第1章 1.4 两条直线的平行与垂直（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（北师大版2019）

1.4　两条直线的平行与垂直 1.5　两条直线的交点坐标 基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　 题组一　两条直线平行的判定与应用 1.(多选题)下列各直线中,与直线2x-y-3=0平行的是(　　) A.2ax-ay+6=0(a≠0,a≠-2) B.y=2x C.2x-y+5=0 D.2x+y-3=0 2.经过点(1,0)且与直线2x-y+2=0平行的直线方程是(　　) A.2x-y=0　　　　　　 B.2x-y-2=0 C.2x+y=0　　　　　　D.2x+y-2=0 3.“λ=-1”是“直线l1:x+λy+9=0与l2:(λ-2)x+3y+3λ=0平行”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.将一张画着直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次,使点(2,0)与点(-2,4)重合,点(2 021,2 022)与点(m,n)重合,则m+n=(　　) A.1　　　　　　 B.2 023 C.4 043　　　　　　D.4 046 5.若直线l1:ax-y+1=0与直线l2:2x-2y-1=0的倾斜角相等,则实数a=　　　　.  6.若直线l过点P(3,-4),且它的法向量与直线y=2x+1的法向量平行,则直线l的点法式方程是　　　　　　　　.  7.直线l与直线l1:3x+4y+12=0平行,且与坐标轴所围成的三角形的面积是24,求直线l的方程. 题组二　两条直线垂直的判定与应用 8.若两条直线l1:2x+ay-1=0与l2:ax+(2a-1)y+3=0相互垂直,则a的值为(　　) A.-　　　　　　 B.0　　　 C.-或0　　　　　　D.-2或0 9.已知点M(1,-2),N(m,2),若线段MN的垂直平分线的方程是+y=1,则实数m的值是(　　) A.-2　　　B.-7　　　C.3　　　D.1 10.直线l与直线x+y-2=0垂直,且它在y轴上的截距为4,则直线l的方程为　　　　　.  11.已知点A(1,2),点B(2,3),点C在x轴上,△ABC为直角三角形,请写出点C的一个坐标:　　　　.  12.若直线l1:2x+3y-1=0的方向向量是直线l2:ax-y+2a=0的法向量,则实数a的值等于　　　　.  13.已知△ABC的顶点分别为A(-5,-1),B(-1,1),C(-2,3). (1)证明:△ABC为直角三角形; (2)求AC边上的高所在直线的方程. 题组三　两条直线的交点问题 14.已知三条直线2x+y-4=0,kx-y+3=0,x-y-2=0交于一点,则实数k=(　　) A.-1　　　B.1　　　C.- 15.若直线kx-k+y+1=0与直线x+3y-3=0的交点在第一象限内,则实数k的取值范围为(　　) A. B. C.∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪ 16.已知直线mx+4y-2=0与直线2x-5y+n=0互相垂直,垂足为(1,p),则m+n-p等于(　　) A.24　　　B.20　　　C.4　　　D.0 17.在平面直角坐标系xOy中,过直线l1:7x-3y+1=0与l2:x+4y-3=0的交点,且在y轴上的截距为1的直线l的方程为　　　　　　　.(写成一般式)  18.已知两点A(0,4),B(2,-2),直线l1为线段AB的垂直平分线,直线l2:x+y-1=0,求: (1)直线l1的方程; (2)直线l1与l2的交点坐标; (3)直线l1,l2与坐标轴所围成的三角形的面积. 能力提升练 题组　直线位置关系的综合问题　　　　 　　　　 　　　　 1.与直线y=-2x+3平行,且与直线y=3x+4在x轴上的截距相同的直线方程是(　　) A.y=-2x+4　　　　　　B.y=x+4 C.y=-2x- 2.设a,b,c分别是△ABC中角A,B,C所对边的边长,则直线bx-ysin B-c=0与xsin A+ay+sin C=0的位置关系是(　　) A.平行　　　　　　B.重合 C.垂直　　　　　　D.相交但不垂直 3.已知a>0,直线l1:x+ay=2a+4与y轴的交点为A,l2:2x+ay=2a+8与x轴的交点为B,l1与l2的交点为C,则四边形OACB的面积的最小值为(　　) A.8+4 4.已知A,B两点分别在两条互相垂直的直线y=2x和x+ay=0上,且线段AB的中点为P0,,则直线AB的方程为(　　) A.y=-x-5 C.y=x-5 5.已知直线l:(m+2)x+(m-1)y+m-1=0,若直线l与连接A(1,-2),B(2,1)两点的线段总有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围为(　　) A. C. 6.已知a>0,b>0,直线l1:x+(a-4)y+1=0,l2:2bx+y-2=0,且l1⊥l2,则的最小值为(　　) A.2　　　B.4　　　C. 7.