心距为d,按下列表中的标准进行判断. 2.3　圆与圆的位置关系 知识点 圆与圆的位置关系及其判断 必备知识 清单破 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示           公共点个数 0 1 2 1 0 Δ的值 Δ<0 Δ=0 Δ>0 Δ=0 Δ<0 d与r1,r2的关系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|<d<r1+r2 d=|r1-r2| d<|r1-r2| 公切线条数 4 3 2 1 0 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.两圆方程联立,若方程组有两组解,则两圆相交,对吗? 2.如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆的位置关系是什么? 3.若两圆相切,则两圆有且仅有一条公切线吗? 4.设圆C1与圆C2的半径分别为r1,r2,若C1C2<r1+r2,则两圆相交吗? 5.设圆C1与圆C2的半径分别为r1,r2,若两圆没有公共点,则一定有C1C2>r1+r2吗? 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.对.若方程组有两组解,则以这两组解为坐标的点是两圆的公共点,所以两圆相交. 2.相切(即内切或外切). 3.不是.若两圆内切,则两圆有且仅有1条公切线;若两圆外切,则两圆有3条公切线. 4.不一定.当C1C2<r1+r2时,若C1C2>|r1-r2|,则两圆相交;若C1C2=|r1-r2|,则两圆内切;若C1C2<|r1-r2|,则 两圆内含. 5.不一定.若两圆没有公共点,则两圆外离或内含,即C1C2>r1+r2或C1C2<|r1-r2|. 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 1.几何法:将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较,进而判断出两 圆的位置关系,这是在解析几何中常用的方法. 2.代数法:将两圆的方程联立,得到方程组,解方程组,根据方程组解的组数判断两圆的位置关 系. 定点 1 两圆位置关系的判断  关键能力 定点破 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0和圆C2:x2+y2+4x=0. (1)当m=2时,判断圆C1和圆C2的位置关系; (2)是否存在实数m,使得圆C1和圆C2内含?若存在,求出m的取值范围,若不存在,请说明理由. 解析    (1)当m=2时,圆C1的标准方程为(x-2)2+(y+2)2=9,则C1(2,-2),半径r1=3, 圆C2的标准方程为(x+2)2+y2=4,则C2(-2,0),半径r2=2, ∴圆心距d= =2 , 又r1+r2=5,r1-r2=1,∴r1-r2<d<r1+r2, ∴圆C1和圆C2相交. (2)不存在.理由如下: 圆C1的方程可化为(x-m)2+(y+2)2=9,则C1(m,-2),半径r1=3.由(1)知C2(-2,0),半径r2=2. 假设存在实数m,使得圆C1和圆C2内含,则圆心距d= <3-2,即(m+2)2<-3,此不 等式无解.故不存在实数m,使得圆C1和圆C2内含. 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 1.两圆相切包括内切和外切,若只知道相切,则需分内切、外切两种情况讨论,再根据两圆的 圆心距与半径的关系列方程解决问题. 2.求两圆公切线问题的关键 (1)判断两圆的位置关系; (2)设公切线方程,利用圆心到直线的距离等于半径得参数所满足的方程,求出参数值得切线 方程; (3)可通过作图解决,画图要标准,做到“草图不草”. 定点 2 两圆相切问题  第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知圆O1:x2+y2+2x+6y+9=0,圆O2:x2+y2-6x+2y+1=0,则两圆的公切线方程为 　　　　　    　　　　　　    . y+4=0,4x-3y=0,x=0,3x+4y+10=0 解析    圆O1的圆心为O1(-1,-3),半径r1=1; 圆O2的圆心为O2(3,-1),半径r2=3,则O1O2=2 >r1+r2,所以两圆外离,两圆有四条公切线. 当公切线的斜率存在时,设其方程为y=kx+b,即kx-y+b=0,则有  解得 或 或  所以公切线方程为y+4=0,4x-3y=0,3x+4y+10=0. 当公切线的斜率不存在时,易知其方程为x=0. 所以公切线方程为y+4=0,4x-3y=0,x=0,3x+4y+10=0. 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 1.两圆的公共弦所在直线的方程的求法 设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0( + -4F1>0),圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0( + -4F2>0). 联立  ①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.③ 设两圆交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B的坐标适合方程①②,也适合方程③,因此方程③就 是经过两圆交点的直线方程. 故当两圆相交时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是经过两圆交点的直线方程,即公共弦所在直线 的方程. 当两圆外离时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是垂直于两圆圆心连线的一条直线的方程. 