第一章 直线与圆（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（北师大版2019）

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 第一章　直线与圆 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若经过A(1-a,1+a)和B(3,a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a的值可能为(　　) A.0　　　　　B.-2 C.-4　　　　　D.-6 2.已知P(-1,3),Q(3,6),若P,Q到直线l的距离都等于,则满足条件的直线l共有(　　) A.1条　　　　　B.2条 C.3条　　　　　D.4条 3.“a=3”是“直线l1:ax-2y+3=0与直线l2:(a-1)x+3y-5=0垂直”的(　　) A.充分不必要条件　　　　　B.必要不充分条件 C.充要条件　　　　　D.既不充分也不必要条件 4.在同一平面直角坐标系中,直线y=k(x-1)+2和圆x2+y2-4x-2ay+4a-1=0的位置关系不可能是(　　) A.①③　　　　B.①④　　　　C.②④　　　　D.②③ 5.圆x2+y2+2x=0和圆x2+y2-4y=0的公共弦的长度为(　　) A. C. 6.直线l的倾斜角是直线5x+12y-1=0的倾斜角的一半,且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10,则直线l的方程可能是(　　) A.5x+y-10=0　　　　　B.y=-x+1 C.=1　　　　　D.5x-y-1=0 7.圆心为C的圆与直线l:x+2y-3=0交于P,Q两点,O为坐标原点,且满足·=0,则圆C的方程为(　　) A. C. 8.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观,它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中,揭示了规律性,是一种科学的真实美.平面直角坐标系中,曲线C:x2+y2=|x|+|y|就是一条形状优美的曲线,对于此曲线,给出如下结论: ①曲线C围成的图形的面积是2+π; ②曲线C上的任意两点间的距离不超过2; ③若P(m,n)是曲线C上任意一点,则|3m+4n-12|的最小值是. 其中正确结论的个数为(　　) A.0　　　　　B.1 C.2　　　　　D.3 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.已知直线l:(a2+a+1)x-y+1=0,其中a∈R,则(　　) A.若直线l与直线x-y=0平行,则a=0 B.当a=-1时,直线l与直线x+y=0垂直 C.直线l过定点(0,1) D.当a=0时,直线l在两坐标轴上的截距相等 10.已知点A(-2,-1),B(2,2),直线l:ax+y+3a-3=0上存在点P满足|PA|+|PB|=5,则实数a的值可能为(　　) A.-2　　　　　B.0 C.1　　　　　D.3 11.设有一组圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R),则下列命题正确的是(　　) A.无论k如何变化,圆心Ck始终在一条直线上 B.所有圆Ck均经过点(3,0) C.存在一条直线始终与圆Ck相切 D.若k∈,则圆Ck上总存在两点到原点的距离为1 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.已知经过点(1,-2)的直线l的一个法向量为(,2),则l的点法式方程为　　　　.  13.点B在y轴上运动,点C在直线l:x-y-2=0上运动,若A(2,3),则△ABC的周长的最小值为　　　　.  14.已知等腰三角形的底边所在直线过点P(2,1),两腰所在的直线分别为x+y-2=0与7x-y+4=0,则底边所在直线的方程为　　　　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知直线l1:2x+y-2=0,l2:mx+4y+n=0(m,n为常数). (1)若l1 ⊥l2,求m的值; (2)若l1 ∥l2,且它们之间的距离为,求m,n的值. 16.(15分)从①经过直线l1:x-2y=0与l2:2x+y-1=0的交点;②圆心在直线2x-y=0上;③截y轴所得的弦长|MN|=2这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的圆存在,求圆的方程;若问题中的圆不存在,请说明理由. 问题:是否存在圆Q,　　　　,且点A(-2,-1),B(1,-1)均在圆Q上?  注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 17.(15分)已知动点P与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离的比值为. (1)求动点P的轨迹C的方程; (2)过点B(-2,1)的直线l与曲线C交于M,N两点,求线段MN长度的最小值; (3)已知圆Q的圆心为Q(t,t)(t>0),且圆Q与x轴相切,若圆Q与曲线C有公共点,求实数t的取值范围. 18.