第7章 统计案例 章末复习提升-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

章末复习提升 要点一　一元线性回归 1．主要考查两个变量线性相关的判定，以及利用最小二乘法求线性回归方程． 2．掌握求线性回归方程的方法和步骤，提升数学运算、数据分析的素养． 训练1　如图所示，从人体脂肪含量(单位：%)与年龄散点图中，能比较清楚的表示人体脂肪含量与年龄的相关性的回归直线为(　　) A．l1 B．l2 C．l3 D．l4 解析：选A．根据线性相关的意义知，当所有的数据在一条直线附近排列时，具有很强的线性相关性．从题图中，能比较清楚的表示人体脂肪含量与年龄的相关性的回归直线是l1，题图中的散点大部分都分布在此直线两边．故选A． 训练2　某商店经营一批进价为4元/件的商品，在市场调查时发现，此商品的销售单价X(单位：元)与日销售量Y(单位：件)之间有如下关系： X 5 6 7 8 Y 10 8 7 3 试计算X，Y之间的样本相关系数． 参考数据：(xi－)(yi－)＝－11， (xi－)2＝5， (yi－)2＝26, ≈11.401 8. 参考公式：r＝. 解：由题知r＝＝≈－0.964 8. 训练3　已知某连锁经营公司的5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表： 商店名称 A B C D E 销售额X/千万元 3 5 6 7 9 利润额Y/千万元 2 3 3 4 5 (1)画出散点图； (2)根据如下的参考公式与参考数据，求利润额Y与销售额X之间的线性回归方程； (3)若该公司还有一个零售店某月销售额为10千万元，试估计它的利润额是多少． 参考公式：＝，＝－． 参考数据：iyi＝112，＝200. 解：(1)散点图如图． (2)由(1)中散点图可以看出，X与Y有近似的线性关系． 由已知数据计算得n＝5，＝＝6，＝＝3.4，＝＝0.5，＝3.4－0.5×6＝0.4.则线性回归方程为Y＝0.5X＋0.4. (3)将X＝10代入线性回归方程中得到Y＝0.5×10＋0.4＝5.4(千万元). 即估计该零售店的利润额为5.4千万元． 解决线性回归分析问题的一般步骤 (1)画散点图．根据已知数据画出散点图． (2)判断变量的相关性并求线性回归方程．通过观察散点图或计算样本相关系数，判断两个变量是否具有相关关系；在此基础上，利用最小二乘法求回归系数，然后写出线性回归方程． (3)实际应用．依据求得的线性回归方程解决实际问题． 要点二　独立性检验 1．主要考查根据样本制作2×2列联表，由2×2列联表计算χ2，分析并判断相关性结论的可信程度． 2．通过计算χ2的值，进而分析相关性结论的可信程度，提升数学运算、数据分析素养． 训练1　(多选)(2024·江西抚州检测)以下关于独立性检验的说法中，正确的是(　　) A．独立性检验得到的结论一定正确 B．样本不同，独立性检验的结论可能有差异 C．独立性检验不是判断两分类变量是否相关的唯一方法 D．若随机变量χ2>6.635，我们有99%的把握判断吸烟与患肺病有关，则某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病 解析：选BC．利用独立性检验时，结论与样本的选取有关，因此得到的结论可能有误，A错误；样本不同，独立性检验的结论可能有差异，B正确；可以利用频率表粗略地判断两个分类变量之间是否具有相关性，因此独立性检验不是判断两分类变量是否相关的唯一方法，C正确；若χ2>6.635，则有99%的把握判断吸烟与患肺病有关，某人吸烟，不表示他有99%的可能患有肺病，D错误．故选BC． 训练2　为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠．在照射后14天的结果如下表所示： 电离辐射剂量 存活情况 死亡 存活 总计 第一种剂量 14 11 25 第二种剂量 6 19 25 总计 20 30 n＝50 由表中数据算得：χ2＝________，说明两种电离辐射剂量对小白鼠的致死作用____________．(填“相同”或“不相同”) 解析：由列联表中数据，计算得 χ2＝≈5.333>3.841， 所以有95%的把握判断小白鼠的死亡与使用的电离辐射剂量有关，即两种电离辐射剂量对小白鼠的致死作用不相同． 答案：5.333　不相同 训练3　为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m3)，得下表： 　　　SO2 PM2.5　　 [0，50] (50，150] (150，475] [0，35] 32 18 4 (35，75] 6 8 12 (75，115] 3 7 10 (1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率； (2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表(单位：天)： PM2.5 SO2 [0，150] (150，475] 总计 [0，75] (75，115] 总计 (3)根据(2)中的列联表及独立性检验，判断该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度是否有关？ 解：(1)根据抽查数据，该市100天空气中的PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的天数为32＋18＋6＋8＝64，因此，所求概率的估计值为＝0.64. (2)根据抽查数据，可得2×2列联表(单位：天)： PM2.5 SO2 [0，150] (150，475] 总计 [0，75] 64 16 80 (75，115] 10 10 20 总计 74 26 n＝100 (3)根据(2)的列联表得χ2＝≈7.484>6.635. 所以有99%的把握判断该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关． 训练4　(2024·陕西西安期中)某市组织全市中小学生观看了“天宫课堂”第四课，并随机抽取1 000名中小学生进行了一次“飞天宇航梦”的调查，得到如下2×2列联表(单位：名)： 性别 “飞天宇航梦” 有 无 总计 男 100 女 350 500 总计 (1)若将样本频率视为概率，求从全市中小学生中随机选择1名学生，此学生有“飞天宇航梦”的概率； (2)完成上面的列联表，能否有99%的把握判断学生性别和有“飞天宇航梦”有关？ 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 解：(1)由题意与列联表可知被调查的男、女学生都是500人， 其中有“飞天宇航梦”的男生有400人，女生有350人，一共750人， 因此从全市中小学生中随机选择1名学生，此学生有“飞天宇航梦”的概率为＝. (2)2×2列联表如下(单位：名)： 性别 “飞天宇航梦” 有 无 总计 男 400 100 500 女 350 150 500 总计 750 250 n＝1 000 根据列联表中的数据，经计算得到， χ2＝≈ 13．333>6.635， 所以有99%的把握判断学生性别和有“飞天宇航梦”有关． (1)χ2的值越大，说明判断两个分类变量有关联成立的可能性越大．因此根据列联表中数据求得χ2的值，和临界值比较，可得出结论． (2)独立性检验和概率知识的综合问题，可结合古典概型、条件概率或随机变量的分布等求解． 学科网（北京）股份有限公司 $