定点 3 两圆的公共弦问题  第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 当两圆相切时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是两圆的一条公切线的方程. 若两圆是等圆,则(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是以两圆圆心为端点的线段的垂直平分线的方 程. 2.两圆公共弦长的求法 (1)代数法:将两圆的方程联立,解出两交点的坐标,利用两点间的距离公式求出弦长. (2)几何法 ①将两圆的方程作差,求出公共弦所在直线的方程; ②求出其中一个圆的圆心到公共弦的距离; ③利用勾股定理求出公共弦长. 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 3.求经过两圆交点的圆的方程的方法 　　一般地,过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0( + -4F1>0)与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0( + - 4F2 >0) 交点的圆的方程可设为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R,λ≠-1),再由其他 条件求出λ即得圆的方程. 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知圆C1与y轴相切于点(0,3),圆心在直线x-y-1=0上. (1)求圆C1的方程; (2)若圆C1与圆C2:x2+y2-6x-3y+5=0相交于M,N两点,求两圆的公共弦长. 思路点拨    (1)由圆C1与y轴相切于(0,3),得圆心C1在直线y=3上,结合圆心C1在直线x-y-1=0上 求出圆心为(4,3).根据圆C1与y轴相切可得半径r=4,从而求出圆的方程. (2)由圆C1与圆C2的方程作差求出直线MN的方程,利用半弦长、半径、弦心距之间的关系求 出公共弦长. 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为圆C1与y轴相切于点(0,3),所以圆心在直线y=3上, 又因为圆心在直线x-y-1=0上,所以圆心为直线y=3与x-y-1=0的交点,联立 解得  可得圆心坐标为(4,3), 又因为圆C1与y轴相切于点(0,3),故圆C1的半径r=4, 所以圆C1的方程为(x-4)2+(y-3)2=16. (2)由(1)知,圆C1的方程为(x-4)2+(y-3)2=16,即x2+y2-8x-6y+9=0,圆C2:x2+y2-6x-3y+5=0, 两式作差可得两圆公共弦所在直线的方程为2x+3y-4=0, 圆心C1(4,3)到直线2x+3y-4=0的距离d= = , 所以两圆的公共弦长为2 =2× =2 . 易错警示    只有在两圆相交的前提下,求两圆公共弦所在的直线方程时,才能让两圆的方程 相减得公共弦所在的直线方程. 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 隐圆问题 　　有些与圆有关的题目中,题设条件没有明确给出圆的相关信息,而是隐藏在题目条件中, 因此在解决这类问题时,需要通过分析、转化已知条件发现圆的定义(或圆的方程),从而利用 圆的相关知识来求解,我们称这类问题为隐圆问题. 破解隐圆问题最关键的是定隐圆,定隐圆一般有以下几种方法: ①用定义定隐圆:利用圆的定义或圆的几何性质确定隐圆; ②用垂直关系定隐圆:若动点P与两定点A,B的连线的夹角为直角,则可知动点的轨迹为圆(不 包括A,B两点).具体表现形式为kPA·kPB=-1. ③用向量关系式定隐圆:两定点A,B,动点P 满足 · =0,确定隐圆. 专题疑难 突破 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 足PA=λPB,当λ>0 且λ≠1 时,点P的轨迹就是阿波罗尼斯圆. 除了上述五种方法外,还存在“四点共圆”模型,常见的有两种情形:一是四边形的对角互补; 二是共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等(即同弧所对的圆周角相等). ④用勾股定理定隐圆:两定点A,B,动点P 满足PA2+PB2=AB2,确定隐圆. ⑤用阿波罗尼斯圆定隐圆:在平面上给定相异的两点A,B,设点P 与点A,B 在同一平面内,且满 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例1 已知圆O:x2+y2=1,圆M:(x-a)2+(y-a+4)2=1.若圆M上存在点P,过点P作圆O的两条切线,切 点分别为A,B,使得∠APB=60°,则实数a的取值范围为　　 　    . 解析    由题意得圆M的半径为1,圆心为(a,a-4),圆O的半径为1, 连接OP,OA,因为直线AP,BP均为圆O的切线,且∠APB=60°,所以OA=1,∠APO=30°, 所以OP=2OA=2,根据圆的定义知点P在圆x2+y2=4上,记为圆E, 因为点P既在圆E上,又在圆M上,所以圆E与圆M一定有公共点,所以2-1≤ ≤2+1, 解得2- ≤a≤2+ ,所以实数a的取值范围是 . 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例2 在平面直角坐标系xOy中,直线l1:kx-y+2=0与直线l2:x+ky-2=0相交于点P,则当实数k变化 时,点P到直线x-y-4=0的距离的最大值为　　　    . 解析    解法一:由题意得直线l1经过定点(0,2),记为A,直线l2经过定点(2,0),记为B,且l1⊥l2,所以 点P在以AB为直径的圆上,记为圆C, 则圆C的圆心为(1,1),半径r= . 