精品解析：陕西省西安市高新区第三初级中学2024--2025学年下学期八年级数学期中测试卷

2024~2025学年度第二学期期中考试 八年级 数学试题 （总分120分 用时120分钟） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）． 1. 组成单词math（数学）的字母中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：．不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．不是中心对称图形 ，故该选项不符合题意； ．不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．是中心对称图形 ，故该选项符合题意； 故选：D． 2. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的 性质逐项判断解题． 【详解】解：A. 不等式的两边都减，不等号的方向不变，故A错误； B. 不等式的两边都乘以，不等号的方向改变，故B错误； C. 不等式的两边都加，不等号的方向不变，故C正确； D. 不等式的两边都除以5，不等号的方向不变，故D错误； 故选：C． 3. 在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点的坐标是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移．熟练掌握点的平移的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，是解题的关键． 根据点的平移规律：左减右加，上加下减解答，即可判断． 【详解】∵点向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点， ∴，， ∴． 故选：B． 4. 下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的积的形式，如果能转化为几个整式的积的形式，即属于因式分解，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、是整式乘法运算，不属于因式分解； B、的右边仍为多项式与单项式的差，未完全转化为积的形式； C、符合平方差公式，将多项式分解为两个一次因式的乘积，属于因式分解； D、展开后为，与不等，等式不成立； 故选：C 5. 如图，函数y1=-2x和的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式−2x>ax+3的解集即可． 【详解】∵函数y1=-2x过点A(m,3)， ∴−2m=3， 解得：m=−1.5， ∴A(−1.5,3)， ∴不等式−2x>ax+3的解集为． 故选D． 【点睛】此题考查一次函数与一元一次不等式，解题关键在于结合函数图象进行解答. 6. 关于x的方程有增根，则m的值是（ ） A. 3 B. 0或3 C. 7 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根．先去分母，再将增根代入，求解即可． 【详解】解：， 去分母，得， ∵关于x的方程有增根， ∴， 解得， 故选：D． 7. 如图，是的角平分线，于点E，，，，则长是（ ） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过D作于F，由角平分线的性质定理即可求出，再计算出，最后根据，即可求出的值． 【详解】解：过D作于F， ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∵的面积为7， ∴ 即， 解得：， 故选：D． 8. 如图，在和中，，过A作，垂足为F，交的延长线于点G，连接．四边形的面积为64，．则的长是（　　） A. 8 B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形．添加辅助线，构造全等三角形，熟知全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，三角形面积公式，是解题的关键． 延长到点H，使，连接，证明，得，得，得，得，得，根据，，得，即得． 【详解】解：延长到点H，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. “x的3倍与y的和是正数”用不等式可表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了列不等式，把正数理解成大于0是解题关键． 【详解】解：由题意可得：． 故答案为：． 10. 当______时，分式的值为零． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件：分子为；分母不为；熟练掌握分式的值为零的条件是解答本题的关键． 根据分式的值为零的条件解答即可． 【详解】解：由分式的值为零，得，且， 解得：， 故答案为：． 11. 如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点P，连接．若，则的度数为 _______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理．根据垂直平分线得到，从而得到，由角平分线得到，得到，根据三角形内角和定理，结合，得到，再根据角的和差求解即可得到答案． 【详解】解：∵的平分线与的垂直平分线交于点P，， ，， ， ， ∴， ∴， 故答案为：12． 12. 若不等式组的解集为x<3，则m的取值范围是____________． 【答案】m≥3 【解析】 【分析】化简不等式组得，根据不等式组的解集为x<3，即可得出m的取值范围． 【详解】解：解不等式组得， ∵不等式组解集为x<3， ∴m≥3． 故答案为：m≥3． 【点睛】本题主要考查的是不等式组的解集，掌握不等式组的解集是解题的关键． 13. 如图，在边长为4的等边中，射线于点，将沿射线平移，得到，连接、，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，延长到点，使得，连接，证明当点A、G、在同一条直线上时，，此时取得最小值，即的最小值为，是等边三角形，，边长为4，则，，则，，由勾股定理得到，即可得到的最小值． 