第二章 圆锥曲线（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（北师大版2019）

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 第二章　圆锥曲线 全卷满分150分　考试用时120分钟　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知抛物线x2=4y的焦点为F,点M在抛物线上,且|MF|=3,则点M到y轴的距离为(　　) A.2 C.2　　　　　 D.1 2.若双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为(　　) A.y=0 C.x±y=0　　　　　 D.x±y=0 3.已知过椭圆=1(a>b>0)的左焦点F(-1,0)的直线与椭圆交于不同的两点A,B,与y轴交于点C,且C,F是线段AB的三等分点,则该椭圆的标准方程是(　　) A.=1 C.=1 4.过双曲线x2-=1的左焦点F作直线l交双曲线于A,B两点,若满足|AB|=λ(λ∈R)的直线l恰有3条,则λ=(　　) A.2　　　　　B.3 C.4　　　　　D.1 5.直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若·=0,其中O为坐标原点,则C的准线方程为(　　) A.x=- C.x=-1　　　　　D.x=-2 6.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过点F且斜率为=(　　) A. C.3　　　　　 D.2 7.如图,某市规划在两条道路边沿PM,PN之间建造一个半椭圆形状的主题公园,其中B1B2为椭圆的短轴,OA为椭圆的长半轴.已知|OP|=3 km,|B1B2|=2 km,∠MPN=45°,则OA的最大长度(精确到0.1 km)应为(　　) A.2.9 km　　　　B.2.8 km　　　　C.2.7 km　　　　D.2.6 km 8.已知椭圆具有如下性质:若椭圆的方程为,B为C1在第一象限内的任意一点,过B作C1的切线l,l分别与x轴和y轴的正半轴交于C,D两点,则△OCD面积的最小值为(　　) A.　　　　D.2 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.对任意的θ,方程(sin θ)x2+(cos θ)y2=1所表示的曲线可能为　(　　) A.双曲线　　　　B.抛物线　　　　C.椭圆　　　　D.圆 10.已知点F为椭圆C:,则(　　) A.e= 11.已知F为双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点,过F的直线l与圆O:x2+y2=a2相切于点M,l与C及其渐近线在第二象限的交点分别为P,Q,则(　　) A.|MF|=b B.直线OM与C相交 C.若|MF|=|QF|,则C的渐近线方程为y=±2x D.若|MF|= 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.设P是双曲线=1上一点,M,N分别是两圆(x-5)2+y2=4和(x+5)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为　　　　.  13.设F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆C于M,N两点,若,则cos∠MF2N=　　　　.  14.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过F的直线l与抛物线交于A,B两点,若△AOF的面积是△BOF面积的2倍,则|AB|=　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知抛物线C:y2=2px(p>0),直线l:y=2x-4交抛物线C于A,B两点,AB的中点为M(3,2). (1)求抛物线C的标准方程; (2)若抛物线C上有一点P(2,m),m>0,直线PA的斜率为k1,直线PB的斜率为k2,求k1·k2. 16.(15分)已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,左顶点为A(-2,0),离心率为. (1)求椭圆C的标准方程; (2)若斜率为1的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,求|PQ|的最大值. 17.(15分)已知双曲线C: . (1)求双曲线C的标准方程; (2)若直线l与双曲线C交于A,B两点,线段AB的中点为M(3,2),求直线l的方程. 18.(17分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,P,Q是抛物线C上异于点O的两个不同的动点,当直线PQ过点F时,|PQ|的最小值为8. (1)求抛物线C的方程; (2)若OP⊥OQ,证明:直线PQ恒过定点. 19.