(多选题)已知三条直线l1:x-2y+2=0,l2:x-2=0,l3:x+my=0将平面分为六个部分,则满足条件的m可以是(　　) A.-1　　　B.-2　　　C.　　　D.0 8.(多选题)已知直线l1,l2的斜率分别为2,,直线l与直线l1,l2围成一个等腰三角形,且顶角为钝角,则直线l的斜率可能是(　　) A.-　　　D.1 9.已知A,B分别是直线x+2y+4=0和直线x+2y-10=0上的点,P为AB的中点,设点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程; (2)过点D(-2,1)的直线l与曲线C,x轴分别交于点M,N,若D为MN的中点,求直线l的方程. 答案与分层梯度式解析 1.4　两条直线的平行与垂直 1.5　两条直线的交点坐标 基础过关练 1.ABC　直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0平行的充要条件为A1B2=A2B1,且A1C2≠A2C1或C1B2≠C2B1. 对于A,易知2×(-a)=-1×2a且-3×2a≠2×6,故A符合;对于B,y=2x⇒2x-y=0,易知2×(-1)=-1×2且0×2≠-3×2,故B符合;对于C,易知2×(-1)=-1×2且5×2≠-3×2,故C符合;对于D,易知2×1≠-1×2,故D不符合.故选ABC. 2.B　设所求直线的方程是2x-y+c=0(c≠2), 把(1,0)代入,得2+c=0,解得c=-2, ∴所求直线的方程是2x-y-2=0.故选B. 3.A　若直线l1:x+λy+9=0与直线l2:(λ-2)x+3y+3λ=0平行,则1×3=λ(λ-2),即λ2-2λ-3=0,解得λ=3或λ=-1.当λ=3时,直线l1:x+3y+9=0与直线l2:x+3y+9=0重合,舍去.故“λ=-1”是“直线l1与l2平行”的充要条件. 4.C　记(2,0),(-2,4)分别为A,B,则直线AB的斜率kAB==-1.由题意知,过点(2 021,2 022)和点(m,n)的直线与直线AB平行,所以=-1,整理得m+n=4 043.故选C. 5.答案　1 解析　直线l1:ax-y+1=0即y=ax+1, 直线l2:2x-2y-1=0即y=x-, 因为直线l1:ax-y+1=0与直线l2:2x-2y-1=0的倾斜角相等,所以,即a=1. 6.答案　2(x-3)-(y+4)=0 解析　直线y=2x+1的一个法向量是(2,-1),因为直线l的法向量与直线y=2x+1的法向量平行,且过点P(3,-4),所以直线l的点法式方程是2(x-3)-(y+4)=0. 7.解析　根据题意可设直线l:3x+4y+m=0(m≠12),该直线分别与x轴,y轴交于A,B两点,则A,则直线l与坐标轴所围成的三角形的面积S==24,解得m=±24.所以直线l的方程是3x+4y±24=0. 8.C　因为l1⊥l2,所以2a+a(2a-1)=0,解得a=-或a=0. 易错警示　若l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.若仅考虑两条直线的斜率的乘积为-1,容易漏掉一条直线的斜率为零,另一条直线的斜率不存在的情况. 9.C　+y=1⇒y=-x+1,所以直线+y=1的斜率为-,因为线段MN的垂直平分线的方程是+y=1,所以kMN·=-1,即=-1,解得m=3,故选C. 10.答案　x-y+4=0 解析　设直线l的方程为x-y+m=0,又它在y轴上的截距为4,∴m=4,∴直线l的方程为x-y+4=0. 11.答案　(3,0)(答案不唯一,填(3,0),(5,0)中的任意一个都可以) 解析　设C(x,0),易知当x=1或x=2时,不符合题意, 当x≠1且x≠2时,kAB=, 当A为直角时,kAB·kAC=1×=-1,解得x=3,此时C的坐标为(3,0); 当B为直角时,kAB·kBC=1×=-1,解得x=5,此时C的坐标为(5,0); 当C为直角时,kAC·kBC==-1,化简,得x2-3x+8=0,该方程无实数解. 综上所述,点C的坐标可以为(3,0)或(5,0). 12.答案　 解析　由题意得l1⊥l2,∴2a-3=0,解得a=. 13.解析　(1)证明:∵kAB=,∴kAB·kBC=-1, ∴AB⊥BC,∴△ABC为直角三角形. (2)∵kAC=,∴AC边上的高所在直线的斜率为-,又AC边上的高所在直线过点B,∴AC边上的高所在直线的方程是y-1=-(x+1),即3x+4y-1=0. 14.C　由即直线2x+y-4=0与直线x-y-2=0的交点坐标为(2,0),将(2,0)代入kx-y+3=0,得2k-0+3=0,解得k=-.故选C. 15.C　当k=时,kx-k+y+1==0,与x+3y-3=0平行,不符合题意,∴k≠. 由 ∴k>2或k<-.故选C. 16.D　由两直线垂直,得m×2+4×(-5)=0,解得m=10,所以mx+4y-2=0可化为5x+2y-1=0,又因为垂足(1,p)同时满足两直线方程,所以将(1,p)代入两直线方程,得所以m+n-p=10-12+2=0,故选D. 17.答案　9x+5y-5=0 解析　解法一:由即直线l1与l2的交点坐标为,又直线l过点(0,1),所以直线l的方程为,即9x+5y-5=0. 解法二:由题设,可令直线l的方程为7x-3y+1+λ(x+4y-3)=0,因为直线l过点(0,1), 所以0-3+1+λ(0+4-3)=0,解得λ=2,故直线l的方程为9x+5y-5=0. 18.解析　(1)易得线段AB的中点为(1,1),kAB==-3, 所以直线l1的斜率为,则其方程为y-1=(x-1),即x-3y+2=0. (2)由 所以直线l1与l2的交点坐标为. (3)记P,根据题意作出图形如图所示: 则直线l1,l2与坐标轴所围成的三角形为△PCD,其中C(-2,0),D(1,0), 所以S△PCD=|CD|·|yP|=. 能力提升练 1.C　易知直线y=3x+4在x轴上的截距为-, ∴所求直线过点. 设所求直线方程为y=-2x+m(m≠3), 把代入,得-2×+m=0,解得m=-, 故所求直线方程为y=-2x-.故选C. 2. C　直线bx-ysin B-c=0的斜率为,直线xsin A+ay+sin C=0的斜率为-,在△ABC中,由=2R,R为△ABC的外接圆半径,得 -·2R=-1,故两直线垂直. 3.A　因为直线l1:x-4=-a(y-2),l2:2(x-4)=-a(y-2)都过点(4,2), 所以C(4,2).连接OC,如图所示: 在直线l1:x+ay=2a+4中,令x=0,得y=2+,所以A,在直线l2:2x+ay=2a+8中,令y=0,得x=4+a,所以B(4+a,0), 所以S四边形OACB=S△OAC+S△OCB=≥8+2,当且仅当a=,即a=2时等号成立.所以当a=2时,四边形OACB的面积取得最小值,为8+4.故选A. 4.C　由题意得a=2,则P(0,5). 设A(x1,2x1),B,则∴A(4,8),B(-4,2). ∴直线AB的方程为,即y=x+5.故选C. 5.D　直线l的方程可化为m(x+y+1)+(2x-y-1)=0,由即直线l过定点(0,-1),记P(0,-1),如图, 由题可知直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,直线l的倾斜角为α,则0≤α<π, 显然直线PA的斜率为=-1,直线PB的斜率为=1, 由于直线l经过点P(0,-1),且与线段AB总有公共点,所以-1≤k≤1,即-1≤tan α≤1, 又k=≠-1,所以-1<tan α≤1, 所以0≤α≤<α<π, 所以直线l的倾斜角的取值范围是.故选D. 6.D　因为l1⊥l2,所以2b+a-4=0,即a+1+2b=5, 因为a>0,b>0,所以a+1>0,2b>0, 所以(a+1+2b) =, 当且仅当a=时,等号成立.故选D. 7.ABD　因为三条直线l1:x-2y+2=0,l2:x-2=0,l3:x+my=0将平面分为六个部分, 所以三条直线交于一点或两条平行线与第三条直线相交, 当三条直线交于一点时,由将(2,2)代入方程x+my=0,得2+2m=0,解得m=-1. 当两条平行线与第三条直线相交时,可得l1∥l3或l2∥l3, 当l1∥l3时,m=-2;当l2∥l3时,m=0. 综上可知,m=-1或m=-2或m=0.故选ABD. 8.ACD　设直线l1,l2,l的倾斜角分别为α,β,γ, 则tan α=2,tan β=,直线l的斜率k=tan γ, 将直线l1,l2平移,使它们均过原点,设直线l与直线l1,l2分别交于点A,B, 当0<∠AOB<时,由题意知tan∠AOB=tan(α-β)=, 因为△AOB为等腰三角形,且顶角为钝角, 所以∠ABO为钝角或∠OAB为钝角. 若∠ABO为钝角,则∠AOB=∠OAB,如图①所示: 所以tan γ=tan(∠OAB+α)=, 所以直线l的斜率为-,故A正确; 若∠OAB为钝角,则∠AOB=∠ABO,如图②所示: 所以tan∠OAB=tan(π-∠AOB-∠ABO)=tan(π-2∠AOB)= -tan 2∠AOB=-, 所以tan γ=tan(∠OAB+α)=, 所以直线l的斜率为-,故C正确; 当<∠AOB<π时,如图③所示: tan∠AOB=tan[π-(α-β)]=-tan(α-β)=-, 因为△AOB为等腰三角形,所以∠OAB=∠OBA, 所以tan∠AOB=tan(π-∠OAB-∠OBA)=tan(π-2∠OAB)= -tan 2∠OAB=-, 所以由-,解得tan∠OAB=或tan∠OAB=-3(舍), 所以tan γ=tan(β+∠OBA)=tan(β+∠OAB)==1,所以直线l的斜率为1,故D正确. 故选ACD. 9.解析　(1)设点P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2), 因为P为AB的中点,所以x1+x2=2x,y1+y2=2y, 由x1+2y1+4=0,x2+2y2-10=0,可得x1+x2+2(y1+y2)-6=0,所以2x+4y-6=0,即x+2y-3=0, 所以曲线C的方程为x+2y-3=0. (2)设M(3-2b,b),N(a,0), 因为D(-2,1)为MN的中点, 所以 则N(-3,0),所以直线l的方程为y=(x+3),整理得x-y+3=0,即直线l的方程为x-y+3=0. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$