因为圆心C到直线x-y-4=0的距离d= =2 , 所以点P到直线x-y-4=0的距离的最大值为d+r=3 . 解法二:当k=0时,易得点P(2,2),则点P到直线x-y-4=0的距离为2 ; 当k≠0时,解方程组 得两直线交点P的坐标为 , 所以点P到直线x-y-4=0的距离d= = , 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 显然当d取得最大值时k为正数,则有 = ≤ ,当且仅当k=1时取“=”,所以  ≤ =3 . 综上可知,点P到直线x-y-4=0的距离的最大值为3 . 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例3 已知点A(-1,0),B(1,0),若圆(x-a+1)2+(y-a-2)2=1上存在点M满足 · =3,则实数a的取 值范围是　　　    .  [-2,1] 解析    设M(x,y),则 =(-1-x,-y), =(1-x,-y).因为 · =3,所以(-1-x,-y)·(1-x,-y)=3,即x2+y2= 4,表示圆. 又因为点M在圆(x-a+1)2+(y-a-2)2=1上,所以两圆必有交点, 所以2-1≤ ≤1+2, 即1≤ ≤3,解得-2≤a≤1. 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例4 已知O为原点,A(2,0),B(-1,0),若MA= MO,则MB的最大值为　　　    . 思路点拨    由题干条件知满足阿波罗尼斯圆的定义,利用其确定隐圆求最值. 解析    设M(x,y),由MA= MO,得(x-2)2+y2=2(x2+y2),即(x+2)2+y2=8,记为圆C. 所以M在圆心为C(-2,0),半径r=2 的圆上. 又BC=1,所以(MB)max=BC+r=1+2 . 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例5 在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2-4x=0及点A(-1,0),B(1,2).在圆C上是否存在点P, 使得PA2+PB2=12?若存在,求点P的个数;若不存在,请说明理由. 解析    圆C的标准方程为(x-2)2+y2=4,所以圆C的圆心C(2,0),半径为2. 设P(x,y)满足PA2+PB2=12,则PA2+PB2=(x+1)2+(y-0)2+(x-1)2+(y-2)2=12, 即x2+(y-1)2=4,所以点P在圆心为(0,1),半径为2的圆上. 因为|2-2|< <2+2, 所以圆(x-2)2+y2=4与圆x2+(y-1)2=4相交,即在圆C上存在点P,使得PA2+PB2=12,且点P的个数为2. 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 素养解读 　　直线与圆在实际生活中的应用问题,本质是把实际问题转化为数学问题,即数学建模.解 题的关键在于能够在实际问题的情境中,运用数学思维进行分析,发现情境中的数量关系,提 出数学问题,进而解决数学问题,运用的主要方法是解析法,即通过图形特点建立合适的平面 直角坐标系,用坐标和方程表示图形中的相关要素,选择合适的数学模型表达要解决的几何 问题,进而通过代数运算解决问题.在将实际问题通过解析法转化为数学问题的过程中,培养 学生数学建模的核心素养. 学科素养 情境破 素养 在研究直线与圆的应用问题中培养学生数学建模的核心素养 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 例题 甲、乙两人同时从半径为3 km的圆形社区中心出发,甲向正东方向走,乙向正北方向走. 甲出发不久,因有事改变前进方向,斜着沿切于社区周界的方向前进,后来恰好与乙相遇,甲、 乙两人的速度都一定,其比为3∶1,问甲、乙两人在何处相遇? 典例呈现 信息提取     关键信息 信息提取 半径为3的圆形社区 圆的方程为x2+y2=9 甲斜着沿切于社区周界的方向前进 甲的前进方向所在直线与圆相切 甲、乙两人相遇,求相遇点(乙在正北方向前进) 求切线与y轴交点的纵坐标 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 解题思路    以社区中心为原点,正东、正北方向分别为x,y轴的正方向,建立直角坐标系,如图,   设甲、乙两人的速度分别为3v km/h,v km/h,甲出发x0小时后,在P点改变前进方向,又经过y0小 时在Q点与乙相遇,则P(3vx0,0),Q(0,v(x0+y0)),则OP=3vx0千米,PQ=3vy0千米,OQ=v(x0+y0)千米. 因为OP2+OQ2=PQ2, 所以(3vx0)2+[v(x0+y0)]2=(3vy0)2, 整理得(x0+y0)(5x0-4y0)=0. 又因为x0+y0>0,所以5x0=4y0①, 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 所以kPQ= =- ②, 将①代入②得kPQ=- , 设直线PQ的方程为y=- x+b(b>0). 切线PQ与y轴的交点Q对应的纵坐标v(x0+y0)的值即为所求,故问题转化为“当直线y=- x+b 与圆x2+y2=9相切时,求直线的纵截距”. 由圆心到切线的距离等于半径得 =3,所以b= . 因此,甲、乙两人相遇的地点在离社区中心正北  km处. 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 思维升华 解决直线与圆的实际应用题的步骤 (1)审题:从题目中抽象出几何模型,明确已知和未知. (2)建系:建立适当的直角坐标系,用坐标和方程表示几何模型中的基本元素. (3)求解:利用直线与圆的有关知识求出未知. (4)还原:将运算结果还原到实际问题中去. 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 $$