第1章 1.1 一次函数的图象与直线的方程（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（北师大版2019）

第一章　直线与圆 §1　直线与直线的方程 1.1　一次函数的图象与直线的方程 1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系 基础过关练 题组一　直线的倾斜角　　　　　 　　　　 　　　　 1.下列说法中,正确的是(　　) A.任意一条直线都有唯一的倾斜角 B.一条直线的倾斜角可以为- C.倾斜角为0的直线只有一条,即x轴 D.若直线的倾斜角为α,则sin α∈(0,1) 2.已知直线l1的倾斜角为110°,若直线l2与l1垂直,则l2的倾斜角为(　　) A.10°　　　B.20°　　　C.70°　　　D.200° 3.(多选题)设直线l过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,得到直线l1,那么l1的倾斜角可能为(　　) A.α+45°　　　　　　 B.α-135° C.135°-α　　　　　　D.α-45° 4.已知一束光线射到x轴上并经x轴反射.若入射光线所在直线的倾斜角α1=60°,则反射光线所在直线的倾斜角为　　　　.  题组二　斜率的两点式 5.已知点A(1,-3),B(-1,3),则直线AB的斜率是(　　) A.　　　C.3　　　D.-3 6.(多选题)已知点A的坐标为(3,4),在坐标轴上有一点B,若kAB=4,则点B的坐标可以为(　　) A.(0,-4)　　　　　　B.(0,-8) C.(2,0)　　　　　　 D.(-2,0) 7.斜拉桥是桥梁建筑的一种形式,在桥梁平面上有多根拉索,所有拉索的合力方向与中央索塔一致.重庆千厮门嘉陵江大桥共有20根拉索,在索塔两侧对称排列,如图1所示.已知拉索上端相邻两个锚的间距|PiPi+1|(i=1,2,3,…,9)均为3.4 m,拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi+1|(i=1,2,3,…,9)均为16 m.如图2所示,若以A10B10所在直线为x轴,P1P10所在直线为y轴建立平面直角坐标系,最短拉索的锚P1,A1满足|OP1|=66 m,|OA1|=86 m,则最长拉索所在直线的斜率为(　　) A.±0.47　　　B.±0.45　　　C.±0.42　　　D.±0.40 8.已知A(1,3),B(-2,1),C(4,m)三点在同一条直线上,则m=　　　　.  9.如果直线l过点(1,2),且不经过第四象限,求直线l的斜率的取值范围. 题组三　直线的斜率与倾斜角的关系 10.如图,设直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则k1,k2,k3的大小关系为(　　) A.k1<k2<k3 B.k2<k1<k3 C.k3<k2<k1 D.k1<k3<k2 11.(多选题)在下列四个命题中,正确的是(　　) A.若直线的倾斜角α为锐角,则其斜率一定大于0 B.若一条直线的斜率为tan α,则此直线的倾斜角为α C.任意直线都有倾斜角α,且当α≠90°时,斜率为tan α D.直线的倾斜角越大,其斜率越大 12.(多选题)若直线l的斜率为m2-,则直线l的倾斜角可能为(　　) A. C. 13.已知直线l1的倾斜角是直线l2的倾斜角的2倍,且l1的斜率为-,则l2的斜率为(　　) A.3或-　　　　　　B.3 C.或-3　　　　　　 D. 14.若直线l经过A(2,1),B(1, -m2)(m∈R)两点,则直线l的倾斜角α的取值范围是　　　　.  15.若过点P(1-a,1+a)与Q(4,2a)的直线的倾斜角为钝角,且m=3a2-4a,则实数m的取值范围是　　　　.  16.已知坐标平面内三点A(-2,-4),B(2,0), C(-1,1). (1)求直线AB的斜率和倾斜角; (2)若A,B,C,D可以构成平行四边形且点D位于第一象限,求点D的坐标. 题组四　直线的斜率与方向向量的关系 17.(多选题)已知直线l的倾斜角为,则l的方向向量可能为(　　) A.(1,-,-1) C.(-2,2,-2) 18.经过A(x,2),B(3,-4)两点的直线的一个方向向量为(1,3),则x=　　　　.  19.已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2). (1)求直线AB的斜率并写出直线BC的一个方向向量; (2)若点D在线段BC(包括端点)上移动,求直线AD的斜率的取值范围. 