第7章 专题强化练14 独立性检验与统计、概率的综合应用（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（北师大版2019）

专题强化练14　独立性检验与统计、概率的综合应用 1.为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况,交通部门随机对50名家用轿车的驾驶员进行调查,得到他们在高速公路上行驶时的平均车速情况:在30名男性驾驶员中,平均车速超过100 km/h的有20人,不超过100 km/h的有10人;在20名女性驾驶员中,平均车速超过100 km/h的有5人,不超过100 km/h的有15人. (1)完成下面的列联表,并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100 km/h的人与性别有关; 平均车速超过 100 km/h的人数 平均车速不超过 100 km/h的人数 总计 男性驾驶 员人数 女性驾驶 员人数 总计 (2)从50名家用轿车的驾驶员中随机选取3人,记这3人中驾驶员为女性且车速不超过100 km/h的人数为ξ,若每次选取的结果是相互独立的,求ξ的分布列和数学期望. 附:χ2=,其中n=a+b+c+d. P(χ2≥k) 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 2.某乒乓球教练决定检验运动员某项技能水平,随机选取100名运动员进行测试,并根据该项技能的评价指标,按[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100]分成8组,得到如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值,并估计该项技能的评价指标的中位数(精确到0.1); (2)根据频率分布直方图求样本评价指标的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表),若平均数与中位数之差的绝对值小于1,则认为该项技能水平有显著稳定性,否则不认为有显著稳定性,请依据数据给出答案; (3)在选取的100名运动员中,训练时间不少于1年的(记为A队)与少于1年的(记为B队)人数相同,若规定评价指标不低于80为优秀,低于80为良好,经统计,训练时间不少于1年的有40名运动员评价指标为优秀,请列出2×2列联表,并判断是否有99%的把握认为“评价指标是否优秀与训练时间有关”. 附:χ2=,其中n=a+b+c+d. P(χ2≥k) 0.10 0.05 0.01 k 2.706 3.841 6.635 3.近年来,直播电商带货的模式发展势头迅猛,每年的“双十一”购物节成为各直播电商关注的焦点.某直播公司为增加销售额,准备采取新举措,将原本单一的直播团队拆分为甲、乙两个直播团队,相互竞争.该公司记录了新举措实施前40天全公司的日均总销售额和新举措实施后40天全公司的日均总销售额的天数频数分布表,分别如表1和表2所示: 表1 日均总销 售额/万元 [15,16) [16,17) [17,18) [18,19) 天数 12 15 6 2 日均总销 售额/万元 [19,20) [20,21) [21,22) [22,23) 天数 2 1 1 1 表2 日均总销 售额/万元 [15,16) [16,17) [17,18) [18,19) 天数 1 2 3 4 日均总销 售额/万元 [19,20) [20,21) [21,22) [22,23) 天数 13 14 2 1 (1)将下面的2×2列联表补充完整,并判断是否有99.9%的把握认为公司销售额提高与采取新举措有关; 日均总销售额 小于20万元 日均总销售额 不小于20万元 总计 新举措实 施前40天 新举措实 施后40天 总计 (2)后期该公司还打算对甲、乙两个直播团队的表现进行如下考核:选定某周周一至周五的5天时间,对两队当天的销售额进行比较,若甲团队的销售额超过10万元且乙团队的销售额未超过10万元,则甲团队得1分,乙团队得-1分;若乙团队的销售额超过10万元且甲团队的销售额未超过10万元,则乙团队得1分,甲团队得-1分;若两团队的销售额都超过10万元或都未超过10万元,则两团队均得0分.根据以往数据,甲、乙两团队某天销售额超过10万元的概率分别为p1和p2,某一天的考核中甲团队的得分记为X. ①若p1=0.5,p2=0.8,求X的分布列; ②若甲、乙两团队在考核开始时都赋予3分,两队销售额比较1次算一轮,经过10轮比较后,甲团队得分的数学期望超过5分,求p1的取值范围(用p2表示). 参考公式及数据: χ2=,其中n=a+b+c+d. P(χ2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 4.我国在第75届联合国大会上承诺,将采取更加有力的政策和措施,力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值,努力争取于2060年之前实现碳中和(简称“双碳目标”),此举展现了我国应对气候变化的坚定决心,预示着我国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革,极大促进我国产业链的清洁化和绿色化.