第3章 第2课时 空间中的距离问题（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（北师大版2019）

第2课时　空间中的距离问题 基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　 题组一　点到平面的距离 1.已知向量n=(2,0,1)为平面α的一个法向量,点A(-1,2,1)在平面α内,则点P(1,2,2)到平面α的距离为(　　) A.　　　B.　　　C.2　　　D. 2.已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,M,N分别是A1B1,AD,CC1的中点,则直线AC到平面EMN的距离为(　　) A.0　　　B.　　　C.　　　D. 3.在空间直角坐标系中,定义:平面α的一般方程为Ax+By+Cz+D=0(A,B,C,D∈R,A2+B2+C2≠0),点P(x0,y0,z0)到平面α的距离d=,则在底面边长与高都为2的正四棱锥中,底面中心O到侧面的距离等于　　　　　.  4.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=2,M,N分别为AP,BC的中点. (1)证明:直线MN∥平面PCD; (2)求点B到平面MND的距离. 题组二　点到直线的距离 5.已知直线l过定点A(2,3,1),且直线l的一个方向向量为s=(0,1,1),则点P(4,3,2)到直线l的距离为(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 6.如图,几何体ABCD-EFGH是棱长为6的正方体,若,则点P到直线CH的距离为(　　) A.4　　　B.3　　　C.2　　　D.1 7.在三棱柱ABC-A1B1C1中,),则该三棱柱的体积为(　　) A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.4 答案与分层梯度式解析 第2课时　空间中的距离问题 基础过关练 1.B　因为A(-1,2,1),P(1,2,2), 所以=(-2,0,-1), 因为平面α的一个法向量为n=(2,0,1), 所以点P到平面α的距离d=.故选B. 2.B　如图所示,建立空间直角坐标系, 则A(2,0,0),C(0,2,0),E(2,1,2),M(1,0,0),N(0,2,1), 所以=(-2,2,0), 设平面EMN的一个法向量为m=(x,y,z), 则 令x=1,可得m=(1,1,-1), 所以·m=0,即⊥m, 又AC⊄平面EMN,所以AC∥平面EMN, 故点A到平面EMN的距离即为直线AC到平面EMN的距离,又=(1,0,0), 所以点A到平面EMN的距离为,即直线AC到平面EMN的距离为.故选B. 3.答案　 解析　如图所示,以O为原点建立空间直角坐标系, 则O(0,0,0),A(1,1,0),B(-1,1,0),P(0,0,2), 设平面PAB的方程为ax+by+cz+d=0, 则 则平面PAB的方程为-dy-z+d=0, 即2y+z-2=0, ∴底面中心O到侧面的距离为. 4.解析　(1)证明:取PD的中点Q,连接MQ,CQ,如图1, ∵M,Q分别为PA,PD的中点, ∴MQ∥AD,MQ=AD=1, 又底面ABCD为正方形,N为BC的中点,∴NC∥AD,NC=AD=1,∴MQ∥NC,MQ=NC, ∴四边形MQCN为平行四边形,∴MN∥CQ, ∵MN⊄平面PCD,CQ⊂平面PCD, ∴直线MN∥平面PCD. (2)∵底面ABCD为正方形,且PA⊥底面ABCD, ∴AB,AD,AP两两互相垂直.以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图2, 则M(0,0,1),B(2,0,0),D(0,2,0),N(2,1,0), ∴=(0,1,0), 设平面MND的一个法向量为n=(x,y,z), 则 令x=1,得n=(1,2,4), ∴点B到平面MND的距离d=. 5.A　因为A(2,3,1),P(4,3,2),所以=(2,0,1), 则|, 所以点P到直线l的距离d=,故选A. 6.A　如图所示,以A为坐标原点,AB,AD,AE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 则A(0,0,0),C(6,6,0),H(0,6,6),B(6,0,0),D(0,6,0),E(0,0,6), 所以=(-6,0,6), 因为=(1,2,5),所以P(1,2,5),所以=(-5,-4,5), 所以, 所以点P到直线CH的距离为=4. 故选A. 7.D　设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z), 则令z=2,得y=3,x=-,所以n=(-,3,2), 故点A1到平面ABC的距离d=, 点C到直线AB的距离h=, 又|, 所以△ABC的面积S==4, 故三棱柱的体积V=4×.故选D. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$