能力提升练 题组　直线的倾斜角、斜率及其应用　　　　　 　　　　 　　　　 1.m,n,p是两两不相等的实数,则点A(m+n,p),B(n+p,m),C(p+m,n)必(　　) A.在同一条直线上 B.是直角三角形的三个顶点 C.是等腰三角形的三个顶点 D.是等边三角形的三个顶点 2.经过两点A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角为,则y=(　　) A.-1　　　B.-3　　　C.0　　　D.2 3.函数y=f(x)的图象如图所示,在区间[a,b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1,x2,…,xn,使得=…=,则n的取值集合为(　　) A.{3,4} B.{2,3,4} C.{3,4,5} D.{2,3} 4.若正方形的一条对角线所在直线的斜率为3,则该正方形的两条邻边所在直线的斜率之和为(　　) A.- C.- 5.(多选题)已知点A(2,4),B(3,3),点P(a,b)是线段AB(包括端点)上的动点,则的值可能是　　(　　) A.-1　　　B. 6.已知抛物线y=x2上一点P,过点P作倾斜角互补的两条直线PA,PB分别交抛物线于另外的两点A,B,已知直线AB的斜率为-2,则点P的横坐标为(　　) A.2　　　B. 7.已知两点A(-1,1),B(3,-2),过点P(2,-1)的直线l与线段AB有公共点,则直线l(不考虑斜率不存在的情况)的斜率k的取值范围是　　　　.  8.数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观,形少数时难入微.”事实上,很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如与相关的代数问题可以转化为点A(x,y)与点B(a,b)之间的距离的几何问题.结合上述观点,函数f(x)=,x∈的值域为　　　　.  9.已知点A(1,0),B(0,2),点P(a,b)在线段AB上. (1)求直线AB的斜率; (2)求ab的最大值. 答案与分层梯度式解析 第一章　直线与圆 §1　直线与直线的方程 1.1　一次函数的图象与直线的方程 1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系 基础过关练 1.A　易知A正确;若直线的倾斜角为α,则α的取值范围是[0,π),所以sin α∈[0,1],故B错误,D错误;所有与x轴平行或重合的直线的倾斜角都是0,故C错误. 2.B　因为l1的倾斜角为110°,l2与l1垂直,所以l2的倾斜角为110°-90°=20°.故选B. 3.AB　如图1,当0°≤α<135°时,l1的倾斜角为α+45°;如图2,当135°≤α<180°时,l1的倾斜角为45°+α-180°=α-135°.故选AB. 　 4.答案　120° 解析　根据题意作出示意图,入射光线所在直线的倾斜角α1=60°,由入射角等于反射角及倾斜角的概念,得反射光线所在直线的倾斜角α2=120°. 5.D　直线AB的斜率kAB==-3.故选D. 6.BC　当点B在y轴上时,设B(0,y),由kAB=4,可得=4,解得y=-8, ∴B(0,-8);当点B在x轴上时,设B(x,0),由kAB=4,可得=4,解得x=2,∴B(2,0). 综上所述,点B的坐标为(0,-8)或(2,0).故选BC. 7.C　设单位长度为1 m.根据题意,得|OA10|=|OA1|+|A1A10|=86+9×16=230(m),|OP10|=|OP1|+|P1P10|=66+9×3.4=96.6(m),则点A10(230,0),点P10(0,96.6), 所以=-0.42,同理=0.42,故选C. 8.答案　5 解析　因为A,B,C三点在同一条直线上,所以kAB=kAC,即,解得m=5. 9.解析　如图,当直线l过点(1,2)且平行于x轴时,斜率最小,为0,当直线l过点(1,2)且过原点时,斜率最大,为2,所以过点(1,2)且不经过第四象限的直线l的斜率的取值范围是[0,2]. 10.D　由题图可知l2,l3的倾斜角为锐角,且l2的倾斜程度比l3大,所以k2>k3>0,l1的倾斜角为钝角,所以k1<0.综上,k1<k3<k2. 故选D. 11.AC　对于A,当0°<α<90°时,其斜率k=tan α>0,故A正确; 对于B,若一条直线的斜率为tan(-30°)=-,则此直线的倾斜角为150°,故B错误; 对于C,由直线倾斜角的定义可得,每一条直线都有确定的倾斜角, 由斜率的定义可得,当直线的倾斜角α≠90°时,直线的斜率为tan α,故C正确; 对于D,直线的倾斜角为锐角时斜率大于0,倾斜角为钝角时斜率小于0,如直线的倾斜角为45°,对应斜率为1,直线的倾斜角为135°,对应斜率为-1,45°<135°,而1>-1,故D错误. 