(17分)如图,过椭圆的左、右焦点F1,F2分别作长轴的垂线l1,l2交椭圆于A1,B1,A2,B2,将l1,l2两侧的椭圆弧删去,再分别以F1,F2为圆心,线段F1A1,F2A2的长为半径向外侧作半圆,这样得到的图形称为“椭圆帽”.夹在l1,l2之间的部分(包括端点)称为椭圆帽的“帽体段”,其余部分(包括端点)称为椭圆帽的“帽檐段”.已知左、右两个“帽檐段”所在圆的方程分别为(x+)2+y2=1. (1)求“帽体段”的方程; (2)记“帽体段”所在椭圆为C,过点P(1,0)的直线与椭圆C交于A,B两点,在x轴上是否存在一个定点M(t,0),使得·为定值?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 答案与解析 第二章　圆锥曲线 1.B　由题意得,|MF|=yM+=3,p=2, 所以yM=2, 又点M在抛物线上,所以x2=4×2,解得x=±2, 所以点M到y轴的距离为2,故选B. 2.A　由题意可知,e=2,则, 所以双曲线的渐近线方程为y=±x±y=0.故选A. 3.B　不妨设点A在第一象限,如图, 由题意得C为AF的中点,F为BC的中点, 所以xA=1,所以(负值舍去), 即A, 将点B的坐标代入椭圆方程得=1, 又a2-b2=1,所以a2=5,b2=4, 所以椭圆的标准方程是=1.故选B. 4.C　若满足|AB|=λ(λ∈R)的直线l恰有3条, 则当直线l与双曲线的左支相交,且垂直于x轴时,|AB|min=4,此时有1条直线l; 当直线l与双曲线的左、右两支都相交时, ∵双曲线的两个顶点之间的距离是2,而2<4, ∴过双曲线的焦点一定有2条直线l使得|AB|=4. 如图所示: ∴当λ=4时,有3条直线满足题意.故选C. 5.B　不妨设点D在第一象限,则点E在第四象限, 联立 则D(2,2), 因为·=0,所以4-4p=0,解得p=1, 所以C的准线方程为x=-.故选B. 6.D　由抛物线C的方程y2=2px(p>0),得F, 则直线MF:y=,与抛物线方程y2=2px联立,消去y并整理,得12x2-20px+3p2=0, 即(6x-p)(2x-3p)=0, 设直线l'与抛物线y2=2px(p>0)在x轴下方交于点A, 可得xM=. ∵MN⊥l,∠MFx=60°, ∴∠NMF=60°, 又MN=MF,∴△NMF为等边三角形, ∴|MN|=|NF|=|MF|=xM+=2p. 易知∠NFO=∠OFA=60°, 由抛物线的对称性可得xQ=xA=, ∴|QF|=, ∴|NQ|=|NF|-|QF|=, ∴=2.故选D. 7.B　如图所示,建立平面直角坐标系: 根据题意设椭圆的方程为+y2=1(a>1), 因为|OP|=3 km,∠MPN=45°,所以直线PN的方程为y=x-3, 由题意可知当直线PN与椭圆相切时,OA的长度取得最大值, 由得(1+a2)x2-6a2x+8a2=0, 则Δ=(-6a2)2-4(1+a2)·8a2=0,所以a2=8, 即|OA|=a≈2.8 km,故选B. 8.B　根据题意得c=1,因为椭圆C1过点+y2=1. 设点B(x0,y0)(x0>0,y0>0),由题知切线l的方程为+y0y=1, 易得C. 因为1=.故选B. 9.ACD　当sin θcos θ<0时,方程表示双曲线,故A正确;当sin θ>0,cos θ>0,且sin θ≠cos θ时,方程表示椭圆,故C正确;当sin θ=cos θ>0时,方程表示圆,故D正确;方程中无x或y的一次项,故不可能表示抛物线,故B错误,故选ACD. 10.AC　设椭圆的右焦点为F',如图, 由椭圆的对称性可得,四边形PFQF'为平行四边形, 则|PF'|=|QF|,∠FPF'=π-∠PFQ=π-, 又|PF|=3|QF|,所以|PF|=3|PF'|, 而|PF|+|PF'|=2a,所以|PF'|=a, 在△PFF'中,cos∠FPF'=, 整理,得7a2=16c2,则e2=. 设P(x1,y1),Q(-x1,-y1),M(x0,y0),则=1, 两式相减,得=0, 所以, 所以k1k2=-.故选AC. 11.AD　依题意,易知F(c,0),OM⊥l,如图所示: |MF|==b,故A正确; 直线OM的斜率k=tan∠MOF=,直线OM是双曲线C过第一、三象限的渐近线,直线OM与C不相交,故B错误; 由A选项可得点M,设点Q(x0,y0), 依题意,, 即(x0-c,y0)=4, 所以x0=, 即Q, 又点Q在直线y=-, 所以8a2=3c2,则, 故C的渐近线方程为y=±x,故C错误; 同C选项可得点P=1,即,故D正确. 故选AD. 12.答案　9 解析　设两圆(x-5)2+y2=4和(x+5)2+y2=1的圆心分别为A,B,则A,B恰好为双曲线的两个焦点,|PM|-|PN|≤|PA|+2-(|PB|-1)=|PA|-|PB|+3=2a+3=6+3=9,即最大值为9. 13.答案　 解析　设|F1N|=k(k>0),则|MF1|=3k,|MN|=4k, 由椭圆的定义知,|NF2|=2a-k,|MF2|=2a-3k, 在△MNF2中,由余弦定理得|MF2|2=|MN|2+|NF2|2-2|MN||NF2|·cos∠MNF2, 即(2a-3k)2=(4k)2+(2a-k)2-2×4k×(2a-k)×, 在△MNF2中,|MN|=,|MF2|=a, 由余弦定理可得cos∠MF2N=. 