第1章 专题强化练2 利用空间向量研究空间中的角（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（人教B版2019）

专题强化练2　利用空间向量研究空间中的角 1.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是边AD,BC上的动点,且AE=BF,AC与EF交于点G,EF从AB向CD滑动,但与AB和CD均不重合.在EF任一确定位置,将四边形EFCD沿直线EF折起,使平面EFCD⊥平面ABFE,则随着EF的滑动,下列选项中错误的是(　　) A.∠AGC的大小不会发生变化 B.AC与EF所成的角先变小后变大 C.AC与平面ABFG所成的角变小 D.二面角G-AC-B先变大后变小 2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BC⊥AC,AC=BC =1,AA1=2,点M在线段AC1上,. (1)若∠B1MC为锐角,求实数λ的取值范围; (2)若二面角M-B1C-B的余弦值为-,求线段AM的长度. 3.羡除是《九章算术》中记载的一种五面体.如图,五面体ABCDEF中,四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形,其中EF∥AD∥BC,AD=4,EF=BC=AB=2,ED=,M为AD的中点,平面BCEF与平面ADEF交于EF.从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知,使得羡除ABCDEF能够确定,然后解答下列问题. 条件①:平面CDE⊥平面ABCD; 条件②:平面ADEF⊥平面ABCD; 条件③:EC=2. (1)求证:BM∥平面CDE; (2)求二面角B-AE-F的余弦值; (3)在线段AE上是否存在点Q,使得MQ与平面ABE所成角的正弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 答案与分层梯度式解析 专题强化练2　利用空间向量研究空间中的角 1.D　以E为原点,EA,EF,ED所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 设AB=1,AE=a(0<a<1),则E(0,0,0),A(a,0,0),C(0,1,1-a),G(0, a,0),F(0,1,0),B(a,1,0). 对于A,=(0,a-1,a-1), 则|cos∠AGC|=, 故∠AGC的大小不会发生变化,所以A正确; 对于B,=(0,1,0),设AC与EF所成的角为θ,则cos θ=,易知当a∈(0,1)时,2a2-2a+2的值随a的变大先变小后变大,所以cos θ先变大后变小,所以AC与EF所成的角先变小后变大,故B正确; 对于C,平面ABFG的一个法向量为m=(0,0,1), 设AC与平面ABFG所成的角为θ,则sin θ=|cos<,m>|= =. 因为当a∈(0,1)时,a+的值随a的变大而变小,所以sin θ随a的增大逐渐变小,所以AC与平面ABFG所成的角变小,故C正确; 对于D,设平面AGC的一个法向量为n=(x1,y1,z1), 则 令x1=1,则n=(1,1,-1), 设平面ACB的一个法向量为p=(x2,y2,z2), 又=(a,0,a-1), 则 令z2=a,则p=(1-a,0,a), 所以|cos<n,p>|= =, 设二面角G-AC-B的平面角为α,则α为钝角, 所以cos α=-. 因为当a∈(0,1)时,2a2-2a+1的值随a的变大先变小后变大,所以cos α随a的变大先变大后变小,故二面角G-AC-B先变小后变大,故D错误. 2.解析　以C为坐标原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略),则C(0,0,0),A(1,0,0),C1(0,0,2),B1(0,1,2). 设M(a,b,c),由(0≤λ≤1),得(a-1,b,c)=λ(-1,0,2),所以M(1-λ,0,2λ),所以=(λ-1,0, -2λ). (1)因为∠B1MC为锐角,所以cos<>0,所以(λ-1)2-2λ(2-2λ)>0且0≤λ≤1,所以0≤λ<. (2)设平面CB1M的一个法向量为n=(x,y,z), 则 令z=1-λ,得n=(-2λ,2λ-2,1-λ). 易知平面CB1B的一个法向量为m=(1,0,0). 由题意得|cos<m,n>|=,所以λ=, 所以M, 所以AM=. 3.解析　(1)证明:因为M是AD的中点,AD=4,所以MD=2,所以MD=BC.又MD∥BC,所以四边形BCDM为平行四边形,所以BM∥CD.又BM⊄平面CDE,CD⊂平面CDE,所以BM∥平面CDE. (2)选①:连接AC,作CS⊥AD于点S,则DS=1,AS=3,CS=. 连接ES,同理可得AE=3. 因为AC2+CD2=AD2,所以AC⊥CD. 因为平面CDE⊥平面ABCD,平面CDE∩平面ABCD=CD,AC⊂平面ABCD,所以AC⊥平面CDE. 又EC⊂平面CDE,所以AC⊥EC, 所以EC2=AE2-AC2=6,故EC=,所以ED2=EC2+DC2,所以EC⊥DC. 以C为坐标原点,CD,CA,CE所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间 直角坐标系, 则A(0,2,0),所以 ,0). 设平面BAE的一个法向量为p=(a,b,c), 则 取c=1,得p=. 设平面AEF的一个法向量为q=(x,y,z), 则 取y=1,得q=(). 因为p·q=-=0, 所以二面角B-AE-F的余弦值为0. 选②:取BC的中点N,EF的中点P,连接MP,MN,则MN⊥AD,PM⊥AD. 因为平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,PM⊂平面ADEF,所以PM⊥平面ABCD. 以点M为坐标原点,MN,MD,MP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系, 则A(0,-2,0),B(,-1,0),E(0,1,3), 所以=(0,3,3). 设平面BAE的一个法向量为n=(d,e, f), 则 令d=,则e=-3, f=3,所以n=(,-3,3). 易知m=(-1,0,0)是平面AEF的一个法向量. 所以cos<m,n>=. 由图可知,二面角B-AE-F为钝二面角, 所以二面角B-AE-F的余弦值为-. 选③:取MD的中点G,连接CG,EG,则EG⊥AD,CG⊥AD. 因为EC=2,所以EC2=EG2+CG2,所以EG⊥CG. 所以平面ADEF⊥平面ABCD. 以下解法同选择②. (3)选①:设λ),λ∈[0,1],则λ). 由题意得|cos<,p>|=,解得λ=,均不满足题意,故不存在满足题意的点Q. 选②或③:设=(0,3λ,3λ),λ∈[0,1],则=(0,3λ-2,3λ). 由题意得|cos<,n>|=,解得λ=,均不满足题意,故不存在满足题意的点Q. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$