【详解】解：如图，连接，延长到点，使得，连接，     ∵沿射线平移，得到， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵是等边三角形，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴当点A、G、在同一条直线上时，，此时取得最小值，即的最小值为， ∵是等边三角形，，边长为4， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、勾股定理、轴对称的性质、平移的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识点，正确画出辅助线，构造直角三角形求解． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． （1）原式提取公因式3后，再运用平方差公式进行因式分解即可； （2）原式先根据完全平方公式将括号展开，整理后再运用公式法分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 15. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，准确找出不等式组的解集是解题的关键．解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）． 【详解】解： 由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为． 16. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： 去分母，得， 解此方程，得， 经检验，是原分式方程的根． 【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的关键是将分式方程转化为整式方程，不要忘记检验． 17. 先化简， 再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、二次根式的混合运算等知识点，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键．先根据分式的混合运算法则化简，然后将代入运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 18. 如图，已知在中，．请利用尺规在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 点如图所示． 【解析】 【分析】根据垂线的作图的方法作即可． 【详解】略 【点睛】本题考查作图复杂作图，熟练掌握垂线的作图方法是解答本题的关键． 19. 如图，已知A、F、B、D在同一直线上，且，，，与相交于点O．求证：． 【答案】 证明：， ，即， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，先根据得出，再根据可证． 【详解】略． 20. 如图所示，的顶点均在边长为1个单位长度的小正方形格点上，在所给直角坐标系中解答下列问题： （1）写出的面积为__________． （2）画出关于点O成中心对称的． 【答案】（1）4 （2） 如图，即为所作． 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称以及三角形的面积，熟练掌握中心对称的定义是解题的关键． （1）运用分割法可求出的面积； （2）根据中心对称图表的定义找到相对应的点即可得到． 【小问1详解】 解：的面积， 故答案为：4； 【小问2详解】 解：略． 21. 车厘子具有养颜美容、健脑益智等功效，鲜四季水果店老板发现五一期间该水果销量很好，准备购进智利车厘子若干千克销售．现有两个批发商价格一致，标价均为160元/千克，两个批发商推出各自销售的优惠方案，甲商家：一次性购买金额不超过6400元的部分不优惠，超过6400元的部分按标价的六折售卖；乙商家：全部按标价的八折优惠．若鲜四季水果店老板购进的车厘子为x千克． （1）分别用含x的式子表示在甲、乙两个商家购买车厘子所需的金额： 在甲商家购买所需费用：______元； 在乙商家购买所需费用：______元； （2）通过计算说明该老板到哪个商家购买更划算？ 【答案】（1）；； （2）当时，到甲商家购买更划算；当时，到两个商家购买费用相同；当时，到乙商家购买更划算． 【解析】 【分析】本题考查了列代数式、一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． （1）根据甲、乙商家优惠方式列出代数式即可； （2）分三种情况：当时，当时；当时；分别求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：在甲商家购买所需费用（元）； 在乙商家购买所需费用（元）； 【小问2详解】 解：当时，到乙商家购买更划算，解得， 当时，到两个商家购买费用相同，解得， 当时，到甲商家购买更划算，解得， 综上所述，当时，到甲商家购买更划算；当时，到两个商家购买费用相同；当时，到乙商家购买更划算． 22. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，将△ABC沿AB边所在直线向右平移3个单位，记平移后的对应三角形为△DEF， （1）求DB的长； （2）求此时梯形CAEF的面积． 【答案】（1）DB=2 ；（2） 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质求出AD=3，代入DB=AB-AD，求出即可； （2）根据勾股定理求出BC，作CG⊥AB于G，根据三角形的面积公式求出CG，根据梯形的面积公式求出即可． 【详解】（1）解：∵将△ABC沿AB边所在直线向右平移3个单位到△DEF ∴AD=BE=3， ∵AB=5， ∴DB=AB-AD=2， ∴DB的长是2． （2）解：作CG⊥AB于G， 在△ACB中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，由勾股定理得： 由三角形的面积公式得：CG•AB=AC•BC， ∴3×4=5×CG， ∴ ∴梯形CAEF的面积为： 【点睛】本题考查了三角形的面积，直角三角形的性质，梯形，勾股定理，平移的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力，题目比较典型，但难度不大． 