2.2 直线与圆的位置关系（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（苏教版2019）

　　设圆M:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0).圆心M(a,b)到直线l的距离 d= .由 消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,其判别式 为Δ. 2.2　直线与圆的位置关系 知识点 直线与圆的位置关系 必备知识 清单破 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2 1 0 几何法 d<r d=r d>r 代数法 Δ>0 Δ=0 Δ<0 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.直线与圆有公共点,则直线与圆有怎样的位置关系? 2.若直线与圆相交,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程必有解,对吗? 3.若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程一定无 解,对吗? 4.过不在圆内的一点,一定可以作圆的两条切线,对吗? 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.若直线与圆有且仅有一个公共点,则直线与圆相切;若直线与圆有两个公共点,则直线与圆 相交. 2.对.若直线与圆相交,则它们必有公共点,而公共点的坐标是直线方程与圆的方程的公共解, 所以直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程必有解. 3.对.若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆相离,所以直线与圆没有公共点,因此直线方 程与圆的方程没有公共解,所以直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解. 4.不对.不在圆内的点,可能在圆上,也可能在圆外.当点在圆上时,只能作圆的一条切线;当点在 圆外时,可以作圆的两条切线. 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 　　判断直线与圆的位置关系主要有几何法和代数法两种方法,几何法侧重图形的几何性 质,代数法步骤简单,但计算量较大,具体解题时要根据题目特点合理选择. 另外,也可以用定点法判断,即若直线恒过定点且定点在圆内,则直线与圆相交.该法有一定的 局限性,若定点在圆上或在圆外,则需利用代数法或几何法进行讨论. 定点 1 直线与圆的位置关系的判断  关键能力 定点破 典例 已知直线l:mx-y-m-1=0,圆C:x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时,直线l与圆C: (1)相离?(2)相切?(3)相交? 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一(代数法):联立 消去y得x2+(mx-m-1)2-4x-2(mx-m-1)+1=0,整 理得(1+m2)·x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0, 因为1+m2≥1,所以Δ=4(m2+2m+2)2-4(1+m2)(m2+4m+4)=4m(3m+4). (1)若直线与圆相离,则Δ=4m(3m+4)<0,即- <m<0,故直线与圆相离时,m的取值范围为 . (2)若直线与圆相切,则Δ=4m(3m+4)=0,即m=0或m=- ,故直线与圆相切时,m的值为0或- . (3)若直线与圆相交,则Δ=4m(3m+4)>0,即m>0或m<- ,故直线与圆相交时,m的取值范围为  ∪(0,+∞). 解法二(几何法):将方程x2+y2-4x-2y+1=0化为标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4,易知圆心坐标为(2,1), 半径r=2. 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 则圆心到直线l的距离d= = . (1)若直线与圆相离,则d>r,即 >2,解得- <m<0,故直线与圆相离时,m的取值范围为  . (2)若直线与圆相切,则d=r,即 =2,解得m=0或m=- ,故直线与圆相切时,m的值为0或- . (3)若直线与圆相交,则d<r,即 <2,解得m>0或m<- ,故直线与圆相交时,m的取值范围为  ∪(0,+∞). 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 1.点P在圆上 (1)直接法:先求切点与圆心连线的斜率k,再由垂直关系得切线的斜率为- (k≠0),由直线的点 斜式方程可得切线方程为y-y0=- (x-x0).如果切点与圆心连线的斜率为零或不存在,则由图形 可直接得切线方程为x=x0或y=y0. (2)待定系数法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),由圆心到直线的距离等于半径建立方程,可求得k,即 得切线方程.注意此时切点与圆心的纵坐标不相等. 　　注:过圆上一点的切线仅有一条,可熟记下列结论: ①若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2(r>0)上,则过点P的切线方程为x0x+y0y=r2; ②若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,则过点P的切线方程为(x0-a)·(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2; 定点 2 过点P(x0,y0)的圆的切线方程的求法 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 ③若点P(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上,则过点P的切线方程为x0x+y0y+D· + E· +F=0. 2.点P在圆外 (1)通常用待定系数法,其求法同1中的待定系数法.