14.答案　 解析　由题意得F(1,0),当直线l的斜率为0时,直线l与抛物线只有1个交点,不符合要求,舍去; 设直线l的方程为x=1+my, 联立消去x并整理,得y2-4my-4=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2<0,则y1+y2=4m,y1y2=-4, 因为△AOF的面积是△BOF面积的2倍,所以y1=-2y2, 则y1y2=-2, 即y1+y2=, 故x1+x2=, 则|AB|=x1+x2+2=. 15.解析　(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则 ①-②得=2p(x1-x2),即(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2),③ ∵A,B均在直线l上, ∴=2,④(3分) 又AB的中点为M(3,2),∴y1+y2=4,⑤ 将④⑤代入③,得4×2=2p,解得p=4, ∴抛物线C的标准方程为y2=8x.(6分) (2)由题及(1)知P(2,4),设A, 则k1=,(8分) ∴k1·k2=⑥, 联立消去x并整理,得y2-4y-16=0,(10分) 则y1+y2=4,y1y2=-16, ∴k1·k2==4.(13分) 16.解析　(1)设椭圆C的标准方程为=1(a>b>0). 由题意得解得c=1,所以b2=a2-c2=3,(3分) 所以椭圆C的标准方程为=1.(5分) (2)设P,Q两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程为y=x+t,　(6分) 由消去y,得7x2+8tx+4(t2-3)=0, 则x1+x2=-,(8分) 所以|PQ|= =.(11分) 由Δ>0,得0≤t2<7,(13分) 所以当t2=0时,|PQ|max=.(15分) 17.解析　(1)因为双曲线C的一条渐近线与直线x+2y=0垂直,所以双曲线C的一条渐近线方程为y==2, 所以双曲线C的一条渐近线方程为y=2x,即2x-y=0,(4分) 因为双曲线C的右顶点N(a,0)到该条渐近线的距离为, 所以,解得a=1(负值舍去),所以b=2, 所以双曲线C的标准方程为x2－=1.(7分) (2)若直线l⊥x轴,则A,B关于x轴对称,线段AB的中点在x轴上,不符合题意;(9分) 设直线l的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2), 则 ①-②,得=0, 所以(x1+x2)(x1-x2)-=0, 化简,得=4.(11分) 因为线段AB的中点为M(3,2),所以x1+x2=6,y1+y2=4, 所以k=4,解得k=6,(13分) 由(1)知,双曲线C的一条渐近线方程为y=2x,且直线l的斜率大于渐近线的斜率, 所以过点M(3,2)的直线l与双曲线有两个交点, 所以直线l的方程为y-2=6(x-3),即6x-y-16=0.(15分) 18.解析　(1)抛物线C的焦点坐标为F,代入y2=2px,得y2-2pmy-p2=0,(3分) 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=2pm,x1+x2=m(y1+y2)+p=2pm2+p, 所以|PQ|=|PF|+|QF|=x1+=2p(m2+1).(5分) 当m=0时,|PQ|min=2p=8,所以p=4. 所以抛物线C的方程为y2=8x.(7分) (2)证明:由题意设直线PQ的方程为x=ky+t(t≠0),P(x3,y3),Q(x4,y4), 联立得y2-8ky-8t=0,所以y3+y4=8k,y3y4=-8t. 由题意得Δ=64k2+32t>0.(12分) 因为OP⊥OQ,所以·=x3x4+y3y4=(ky3+t)(ky4+t)+y3y4=(k2+1)y3y4+kt(y3+y4)+t2=-8t(k2+1)+8k2t+t2=t2-8t=0,(15分) 所以t=8(t=0不符合题意,故舍去), 所以直线PQ的方程为x=ky+8, 所以直线PQ恒过定点(8,0).(17分) 19.解析　(1)设“帽体段”所在椭圆的标准方程为=1(a>b>0),(1分) 由题意知F2(,1), 所以c==1,又a2=b2+c2, 所以a=2,b=c=,(4分) 所以“帽体段”的方程为).(5分) (2)①当直线AB与x轴不重合时,设直线AB的方程为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2), 将x=my+1代入=1,得(m2+2)y2+2my-3=0, 所以y1+y2=, 则x1+x2=m(y1+y2)+2=, 由题意得·,(9分) 要使得·为定值, 则2(t2-4)=2t2-4t-1,解得t=, 即当t=时,·,为定值,(14分) ②当直线AB与x轴重合时,直线AB的方程为y=0,不妨令A(-2,0),B(2,0), 当点M的坐标为时,·. 综上,存在定点M,使得·.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$