23. 山西省吉县某苹果庄园计划要在规定时间种植5000棵苹果树，实际参与种植人数比计划人数多，这样每天实际种植苹果树比原计划每天多种植，结果比原计划提前2天完成种植任务．原计划每天种植多少棵苹果树？ 【答案】500棵 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设原计划每天种树x棵，根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设原计划每天种苹果树x棵，实际每天种植棵， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：原计划每天种植500棵苹果树． 24. 近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了90亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进4件A种娃娃和购进5件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，且A种娃娃售价为15元/个，B种娃娃售价为10元/个． （1）每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元？ （2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1700元的资金购进A、B两种娃娃共200个，若这200个娃娃全部售完，选择哪种进货方案，商家获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）每个A种娃娃的进价是10元，每个B种娃娃的进价是8元 （2）当购进50个A种娃娃，150个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是550元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组，不等式，函数解析式，是解题的关键： （1）设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是y元，根据购进4件A种娃娃和购进5件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，列出方程组进行求解即可； （2）设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃，根据题意，列出不等式，求出的取值范围，设这200个娃娃全部售完获得的总利润为w元，列出函数关系式，利用一次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每个A种娃娃的进价是10元，每个B种娃娃的进价是8元； 【小问2详解】 解：设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃， 根据题意得：， 解得：． 设这200个娃娃全部售完获得的总利润为w元， 则， 即， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，最大值为，此时（个）． 答：当购进50个A种娃娃，150个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是550元． 25. 阅读与思考 配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到．即的最小值为2． 进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：__________； （2）用配方法因式分解：； （3）当a为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． 【答案】（1）4 （2） （3）当时，多项式有最大值，最大值为20 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，因式分解的应用，明确如何配方及偶次方的非负性是解题的关键． （1）根据常数项等于一次项系数一半的平方进行配方即可； （2）将35化为，前三项配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解； （3）将转化为，再利用完全平方式最小值为0，即可求解． 【小问1详解】 解：， 故答案为：4； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ， ， ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为20． 26. 如图，与为正三角形，点O为射线上的动点，射线与直线相交于点E，将射线绕点O逆时针旋转，得到射线，射线与射线相交于点F． （1）如图①，点O与点A重合时，点E、F分别在线段上，请直接写出、、三条线段之间的数量关系是____________________． （2）如图②，当点O在的延长线上时，E、F分别在线段的延长线和线段的延长线上，请写出三条线段之间的数量关系，并说明理由． （3）点O在线段上，若，，当时，请求出的长． 【答案】（1） （2） 解：，理由如下： 过点作交于点，如图， ∵和都是正三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴ （3）5或3或1 【解析】 【分析】本题主要考查了正三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．通过构造辅助线，利用正三角形的性质和全等三角形的判定，可以推导出线段之间的关系．