当用此法只求出一个方程时,另一个方程 应为x=x0,因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况,而过圆外一点的切线有两条.一般不 用联立方程的方法求解k. (2)过圆外一点的切线有两条,可熟记下列结论: ①若点P(x0,y0)为圆x2+y2=r2(r>0)外一点,过点P作圆的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方 程为x0x+y0y=r2; ②若点P(x0,y0)为圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)外一点,过点P作圆的两条切线,切点分别为A,B,则直线 AB的方程为(x0-a)·(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2; 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 ③若点P(x0,y0)为圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)外一点,过点P作圆的两条切线,切点分别为 A,B,则直线AB的方程为x0x+y0y+D· +E· +F=0. 典例1 已知圆O:x2+y2=9,点P为直线x+2y-9=0上一动点,过点P向圆O引两条切线PA,PB,且A,B 为切点,则直线AB经过定点　　　    .  (1,2) 解析    设P(9-2b,b),易得直线AB的方程为(9-2b)x+by=9,即b(y-2x)+9x-9=0,令 解得  故直线AB经过定点(1,2). 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例2 已知点P(2,3),M(3,1),圆C:(x-1)2+(y-2)2=2. (1)求过点P的圆C的切线方程; (2)求过点M的圆C的切线方程. 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 解析    由题意得圆心C(1,2),半径r= . (1)解法一:∵(2-1)2+(3-2)2=2,∴P在圆C上. ∵kPC= =1,∴切线的斜率k=- =-1, ∴过点P的圆C的切线方程为y-3=-(x-2),即x+y-5=0. 解法二:易知过点P的切线斜率存在,故可设切线方程为y-3=k(x-2),则由 得 (k2+1)x2-(4k2-2k+2)x+4k2-4k=0,则Δ=[-(4k2-2k+2)]2-4(k2+1)(4k2-4k)=0,即k2+2k+1=0, ∴k=-1. ∴过点P的圆C的切线方程为y-3=-(x-2),即x+y-5=0. (2)∵(3-1)2+(1-2)2=5>2,∴M在圆C外. 易知过点M的切线斜率存在,故可设切线方程为y-1=k(x-3),即kx-y-3k+1=0, 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 ∴圆心C到切线的距离d= = = ,解得k= , ∴切线方程为y-1= (x-3)或y-1= (x-3),即x+( -2)y-1- =0或x-( +2)y+ -1= 0. 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念   　　过圆外一点P,可作圆的两条切线,我们把点P与切点所连线段的长称为切线长.切线长可 由勾股定理来计算.如图,从圆外一点P(x0,y0)作圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的切线,则切线长为  .   定点 3 切线长的求法 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知圆心C在直线y=x上且圆C过点A(-2,5),B(5,4). (1)求圆C的方程; (2)若D在直线y=x+10上,过D作圆C的切线,求切线长的取值范围. 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意可设圆的圆心C(a,a),半径为r, 易知AC=BC=r,所以(a+2)2+(a-5)2=(a-5)2+(a-4)2,解得a=1, 所以半径r=AC=5, 所以圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=25. (2)过点D向圆C作切线DM(如图所示), 则DM2=DC2-MC2=DC2-r2, 要使切线长最短,则DC最短,易知DC的最小值为点C到直线y=x+10的距离. 又点C到直线y=x+10的距离d= =5 ,所以(DM)min= = =5. 所以切线长的取值范围为[5,+∞). 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 1.直线与圆相交的弦长的求法 定点 4 弦长与中点弦问题  几何法 利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,弦长l之间的关系r2=d2+ 求解 代数法 若直线与圆的交点坐标易求出,则求出交点坐标,然后用两点间的距离公式计算弦长 弦长 公式法 设直线l:y=kx+b与圆的两交点分别为(x1,y1),(x2,y2),将直线方程代入圆的方程,消元后得到关于x(或y)的一元二次方程,利用根与系数的关系得弦长l= |x1-x2| =  或l= |y1-y2|= (k≠0)  第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 2.解决与中点弦有关问题的方法 (1)利用根与系数的关系求出中点坐标; (2)设出弦的两个端点的坐标,利用点在圆上得到两个方程,通过作差求出弦所在直线的斜率, 此法即为点差法; (3)利用圆本身的几何性质,即圆心与非直径的弦中点的连线与弦垂直解决问题. 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例1 已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4. (1)证明:无论m为何值,直线l:(m-2)x+(1-m)y+m+1=0(m∈R)都与圆C相交; (2)若过点P(1,0)的直线l'与圆C相交于A,B两点,求△ABC的面积的最大值,并求此时直线l'的方 程. 思路点拨    (1)证明直线l过圆内一点即可.(2)设出l'的方程,由几何法表示出弦AB的长,再由三 角形面积公式,结合函数知识求最值. 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:直线l的方程可化为m(x-y+1)-2x+y+1=0, 由 解得 所以直线l恒过点(2,3), 由(2-3)2+(3-4)2=2<4,可得点(2,3)在圆内,即直线l恒过圆内一点, 所以无论m为何值,直线l都与圆C相交. (2)易知直线l'的斜率存在,且不为0, 故设直线l'的方程为x=my+1(m≠0),变形为x-my-1=0, 圆心C到直线l'的距离d= = ,所以AB=2 =2 . 设△ABC的面积为S,则S2= = · , 令t= ,可得S2=4t-t2,当t=2时,S2有最大值,所以△ABC的面积的最大值为2, 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 由2= ,得7m2-8m+1=0,解得m=1或m= ,符合题意, 所以直线l'的方程为x-y-1=0或7x-y-7=0. 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例2 已知圆C:x2+(y+4)2=4. (1)过点P(2,4)作圆的切线,求切线的方程; (2)是否存在直线l与圆C相交于M,N两点,且使得点D(-1,-3)为线段MN的中点?若存在,求出直 线l的方程;若不存在,请说明理由. 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当过点P的切线斜率存在时,设其方程为y-4=k(x-2),即kx-y-2k+4=0. 由圆心C(0,-4),半径r=2,可得圆心C到切线的距离为 =2,解得k= , 此时切线的方程为y-4= (x-2),即15x-8y+2=0. 当过点P的切线的斜率不存在时,易知过点P的圆C的切线方程为x=2. 综上,过点P的切线方程为15x-8y+2=0或x=2. (2)存在满足条件的直线l. 解法一:由弦MN的中点为D(-1,-3),可知CD⊥MN,且直线CD的斜率为 =-1, 所以直线l的斜率为1,则直线l的方程为y+3=x+1, 即x-y-2=0, 所以存在满足条件的直线l,其方程为x-y-2=0. 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 解法二:设M(x1,y1),N(x2,y2),易知x1≠x2, 则 +(y1+4)2=4①, +(y2+4)2=4②, ②-①,化简可得 =- . 因为点(-1,-3)是MN的中点,所以x1+x2=-2,y1+y2=-6, 所以直线l的斜率k= =- =- =1, 所以存在满足条件的直线l,其方程为y+3=x+1,即x-y-2=0. 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 利用圆的方程解决最大(小)值问题的方法 (1)由某些代数式的结构特征联想其几何意义,然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关 知识并结合图形的直观性来分析解决问题,常涉及的有: ①关于x,y的一次分式形式常转化为直线的斜率; ②关于x,y的一次式常转化为直线的截距; ③关于x,y的二次式常转化为两点间的距离等. (2)将待求式转化成函数解析式,利用函数的性质解决. (3)利用三角代换,若点P(x,y)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,则设 (θ为参数),代入目 标函数,利用三角函数知识求最大(小)值. 定点 5 与圆有关的最值问题  第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知点P(x,y)是圆x2+y2=4上的一点. (1)求4x-3y的最大值和最小值; (2)求 的最大值和最小值; (3)求(x-4)2+(y+3)2的最大值和最小值. 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一:(1)令4x-3y=m,则 可以看作直线在x轴上的截距,要使m最大(或最小),只需直 线在x轴上的截距最大(或最小).由此可知,当直线4x-3y=m与圆x2+y2=4相切时,m分别取得最大 值和最小值. 如图1,由圆心(0,0)到直线4x-3y-m=0的距离等于圆的半径,得 =2,即|m|=10,故m= ±10,故mmax=10,mmin=-10. 即4x-3y的最大值为10,最小值为-10. 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念   (2)令 =k,则k表示圆x2+y2=4上一点P(x,y)与点(-2 ,-2)的连线所在直线的斜率. 由图2知,当直线y+2=k(x+2 )与圆x2+y2=4相切时,k分别取得最大值和最小值. 由 =2,得|2 k-2|=2 ,即3k2-2 k+1=k2+1, 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 解得k=0或k= . 故kmax= ,kmin=0, 即 的最大值为 ,最小值为0. (3)令(x-4)2+(y+3)2=d,则 表示圆上一点P(x,y)与点(4,-3)间的距离.如图3,易得点(4,-3)与圆心 (0,0)间的距离为5,故( )max=5+2=7,( )min=5-2=3,即dmax=49,dmin=9,故(x-4)2+(y+3)2的最大值为 49,最小值为9.   解法二:因为点P(x,y)是圆x2+y2=4上的一点, 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 所以令 θ∈[0,π]. (1)4x-3y=8cos θ-6sin θ=10cos(θ+φ),其中tan φ= , 因为-1≤cos(θ+φ)≤1,所以4x-3y的最大值为10,最小值为-10. (2)令 =k,则 =k,整理得sin(θ-α)= ,其中tan α=k,则由正弦函数的值域可 得 ≤1,解得0≤k≤ ,即 的最大值为 ,最小值为0. (3)(x-4)2+(y+3)2=(2cos θ-4)2+(2sin θ+3)2=29+20sin(θ-β),其中tan β= . 因为-1≤sin(θ-β)≤1, 所以(x-4)2+(y+3)2的最大值为49,最小值为9. 第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 $$