(17分)在平面直角坐标系xOy中,已知点P(2,4),圆O:x2+y2=4与x轴的正半轴交于点Q,过点P的直线l与圆O交于不同的两点A,B. (1)设直线QA,QB的斜率分别是k1,k2,求k1+k2的值; (2)设AB的中点为M,点N|OM|,求△QAB的面积. 19.(17分)已知圆C:(x+3)2+(y-3)2=4,一动直线l过点P(-4,0)且与圆C相交于A,B两点,Q是AB的中点,直线l与直线m:x+3y+6=0相交于点E. (1)当|AB|=2时,求直线l的方程; (2)判断·的值是否与直线l的倾斜角有关,若无关,请求出其值;若有关,请说明理由. 答案与解析 第一章　直线与圆 1.A　由题意知,kAB=<0,解得a>-2.故选A. 2.C　当P,Q位于直线l的同侧时,只有当PQ∥l,且两平行线之间的距离为时满足条件,这样的直线l有2条; 当P,Q位于直线l的两侧时,因为|PQ|==5, 所以只有当直线l恰为直线PQ的中垂线时满足条件,这样的直线l有1条. 综上所述,满足条件的直线l共有3条.故选C. 3.A　由l1⊥l2,得a(a-1)-6=0,即a2-a-6=0,解得a=3或a=-2, 所以“a=3”是“直线l1:ax-2y+3=0与直线l2:(a-1)x+3y-5=0垂直”的充分不必要条件.故选A. 4.D　由题意得直线过定点(1,2),圆的标准方程为(x-2)2+(y-a)2=(a-2)2+1,所以圆心为(2,a),半径r≥1. 将(1,2)代入圆的方程,可知点(1,2)在圆上,所以直线与圆至少有1个交点,所以题图③不符合;对于题图②,直线与圆相切,则切点为(1,2),但圆心为(2,a),圆心的横坐标大于切点的横坐标,所以题图②不符合.故选D. 5.B　由两圆的方程得,两圆的公共弦所在的直线方程为x+2y=0. 将x2+y2+2x=0化为(x+1)2+y2=1,则圆心为(-1,0),半径r=1, 所以圆心(-1,0)到直线x+2y=0的距离d=, 所以公共弦的长度为2.故选B. 6.C　由题意,不妨设直线l与直线5x+12y-1=0的斜率分别为k1,k2,倾斜角分别为θ,2θ,0<θ<, 则tan 2θ=k2=-,tan θ=k1, 又tan 2θ=, 整理,得5(舍去), 设直线l的方程为y=5x+b, 则直线l与坐标轴分别交于点(0,b),, 所以直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为=10, 解得b=±10,所以直线l的方程为y=5x±10, 当y=5x+10时,它可以变形为=1.故选C. 7.C　因为圆心为C,所以设圆C的方程为-r2=0, 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则有y1+y2=4,y1y2=, 因为·=0,所以x1x2+y1y2=0,所以(3-2y1)·(3-2y2)+y1y2=0, 整理得9-6(y1+y2)+5y1y2=0,即9-6×4+5×, 所以圆C的方程为,故选C. 8.C　当x≥0且y≥0时,曲线C的方程可化为; 当x≤0且y≥0时,曲线C的方程可化为; 当x≥0且y≤0时,曲线C的方程可化为; 当x≤0且y≤0时,曲线C的方程可化为. 如图所示: 由图可知,曲线C所围成的图形的面积是四个半径均为的正方形的面积之和, 所以曲线C所围成的图形的面积为4×)2=2+π,故①正确; 由图可知,曲线C上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和,即>2,故②错误; 因为点P(m,n)到直线3x+4y-12=0的距离d=,所以|3m+4n-12|=5d, 易知当d最小时点P(m,n)位于第一象限, 易知曲线C在第一象限内是圆心为的半圆, 则圆心, 从而dmin=d'-,故③正确.故选C. 9.BC　直线l的斜率为a2+a+1. 对于A,若直线l与直线x-y=0平行,则a2+a+1=1,解得a=-1或a=0,故A错误; 对于B,当a=-1时,直线l的方程为x-y+1=0,直线l的斜率为1, 直线x+y=0的斜率为-1,所以当a=-1时,直线l与直线x+y=0垂直,故B正确; 易知C正确; 对于D,当a=0时,直线l的方程为x-y+1=0, 令x=0,得y=1,令y=0,得x=-1, 所以当a=0时,直线l在两坐标轴上的截距不相等,故D错误. 故选BC. 10.CD　方程ax+y+3a-3=0可变形为y-3=-a(x+3), 故直线l过定点C(-3,3),且斜率为-a, 由已知得|AB|==5, 要想直线l:ax+y+3a-3=0上存在点P满足|PA|+|PB|=5, 只需直线l:ax+y+3a-3=0与线段AB有交点, 因为kBC==-4, 所以-a∈, 结合选项可知C,D满足要求,故选CD. 11.ACD　对于A,圆心的坐标为(k,k),满足x=y,所以圆心Ck在直线y=x上,故A正确; 对于B,(3-k)2+(0-k)2=4,化简得2k2-6k+5=0,Δ=-4<0,无解,故B错误; 对于C,易知与直线y=x平行且距离为2的直线始终与圆Ck相切,即定直线y=x±2始终与圆Ck相切,故C正确; 对于D,圆Ck上总存在两点到原点的距离为1,可转化为圆x2+y2=1与圆Ck有2个交点,则1<,故D正确.故选ACD. 12.答案　(x-1)+2(y+2)=0 13.