同时，利用勾股定理，可以求解出线段的长度． （1）由于和都是正三角形，所以，，又因为，所以，因此可证明，所以，因此得出． （2）过点作交于点，证明是等边三角形，再根据 证明即可得出结论； （3）作于点，求出，，分点在线段上时，点在线段时，点在线段的延长线上以及点在线段上时，点在线段时，点在线段的延长线上两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：如图， ∵和都是正三角形， ∴，， ∵将射线OM绕点O逆时针旋转，得到射线ON， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作于点， ∴， 由勾股定理得； ①当点在线段上时，点在线段时，如图， ∵， ∴， ∴， 过点作交于点，则， 而, ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴, ∴； 点在线段的延长线上时，如图， 同理可得， ∴， ∴； ②当点在线段上时，点在线段时，如图， 同理可得， ∴， ∴； 点在线段的延长线上时，如图， 同理可得, 综上，满足条件的的值为5或3或1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第二学期期中考试 八年级 数学试题 （总分120分 用时120分钟） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）． 1. 组成单词math（数学）的字母中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点的坐标是（    ） A. B. C. D. 4. 下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，函数y1=-2x和的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 6. 关于x的方程有增根，则m的值是（ ） A. 3 B. 0或3 C. 7 D. 7. 如图，是的角平分线，于点E，，，，则长是（ ） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 8. 如图，在和中，，过A作，垂足为F，交的延长线于点G，连接．四边形的面积为64，．则的长是（　　） A. 8 B. C. D. 6 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. “x的3倍与y的和是正数”用不等式可表示为___________． 10. 当______时，分式的值为零． 11. 如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点P，连接．若，则的度数为 _______． 12. 若不等式组的解集为x<3，则m的取值范围是____________． 13. 如图，在边长为4的等边中，射线于点，将沿射线平移，得到，连接、，则的最小值为________． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 因式分解： （1）； （2）． 15. 解不等式组： 16. 解分式方程：． 17. 先化简， 再求值：，其中． 18. 如图，已知在中，．请利用尺规在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，已知A、F、B、D在同一直线上，且，，，与相交于点O．求证：． 20. 如图所示，的顶点均在边长为1个单位长度的小正方形格点上，在所给直角坐标系中解答下列问题： （1）写出的面积为__________． （2）画出关于点O成中心对称的． 21. 车厘子具有养颜美容、健脑益智等功效，鲜四季水果店老板发现五一期间该水果销量很好，准备购进智利车厘子若干千克销售．现有两个批发商价格一致，标价均为160元/千克，两个批发商推出各自销售的优惠方案，甲商家：一次性购买金额不超过6400元的部分不优惠，超过6400元的部分按标价的六折售卖；乙商家：全部按标价的八折优惠．若鲜四季水果店老板购进的车厘子为x千克． （1）分别用含x的式子表示在甲、乙两个商家购买车厘子所需的金额： 在甲商家购买所需费用：______元； 在乙商家购买所需费用：______元； （2）通过计算说明该老板到哪个商家购买更划算？ 22. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，将△ABC沿AB边所在直线向右平移3个单位，记平移后的对应三角形为△DEF， （1）求DB的长； （2）求此时梯形CAEF的面积． 23. 山西省吉县某苹果庄园计划要在规定时间种植5000棵苹果树，实际参与种植人数比计划人数多，这样每天实际种植苹果树比原计划每天多种植，结果比原计划提前2天完成种植任务．原计划每天种植多少棵苹果树？ 24. 近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了90亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进4件A种娃娃和购进5件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，且A种娃娃售价为15元/个，B种娃娃售价为10元/个． （1）每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元？ （2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1700元的资金购进A、B两种娃娃共200个，若这200个娃娃全部售完，选择哪种进货方案，商家获利最大？最大利润是多少元？ 25. 阅读与思考 配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到．即的最小值为2． 进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：__________； （2）用配方法因式分解：； （3）当a为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． 26. 如图，与为正三角形，点O为射线上的动点，射线与直线相交于点E，将射线绕点O逆时针旋转，得到射线，射线与射线相交于点F． （1）如图①，点O与点A重合时，点E、F分别在线段上，请直接写出、、三条线段之间的数量关系是____________________． （2）如图②，当点O在的延长线上时，E、F分别在线段的延长线和线段的延长线上，请写出三条线段之间的数量关系，并说明理由． （3）点O在线段上，若，，当时，请求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $