1.1.1 空间向量及其运算（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（人教B版2019）

第一章　空间向量与立体几何 1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其运算 基础过关练 题组一　空间向量的概念 1.如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,下列说法正确的是(　　) A.| C.向量共线　　　　D.向量共面 2.下列关于空间向量的说法正确的是(　　) A.方向相反的两个向量是相反向量 B.任意两个空间向量总是共面的 C.零向量没有方向 D.不相等的两个空间向量的模必不相等 3.下列说法正确的是(　　) A.将空间中所有的单位向量的起点平移到同一个点,则它们的终点构成一个圆 B.若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b C.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p D.若a与b共线,b与c共线,则a与c共线 题组二　空间向量的线性运算 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式的运算结果为向量的是(　　) ① . A.①②　　　　B.②③　　　　C.③④　　　　D.①④ 5.已知四边形ABCD,O为空间任意一点,且,则四边形ABCD是(　　) A.空间四边形　　　　B.平行四边形 C.等腰梯形　　　　 D.矩形 6.如图所示,在空间四边形OABC中,=a,=b,=c,点M在OA上,且,N为BC的中点,则=(　　) A.a-b+c　　　　B.-a+b+c C.a+b-c　　　　D.a+b-c 7.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中, =a,=b,=c,点P在A1C上,且A1P∶PC=2∶3,则=(　　) A.a+b+c　　　　 B.a+b+c C.-a+b+c　　　　D.a-b-c 8.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算,其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图,在堑堵ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1C1,BB1的中点,G是MN的中点,若,则x+y+z=(　　) A.1　　　　B. 9.在四面体O-ABC中,=a, =b,=c,G为△ABC的重心,点M在线段OC上,且OM=2MC,则=(　　) A.a+b-c　　　　 B.a+b+c C.-a+b+c　　　　D.a-b+c 题组三　空间向量的数量积 10.如图,空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1,F,G分别是AD,CD的中点,则= (　　) A. 11.已知空间向量a,b,若|a|=1,|b|=2, c=a+b,且c⊥a,则向量a与b的夹角为(　　) A.30°　　　　 B.60°　　　　 C.120°　　　　D.150° 12.已知|a|=2,|b|=3,<a,b>= 60°,则|2a-3b|等于(　　) A.　　　　B.97　　　　 C.　　　　D.61 13.已知|a|=1,|b|=,a与b的夹角为45°,若c=a+b,d=a-b,则c在d上的投影数量为(　　) A.　　　　C.1　　　　D.-1 14.在三棱锥P-ABC中,PA=8,AB=6, AC=4,BC=5,∠PAC=45°,∠PAB=60°,则向量的夹角的余弦值是(　　) A.　　　　 C.　　　　D.0 15.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD是正方形,AA1=5,AB=2,∠A1AB=∠A1AD=60°,则BD1的长为(　　) A.　　　　B.7　　　　 C.6　　　　 D. 16.在空间四边形ABCD中,=(　　) A.-1　　　　B.0　　　　C.1　　　　D.不确定 17.已知|a|=3,|b|=4,m=a+b,n=a+λb,<a,b>=135°,m⊥n,则λ=　　　　.  18.已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120°,当a+2b与ka-b的夹角为钝角时,实数k的取值范围为　　　　. 能力提升练 题组　空间向量的数量积 1.在三棱锥A-BCD中,AD⊥AB,AD⊥AC,给出下列结论: ①; ②若∠BAC是锐角,则>0; ③若∠BAC是钝角,则∠BDC是钝角; ④若||且||,则∠BDC是锐角. 其中正确结论的序号为(　　) A.①②④　　　　B.①④　　　　C.②③　　　　D.②④ 2.若空间向量e1,e2满足|e1|=|2e1 +e2|=3,则e1在e2上的投影数量的最大值是(　　) A.3　　　　B.0　　　　C.- 3.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点P是四边形A1B1C1D1的内切圆上一点,O为四边形ABCD的中心,则的最大值为(　　) A.5　　　　 B.6　　　　 C.5+ 4.如图所示,在平面角为120°的二面角α-AB-β中,AC⊂α,BD⊂β,且AC⊥AB,BD⊥AB,垂足分别为A,B, AC=AB=BD=6,则||=　　　　.  5.如图,在△ABC和△AEF中,B是EF的中点,AB=2,EF=4,CA=CB=3.若=7,则的夹角的余弦值为　　　　.  6.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,∠A1AD=∠A1AB=∠BAD=60°,AB=AD=2,AA1=1,P为线段BC的中点. (1)求||; (2)求夹角的余弦值. 答案与分层梯度式解析 第一章　空间向量与立体几何 1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其运算 基础过关练 1.D 2.B 3.C 4.C 5.B 6.B 7.B 8.C 9.A 10.B 11.C 12.C 13.D 14.B 15.D 16.B 1.D　的长度相等,方向相反,故,A错误;无法确定||与||的大小关系,故B错误;不是共线向量,但可以平移到同一平面上,是共面向量,故C错误,D正确. 2.B　大小相等,方向相反的向量是相反向量,故A中说法错误;零向量的方向是任意的,故C中说法错误;不相等的两个空间向量的模可以相等,如相反向量,故D中说法错误.故选B. 3.C　将空间中所有的单位向量的起点平移到同一个点,则它们的终点构成一个球面,故A中说法错误;两个向量相等不仅要保证模相等,还要保证方向相同,但a与b的方向不一定相同,故B中说法错误;向量的相等具有传递性,故C中说法正确;向量的平行不具有传递性,若b=0,则a与b共线,b与c共线,但a与c不一定共线,故D中说法错误. 4.C　,①不符合;,②不符合;,③符合;,④符合.故选C. 5.B　由已知可得,由相等向量的定义可知,四边形ABCD的一组对边平行且相等,所以四边形ABCD是平行四边形,无法判断其是不是矩形.故选B. 6.B　连接ON,则,又=a,=b,=c,∴+-.故选B. 7.B　连接AC.因为A1P∶PC=2∶3,所以,所以,又=a,=b,=c,所以++.故选B. 8.C　连接AM,AN. ∵G是MN的中点,∴.故选C. 9.A　如图,因为G为△ABC的重心,所以.因为OM=2MC,所以,所以+-.故选A. 10.B　由题意得,所以×1×1×cos 60°=.故选B. 11.C　设向量a与b的夹角为θ.∵c⊥a,∴c·a=(a+b)·a=0,则 |a|2+|a||b|cos θ=0,∴cos θ=-,∴θ=120°. 12.C　|2a-3b|2=4a2-12a·b+9b2 =4×22-12×2×3×cos 60°+9×32=61,∴|2a-3b|=. 13.D　由题意得a·b=1××cos 45°=1,|d|==1,c·d=a2-b2=-1,因此c在d 上的投影数量为= -1.故选D. 14.B　设向量的夹角为θ.易得)·|·||cos 45°-||·||cos 60°=4×8×-24,所以cos θ=.故选B. 15.D　连接AD1,则,所以 =33,所以|.故选D. 16.B　令=a,=b,=c,则=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0. 17.答案　- 解析　由m⊥n得(a+b)·(a+λb)=0,∴a2+(1+λ)a·b+λb2=0, ∴18+(λ+1)×3×4cos 135°+16λ=0,即2λ+3=0,∴λ=-. 18.答案　k>-7且k≠- 解析　由题意得(a+2b)·(ka-b)=ka2+(2k-1)a·b-2b2=16k+(2k-1)×4×8×cos 120°-128=-16k-112<0,解得k>-7. 又当k=-时,a+2b与ka-b反向共线, ∴k>-7且k≠-. 名师点睛　两向量a,b的夹角为锐角时,a·b>0,但a·b>0时,a,b的夹角为锐角或零角;两向量a,b的夹角为钝角时,a·b<0,但a·b <0时,a,b的夹角为钝角或平角.故在实际解题中,要考虑两向量同向、反向的情形. 能力提升练 1.D 2.C 3.C 1.D　因为AD⊥AB,AD⊥AC,所以=0. 对于①,)·( ,故①错误; 对于②,若∠BAC是锐角,则>0,所以)· >0,故②正确; 对于③,设AB=AC=AD=1,∠BAC=120°,则>0,此时∠BDC是锐角,故③错误; 对于④,若||且||,则|·||cos∠BAC>||·||·||cos∠BAC =||·||(1+cos∠BAC),因为∠BAC∈(0,π),所以||· (1+cos∠BAC)>0,即>0,所以∠BDC是锐角,故④正确. 故选D. 2.C　设向量e1,e2的夹角为θ, 则e1在e2上的投影数量为|e1|cos θ. 因为|e1|=|2e1+e2|=3,所以|e2|2+4|e1|2+4|e1||e2|·cos θ=9,即|e2|2+12|e2|cos θ+27=0,易知|e2|≠0,所以cos θ=-,所以|e1|cos θ=-≤-2,当且仅当,即|e2|=3时,等号成立,所以e1在e2上的投影数量的最大值为-.故选C. 3.C　设正方形A1B1C1D1的中心为O1,连接OO1,DO,O1B1,O1P,如图所示. 易得,OO1⊥平面ABCD,OO1⊥平面A1B1C1D1,∴OO1⊥O1B1,OO1⊥O1P,∴ =0. ∴)·() = =0+22+0+|>+0+1 =5+>. ∵<>∈[0,π],∴cos<>∈[-1,1], ∴(.故选C. 4.答案　12 解析　∵AC⊥AB,BD⊥AB, ∴=0. ∵二面角α-AB-β的平面角为120°, ∴<>=180°-120°=60°. ∴=3×62+2×62×cos 60°=144, ∴||=12. 5.答案　 解析　由题意得=9,所以=2.由=7,可得·(·(·(-·(=7,所以=2,即4×3×cos<>=2,所以cos<. 6.解析　(1)连接AP,AD1,则, ∴|. (2)由(1)知,. ∵, ∴)·. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$