故选AC. 12.ACD　设直线l的倾斜角为α,则α∈[0,π), 因为直线l的斜率k=m2-≥-, 所以α≠且tan α≥-,结合正切函数的图象,可得α∈, 结合选项,可得ACD符合. 13.B　设l2的倾斜角为α,则l1的倾斜角为2α,则tan 2α=, 整理,得3tan2α-8tan α-3=0,解得tan α=3或tan α=-, 因为tan 2α=-<0, 所以2α∈, 所以α∈,所以tan α=3.故选B. 14.答案　≤α< 解析　因为直线l经过A(2,1),B(1,-m2)(m∈R)两点,所以kl= tan α==1+m2≥1,因为0≤α<π,所以≤α<. 15.答案　 解析　设直线的倾斜角为α,斜率为k, 则k=tan α=, 又α为钝角,∴<0, 即(a-1)(a+3)<0,故-3<a<1. ∵关于a的函数m=3a2-4a图象的对称轴为直线a=, ∴当a=时,m有最小值,为-. 又当a=-3时,m=39,当a=1时,m=-1, ∴实数m的取值范围是. 16.解析　(1)由题意可知直线AB的斜率为=1, 因为直线的倾斜角的取值范围为[0,π),所以直线AB的倾斜角为. （2）如图,当点D位于第一象限时,kCD=kAB,kBD=kAC, 设D(x,y),则 解得 故点D的坐标为(3,5). 17.AC　由题意得l的斜率为tan . A中,对应的斜率为,故A正确; B中,对应的斜率为,故B错误; C中,对应的斜率为,故C正确; D中,对应的斜率为,故D错误. 故选AC. 18.答案　5 解析　由题意可得=3,解得x=5. 19. 解析　(1)直线AB的斜率为,直线BC的斜率为=-1, ∴直线BC的一个方向向量为(1,-1). (2)如图,当点D由点B运动到点C时,直线AD的斜率由kAB增大到kAC, 由(1)可知kAB=,又kAC=, ∴直线AD的斜率的取值范围为. 方法技巧　求直线的斜率的取值范围,需结合图形,利用边界直线的斜率可得所求斜率的取值范围. 能力提升练 1.A　由已知得kAB==-1,∴kAB=kBC, 又B是直线AB,BC的公共点, ∴A,B,C三点共线. 2.B　由直线AB的倾斜角为,得直线AB的斜率k=tan =-1,即k==-1,解得y=-3. 故选B. 3.B　=…=的几何意义是:曲线上存在n个点与坐标原点连线的斜率相等,即n指的是过原点的直线与曲线的交点个数.如图, 由图可得n的值可以为2,3,4.故选B. 4.C　如图,在正方形OABC中,对角线OB所在直线的斜率为3, 设对角线OB所在直线的倾斜角为θ,则tan θ=3, 由正方形的性质可知,直线OA的倾斜角为θ-45°,直线OC的倾斜角为θ+45°, 故kOA=tan(θ-45°)=, kOC=tan(θ+45°)==-2, 则kOA+kOC=.故选C. 5.CD　设k=,则k可以看成点P(a,b)与坐标原点O连线的斜率. 当点P在线段AB上由B点运动到A点时,直线OP的斜率由kOB增大到kOA,如图所示. 又kOB==2,所以1≤k≤2,即的取值范围是[1,2],结合选项可知C,D符合. 6.A　设P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),易知x1≠x2, 则kAB==-2,故x1+x2=-4. 同理,kPA=. 因为直线PA,PB的倾斜角互补, 所以kPA=-kPB,即⇒x1+x2=-2x0, 所以-2x0=-4,即x0=2.故选A. 7.答案　(-∞,-1]∪ 解析　如图,由题意可知kPA==-1. 要使直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是(-∞, -1]∪. 8.答案　 解析　如图所示,设P(cos x,sin x)为单位圆O上的一点,点A(-1, -1),B(1,0),C,则f(x)=,x∈表示点P在劣弧BC(不包括点B,包括点C)上运动时,直线PA的斜率, 因为kAB==1, 所以f(x)的值域为. 9.解析　(1)由题意知,直线AB的斜率kAB==-2. (2)当点P(a,b)与点A,B均不重合时, 由点P(a,b)在线段AB上,得kAP=kAB,即=-2, 即b=-2a+2(0<a<1), 当P与A或B重合时也满足b=-2a+2, 因此b=-2a+2(0≤a≤1), 所以2=2a+b≥2, 所以ab≤, 当且仅当2a=b,即a=,b=1时,等号成立. 故ab的最大值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$