答案　 解析　设点A关于y轴的对称点为M,点A关于直线l:x-y-2=0的对称点为D,连接MB,CD,则|MB|=|BA|,|AC|=|CD|,则△ABC的周长=|AB|+|BC|+|AC|=|MB|+|BC|+|CD|≥|MD|,当M,B,C,D四点共线时等号成立,△ABC的周长最小.易知M(-2,3).设点D(x,y),则所以D(5,0). 由两点间的距离公式知,|DM|=. 14.答案　3x+y-7=0或x-3y+1=0 解析　在等腰三角形顶角的平分线上任取一点M(x,y), 则点M到直线x+y-2=0与到直线7x-y+4=0的距离相等, 即,即|7x-y+4|=5|x+y-2|, 所以7x-y+4=5(x+y-2)或7x-y+4=-5(x+y-2), 即x-3y+7=0或6x+2y-3=0,故该等腰三角形顶角的平分线所在直线的方程为x-3y+7=0或6x+2y-3=0. 易得底边与顶角的平分线垂直, 当底边与直线x-3y+7=0垂直时, 底边所在直线的方程为y-1=-3(x-2),即3x+y-7=0; 当底边与直线6x+2y-3=0垂直时, 底边所在直线的方程为y-1=(x-2),即x-3y+1=0. 故答案为3x+y-7=0或x-3y+1=0. 15.解析　(1)若l1⊥l2,则-2·=-1,(3分) ∴m=-2.(5分) (2)若l1∥l2,则,得m=8,n≠-8,(8分) ∴l2:8x+4y+n=0(n≠-8).(10分) 直线l1的方程可化为8x+4y-8=0,由题意得, ∴n=12或n=-28.(12分) 综上可得,m=8,n=12或n=-28.(13分) 16.解析　因为点A(-2,-1),B(1,-1)均在圆Q上, 所以圆心在线段AB的垂直平分线上.(2分) 又直线AB的方程为y=-1,所以线段AB的垂直平分线的方程为x= ,半径为r(r>0),则圆Q的方程为+(y-b)2=r2.(5分) 若选①,由(8分) 即直线l1和l2的交点为,(10分) 所以=r2, 又点B在圆Q上,所以+(-1-b)2=r2. 所以b=-1,r2=,(14分) 即存在圆Q,且圆Q的方程为.(15分) 若选②,由圆心在直线2x-y=0上,可得2×-b=0,则b=-1,(8分) 所以r2=,(12分) 即存在圆Q,且圆Q的方程为.(15分) 若选③,y轴被圆Q截得的弦长|MN|=2,根据圆的性质可得,r2=,(8分) 由r2=,解得b=-1,(12分) 即存在圆Q,且圆Q的方程为.(15分) 17.解析　(1)设P(x,y),则|AP|=2|OP|,即|AP|2=4|OP|2,(2分) 所以(x-3)2+y2=4(x2+y2), 整理得(x+1)2+y2=4.(4分) 所以动点P的轨迹C的方程为(x+1)2+y2=4.(5分) (2)由(1)知轨迹C是以C(-1,0)为圆心,2为半径的圆. 因为(-2+1)2+12<4,所以点B在圆内, 所以当线段MN的长度最小时,BC⊥MN,(6分) 又|BC|=, 所以|MN|=2, 所以线段MN长度的最小值为2.(10分) (3)因为圆Q的圆心为Q(t,t)(t>0),且圆Q与x轴相切,所以圆Q的半径为t,所以圆Q的方程为(x-t)2+(y-t)2=t2. 因为圆Q与圆C有公共点,且|QC|=, 所以|2-t|≤|QC|≤2+t,(13分) 即(2-t)2≤2t2+2t+1≤(2+t)2,解得-3+2≤t≤3. 所以实数t的取值范围是[-3+2,3].(15分) 18.解析　(1)易知点Q(2,0),直线l的斜率一定存在并设为k, 则直线l的方程为y-4=k(x-2),设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立 消去y并整理,得(1+k2)x2-4k(k-2)x+(2k-4)2-4=0, 所以x1+x2=,(4分) 又k1=, 所以k1+k2=k+ =2k+=2k-2k-1=-1, 故k1+k2的值为-1.(8分) (2)如图所示: 设M(x0,y0),由(1)可知x0=, 由|MN|=|OM|,可得), 整理,得+6x0-4=0, 即,(10分) 由题知,圆心O(0,0)到直线l:y-4=k(x-2)的距离d=<2, 解得k>, 所以|AB|=2,(13分) 又Q(2,0)到直线l:y-4=k(x-2)的距离h=, 所以S△QAB=.(17分) 19.解析　(1)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-4. 此时圆心C到直线l的距离d=-3-(-4)=1,|AB|=2,符合题意.(3分) 当直线l的斜率存在时,设其方程为y=k(x+4), 则, ∴直线l的方程为y=(x+4),即4x-3y+16=0. 综上所述,直线l的方程为x=-4或4x-3y+16=0.(6分) (2)①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-4, 由 ∴E, 由 ∴Q(-4,3). 又P(-4,0),∴, ∴·=-2.(8分) ②当直线l的斜率存在时,其方程为y=k(x+4), 联立 消去y并整理,得(k2+1)x2+(8k2-6k+6)x+(4k-3)2+5=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=-, ∴Q,(12分) 又P(-4,0),∴, 由 ∴E,(14分) ∴, ∴·=-2. 综上所述,·的值与直线l的倾斜角无关,其值为-2.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$