电动汽车是重要的战略新兴产业,对实现“双碳目标”具有重要的作用.为了解某一地区电动汽车的销售情况,一机构根据统计数据,用最小二乘法得到电动汽车年销售量y(单位:万台)关于年份x的线性回归方程为=4.7x-9 459.2,且年销售量y的方差为,年份x的方差为=2. (1)求y与x的相关系数r,并据此判断电动汽车年销售量y与年份x的线性相关性强弱; (2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况,得到的数据如下表: 性别 购车种类情况 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计 男性 39 6 45 女性 30 15 45 总计 69 21 90 请判断是否有95%的把握认为是否购买电动汽车与车主性别有关; (3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层随机抽样抽取7人,再从这7人中随机抽取3人,记这3人中,男性的人数为X,求X的分布列和数学期望. 附:①参考数据:≈25. ②参考公式:(i)回归直线y=bx+a中,斜率和截距的最小二乘估计分别为;(ii)相关系数r=,若|r|>0.9,则可判定y与x的线性相关性较强;(iii)χ2=,其中n=a+b+c+d.③临界值表: P(χ2≥k) 0.10 0.05 0.01 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 答案与分层梯度式解析 专题强化练14　独立性检验与统计、概率的综合应用 1.解析　(1)2×2列联表如下: 平均车速超过 100 km/h的人数 平均车速不超过 100 km/h的人数 总计 男性驾驶 员人数 20 10 30 女性驾驶 员人数 5 15 20 总计 25 25 50 则χ2=≈8.333>7.879, 所以有99.5%的把握认为平均车速超过100 km/h的人与性别有关. (2)由题意可知,从50名家用轿车的驾驶员中随机选取1人, 则选取的驾驶员为女性且车速不超过100 km/h的概率为,则ξ~B, 则P(ξ=0)=, P(ξ=1)=, P(ξ=2)=, P(ξ=3)=, 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 数学期望Eξ=3×. 2.解析　(1)由题图可知,(0.008+0.016+0.02+a+0.044+0.04+0.028+0.008)×5=1, 解得a=0.036. 因为(0.008+0.016+0.02+0.036)×5=0.4<0.5, (0.008+0.016+0.02+0.036+0.044)×5=0.62>0.5, 所以该项技能的评价指标的中位数在[80,85)内. 设该项技能的评价指标的中位数为m,则(m-80)×0.044+0.4=0.5, 解得m≈82.3. 故该项技能的评价指标的中位数约为82.3. (2)评价指标的平均数为(62.5×0.008+67.5×0.016+72.5×0.02+77.5×0.036+82.5×0.044+87.5×0.04+92.5×0.028+97.5×0.008)×5=81.6, 所以平均数与中位数之差的绝对值为|81.6-82.3|=0.7<1,所以认为该项技能水平有显著稳定性. (3)评价指标不低于80的频率为(0.044+0.04+0.028+0.008)×5=0.6, 所以评价指标不低于80的运动员有100×0.6=60(名). 2×2列联表如下: 优秀 良好 总计 A队 40 10 50 B队 20 30 50 总计 60 40 100 则χ2=≈16.667>6.635. 所以有99%的把握认为“评价指标是否优秀与训练时间有关”. 3.解析　(1)补全2×2列联表如下: 日均总销售额小于20万元 日均总销售额 不小于20万元 总计 新举措实 施前40天 37 3 40 新举措实 施后40天 23 17 40 总计 60 20 80 则χ2=≈13.067>10.828, 所以有99.9%的把握认为公司销售额提高与采取新举措有关. (2)X的所有可能取值为-1,0,1, 则P(X=-1)=p2(1-p1), P(X=0)=p1p2+(1-p1)(1-p2), P(X=1)=p1(1-p2). ①当p1=0.5,p2=0.8时,随机变量X的分布列如下表所示: X -1 0 1 P 0.4 0.5 0.1 ②EX=-p2(1-p1)+p1(1-p2)=p1-p2, 则E(10X)=10EX=10(p1-p2)>5-3=2, 所以p1>p2+, 又p1≤1, 所以p2+<p1≤1. 4.解析　(1)相关系数r= = =4.7× =4.7×=0.94>0.9, 故电动汽车年销售量y与年份x的线性相关性较强. (2)χ2=≈5.031>3.841, 所以有95%的把握认为是否购买电动汽车与车主性别有关. (3)由题意得,抽取的7人中,男性车主有2人,女性车主有5人,则X的可能取值为0,1,2, P(X=0)=, 故X的分布列为 X 0 1 2 P 数学期望EX=0×. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$